Tag 6 - Montag, Aufgaben und Lösungen Differentialrechnung und Anwendungen

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1 Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig Vorkurs Mathematik Themen: Tag 6 - Montag, Aufgaben und Lösungen Differentialrechnung und Anwendungen Differentiationsregeln der Grundfunktionen Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, Formel für die n-te Ableitung Kurvendiskussion unter Verwendung der Differentialrechnung Tangentengleichung, Anstiegswinkel Etremwertaufgaben. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f. a) f() = , f () = b) f() = , f () = c) f() = sin cos+ln, f () = cos+sin+ d) f() = cos()+sin( 9), f () = sin() 9cos( 9) e) f() = log, f () = ln ln f) f() = ln( 3 ), f () = 3 = 3 g) f() = 3, f () = 3 (3 ) h) f() = e, f () = e. Bilden Sie unter Verwendung von Produkt-, Quotienten- und/oder Kettenregel die erste Ableitung f der Funktion f. a) f() = ( ) 5, f () = 5 ( ) ( 3 ) b) f() = sin(), f () = sin()+ cos() c) f() = (ln), f () = ln d) f() = [sin ( tan)], f () = [cos sin(+tan )] (Beachte: (tan) = cos = +tan.) e) f() = ln, f () = ln

2 f) f() = e +e, f () = (e e ) (e +e ) 3 g) f() = 3 sin, f () = ln3 3 sin cos h) f() = ln( cos ), f () = tan i) f() = cos( ) π, f () = π ( sin( ) cos( ) ) 3. Bilden Sie die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktionen und geben Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung an. a) f() = f () = ( ) ( ) = + ( ) = ( ) = ( ) f () = ( ) 3 ( ) = ( ) 3 f () = 6( ) ( ) = 6( ) f () () = ( ) 5 ( ) = ( ) 5 allgemeine Formel: f (n) () = n! ( ) (n+) b) f() = ln f () = = f () = f () = 3 f () () = 6 allgemeine Formel: f (n) () = ( ) (n+) (n )! n. Von den folgenden Funktionen sind Definitionsbereich, Wertebereich, Achsenschnittpunkte, Etremwerte, Monotonieintervalle und das Verhalten für zu bestimmen. Skizzieren Sie die Graphen. a) f() = e D f = R; W f = [, ), denn, e > R Nullstellen: = e = = (doppelte Nullstelle) SP mit der -Achse: f() = e = (vgl. Nullstelle) Ableitungen: f () = e + e = e ( +) = e (+) f () = e ( +)+e (+) = e ( ++) Etrema: = f () = e (+) = = Kandidaten für Etrempunkte: P (;) und P ( ; e ) Art der Etrema: f () = e > Min. f ( ) = e ( 8+) = e < Ma. P min (;), P ma ( ; e )

3 Monotonie: f () e (+) (+) ( ; ] [; ) (Parabel =(+) zeichnen!) f ist monoton wachsend für ( ; ] und [; ), f ist monoton fallend für [ ;]. Verhalten im Unendlichen: + : lim e = + : lim e = b) f() = e + D f = R\{ } (einfache Nenner-Nst., keine Zählernst., also einfache Polstelle); W f = R\[,), denn e + Nullstellen: keine, denn e D f SP mit der -Achse: f() = e Ableitungen: f () = e (+) e (+) = e (+ ) (+) f () = (e +e )(+) e (+) (+) = e +e +e + e e (+) 3 + = ( +)e (+) 3 = SP (;) = e (+) = (e +e )(+) e (+) 3 Etrema: = f () e = = Kandidat für Etrempunkt: P(;) Art des Etremums: f () = > Min. P min (;) Monotonie: f () e (+) e [; ) f ist monoton fallend für ( ; ) und für ( ;] (Polstelle bei = dazwischen) und f ist monoton steigend für [; ). Verhalten im Unendlichen: : lim e + e + : lim + = lim = (f konvergiert von unten gegen Null) e = + 3

4 Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen Lage und Art aller lokalen Etremwerte und skizzieren Sie die Graphen. a) f() = SP mit der -Achse: (; ) Nullstellen: =,89, =,89 Ableitungen: f () = 8 3 f () =, f () = 8, f () () = 8 Etrema: = f () = 8 3 = P(; ) Kandidat für Etrempunkt Art des Etremums: f () = f () =, aber f () () > (Ableitung gerader Ordnung) Min. P min (; ) b) f() = einfache Polstelle = (Nennernullstelle, aber keine Zählernullstelle), f() =, keine Nullstellen Ableitungen: f () = ( ) hat keine Nullstellen keine lokalen Etrema!

5 ( c) f() = ) 5 SP mit der -Achse: (; ), keine Nullstellen f überall streng monoton fallend, also keine Etrema Probe mittels der Ableitung: f () = ln ( ) = (ln ln) ( ( ) = ln ) < R 3 d) f() = e D f = R, SP mit der -Achse: (;,36788), keine Nullstellen f ist auf ganz D f streng monoton wachsend, also keine Etrema Probe: f () = e > R e) f() = ln(3 ) D f = ( 3 ; ), kein SP mit der -Achse, Nullstellen = f ist auf ganz D f streng monoton wachsend, also keine Etrema Probe: f () = 3 3 > für D f 5

6 f) f() = cos( ) D f = R, f() = cos() = SP mit der -Achse: (;) Nullstellen: = cos( ) = cos( ) = k+ π,k Z = (k +)π, k Z f gerade Funktion, periodisch mit kleinster Periode π (wegen π = π). Ableitungen: f () = sin( ) f () = cos( ) Etrema: = f () = sin( ) = k π (k Z) = k π (k Z) Kandidaten für Etrema: (mπ;) und ((m+)π; ) mit m Z Art der Etrema: f (mπ) = cos(mπ) = < Ma. f (mπ +) = cos(mπ +) = ( ) > Min. P min ((m+)π; ), P ma (mπ;), (m Z) 5 5 g) f() = 3 D f = R, SP mit der -Achse (; 3 ), keine Nullstellen f ist auf ganz D f streng monoton wachsend, also keine Etrema Probe: f () = 3 ln > 6

7 h) f() = e D f = R, SP mit der -Achse (;), keine Nullstellen lim = lim e e = Ableitungen: f () = e ( ) f () = e ( ) ( )+e ( ) = e ( ) Etrema: = f () = e ( ) = Kandidat für Etrempunkt: P(;) Art des Etremums: f () = e ( ) = < Ma. P ma (;) Welchen Winkel α bildet die Tangente im Punkt P ( ; ) an die Kurve = f() mit der -Achse? a) f() = 3 +, = f () = 3 (+) 3 = 3 3 (+) f () = 3 = tanα α,375 = 8, b) f() = sin(π ), = π f() = sin(π ) = sin( ) = sin f () = cos f (π) = cosπ = = tanα α = π = 5 c) f() = ( )e, = f () = e +( )e = e f () = e = e = tanα α,83 = 69,8 7

8 7. In welchen Kurvenpunkten liegen Tangenten an die Kurve = f() an, welche die -Achse unter einem Winkel von 5 schneiden? a) f() = 3 f () = ( 3) = +3 = + 3 tan5 = = f () = + 3 = 3 3 = 3, = 3 P ( 3;), P ( 3;) b) f() = cos() (periodische Funktion mit T = π) f () = sin() tan5 = = f () = sin() = sin() = 7π 6 = 7π π (3.Quad.) oder = 6 (.Quad.) +kπ (k Z) +kπ oder = π Lösung: P ( 7π +kπ; 3 ), P ( π +kπ; 3 ) (k Z) 8. Auf zwei geradlinig verlaufenden Straßen, welche einander senkrecht kreuzen, fahren zwei Fahrzeuge senkrecht zueinander auf die Straßenkreuzung zu (und dann weiter geradeaus). Fahrzeug hat eine konstante Geschwindigkeit von m s, Fahrzeug von 5 m s. Wenn Fahrzeug zur Zeit t = die Kreuzungsmitte passiert, ist Fahrzeug noch 6 m von der Kreuzungsmitte entfernt. Zu welchem Zeitpunkt t > sind die beiden Fahrzeuge einander am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt? Wie weit sind sie dann von der Kreuzungmitte entfernt? Skizze: Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten s und s, Hpothenuse s S S Dabei sind S s = v t = m s t und s = 6 v t = 6 5 m s t die Abstände der Fahrzeuge von der Kreuzungsmitte; s ist der Abstand beider Fahrzeuge zueinander. Etremwertaufgabe: s(t) = s +s Min! 8

9 Minimaler Abstand: s = q(,77s) = (6 5,77) +(,77) m 33,3m Abstände von der Kreuzungsmitte: s = m s,77s 7,7m, s = 6m 5 m s,77s 8,5m 9. Ein Körper wird schräg nach oben geworfen. Die Flugbahn (Höhe in Abhängigkeit von der Weite, Einheit Meter) kann beschrieben werden durch = h() = ++ ( ). 5 Welche Höhe erreicht der Körper maimal? Wie weit wird der Körper geworfen? maimale Flughöhe,5 Meter, Wurfweite ca. 5 Meter. Ein Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Tunnelumfang ist U. Für welchen Halbkreisradius wird die Querschnittsfläche des Tunnels am größten? Bezeichne die Grundseite des Rechtecks mit, Höhe des Rechtecks mit. Damit hat der aufgesetzte Halbkreis den Radius. Der Gesamttunnel den Umfang u = + + π und die Querschnittsfläche q = + π. (Siehe Skizze!) Der Querschnitt des Tunnels ist zu minimieren, also q = + π, Maimum an der Stelle ma = u +π ma = u +π, q ma = u (+π) Der Querschnitt wird also maimal für ein Quadrat mit aufgesetztem Halbkreis mit Radius u +π.. Ein Pferdebesitzer will ein rechteckiges Stück Koppel einzäunen. Dafür hat er Weidezaun in einer Gesamtlänge von 3 Metern zur Verfügung. a) Wie lang müssen die Seiten der Koppel sein, damit seine Pferde darin möglichst viel Gras zum Fressen haben? 9

10 Seitenlängen der Koppel mit und bezeichnen, u = 3 m, Fläche A maimieren A =, u = + = (u ) Maimum in ma = u, ma = u, A ma = u 6 quadratische Koppel mit Seitenlänge 75 m bauen, ergibt 565 m Grasfläche für die Pferde! b) Welche Abmessungen hat eine Koppel maimaler Fläche, wenn sie mit einem Weidedraht von 5 Metern Gesamtlänge doppelt umzäunt werden soll und für die Verbindung zwischen den beiden Umzäunungen und zur Weidebatterie insgesamt Meter Draht gebraucht werden? l = 5 m, l = (+)+ = + + = (l ) A() = = (l ) = l Ma! Maimum in ma = (l ) = l 8, ma = l 8 quadratische Koppel mit Seitenlänge 6 m bauen, ergibt 38 m Fläche! Tag 7 - Dienstag, Aufgaben und Lösungen Integralrechnung und Anwendungen Themen: unbestimmtes Integral: Grundintegrale, partielle Integration bestimmtes Integral : Grundintegrale, partielle Integration Anwendung: Flächenberechnung. Berechnen Sie die nachfolgenden unbestimmten Integrale: a) d = C b) d = ln( )+C c) 5 d = 9 9 +C d) e +3sin cos d = e 3cos sin+c e) tan d = ln( cos )+C (Grundintegral, Beweis durch Ableiten bzw. mit Methode Substitution (z := cos) Studium! ) f) 3 d = 3 ln3 + ln +C g) cos d = tan+c (Grundintegral, Beweis durch Ableiten oder mit Substitution z := tan)

11 h) ( +) 3 d = +ln( ) +C. Berechnen Sie nachfolgende Integrale durch partielle Integration: u() v () d = u() v() u () v() d a) sin d u =, v = sin, u =, v = cos sin d = cos+sin+c b) cos d u = cos, v = cos, u = sin, v = sin cos d = sincos+ cos d cos d = (sincos++c) c) ln d u = ln, v =, u =, v = ln d = ln +C d) e d u =, v = e, u =, v = e e d = e e d = e e d u =, v = e, u =, v = e e d = e e +e +C = e ( +)+C 3. Berechnen Sie: a) b) c) d) e) f) π 3 π 8 ln5 (+) d = sin d = +,7 d 3 = 3 e 3 d = 3 =,3 d 3 = 3 (ln ln5),35 (a b) d = a 5 3 ab+b

12 . Berechnen Sie mit partieller Integration: a) b) c) d) π e d, u =, v = e, u =, v = e e d = e,7358 e sin d, u = e, v = sin, u = e, v = cos, danach u = e, v = cos, u = e, v = sin π e sin d = (eπ +),73 π π ln d, u = ln, v =, u =, v = ln d = ( ln),53 sin cos d, u = sin, v = cos, u = cos, v = sin sincos d = 5. Bestimmen Sie den Inhalt der Flächen, die durch folgende Kurven vollständig begrenzt sind: a) = und die -Achse 3 Der Flächeninhalt beträgt 3 3 FE. b) = ln, = e und die -Achse Der Flächeninhalt beträgt FE c) = +3, = und die -Achse

13 5 5 Der Flächeninhalt beträgt 3 FE. 3 5 (Die Aufgabe könnte auch so verstanden werden, dass nur die linke Teilfläche gemeint ist, dann: Flächeninhalt 7 3 FE.) d) = 9, = Der Flächeninhalt beträgt 6,8 FE Gegeben ist die Funktion e, < f() =, 8+5, >. a) Skizzieren Sie die Funktion für b) Berechnen Sie den Wert des Integrals 5 f() d (eakten Wert und Näherungswert auf 3 Stellen genau angeben). 5 f() d = e d+ 5 d+ 8+5 d = 6 e,3 c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebietes G, welches im Bereich 5 vom der Gerade =, dem Graphen der Funktion f und der -Achse vollständig eingeschlossen wird (eakten Wert und Näherungswert auf 3 Stellen genau angeben). 3

14 Bemerkung: Die beiden Dreiecke können zu einem Rechteck zusammengesetzt werden. Damit ist der Flächeninhalt von FE direkt ablesbar. Bei Berechnung durch Integrale muss an der Nullstelle = geteilt werden. A = e d+ d+ = e , Der Flächeninhalt beträgt rund 3, FE. 5 d d 7. Gegeben ist ein ebenes Gebiet G im ersten Quadranten, welche vollständig begrenzt ist durch die Graphen der Funktionen f() = +, g() = +8, h() = + sowie die Gerade = und die -Achse. Der Punkt P(3;) ist ein innerer Punkt von G. a) Skizzieren Sie G b) Berechnen Sie den eakten Wert des Flächeninhalts von G sowie einen Näherungswert (auf 3 Stellen genau). A = = ln f() g() d+ h() d + 5,8 Der Flächeninhalt beträgt rund 5, 8 FE.

15 Tag 8 - Mittwoch,.. - Aufgaben und Lösungen Elementare Geometrie, Vektorrechnung, Analtische Geometrie Themen: Sätze am allgemeinen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz, Kongruenzsätze, Ähnlichkeit von Dreiecken, Strahlensätze) Sätze am rechtwinkligen Dreieck (Satz des Pthagoras, Höhensatz) Rechenregeln für Vektoren, Betrag, Skalarprodukt, Vektorprodukt Geradengleichungen im R und R 3. Bestimmen Sie mit dem Sinus- oder Kosinussatz die weiteren Größen des Dreiecks. Ist das Dreieck eindeutig gegeben? a) α = 55, c = 7,3, β = 8 b) a = 8,5, b = 6,38, α = 68,5 c) a = 9,35, b =,5, α = 39, d) a = 5,6, γ = 5, b = 8,5 e) a = 3,3, b = 5,6, c = 7,95 f) a =,7, b =,68, c = 6,89 Sinussatz: a : b : c = sinα : sinβ : sinγ Kosinussatz: a = b +c bccosα bzw. b = a +c accosβ bzw. c = a +b abcosγ (außerdem ggf. Innenwinkelsatz usw. nutzen) A Α b C Γ c a Β B Bemerkung: TR-Einstellung (Gradmaß / Bogenmaß) prüfen! Ergebnisse sinnvoll runden (Stellenzahl der gegebenen Größen berücksichtigen)! a) geg.: α = 55, c = 7,3, β = 8 (d. h. eine Seite und die zwei angrenzenden Winkel, also die Stücke für den Kongruenzsatz wsw, daher ist das Dreieck eindeutig) = γ = 77 (Innenwinkelsatz) sinα sinγ = a sinα c = a = c sinγ 6,7 sinβ sinγ = b c = b = c sinβ sinγ 5,6

16 b) geg.: a = 8,5, b = 6,38, α = 68,5 (Da a > b gilt, sind hier die Stücke für den Kongruenzsatz ssw gegeben, deshalb ist auch dieses Dreieck eindeutig) sinβ sinα = b a = sinβ = sinα b a = β,6 = γ = 66,9 (Innenwinkelsatz) (Mit der zweiten Lösung von sinβ =,7979, β = 8,6 = 35, eistiert kein zulässiger Wert für γ.) sinγ sinα = c a = c = a sinγ sinα 8,35 c) geg.: a = 9,35, b =,5, α = 39, (Da diesmal a < b ist, sind die Voraussetzungen für den Kongruenzsatz ssw nicht erfüllt. Deshalb sind hier zwei Lösungen zu erwarten.) sinβ sinα = b a = sinβ = sinα b a = β 7, = γ = 66, (Innenwinkelsatz) Mit der anderen Lösung β = 8 7, 5,6 lässt sich ein zweiter zulässiger Wert für γ berechnen: = γ = 35, (Innenwinkelsatz) sinγ sinα = c a = c = a sinγ sinα 3,56 bzw. sinγ sinα = c a = c = a sinγ sinα 8,53 d) geg.: a = 5,6, γ = 5, b = 8,5 (d. h. zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, also die Stücke für den Kongruenzsatz sws, deshalb ist das Dreieck eindeutig) c = a +b abcosγ = c, sinα sinγ = a a c = sinα = sinγ c = α 5 = β = (Innenwinkelsatz) e) geg.: a = 3,3, b = 5,6, c = 7,95 (d. h. alle drei Seiten. Da die Dreiecksungleichung jeweils erfüllt ist (a < b+c, b < a+c, c < a+b), sind hier also die Stücke für den Kongruenzsatz sss gegeben, deshalb ist das Dreieck eindeutig) c = a +b abcosγ = cosγ = a +b c = γ 3 sinα sinγ = a c a b = sinα = sinγ a c = α 9, = β = 3 f) a =,7, b =,68, c = 6,89 (d. h. wieder alle drei Seiten) Die Dreiecksungleichung ist nicht erfüllt, hier ergibt sich kein Dreieck! (Wenn man die Gültigkeit der Dreiecksungleichung nicht überprüft, merkt man während der Rechnung, dass Widersprüche auftreten, z. B.: c = a +b abcosγ cosγ = a +b c a b = 3,9568,887 =, (Der Betrag eines Kosinus kann nicht größer als werden!) 6

17 . Eine Person mit Augenhöhe von,6 m steht 7 m von einem Baum entfernt und visiert die Spitze des Baumes unter einem Winkel von 5 zur Horizontalen an. Wie hoch ist der Baum? rechtwinkliges Dreieck skizzieren: Grundseite a der Länge 7 m, senkrecht dazu Seite b, Hpothenuse c, a ist Ankathete des Winkels α = 5. Auge,6 Α 7 c b,6 Aus der Definition des Kosinus kann zunächst c bestimmt werden: c = 7 cos5 m 9,8 m Aus Satz des Pthagoras: b = c 7 m,6 m (Alternative: tanα = b a verwenden und damit b direkt bestimmen) Höhe des Baumes setzt sich aus b und der Augenhöhe zusammen: h = b+,6 m, m. Der Baum ist also ca., Meter hoch. 3. Eine gerade Pramide hat eine quadratische Grundfläche von cm. Die Seitenkanten (zwischen einer Ecke der Grundfläche und Spitze der Pramide) sind 3 cm lang. a) Wie hoch ist die Pramide? Skizzieren: Grundfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge a = cm und Diagonalen der Länge d d a Aus dem Satz des Pthagoras erhält man die Länge der Diagonalen: d = + cm = cm = cm, d = 5 cm. a neue Skizze: im Schnittpunkt der beiden Diagonalen steht die Pramidenhöhe h senkrecht auf der Grundfläche, es ergibt sich also ein auf einer Grundseite der Länge d stehendes rechtwinkliges Dreieck, senkrecht dazu Höhe h und einer Seitenkanten der Pramide als Hpothenuse. 3 d h 7

18 Aus dem Satz des Pthagoras folgt an diesem Dreieck: h +( d ) = 3 cm h = 3 ( d ) cm cm b) Wie groß ist der Winkel α zwischen Seitenflächen und Grundfläche? Winkel α zwischen Seitenflächen und Grundfläche: Skizziere rechtwinkliges Dreieck: Grundseite der Länge a = 5 cm ist Ankathete des gesuchten Winkels α, senkrecht zur Grundseite Kathete der Länge h, Hpothenuse s Α s h nach Pthagoras: s = ( a ) +h s = cm a Aus Definition des Kosinus: cosα = a s = 5 α 65. Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem n-eck? a) Skizzieren Sie beliebige n-ecke für n = 3,, 5 und bestimmen Sie deren Innenwinkelsumme! Skizzen liefern: n = 3 S 3 = 8, n = S = 36 = 8, n = 5 S 5 = 5 = 3 8 b) Stellen Sie eine Vermutung über die allgemeine Formel für die Innenwinkelsumme eines n-ecks in Abhängigkeit von n N\{;} auf. (Zusatz: Beweisen Sie Ihre Formel mit Vollständiger Induktion!) Vermutung: S n = (n ) 8 für n N, n 3 Beweis: M := {n N : S n = (n )8 } IA: n = 3 : (n )8 = (3 ) 8 = 8 IV: Sei n M bereits bewiesen, d.h. S n = (n )8 IS: Ein (n + )-Eck entsteht aus einem n-eck durch Anfügen eines Dreiecks, also ist nach dem IA S n+ = S n +8 S n+ = (n ) 8 +8 = (k ) 8 = [(k +) ] 8 Aus IA, IV und IS folgt die Behauptung M = N\{;}. 8

19 5. Wie lauten die Vektoren, die vom Punkt A(3,, ) aus a) zum Punkt B(7,,6), b) zum Koordinatenursprung, c) senkrecht auf die Koordinatenachsen zeigen? a) B(7,,6), AB = OB OA = (,,8) T b) zum Koordinatenursprung: AO = ( 3,,) T c) senkrecht auf die Koordinatenachsen,d.h. senkrechte Projektion auf die Achsen: A auf die -Achse projiziert ergibt A (3,,), gesuchter Vektor ist AA = (,,) T A auf die -Achse projiziert ergibt A (,,), gesuchter Vektor ist AA = ( 3,,) T A auf die z-achse projiziert ergibt A 3 (,, ), gesuchter Vektor ist AA 3 = ( 3,,) T 6. Bestimmen Sie für die Vektoren a und b jeweils das Skalarprodukt a b, das Vektorprodukt a b sowie den Winkel α, den die Vektoren a und b einschließen: a) a =, 6 3 b = b) a =, b = c) a =, b = d) a =, 6 b = 3 e) a =, b = 5 8 zu a) a b = ( ) = 8 a 6 b =, a b = a b cosα cosα = a b 8 a b = 7 ( ) α = arccos 73 7 b) a b = 3 + ( 5)+7 = 9

20 a 3 b = 8, cosα = a b 3 a b = α = 9 c) a b = a b = cosα = = ( α = arccos ) = (kein TR nötig!) d) a b = 3 8 = 63 a b = Vektoren parallel (gleiche od. entgegengesetzte Richtung) 63 cosα = = α = π = 8 (kein TR nötig!) 89 e) a b = + = 36 a 5 b = 37 cosα = a b a b = α 3 (mit TR) 7. Gegeben sind die Geraden ( ) ( ) g : = +t mit s,t R. ( ) ( ) und g : = +s. a) Geben Sie je drei Punkte an, die auf g bzw. g liegen. Punkte auf g : wähle t beliebig aus R: t = P (;), t = P (;3), t = P 3 (;) Punkte auf g : wähle s beliebig aus R: s = Q (;), s = Q (3;3), s = Q 3 (;5) b) Prüfen Sie, ob die Geraden einander schneiden und berechnen Sie alle Schnittpunkte (falls eistent)! Gleichsetzen der Geradengleichungen ergibt Gleichungssstem: () +t = +s () +t = +s S(; 5) (genau ein Schnittpunkt)

21 8. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g an, welche durch die Punkte P und P verläuft, falls a) P ( ;3; 5) und P (; ; ): 3 = = 3 +t 7, t R z 5 b) P (3; ;) und P (; ;): 3 = = +r, r R z Beachte: Es gibt unendlich viele verschiedene Lösungen! 9. Spannen die drei Punkte A(3,, ), B(,3,) und C(,, 6) ein Dreieck auf? Wie groß ist sein Flächeninhalt? AB AC = Somit spannen die drei Punkte ein Dreieck auf und A = ( ) + + = 5 3. Der Flächeninhalt beträgt 5 3 8,7 FE.. Es seien A(,,5), B(,,5) und C(,,9) die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden durch B. Welchen Winkel schließen die Vektoren AC und AB ein? Sei M Mittelpunkt der Seite AC. Die Länge der Seitenhalbierenden durch B ist die Länge des Vektors BM. Die Koordinaten des Punktes M sind M = A + C und z M = z A +z C, also M(,, 7). BM = OM OB = BA+ AM = A M Α C, M = A + C, Länge der Seitenhalbierenden durch B: BM = ( ) +( ) + = 3 B

22 Winkel α zwischen den Vektoren AC und AB: AC AB cosα = AC, α = arccos AC AB AB AC 8 AB. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A( ;6), B(5; ) und C( 3; 3). Welchen Mittelpunkt und welchen Radius hat der Umkreis des Dreiecks? A 6 Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. M b M 6 Dreiecksseite b in Vektorschreibweise: b = CA = Mittelsenkrechte ( ) auf ( b: ),5 9 m b = +t,5 C ( ) 9 Dreiecksseite a in Vektorschreibweise: a = CB = ( 8 Mittelsenkrechte ( ) ( auf a: ) m a = +s 8 Dreiecksseite c in Vektorschreibweise: c = AB = ) ( ) 7 7 Mittelsenkrechte ( ) ( auf) c:,5 7 m c = +r,5 7 Schnittpunkt bestimmen, z.b. durch gleichsetzen von m a und m b : M(,;,) Radius r u des Umkreises ist Abstand von M zu einem der Punkte A,B,C, z.b. zu A: r u = (,) +(6,) 5,8. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Ecken P(,,), Q(,,), R(,,) und S(,,). Bestimmen Sie einen Vektor, der zur Dreiecksfläche P QR senkrecht steht. M a B

23 Q. P S.5 z..5.5 R Das Volumen des Tetraeders beträgt des Volumens des Spates, welcher 6 von den drei Vektoren PQ, PR und P S aufgespannt wird. Das Volumen des Spates findet man als Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren: V = [ ] PS, PR, PQ = 6 6 ( ) PS PR PQ Nebenergebnis: der Vektor n = PR P Q steht senkrecht zur Dreiecksfläche P QR. PS =, PR =, PQ = und n = V = PS n = 6 6 Das Volumen des Tetraeders beträgt 3 VE. = 3 = 3. Tag 9 - Donnerstag,.. - Aufgaben und Lösungen Die Aufgaben und Lösungen für diesen Vorkurstag sind ausschließlich in den Seminaren erhältlich.