Wurzelfunktionen Aufgaben

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1 Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0 x lim f x k (x). x 0 Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall 0 x 9. b) Stellen Sie die Gleichung für die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt P ( y) auf. Stellen Sie eine Bedingung (Gleichung) für die x-koordinate eines Berührpunktes P einer weiteren Tangente t an den Graphen von f, die zur Tangente t orthogonal ist. c) Der Graph von f und die x-achse begrenzen eine Fläche A vollständig. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der bei der Rotation der Fläche A um die x-achse entsteht. d) Der Koordinatenursprung O, der Punkt A(a 0) (0 < a < 8) und der Punkt B(a f (a)) bestimmen ein Dreieck. Berechnen Sie den Wert von a, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. Lösungen:. a) N (0 0)), N ( k ) 0), f k (x) = 6 6kx k 3 kx = 0 = x = k 6 y Es liegt ein Vorzeichenwechsel von nach + für f an der Stelle x = k 6 ( ) k 6 Min 6 7 k3 k lim f(x) =, lim x x 0 f (x) = vor, = 6 8 x - Der Graph mündet orthogonal zur x-achse in den Punkt N (0 0)) ein. - b) f 3x 8 (x) = x, t : y = x 6, f (x) =, = 9x x+6 = 0 c) V = π 8 0 [ x (f (x)) dx =... = π 6 3 x3 +8x ] 8 0 =... = 6 3 π d) A = a (a ) a, A (a) = 8 a a ) a Vorzeichenwechsel von + nach für A an der Stelle a = = Maximum A Max = 9 6 = 8, (FE)

2 Ableitungen. Wie lautet die. Ableitung? a) f(x) = 0+3 k x b) f(x) = x +k c) f(x) = x( t x) d) f(x) = x k x e) f(x) = a b+x x f) f(x) = t x 3. Wie sind a und b zu wählen, damit die Funktion { a bx+? < x < f(x) = x+ x stetig und differenzierbar ist. Geben Sie dann auch den maximalen Definitionsbereich an. Lösungen. a) f 3 (x) = k x b) f (x) = x x +k c) f (x) = 3t x d) f (x) = x(k 3x ) k x e) f a (x) = ( b+x) 3 f) f (x) = t ( t x ) 3 3. a = 3 b = D = ] ; [ Beachte: An der Stelle x = ist f(x) nicht differenzierbar.

3 Wurzelgleichungen. Lösen Sie die Gleichungen algebraisch und mit dem GTR: a) x+ = +x b) x +8 = 3x c) 3 x+ 8 = x. Der Graph von f(x) = x sei G. Eine Fläche A(c) wird durch die x-achse, zwei Kurven, wobei G um Einheiten nach links, bzw. eine Einheit nach rechts verschoben wird, und der Geraden x = c begrenzt. Bestimmen Sie a) den Inhalt von A(c). b) das Volumen des Körpers, der entsteht, falls A(c) um die x-achse rotiert. Untersuchen Sie das Volumen für c. Lösungen. a) x = b) x = c) x =. a) A(c) = 3 3 (c+) 3 3 (c ) b) V(c) = 3 π +3πc c) V(c) falls c. 3

4 6. Gegeben ist die Funktion: f(x) = x +x, x R a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie, Monotonie und Grenzverhalten, d. h. lim x ± f(x). b) Ermitteln Sie die Umkehrfunktion samt Definitions- und Wertebereich. c) Wie lautet eine Stammfunktion von f (genaues Hinsehen genügt)? 7. Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen (k > 0) berühren: f(x) = kx, x 0 g(x) = kx, x k Lösungshinweise: 6. a) f(x) = f( x), Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. f (x) = lim x ( +x ) 3 > 0 = Graph ist monoton steigend. x +x = lim x x = lim +x x lim f(x) = (Symmetrie beachten) x b) f (x) = c) x x, f(x) dx = +x x + = D f = ] ; [, W f = R 7. x 0 = k, f(x 0) = g(x 0 ) =, f (x 0 ) = g (x 0 ) = k

5 Aufgaben 8. Für welches k schneiden sich die Graphen der Funktionen f(x) = x und g(x) = k x rechtwinklig (x > 0)? 9. Gegeben ist ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius r = LE. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an der Stelle x = 3? Lösungshinweise: 8. x 0 =, k =, g (x 0 ) = 9. t : y = 3 x+, t : y = 3 x

6 . Gefäß 0. Zur Modellierung eines zur x-achse rotationssymmetrischen Gefäßes aus Glas wird für das Äußere die Strecke verwendet, die die Punkte A(0 ) und B( ) verbindet, und für das Innere des Glases die Funktion f(x) = a x im Bereich x, LE in cm. a) Bestimmen Sie a so, dass das Füllvolumen 0πcm 3 beträgt. Für das Weitere sei a = 3. b) Ermitteln Sie für das Glas die Mantelfläche und das Volumen des benötigten Glasmaterials. c) An welcher Stelle ist die Entfernung von einem äußeren zu einem inneren Punkt, parallel zur y-achse gemessen, am geringsten? d) Ermitteln Sie die minimale Glasstärke. Lösungshinweise: 0. a) a = 3 (gerundet) b) M = 6,67 cm, V = 8πcm 3 c) x = 7,6 d) d min = 0,63 cm 6

7 . Gefäß, Lösungshinweise 0 y g(x) = 7 x x x x ist die Stelle der minimalen Funktionsdifferenz. x ist aber auch die Stelle, an der f(x) die Steigung der Geraden annimmt. Die minimale Glasstärke kann als Minimum der Funktion d(x) = (x x ) +(g(x) f(x )) bestimmt werden. Es liegt an der Stelle x = 7,30. Es sei an die Kegelstumpf-Formeln erinnert: M = (r +r )πs V = π h 3 (r +r r +r ) 7

8 . Gefäß. Zur Modellierung eines zur y-achse rotationssymmetrischen Gefäßes wird die Funktion { ax +b 0 x < 3 f(x) = mx+n 3 x 6 verwendet, wobei f(3) = 3 und f(6) = 7 sein soll. Die Stärke der Gefäßwand wird nicht berücksichtigt. a) Bestimmen Sie a, b, m und n so, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist. b) Ermitteln Sie das Volumen des Gefäßes. Lösungshinweise: y x a) f(x) = 9 x + 0 x < 3 3 x 3 x 6 b) V = 9π +8π 8

9 3. Gefäß. Zur Modellierung eines zur x-achse rotationssymmetrischen Gefäßes wird die (stückweise definierte) Funktion { mx+n 0 x < f(x) = a x b+c x 9 verwendet. Die Stärke der Gefäßwand wird nicht berücksichtigt. y x a) Bestimmen Sie m, n, a, b und c anhand der Zeichnung und erläutern Sie die Bedeutung dieser Parameter in Hinblick auf den Graphen von g(x) = x. b) Das Gefäß wird mit einer gleichmäßigen Zuflussrate mit Wasser gefüllt. Es dauert 0 Sekunden, bis das Gefäß randvoll ist. Welche Zeit wird dabei zum Füllen des geradlinig begrenzten unteren Teils benötigt? c) Skizzieren Sie den Füllgraphen. 9

10 3. Gefäß Lösungshinweise: { a) f(x) = x+3 0 x < x + x 9 b) V gesamt = 6 3 π π = 79π, Sekunden c) h 0 t Der Graph von g(x) = a x b+c ergibt sich aus dem Graphen der Wurzelfunktion f(x) = x durch horizontale Verschiebung um b (b > 0), nach links: x+b, nach rechts: x b, vertikale Verschiebung um c, vertikale Streckung/Stauchung um den Faktor a, auch Spiegelung an der x-achse für a < 0. 0

11 Maximaler Sehwinkel 3. Die Endpunkte der Strecke A(0 0 ) und B(0 0 8) ( bilden mit einem Punkt Q auf der Geraden g: x = 0 0 Ermitteln Sie die Extrema von α(t). ) + t( 0 0 ) den Winkel α(t). Lösungshinweise: α = arccos 7+t +t 6+t α t t max = ±3,87 t min = 0 α max = 36,9 α min = 9,

12 Krümmungskreis. Die Normalen eines Kreises schneiden sich im Mittelpunkt. (Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente verläuft.) Gegeben sei nun die Funktion f(x) = x 0 x. Ermitteln Sie die Normale an einer Stelle z, berechnen Sie den Schnittpunkt dieser Normalen mit der x-achse und ermitteln Sie den Punkt M, der sich für z 0 ergibt. M ist der Mittelpunkt eines Krümmungskreises an der Stelle x = 0. Zeichnen Sie den Graphen von f und den Krümmungskreis. Lösungshinweise: Gleichung der Normalen: y = 0 0 z (x z) + 3z 0 z 0 z Nullstelle: x z = 7 z 3 0 z lim x z = 8 z 0 y x -

13 Aufgaben, gemischt. Wie sind a und b zu wählen, damit die Funktion { ax+b 0 x < 8 f(x) = x+ x 8 stetig und differenzierbar ist. Lösung: a = b = 3

14 . Gefäß 6. Zur Modellierung eines zur x-achse rotationssymmetrischen Gefäßes wird die (stückweise definierte) Funktion { ax 3 +bx +cx+d 0 x < f(x) = n x verwendet (Längenangaben in cm). Die Stärke der Gefäßwand wird nicht berücksichtigt. f soll stetig und differenzierbar sein, in E (3 6) und E ( 3) sollen Extrema vorliegen. y x Ermitteln Sie f und das Volumen des Gefäßes. Ergebnisse: f(x) = 7 x3 3 x +8x+ 0 x < 3 x V = 07,30 cm 3

15 7. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = kx x gegeben. a) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie, Nullstellen und Extrema. b) An welchen Stellen ist f k nicht differenzierbar? Ermitteln Sie auch lim (x) und lim (x). x 0 f x 0 +f c) Skizzieren Sie den Graphen von f. Lösungshinweise a) D max = [ k; k] N (0 0), N /3 (± ) k 0, f (x) = kx x3 kx x k Max(± k ), Min(0 0) Das notwendige Kriterium f (x) = 0 gilt nur für differenzierbare Funktionen. Hier ist in einer Umgebung von x = 0 der Funktionswert an der Stelle x = 0 minimal. b) x = 0, x /3 = ± k kx x 3 lim (x) = lim x 0 +f x 0 + x k x = lim kx x 3 x 0 + x k x = lim k x x 0 k + x = k kx x 3 lim (x) = lim x 0 f x 0 x k x = lim kx x 3 x 0 x k x = lim k+x = x 0 k k x Dies Letztere folgt auch unmittelbar aus der y-achsensymmetrie. f ist in allen drei Nullstellen nicht differenzierbar. y c) - - x

16 8. Durch f(x) = x, D = [0; 0], ist ein zur x-achse rotationssymmetrischer Körper gegeben. Diesem Körper soll ein Kegelstumpf mit maximalem Volumen einbeschrieben werden. Welches Volumen hat dieser Kegelstumpf? Lösungshinweise 8. V = π h 3 (r +r r +r ) V(x) = π 3 (0 x) (x+ x 0+0) x max =,07 V max = 38,0VE 6

17 Wurzelfunktionen Übung 9. f(x) = x t x t > 0 D max = [ t; t] f (x) = t x t x f (x) = x3 3xt ( t x ) 3 N (0 0)), N /3 (±t 0)) E( ± t ± t ) W(0 0)) Ortskurve der Extrema: y = { x x 0 x x < 0 y x

18 Wurzelfunktionen Übung 0. f(x) = x t x t > 0 D max = [ t; t] f (x) = xt 3x 3 t x f (x) = t 9t x +6x ( t x ) 3 N (0 0)), N /3 (±t 0)) Max( ± t t3 3) Ortskurve der Maxima: y = x 3 x 0 x 3 x < 0 y x 8