Lösungen 0.1. g) x 1 = 1,82; x 2 = 1,9. + q = 0 x 2 p

Transkript

1 Lösungen 0.1 c) Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen: (Buch 11. Klasse) 98/1 a) x 1, = 1,3 b) x 1, = 3,5 c) x 1, = k d) x 1, =,5 e) x 1, = a f) x 1, = t / a) x 1 = 3; x = 4 b) x 1 = 3; x = c) x 1 = = ; x = d) x 1 = a; x = a e) x 1 = 1; x = 10 f) x 1 = ; x = g) x 1 = 7; x = 5 h) x 1 = 1 k ; x = k i) x 1 = ; x = 1,5 k) x 1, = t 98/3 a) x 1 = 1,5; x = 3 b) x 1 = 0,5; x = 0,5 c) x 1 = 9; x = 7 d) x 1, = 3 e) x 1 = ; x = 1 f) x 1 = 6; x = g) x 1 = 1,8; x = 1,9 h) x 1 = 1; x = 15 i) x 1, = 1 k) x 1 = 6; x = l) keine Lösung m) x 1 = 1; x = /4 a) x 1 = 0; x = 0,9 b) x 1 = 0; x = c) x 6 1 = 0; x = a d) x 1 = 0; x = 1,5 e) x 1 = 0; x = 0,8 f) x 1 = 0; x = 1 m 1 m 98/5 x + px + q = 0 x p + px + p p x = p + q = 0 x p + px + p p p q x + = q x = Betragsgleichungen: (Buch Klasse 11) 157/ a) L = { ; 3 3 } b) L = {3} c) L = { } d) L = {} 7 = p p Algebraische Gleichungen (faktorisieren, Substitution...): (Buch Klasse 11) 19/1 a) x 1 = 0; x = ; x 3 = alle einfach c) x 1, = ; x 3,4 = beide doppelt d) x 1, = 0 doppelt; x = 1; x 3 = 1 beide einfach e) x 1 = 0; x = ; x 3 = 8 alle einfach f) x 1,,3 = 0 dreifach; x 4 = 3 einfach g) x 1 = 0 einfach; x,3 = ; x 4,5 = beide doppelt h) x 1 = 0 einfach; keine weiteren Lösungen i) x 1 = ; x = beide einfach k) x 1,,3 = 0 dreifach; x 4,5 = 4 7 beide einfach Gleichungen mit Polynomdivision: (Buch 11. Klasse) 131/1 a) x 1 = 1 einfach; (x 3 x + x 1):(x 1) = x x + 1; keinen weiteren Lösungen b) x 1 = ; ( x 3 3x + 4x + 1):(x ) = x 5x 6; x = ; x 3 = 3 alle einfach c) x 1 = 3 einfach; (x 4 + x 3 8x 9x 9):(x 3) = x 3 + 4x + 4x + 3; x = 3 einfach; (x 3 + 4x + 4x + 3):(x + 3) = x + x + 1; keine weiteren Lösungen d) x 1 = 4; ( 6x 3 + 3x + 6x 8):(x 4) = 6x 1 x + ; x = ; x 3 3 = alle einfach e) x 1 = 1; (x 4 + x 3 13x 14x + 4):(x 1) = x 3 + 3x 10x 4; x = ; (x 3 + 3x 10x 4):(x + ) = x + x 1; x 3 = 3; x 4 = 4 alle einfach Bruchgleichungen: (Buch 1. Klasse) 45/1 a) 3 b) c) ; 1,5 d) 1; 4 e) 0,6 f) 0,5 g) 10 h) 4 q q

2 Goniometrische Gleichungen: (Buch 1. Klasse) /1 a) ; ; b) ; ; ; c) ; d) 0; ; ; e) ; f) ; / a) ; b) 0,5; (Probe nötig!) c) ; (Probe nötig!) f) 0; ; ; 4 4 d) 0;,4981 (Probe nötig!) e) 3 36/ a) b) ; c) ; ; ; d) ; e) ; f) 0; ; ; ; g) ; ; ; ; ; h) 0; ; i) k) 0 natürliche Exponential- und Logarithmusgleichungen: (von einem Übungsblatt) ln ln 4 1 6) a) x = b) x = 0 c) x = ln 3 d) x = e) x = 1 + ln f) x = ln ln g) x = 3 =,5 (1 ln + ln 3) h) x 1, = ln 3 0,4 ln 7) a) x = 0 b) x = ln c) x = 0 d) x = e) x 1 = ln ; x = ln 3 3 f) x 1 = ln ; keine weitere Lösung g) x 1 = ln 3; keine weitere Lsg. h) x 1 = ln ; x = ln 3 8) a) x = e h) x = 1 b) x = 3e c) x = e d) x = e e) x = f) x = 0 g) x 1, = 1 1 e 9) a) 9,96 b) 0,08 c) 3,1 d) 1,00 e) 0,50 f),04 g) 1,56 h) 3, i) 3,00 j) 1,51 k) 0,58 l) 1,31 d) Ungleichungen lösen Quadratische Ungleichungen: (Buch 11. Klasse) 107/1 a) L = ] ; 4] [; [ b) L = ] ; 3[ ]0,65; [ c) L = ] ;[ ]5; [ d) L = [ 6;] e) L = ] ; 1 [ ]; [ f) L = ] ; 6,5[ ]5; [ 3 g) L = ] 0,5;0[ h) L = ] 3;0[ / a) L = ] ;[ ]1; [ b) L = ] ; ] [ ; [ 1 c) L = ] ; [ ]6; [ d) L = ] ;0,5] [1,75; [ e) L = ]0;0,[ f) L = [ 15; 5] 3

3 einfache Betragsungleichungen (Umgebungen): (Buch 11. Klasse) 159/ a) ]3;5[ b) ] 1;3[ c) ] 15;5[ d) ]35;65[ e) ]740;700[ f) ]0,45;0,55[ Bruchungleichungen: (Buch 1. Klasse) 45/ a) ] 4;1[ b) ] 3;1[ c) ] ; [ [6; [ d) ] 4; 3] e) ] ;1] ]3; [ f) ] 8;,5[ g) ]0,30;1,5] h) [0,6; [ i) [40; [ k) ]0;00] e) Definitionsmengen bestimmen 006-AII D = R 007-AI (a > 0) D = ] ; 0[ ]; [ 007-AII a 0: D = R; a < 0: D = R\{ln } 008-AII D = R 010-AI (a > 0) D = ] ; 0[ ]0; [ 010-AII (a 0) D = R\{0} 011-AI D = R 011-AII (a > 0) D = R 01-AII a > 0: D = R; a = 0: D = R\{0}; a < 0: D = R\ ± 013-AI (a > 0) D = R\{0} 013-AII bei beiden: D = R 014-AII D = R 015-AI a 0: D = R; a < 0: D = R\{ln } bzw. D = R 015-AII D = R 016-AI (a > 0) D = ] ; [\{0} 016-AII D = R\{ 1; 3} bzw. D = R 017-AI D = R 017-AII (a > 0) D = R \ 018-AI (a > 0) D = R\ bzw. D = R 018-AII bei beiden: D = R a) Wiederholung 113/1 a) D symmetrisch zu 0 und f 1 (x) =... = f 1 (x) b) D symmetrisch zu 0 und f (x) =... = f (x) c) D symmetrisch zu 0 und f 3 (x) =... = f 3 (x) d) D symmetrisch zu 0 und f 4 (x) =... = f 4 (x) e) D symmetrisch zu 0 und f 5 (x) =... = f 5 (x) Lösungen / a) D symmetrisch zu 0 und g 1 (x) =... = g 1 (x) ==> G g1 ist symmetrisch zur y-achse b) keine Symmetrie (offensichtlich keine zum KS; außerdem ist x 1 = die einzige Nullstelle, und G g ist weder symmetrisch zu x = noch zu P( 0) ) c) D symmetrisch zu 0 und g 3 (x) =... = g 3 (x) ==> G g3 ist symmetrisch zum Ursprung

4 d) g 4 (x) =... = x 3x Dies beschreibt eine Parabel mit Scheitel bei x s = 1,5. Zu erwarten ist also: G g4 ist symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x = 1,5. Da aber D = \{3} nicht symmetrisch zur 1,5 ist, hat der Graph keine Symmetrie. e) g 5 (x) =... = x. Dies beschreibt die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten. Diese ist eigentlich symmetrisch zu jedem Punkt, der auf ihr liegt. D = \{3; 3} ist aber nur symmetrisch zu 0; deshalb ist der Graph nur symmetrisch zum Ursprung. b) Symmetrie zu beliebigen senkrechten Geraden 113/1 f) f 6 (1 + x) =... = f 6 (1 x) und D symmetrisch zu 1 j) günstig: erst Funktionsterm vereinfachen! f 10 (x) = a x+1 x+a f 10 ( (a+1) + x) =... = f 10( (a+1) x) und D symmetrisch zu (a+1) 113/ d) g 4 (1,5 + x) =... = g 4 (1,5 x); aber: siehe oben: keine Symmetrie! f) g 5 (a + x) =... = g 5 (a x) und D symmetrisch zu a ==> G g6 ist symmetrisch zu x = a c) Symmetrie zu beliebigen Punkten 113/1 h) ( f 8(1 + x) + f 8 (1 x) ) =... = =... 1 und D symmetrisch zu i) günstig: erst Funktionsterm vereinfachen! f 9 (x) = ( f 9(1 + x) + f 9 (1 x) ) =... = () + () =... = 1 und D symmetrisch zu 1

5 Lösungen 0.3 a) Grenzwert 006-AII: a > 0: lim () = 0 ; lim () = a = 0: lim () = lim () = a < 0: lim () = ; lim () = AI: a > 0: lim () = 0 ; lim () = 0 lim () = ; lim () = ( a = 0: f 0 (x) = 0 für x 0 a < 0: lim () = 0 ; lim () = 0 lim () = ; lim () = ) 007-AII: a > 0: lim () = 0 ; lim () = 4 a = 0: f 0 (x) = 4 a < 0: lim () = 0 ; lim () = 4 ; lim () = ; lim () = 008-AII: a > 0: lim () = 0 ; lim () = 0 a = 0: lim () = lim () = 0 a < 0: lim () = 0 ; lim () = AI: nur a > 0 möglich lim () = lim () = ; lim () = lim () = 010-AII: a = 0 nicht möglich a > 0: lim () = lim () = ; lim () = lim () = a < 0: lim () = lim () = ; lim () = lim () = 011-AI: a > 0: lim () = 1 ; a = 0: g 0 (x) = 1 a < 0: lim () = 1 ; lim () = lim () = 011-AII: nur a 0 möglich a > 0: lim () = ; lim () = ( a < 0: lim () = ; lim () = ) 01-AII: a > 0: lim () = lim () = a = 0: lim () = lim () = 0 ; a < 0: lim () = lim () = ; lim () = lim () =

6 lim / () = ; lim / () = ; lim / () = ; lim / () = 013-AI: nur a > 0 möglich lim () = lim () = ln ; lim () = lim () = 013-AII: a > 0: lim () = 0 ; lim () = a = 0: lim () = lim () = a < 0: lim () = ; lim () = AII: a > 1: lim () = 0 ; a = 1: lim () = 4 ; a < 1: lim () = ; lim () = 0 lim () = 0 lim () = AI: a > 0: lim () = 0 ; lim () = 0 a = 0: lim () = 0 ; lim () = a < 0: lim () = 0 ; lim () = 0 ; lim () = ; lim () = lim () = lim () = 015-AII: lim () = ; lim () = 0 b) Ableitung 006-AII: f a '(x) = (a x + (a + 1) x ) e a (3 x) ; f a ''(x) = (a x a (3 x) a (a + ) x (a + 1)) e 007-AI: f a '(x) = () ; 007-AII: f a '(x) = ( ) ; f a''(x) = () () f a''(x) = ( ) 008-AII: f a '(x) = () ( ) ; f a ''(x) = AI: f a '(x) = ; f a''(x) = ( ) ( ) 010-AII: f a '(x) = ; f a''(x) = 011-AI: g a '(x) = a e x + a e x ; g a ''(x) = a e x 4a e x 011-AII: f a '(x) = ; f a''(x) = ( )

7 01-AII: f a '(x) = 3 ( ) ; f a''(x) = 3 ( ) ( ) 013-AI: f a '(x) = ; f a''(x) = ( ) ( ) 013-AII: f a '(x) = (ax + x + a 3 ) e ax ; f a ''(x) = (a x 4ax a 4 + ) e ax h'(x) = sin ; h''(x) = cos 014-AII: 015-AI: f a '(x) = (() ) ( ) ; f a ''(x) =... f a '(x) = ( ) ; f ( ) a ''(x) = ( ) ( ) k'(x) = 1 e x10 ; k''(x) = 4 e x AII: k'(x) = (x 1) e x ; k''(x) = x e x a) Wiederholung Lösungen /9 a) Nullstellen: x 1 = /; x = 3/ TiP(3/4 / ); HoP(7/4 / ) ( WeP 1 (0 1); ) WeP ( e (; WeP 3 ( e b) c) P k (k e k ) mit k d) Berührpunkte, da f a '(k) = g a '(k)

8 115/11 a) D f = + b) lim [ (ln ) ( ) ] = lim = lim () = (mit Ergebnis aus b); lim c) lim d) f '(x) = = lim ( ln ) = 0 (FS!) () = 0 ( (ln ( ( ) ) ) + ) = (ln ( ( ) ) ) + ( ) + 1 = ((ln ( ( ) ) ) + ln + 1) = ( ( ) ) e) Nenner von f ' ist > 0, Zähler ist 0; Zähler = 0 nur für x 1 = 1/e ==> G f ist smf in ]0;1/e] und [1/e; [ ==> TeP bei 1/e;... P(1/e e/) f) W f = + wegen Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge und Monotonie (und Stetigkeit) g) y = f(1) = 1; m = f '(1) = 1 ==> t: y = x + h) G t G f

9 b) Ortskurven 114/6 a) HoP(0 0) TiP 1 (a 4a 4 ) ==> y = 0,5x 4 (x > 0); TiP (0,5a 3a 4 /3) ==> y = 1,5x 4 (x < 0) b) HoP(0 /a) ==> x = 0 (y < 0) c) TiP(0 0); HoP 1, (± a a ) ==> y = 0,5x d) HoP ==> y = x (x > 0); TiP ==> y = x (x < 0) e) 0 <a<1: TiP 1, ± 1 1 ==> y = x (0<y<1); HoP(0 ln a) ==> x = 0 (y > 0) a 1: TiP(0 ln a) ==> x = 0 (y < 0) f) TiP(e a a ) ==> y = (ln x) (x > 0) 114/7 a) WeP 1 (a 0,375a 4 ) ==> y = 0,375x 4 (x > 0); WeP (a a 4 ) ==> y = 0,15x 4 (x < 0) b) WeP 1, ± ==> y = x c) WeP(e 1+a 1 a ) ==> y = ln x ( ln x) (x > 0) d) WeP 1, (± ln(a) ) ==> y = ln x ln e) WeP 1, ± ==> y = 114/8 (exakt: 0,5 arctan 4) HoP( 0,669 +, TiP( 0,669 +, ) (k gerade) ==> x = ) (k ungerade) ==> x = 115/10 c) Nullstellen: x 1 = 1; x = e k/ ; TiP(e k/4 k /8); WeP(e 1+k/4 k /8) d) da f k (x) für x 0 und für x (und f stetig) ==> TiP ist absolut Ortskurve: y = (ln x) mit x > 1 x > 0 und y < 0 ==> alle absoluten TiP liegen im IV. Quadranten f)

10 116/13 a) Nullstelle: x 1 = 0; G a symmetrisch zum Ursprung; f a (x) 0 für x b) (vgl. 6d!) HoP c) (vgl. 6d!) y = x (x 0) ; TiP ; WeP 1(0 0); WeP,3 ± d) y = 4 (1 at ) (x t) + 4t (siehe i)!) e) a = 1/6 ==> WeP (3 1 e 3/ ) ==> w: y = 8 e 3/ (x 3) + 1 e 3/ y = 0 ==>... x = 4,5 f) nächste Seite i) t: y = 4 / (1 t /3) (x t) + 4t / ±4 S einsetzen ==>... t 3 9t + 7 = 0 t 1 = 3 bekannt; (t 3 9t + 7):(t 3) =...; t 3t 9 = 0 ==> t = 3 = t 1 ; t 3 = 1,5 f) rot: Graph von f; grün: k; schwarz: w 117/15 a) f a (ln + d) = ; f a(ln d) = z. B. durch Erweitern des zweiten Terms mit e d sieht man, dass beide Terme gleich sind (oder: zeige erst (Kürzen mit e x,...), dass f a (x) = = ist ) ( ) ( ) da außerdem D symmetrisch zu ln ist ==> G a ist symmetrisch zu x = ln b) f a (x) 0 + für x ± f a '(x) = ( ) ==> G ( ) a ist sms in ] ; ln ], smf in [ln ; [ ==> HoP(ln ) ==> y = ex

11 c), j) rot: G 1 ; grün: G 0,5 ; schwarz: Ortskurve der ExP; blau: G F Lösungen 0.5 a) Grundbegriffe 69/1 a) 4585 b) 7795 c) d) / a) (vgl. 6a!) f '(x) = 0,5x 1 > 0 in ][ ==> G f ist sms in I; O 5 = 16,16; U 5 = 1,96 b) g'(x) = x 1 > 0 in [;4] ==> G g ist sms in I; O 4 = 5,5; U 4 = 6,5 69/3 Das Intervall [a;b] hat die Breite ba; wenn man es in n Streifen unterteilt, hat jeder einzelne Streifen also die Breite =. Der erste Streifen geht dann von a bis a + x, der zweite von a + x bis a + x usw., der letzte von a + (n1) x bis a + n x = b. a) Weil f smz ist, ist im ersten Streifen f(a) = f(a + 0 x) der kleinste Funktionswert, im zweiten Streifen f(a + x) = f(a + 1 x) usw., im letzten f(a + (n1) x). Die Flächeninhalte der Rechtecke sind also f(a + 0 x) x, f(a + 1 x) x,..., f(a + (n1) x) x. Wenn man alle diese Flächeninhalte aufsummiert, erhält man U n. b) Weil f smz ist, ist im ersten Streifen f(a + 1 x) der größte Funktionswert, im zweiten Streifen f(a + x) usw., im letzten f(a + n x). Die Flächeninhalte der Rechtecke sind also f(a + 1 x) x, f(a + x) x,..., f(a + n x) x. Wenn man alle diese Flächeninhalte aufsummiert, erhält man O n. 69/4 Man vertauscht die beiden Formeln einfach (weil nun jeweils der größte Funktionswert am linken Rand der Streifen ist und der kleinste am rechten Rand): U n = ( + ) und O n = ( + ) 69/5 U 5 4,79; O 5 6,58 69/7 b) O 4 1,979; U 4 1,74

12 69/6 a) (vgl. a!) G f ist sms in ] ; ], smf in [ ; [ O n =... = + ; U n =... = b) G g ist sms in ] ; 0,5], smf in [ 0,5; [ O n =... = + ; U n =... = b) Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 7/5 a) Nullstellen von f: x 1 = ; x = 3; ExP = TiP = S(0,5 6,5) F(0) = () = 0 ==> Nullstelle x 1 = 0 mit G f folgt: weitere Nullstellen x < ; x 3 > 3 b) aus VZ von f folgt: G F ist sms in ] ; ] und [3; [, smf in [; 3] ==> HoP bei ; TiP bei 3 aus Monotonie von G f folgt: G F ist linksgekrümmt in ] ; 0,5], rechtsgekrümmt in [0,5; [ ==> WeP bei 0,5 7/6 a) Nullstellen von f: x 1 = 0; x = 3; x 3 = 6 TiP( ,73 5,0); HoP(3 3 1,7 5,0) F(3) = () = 0 ==> Nullstelle x 1, = 3 (weil auch einf. Nst. von f ==> doppelt) mit G f folgt: weitere Nullstellen x 3 < ; x 4 > 6

13 b) aus VZ von f folgt: G F ist sms in [0; 3] und [6; [, smf in ] ; 0] und [; 6] ==> HoP bei 3 (==> Nullstelle 3 ist doppelt!); TiP bei 0 und bei 6 aus Monotonie von G f folgt: G F ist linksgekrümmt in ] ; 3 3] und [3 + 3; [, rechtsgekrümmt in [3 3; 3 + 3] ==> WeP bei 3 3 und bei /8 a) D F = ] 1; [ F(0) = () = 0 ==> Nullstelle x 1, = 0 (weil auch einf. Nst. von f ==> doppelt) einzige Nullstelle! aus VZ von f folgt: G F ist sms in ] 1; 0], smf in [0; [ ==> HoP bei 0 F(0) = 0 (Nullstelle, s.o.) ==> HoP(0 0) aus Monotonie von G f folgt: G F ist rechtsgekrümmt in ] ; 1], linksgekrümmt in [1; [ ==> WeP bei 1 aus Zeichnung: F(1) = Flächeninhalt zwischen 0 und 1 ==> WeP(0 ) 73/30 a) D f = ]1; [; Nullstelle: x 1, = G f ist sms in ]1; ], smf in [; [; HoP( 0) b) aus Monotonie und HoP in (a) folgt: f(x) 0 ==> G F ist smf in ]1; ] und in [; [ ==> keine ExP (aber TeP bei ) F() = () = 0 ==> Nullstelle x 1,,3 = (dreifach, weil dort TeP) wg. Monotonie: einzige Nullstelle aus Monotonie von G f folgt: G F ist linksgekrümmt in ] 1; ], rechtsgekrümmt in [; [ ==> WeP bei (= TeP) 73/31 a) Zähler von f a 0 ==> f a hat keine Nullstellen; G fa ist smf in b) f a (x) > 0 ==> G F ist sms in F(0) = () = 0 ==> Nullstelle x 1 = 0; wg. Monotonie: einzige Nullstelle aus Monotonie von G f folgt: G F ist rechtsgekrümmt in ==> keine WeP 117/15 d) aus (c): f(x) > 0 ==> G F ist sms in F(x) = () = ( ) (G 1 symmetrisch zur y-achse ==> f 1 (t) = f 1 (t) ) = [ ( )] (F ist Stammfunktion zu f 1 ; Regel für Stammfunktion von f(ax+b)!) = F(x)) + F(0) = F(x) und D F symmetrisch zu 0 ==> G F ist symmetrisch zum Ursprung e) G 1 hat genau einen ExP bei 0 ==> G F hat genau einen WeP bei 0 F(0) = () = 0 ==> WeP(0 0) F'(0) = f 1 (0) = 1 ==> w: y = x f) F(b) ist der Inhalt der Fläche zwischen G 1 und der x-achse zwischen x = 0 und x = b. Da G 1 für x > 0 smf ist, liegt ein Rechteck von x = 0 bis x = b mit Höhe f 1 (b) sicher unter dem Graph, also ist sein Flächeninhalt b f 1 (b) sicher kleiner als F(b). da F(0) = 0 und f 1 (0) = 1 ==> f 1 (0) > F(0) mit gegebener Formel folgt: F(1) > 1 f 1 (1), also f 1 (1) F(1) ==> d(x) := f 1 (x) F(x) hat in [0;1] also einen VZW; stetig ==> mind. eine Nullstelle da in [0;1] G 1 smf ist und G F sms ==> G d ist in [0;1] smf ==> genau eine Nullstelle ==> genau ein Schnittpunkt von G 1 und G F

14 c) Berechnung von Integralen 69/8 a) 1,5x b) x + 5x c) x3 d) e) x x f) x 5 + g) 70/9 h) a) 3 b) + c) sin(5 3) d) cos(3 ) 70/10 a) x 3 x + 7x + C b) x + C c) cos x + 3 sin x + C d) cos x + x + C 7/5 c) F(x) = x3 x 6x Nullstellen: x 1 = 0; x,3 = ± ==> x 5,06; x 3 3,56 HoP( ); TiP(3 13,5); WeP(0,5 3 ) 7/6 c) F(x) = (x4 1x x 81) Nullstellen: x 1, = 3; x 3,4 = 3±3 ==> x 7,3; x 3 1,3 HoP(3 0); TiP 1 (0 10,15); TiP (6 10,15); WeP 1, (3± 3 5,65)

15 94/1 a) x3 + x + C h) + C o) ex + C b) cos + + C i) + C p) () + C c) sin + x + C j) ln x C d) tan x + C k) ln ln x + C l) ln cos x + C f) + C m) e x + C g) ln 4x C n) + C u) + D 96/11 a) 0,5 ln 4x 1 + C d) 0,5 ln x 6x C g) ln (x 3) C b) ln 3x + C e) ln 3x + 3x C h) ln 4x3 + 3x C c) 1,5 ln 1 x + C f) ) C i) ln 4x4 + 3x 5 + C d) Anwendungen 70/11 a) x 1 = 5; x = ; A = 57 b) x 1 = ; x = 1,5; A = c) x 1 = ; x = 7; A = 11,5 d) x 1 = 1; x = 5; A = 18 e) x 1 = 3; x = ; A = f) x 1 = ; x = 4; A = 10 g) x 1 = 1; x = 0; x 3 = 3; A = 11 h) x 1,,3 = ; es wird keine Fläche eingeschlossen! i) x 1, = 1; x 3 = 5; A = 1,6 j) x 1 = ; x,3 = 5; A = 1,35 k) x 1 = 5; x = 1; x 3 = 1; A = 7, l) x 1 3,568; es wird keine Fläche eingeschlossen! m) x 1 = 3; x = ; x 3 = 1; A = 5 n) x 1 = 1; x = ; x 3 = 4; A = 10 o) x 1 = 8; x = ; x 3 = 1; A = 81 p) x 1 = 3; x = 0; x 3,4 = ; A = 15 q) x 1, = ±3; x 3,4 = ±; A = 3 r) x 1 = ±6; x = ± 3; A = 44,8 3 8,8 48,80 s) x 1, = ±; A = 19, t) x 1 = ± 5; A = 5,99 70/1 70/13 a) 11 ; Verhältnis 30:49 0,61 b) 1; Verhältnis 5:153 0,34

16 70/14 a) jeweils: Graph von f grün, Graph von g schwarz a = : a = 4: b) A(a) = 1 + c) a 0,53 oder a 50,94 70/15 a = ±4 71/0 (Anmerkung: Der Graph von f ist symmetrisch zu t = 30!) s 11,85 km; x 6,53 km 71/1 a) 4,48 J b) 5,6 J c) W = () = 71/ v(t) =... = 3t 3 16t + 187t () = 0,75T 4 54T ,5T 0,75T 4 54T ,5T = durch Probieren: T = 4 (Graph skizzieren ==> nur eine Lösung) = =

17 7f/7 a) A gesamt = F(7) F(1) 7,6; A links = F(4) F(1),6 ==> A rechts 5 ==> Verhältnis 1: b) B = F(6) F(3) 4,5 c) G'(x) =... = f(x) (a) A gesamt = G(7) G(1) = ln 7 7,6; A links = G(4) G(1) = ln 4,54; A rechts = G(7) G(4) = ln 7 4 ln 4 5,08 ==> Verhältnis: 0,501 1: (b) B = G(6) G(3) = ln 6 3 ln 3 4,45 113/3 Lösungen 0.6 mit Falz: A(r) = (r + 0,75) + r + 1; A(r) für r und für r 0 mit Newton-Verfahren: absolut minimal für r 3,9 ==> h 10,35; A 417 ohne Falz: A(r) = r r + ; A(r) für r und für r 0 absolut minimal für r 4,30 ==> h 8,61; A 349 ( 16% weniger Verbrauch!) 113/4 Abwurf im Ursprung: x(t) = v 0 cos( t; y(t) = 0,5 g t + v 0 sin( t ==> y = 0,5 g + tan() x Hang: y = x Schnitt ==> (x 1 = 0; ) x() = (tan cos cos ) = (sin( cos( 1) maximal für = 0,375 = 67,5 x() 0 für und ==> absolutes Maximum allgemein: Bei einem Hang der Steigung m erhält man die größte Wurfweite, wenn für den Abwurfwinkel tan( = 1/m gilt. Dabei muss arctan(m) sein. 113f/5 a) Grundseite = x; Höhe = g(x) ==> F(x) =... b) F'(x) = () () () () c) x 3,4; F 0,78 117/17 D P = [0; [; P'(R) =... = () = 3 () ( ) () () () =... Nenner ist in D P positiv; Zähler beschreibt fallende Gerade mit Nullstelle bei R = R i ==> P' hat VZW bei R = R i von + nach ==> P hat dort ein relatives Maximum P(R) 0 für R 0 und für R ==> absolutes Maximum von P bei R = R i

18 117/18 Gleichgewichtslage: y = 0 ==> t = 0,5; Umkehrpunkt: = 0 ==> t = 1 118/19 a) g(x) = 3x b) zunehmend für 0 < t < 3 und 9 < t < 1, abnehmend für 3 < t < 9 c) bei t = 0 und t = 1 d) bei t = 6± 3 (,54 und 9,46) 118/0 a) u(t) = e 0,1t (0,05 sin(100t) + 50 cos(100t) ) (u in V) b) absolutes Maximum bei t 0,005, darauffolgendes bei 0,015 zweites Maximum um etwa 0,% kleiner als erstes (absolutes) 118/1 vgl. Buch 1. Klasse T 35/8 und Prüfung T1 1999! Graph ist symmetrisch zu x = L/! a) Nullstellen: x 1 = 0; x = 0,8 (x 3,4 = 0,4± 0,8 D) TiP(0,4 0,18) ( HoP bei x,3 = 0,4± 0,48 D) ( WeP 1 (0 0); WeP (0,8 0) Randextrema von f '!) b) f minimal bei x = L/; einziges Extremum in D ==> absolutes Minimum 118/ Maxima für t = (arctan 40 + k ) / 8 0,193 + k / 8 (k ); abs. Max. für k = 0 118/3 Aufgabenstellung unklar! falls die Ausdehnung in y-richtung gemeint ist: max. 19, min. 5 71/19 Koordinatensystem: y-achse in der Mitte der Rückwand a) ursprüngliche Decke:... d(x) = 0,15 x + 15; Zwischendecke:... z(x) = a x 100 a (() ()) = 10 ==>... a = 0,09 b) eingesparte Heizkosten pro Jahr: etwa 6680 ==> knapp 3 Jahre c) z(9) 1,71 (m) d) d(x) = 7,5 ==> x = ±5 7,05; V = 50 (() 7,5) = 500 d(1),85

19 71/3 13 m 7/4 a) verwende z. B. den y-achsenabschnitt ==> blau: G f ; rot: G g b) Brücken: 100 m und 300 m; Fußweg gesamt: 600 m; nicht auf Brücken: 00 m c) Vom Fußweg ist das Nordufer maximal 180 m entfernt (bei x = 0), von der rechten Brücke maximal etwa 8 m. d) y = 0,55x 4,375; von Zugangsstraße zu Fußweg etwa 941 m; P F (8 0); P Z(0 4,375)