Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt

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1 Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben Musterabitur S Musterabitur B / S Musterabitur B / S Musterabitur D / S Graphen gebrochen rationaler Funktionen Gk 2002 I, Nr Abituraufgaben I Teil II Teil Teil

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5 Kapitel 1 Modellierungsaufgaben 1.1 Musterabitur S60 K(t) = 5t e 0,2t t 0 (a) Aus der Grafik: t [1; 14] (b) K (t) = 5 e 0,2t + 5t ( 0, 2) e 0,2t = e 0,2t (5 t) K (t) = 0 t = 5 K(5) = 25 e 1 = 25 e 9, 2 (c) K (t) = 0, 2 e 0,2t (5 t) + e 0,2t ( 1) = e 0,2t ( 1 + 0, 2t 1) = e 0,2t (0, 2t 2) K (t) = 0 t = 10 Einzige Nullstelle der zweiten Ableitung. Vorzeichentabelle für K (t): VZT t < 10 t = < t K (t) G K HOP 5

6 K (10) = 5 0, 68 e2 (d) Gesucht ist die Tangente an den Graph im Punkt P(10;K(10)): K(10) = 50 e 2 T (x) = mx + t m = K (10) = 5 e 2 Also muss nur noch t bestimmt werden (Einsetzen von m und t in die Tangentengleichung): 50 e 2 = 5 e t t = 100 e 2 13, 5 Die vollständige Gleichung der Tangente lautet also: T (x) = 5 e 2 x e 2 Wenn das Medikament vollständig abgebaut ist, dann ist die Konzentration 0: T (x) = 0 0 = 5 e 2 x e e 2 = 5x e 2 x = 20 Bei einem linearen Verlauf ab t = 10 wäre das Medikament nach 20h abgebaut. (e) Addiere die um t=12 verschobene Funktion auf den bisherigen Funktionsterm: G(t) = 5t e 0,2t + 5(t 12) e 0,2(t 12) 1.2 Musterabitur B / S61 a(t) = 1, 12 t(t 8)(t 20) 6

7 1.3 Musterabitur B / S72 g(x) = 2(x+2) 3 2(x+2) 4 1 = 2x+4 3 2x = 2x+1 2x 1 = 2x 2x + 1 2x 1 = 1 2x g(x) = x eine um Faktor 2 in y-richtung gestauchte Normalhyperbel. Symmetrieuntersuchung an g(x): g( x) = ( x) = x = g(x) (punktsymmetrisch) 1.4 Musterabitur D / S73 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 }{{} Terassenpunkt? f (x 0 ) = 0 waagerechte Tangente in x 0 f (x 0 ) = 0 keine Krümmung in x 0 schreibt keinen Richtungswechsel für f (x) um x 0 herum vor. (Also ist z.b. Linkskrümmung, keine Krümmung, Linkskrümmung möglich) Gegenbeispiel: f(x) = x 4 bei x 0 = 0: f (x) = 4x 3 mit f (0) = 0 und f (x) = 12x 2 mit f (0) = 0 Der Graph hat aber in x = 0 keinen Terassenpunkt: WIDERSPRUCH: < 1.5 Graphen gebrochen rationaler Funktionen Gk 2002 I, Nr 1 f(x) = x x 1 (a) Verhalten an den Rändern: lim f(x) x f(x) lim x Asymptoten: a(x) = x 2 da der Term 4 x 1 sich Null annähert. 7

8 (b) f(x) = x (x 1) 1 f (x) = 1 4 (x 1) 2 = 1 4 (x 1) 2 f (x) = 0 4 (x 1) 2 = 1 4 = (x 1) 2 x 1 = ±2 x 1 = 1; x 2 = 3; Zur Art der Extrema, probiere f (x) f (x) = 8 (x 1) 3 = 8 (x 1) 3 f ( 1) = 1 < 0; (HOP) f (3) = +1 > 0 (TIP) Koordinaten: f( 1) = = 5 f(3) = = 3 8

9 Kapitel 2 Abituraufgaben I Teil 1 1 subsectionteil II Teil 1 1 Skizzieren Sie den Graphen der in R definierten Funktion f : x 4 x 2 Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der x-achse einschließt. Lösung Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel: 9

10 (a) Bestimmung der Nullstellen: 4 x 2 = 0 (2 x)(2 + x) = 0 x 1/2 = ±2 (b) Bestimmung des Flächeninhaltes: +2 [ ] +2 f(x)dx = 4x x3 3 = ( ) (4 ( 2) 3 ) = = = = Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion f : x 3 x an und bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von f, deren Graph den Punkt (1 4) enthält. Lösung (a) Definitionsbereich: Die Wurzelfunktion ist nur für die Null und positive Argumente definiert. (Keine mit sich selbst multiplizierte reelle Zahl kann negativ sein). D f = R + 0 (b) Stammfunktion: Schreibe f(x) als Potenzfunktion: f(x) = 3 x 1 2 Dann muss die Stammfunktion eine um eins erhöhte Potenz erhalten: F (x) = 3 13 x C = x C = 2 x C 2 F (1) = 4 also C = 4 C = 2 also: F (x) = 2 x Betrachtet wird die Funktion f : x sinx x 2 mit Definitionsmenge R\ {0}. a) Geben Sie die Nullstellen von f an. b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und geben Sie den Grenzwert von f für x an. c) Bestimmen Sie den Term der Ableitung von f. Lösung a) Nullstellen: Die Nullstellen sind die Nullstellen des Zählers. Gesucht ist also die Lösung der 10

11 Gleichung sin(x) = 0 also: x k = k π mit k Z\ {0} (da der Nenner von f(x) nicht 0 sein darf!) b) Symmetrieverhalten: f( x) = sin( x) ( x) 2 (Punktsymmetrie!) = sin(x) x 2 = sin(x) x 2 = f(x) Grenzwert von f für x : Die Werte der Sinusfunktion liegen immer zwischen -1 und +1. lim x x2 Wenn x größer wird teilt man also eine Zahl die im Betrag höchstens 1 werden kann durch immer größere Zahlen. Somit geht der gesamte Wert gegen 0: sin(x) lim 0 x x 2 c) Zur Bestimmung von f (x): Berechnung mit Hilfe der Quotientenregel: f (x) = cos(x) x2 sin(x) 2x x 4 = x cos(x) 2sin(x) x 3 4 Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge R\ {1} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y = 2 als Asymptote besitzt und in x = 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat. Lösung Eine Polstelle bei x = 1 bedeutet, dass der Nenner für x = 1 Null sein muss. Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bedeutet, dass diese Nullstelle eine geraden Exponenten besitzen muss: f 1 (x) = 1 (x 1) 2 Asymptote y = 2 bedeutet, dass der Graph sich für große x nicht der x-achse (y = 0) annähert, sondern der waagerechten Gerade y = 2. Das kann man erreichen, indem man zu jedem y-wert zwei addiert: 11

12 f(x) = 1 (x 1 2 ) Teil 2 1 Gegeben ist die in R definierte Funktion f : x 6 e 0,5x + x. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E(x E y E ) von G f. (zur Kontrolle : x E = 2 ln3 ; f (x) = 1, 5 e 0,5x ) b) Geben Sie das Verhalten von f für x an. Machen Sie plausibel, dass G f für x + die Gerade mit der Gleichung y = x als schräge Asymptote besitzt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Punkt (0 6). Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem. Lösung a) Bilde die erste und zweite Ableitung: f (x) = 0, 5 6 e 0,5x + 1 = 1 3 e 0,5x f (x) = (0, 5) ( 3) e 0,5x = 1, 5 e 0,5x Nullstellen der ersten Ableitung: 12

13 f (x) = 0 = 1 3 e 0,5x 1 = 3 e 0,5x e 0,5x = 1 3 0, 5x = ln(3 1 ) x = ln(3) 0,5 = 2ln(3) 2, 2 Art des Extremwertes: f (0) = 1 3 = 2 < 0, die Funktion fällt streng monoton f (3) = 0, 33 > 0, die Funktion steigt streng monoton Es handelt sich also um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten: f(2 ln(3)) = 6 e 0,5 2 ln(3) + 2 ln(3) = 6 e ln(3) + 2 ln(3) = 6 (e ln(3)) ln(3) = 6 1 e ln(3) + 2 ln(3) = ln(3) = ln(3) E(2 ln(3) ln(3)) b) Verhalten im Unendlichen: lim 6 x e 0,5x + x + (da die Exponentialfunktion stärker steigt als jede Potenzfunktion, also auch stärker als x 1 ) lim 6 x + e 0,5x + x x x (da die Werte der negativen Exponentialfunktion für große x beliebig klein werden) c) Tangente bei x=0: T (x) = mx + t t ist bereits bekannt, da die y-achse genau in diesem Punkt sowieso geschnitten wird: t = 6 Die Steigung erhält man über die Ableitungsfunktion an der Stelle 0: m = f (0) = = 2 T (x) = 2x + 6 Als Graph ergibt sich also: 13

14 2 Gegeben ist die in R definierte Funktion h : x 6 e 0,5x + 1, 5. Die Abbildung zeigt den in R streng monoton fallenden Graphen G h von h sowie 14

15 dessen Asymptote, die durch die Gleichung y = 1, 5 gegeben ist. a) Beschreiben Sie, wie G h aus dem Graphen der in R definierten natürlichen Exponentialfunktion x e x hervorgeht. Für x 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist x die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und h(x) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute. b) Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von G h sowie des Grenzwerts von h für x + an. b) Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das G h, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 5 einschließen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Lösung a) Die Elemente der linearen Transformation im einzelnen: e 0,5x bedeutet eine Streckung in x-richtung mit dem Faktor 2 e 0,5x bedeutet eine zusätzliche Spiegelung an der y-achse 6e 0,5x bedeutet eine Streckung in y-richtung mit dem Faktor 6 6e 0,5x + 1, 5 bedeutet außerdem eine Verschiebung um 1,5 in Richtung der positiven y-achse b) Der Schadstoffausstoß startet mit seinem höchsten Wert und sinkt dann immer weiter ab, um sich letztlich beliebig nahe an 1,5 mg/l anzunähern. c) 5 0 h(x)dx = 5 0 (6e 0,5x + 1, 5)dx = [ 12e 0,5x + 1, 5x ] 5 0 = ( 12e 2,5 + 7, 5 ) ( ) 1 + 7, = 18, 5 In den ersten fünf Minuten hat die Maschine ungefähr 18,5 mg Schadstoffe ausgestoßen. 15