Tiefpunkt = relatives Minimum hinreichende Bedingung:

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1 R. Brinkmann Seite Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich zu wissen. Derartige Untersuchungen von Funktionen auf ihre wichtigsten charakteristischen Eigenschaften nennt man Kurvendiskussion. Bei solchen Untersuchungen sollte man stets systematisch vorgehen und auch immer die gleiche Reihenfolge der Berechnungen und Betrachtungen einhalten, damit man keine wichtigen Eigenheiten der Funktion übersieht. Folgende Verfahrensweise hat sich sehr bewährt: 1. Definitionsbereich: Man bestimmt den Definitionsbereich der Funktion, denn nur innerhalb dieses Bereiches ist es sinnvoll, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.. Symmetrien: Man stellt fest, ob die Funktion achsen oder punktsymmetrisch ist. bei Achsensymmetrie gilt: f ( x) = f ( x) In beiden Fällen braucht die Funktion bei Punktsymmetrie gilt: f ( x) = f ( x ) nur noch für x 0 untersucht zu werden. Speziell bei ganzrationalen Funktionen gilt: Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit geraden Exponenten enthält. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit ungeraden Exponenten enthält.. Extrema: Bestimmen der relativen Extrema, man nennt sie auch Hoch- bzw. Tiefpunkte. Das sind auch die Punkte mit waagerechter Tangente. Hochpunkt = relatives Maximum Tiefpunkt = relatives Minimum hinreichende Bedingung: hinreichende Bedingung: f '( x1) = 0 f ''( x1) < 0 f '( x1) = 0 f ''( x1) > 0. Wendepunkte: Bestimmen der Wendepunkte, bzw. der Sattelpunkte. hinreichende Bedingung für Wendepunkte f ''( xw) = 0 f '''( xw) 0 Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. 5. Achsenschnittpunkte: Wird der x- Wert Null ( x = 0 ) in die Funktionsgleichung von f(x) eingesetzt, erhält man den Schnittpunkt mit der y- Achse. Schnittpunkt(e) mit der x- Achse erhält man durch nullsetzen des Funktionsterms von f(x). Schnittpunkt mit der y Achse Py( 0 ys) f ( 0 ) bestimmen Schnittpunkte mit der x Achse (Nullstellen) Pxi ( x i 0) f ( x) = 0 6. Der Graph: Mit allen bisher gesammelten Informationen lässt sich in den meisten Fällen nun der Graph zeichnen. Dazu wird zunächst eine Wertetabelle angelegt. Dabei zeigt es sich, welche Werte noch zu berechnen sind. Diese kann man entweder mit dem Taschenrechner bestimmen, oder für ganzzahlige Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 1 von 11

2 R. Brinkmann Seite x- Werte mit dem HORNER-Schema. 7. Krümmungsverhalten und Monotonie: In der Wendestelle x W ändert sich die Krümmung des Graphen von f x Für die Krümmung in einem beliebigen Punkt x gilt: ( 0 ) > ( x ) < 0 bedeutet der Gra f '' x 0 bedeutet der Graph von f x ist linksgekrümmt (konvex) f'' ph von f x ist rechtsgekrümmt (konkav) 0 0 Monotonie: 1. Wenn f ' x 0 für alle x I ist, dann ist f x monoton wachsend im Intervall I Wenn f ' x 0 für alle x I ist, dann ist f x monoton fallend im Intervall I. Wenn f ' x > 0 für alle x I ist, dann ist f x streng monoton wachsend im Intervall I Wenn f '( x) < 0 für alle x I ist, dann ist f ( x ) streng monoton fallend im Interval l I Kurz: An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten eines Graphen. Das Monotonieverhalten ändert sich an den Extremstellen. 8. Randpunkte des Definitionsbereiches: Untersuchung der Funktion in den Randpunkten des Definitionsbereichs. Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, dann sind die beiden Grenzwerte lim f x und lim f x x x zu bestimmen. Anders ausgedrückt: Man betrachtet den Verlauf der Funktionswerte für große x- Werte in sowohl positiver als auch negativer Richtung und fragt sich, wohin gehen die Funktionswerte. Beispiel einer ausführlichen Kurvendiskussion 1. Definitionsmenge: 1 9 Funktionsgleichung: f ( x) = x x Definitionsmenge: Df = Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Normalerweise gilt das immer für ganzrationale Funktionen. Es sei denn, man möchte die Definitionsmenge einschränken.. Symmetrien: Da alle Exponenten gerade sind, liegt eine Achsensymmetrie vor, Es gilt also: f ( x) = f ( x ) für alle x Der Vorteil bei vorliegen einer Achsensymmetrie besteht darin, dass Funktionswerte nur für positive x- Werte berechnet werden müssen. Für die entsprechend negativen x- Werte sind sie identisch. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : von 11

3 R. Brinkmann Seite Extrema: Vorgehensweise zur Berechnung der Extrempunkte. Man bildet die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x). Nullsetzen der 1. Ableitung liefert die Stellen mit waagerechter Tangente. Setzt man diese Werte in die. Ableitung ein, so erhält man eine Aussage über die Art des vorliegenden Extremums. (Relatives Maximum oder relatives Minimum, bzw. kein Extrempunkt). Die Werte der Extremstellen x i eingesetzt in die Funktionsgleichung ergeben die Extremwerte und damit sind die Koordinaten der Extrempunkte bekannt. 1 9 Funktionsgleichung: f ( x) = x x Die Ableitungen: f '( x) = x x f ''( x) = x f '''( x) = 6x Hinreichende Bedingung für Extremstellen: f' x = 0 f'' x 0 f ' x = 0 x x = 0 x ausklammern x x = 0 Satz vom Nullprodukt x = 0 bzw. x = 0 x = 0 + x = x = x = bzw. x = Stellen mit waagerechter Tangente: x = 0 ; x = ; x = 1 Nachweis für relatives Maximum bzw. relatives Minimum: f '' x = f '' 0 = 0 = < 0 rel. Max. für x = x = 0 Hochpunkt ( 1) 1 E1 = = = > = E = = ( ) = ( ) = > = = f '' x f '' 8 0 rel. Min. für x x Tiefpunkt f '' x f '' 8 0 rel. Min. für x x Tiefpunkt E Die Extrempunkte: Hochpunkt für xe1 = 0 : 9 f( 0) = =,5 9 PMax 0 bzw. PMax ( 0,5) Tiefpunkt für xe = : f = = = 6,5 5 PMin1 bzw. PMin1 ( 6,5) Tiefpunkt für xe = : 5 f ( ) = f = =6,5 wegen Achsensymmetrie 5 PMin bzw. PMin 6,5 1 Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : von 11

4 R. Brinkmann Seite Wendepunkte: Vorgehensweise zur Berechnung der Wendepunkte: Zusätzlich zu den ersten beiden Ableitungen von f(x) bildet man noch die dritte. Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind mögliche Wendestellen. Zur Überprüfung ob ein Wendepunkt vorliegt, werden die errechneten Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist das Ergebnis ungleich Null, so bezeichnet der entsprechende x- Wert eine Wendestelle. Den dazugehörigen Funktionswert erhält man durch Einsetzen der x- Werte in den Term der Funktionsgleichung f(x). 1 9 Funktionsgleichung: f ( x) = x x Die Ableitungen: f '( x) = x x f ''( x) = x f '''( x) = 6x Hinreichende Bedingung für Wendestellen: f'' x = 0 f''' x 0 f'' x = 0 x = 0 + x = : x = x = x 1 = bzw. x = Mögliche Wendestellen: x W1 = ; xw = Nachweis auf Wendestellen: f '''( xw1) = f ''' = 6 0 ; f '''( xw) = f ''' = 6 0 Wendepunkt für x W1 W f( xw1) = f = = P W1 bzw. PW1 1,15,7 6 Wendepunkt für x = = 161 f ( xw) = f = f = wegen Achsensymmetrie P W bzw. P 6 W 1,15,7 ( ) Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : von 11

5 R. Brinkmann Seite Achsenschnittpunkte: a) Schnittpunkt mit der y Achse : f 0 9 = =,5 Py 0,5 b) Schnittpunkt mit der x Achse Nullstellen : 1 9 f( x) = 0 x x = 0 x 8x 9 = 0 Substitution x = z z 8z 9 = 0 quadratische Gleichung in z x1 p 8 p = 8;q= 9;D = q 9 5 = + = p 8 z1/ = ± D = 5 5 z1 9 ; z 1 0 keine Lösung ± = ± = = < 1 1 Rücksubstitution: z = x = 9 x = 9 x = ; x = ( ) Nullstellen bei: P 0 ; P 0 x 6. Wertetabelle mit Zusatzwerten: 1 9 f() 1 = 1 1 = ;f( 1) = f( 1) = 1 9 f (,5) = (,5) (,5),5 ; f (,5) = f (,5),5 P P P P = P P P P x Min W Max y W1 Min1 x1 x,5 1, ,15,5 f x,5 0 6,5,7,5,7 6,5 0,5 Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 5 von 11

6 R. Brinkmann Seite Der Graph f( x) x Zusammenfassung : Achsensymmetrie Extrempunkte : Min1 Max ( ) Min ( ) ( ) P 6,5 ;P 6,5 P 0,5 Wendepunkte : P W1 ;P W 6 6 Achsenschnittpunkte : ( ) ( 0) ;P ( 0) P 0,5 ;P y x1 x Krümmung, Monotonie : konvex: ; und ; konkav: ; streng monoton fallend: ] ; [ und ] 0 ; [ streng monoton wachsend: ] ; 0 [ und] ; [ Randpunkte : lim x ± f x = Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 6 von 11

7 R. Brinkmann Seite Krümmungsverhalten und Monotonie: Krümmung für x = links von P : 0 W f ''( ) = ( ) = 8 > 0 linkskrümmung (konvex) für ; Krümmung für x = 0 zwischen P und P : 0 W1 W f ''( 0) = < 0 rechtskrümmung (konkav) für ; Krümmung für x = ( rechts von P ): 0 f '' = = 8 > 0 linkskrümmung (konvex) für ; W ] [ ] [ ] [ ] [ streng monoton fallend für ; streng monoton wachsend für ; 0 streng monoton fallend für 0 ; streng monoton wachsend für ; 8. Randpunkte des Definitionsbereiches: lim f ( x) = lim x x lim x x x x = x x = lim x lim lim x lim f ( x) x x = = = x x x x ± 1 lim f x x 1 = lim x = x Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 7 von 11

8 R. Brinkmann Seite Berechnungen mit dem GTR Casio fx-cg0 GTR f x = 1 x x 9 Berechnen Sie die Extrempunkte von Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen: MENU 5 Graph { DRAW} bc bc 1a X, Θ,T ^ X, Θ,T x 9 a EXE Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf x: [ - ; ] und y: [ -7 ; 5 ] eingestellt. S V Window EXE EXE 7 EXE 5 EXE EXE { DRAW} S S rel. Max: G Solv MAX EXE { } ( 0,5) { } ( 6,5 );( 6,5) rel. Min: G Solv Min EXE EXE P max ( 0 -,5 ) ; P min1 ( - -6,5 ) ; P min ( -6,5 ) Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 8 von 11

9 R. Brinkmann Seite GTR Berechnen Sie die Wendepunkte von f( x) = 1 x x 9 Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein: OPTN CALC d/ dx Y 1 X, Θ,T EXE { } { } { } { }{ }{ } { DRAW} OPTN CALC d / dx Y 1 X, Θ,T EXE Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist. S G Solv ROOT f '' selektieren { } EXE EXE EXE EXE 1, ; 1, Die Wendestellen liegen bei x w1 = -1,157.. und x w = 1,157.. Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten: S G Solv F6 Y CAL f x auswählen EXE S { } ( ) EXE EXE ( 1,157,7.. ) { } E (.) G Solv F6 Y CAL f x auswählen EXE EXE EX 1,157,7. P w1 ( -1, ,7..) ; P w ( 1, ,7..) Diese Werte sind ungenau, mit SolveN erfolgt die Berechnung präziser. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 9 von 11

10 R. Brinkmann Seite GTR Wendepunktkoordinaten in Bruchdarstellung mit SolveN Die Nullstellen von f''(x) = x - liefern die Wendestellen. Die Nullstellen von f''(x) also x w1 und x w werden mit SolveN berechnet und in Liste abgespeichert. SolveN( x ) List ; [] List 1 X x x 6 List [ ] X x x P w1 ;P w 6 6 Eingabeprozedur: MENU 1 { }{ } OPTN CALC SolveN X, θ,t x ) OPTN { LIST}{ List} EXE ; S S A OPTN { LIST}{ List} [ 1 ] X EXE bc bc 161 1a X, θ,t ^ X, θ,t x 9 a 6 S S A OPTN { LIST}{ List} [ ] X EXE bc bc 161 1a X, θ,t ^ X,,T θ x 9a 6 Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 10 von 11

11 R. Brinkmann Seite GTR Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von f( x) = 1 x x 9 Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen. Mit S [Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden. Schnittpunkt mit der y-achse: S G Solv Y ICEPT EXE 0,5 { } Nullstellen oder Schnittpunkte mit der x-achse: S G Solv ROOT EX E 0 EXE 0 { } P y ( 0 -,5 ) und P x1 ( - 0) ; P x ( 0) 6GTR 1 9 Wertetabelle erstellen für f( x) = x x Für das Intervall [ - ; ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden. MENU 7 Tabelle { SET} ( ) { TABLE} EXE EXE 1 EXE EXE Wertetabelle (gerundet auf Stellen): P P P P ;P x1 min1 w1 y w x 1, y 9,75 0 6,5,7,5 Pw Pmin Px x 1 1,15 y,7 6,5 0 9,75 Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_ : 11 von 11