Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

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1 Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Lernzuflucht 24. November 20 L A TEX M. Neumann Folgende Funktion soll in einer Kurvendiskussion bearbeitet werden: f(x) = x 4 2x 2 ; D = R () Diese Funktion hat als höchsten Exponenten bei x die 4, sie ist also vom Grad 4. Es ist eine ganzrationale Funktion, weil nur ganzzahlige Exponenten (hier: 2 und 4) vorkommen.. Bestimmung der Symmetrie Üblicherweise untersucht man, ob y-achsensymmetrie vorliegt oder Ursprungs-Punktsymmetrie. y-achsensymmetrie ist festzustellen, wenn f( x) = f(x). Ursprungs-Punktsymmetrie erhält man, wenn f( x) = f(x). Also liegt hier y-achsensymmetrie vor. f( x) = ( x) 4 2( x) 2 = x 4 2x 2 = f(x) (2).2 Randverhalten / Globalverhalten Mit dem Randverhalten wird beschrieben, wie die Funktion für sehr große und sehr kleine x- Werte verläuft. Für ganzrationale Funktionen beobachtet man nur die Tendenz gegen bzw.. Entscheidend ist nur, wie sich der Anteil mit dem höchsten Exponenten verhält, weil sich dieser bei hohem x stärker durchsetzen. Dies kann man auch mit einem Ausklammern des jeweiligen x-terms belegen. f(x) = x 4 2x 2 = x 4 ( 2 x 2 ) ()

2 Für sehr große x und sehr kleine, negative x wird x immer näher an 0 heranreichen. Daher wird 2 häufig geschrieben: lim x x 2 = lim x x 2 = 0 (4) lim steht dabei für Limes, der vielleicht als Grenzwall bekannt ist. Hier ist ein Grenzwert gemeint, für den Fall, dass x wirklich unendlich erreicht. Dann bleibt also nur noch x 4 ( 2 0) = x 4 übrig. Wenn man den Verlauf der Grundfunktion x 4 kennt, kann man folgendes schreiben:. Bestimmung der Achsenschnittpunkte lim f(x) = lim f(x) = (5) x x Gesucht sind hierbei der y-achsenschnittpunkt und die x-achsenschnittpunkte... y-achsenschnittpunkt Man setzt einfach 0 ein, damit man den Punkt auf der y-achsenschnittpunkt erhält, denn auf der gesamten y-achse gilt x = x-achsenschnittpunkte f(0) = = 0; S y (0/0) (6) Nun sind die Nullstellen zu suchen, also die Schnittstellen mit x. Auf der x-achse ist y = f(x) = 0. f(x) = 0 x 4 2x 2 = 0 (7) Hier bietet sich an x 2 auszuklammern und danach direkt zu rechnen statt die pq-formel zu benutzen oder gar eine Polynomdivision einzusetzen. x 2 (x 2 2) = 0 (8) Ein Produkt ist dann und nur dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist, also: x 2 = 0 x 2 2 = 0 +2 (9) x = 0 x 2 = 2 (0) x = 0 x = 2 x = 2 () S x (0/0); S x ( 2/0); S x ( 2/0) (2) Eine Funktion mit dem Grad n hat maximal n reelle Nullstellen haben. Weil hier bei 0 ein Berührpunkt vorliegt, dies ist eine doppelte Nullstelle, gibt es bei dieser Funktion statt der Maximalzahl von 4 nur drei verschiedene Nullstellen. M. Neumann Mathematik Oberstufe 2

3 .4 Bestimmung der Ableitungsfunktionen Für ganzratinale Funktionen wird aus ax n in der Ableitung nax n. In einer Summe oder Differenz darf man die einzelnen Stücke getrennt voneinander ableiten. f(x) informiert uns über die y-werte im Graphen, f (x) liefert uns die Steigung an der jeweiligen x-stelle, f (x) enthält die Werte der Krümmung. f(x) = x 4 2x 2 () f (x) = 4x 4x (4) f (x) = 2x 2 4 (5) f (x) = 24x (6).5 Bestimmung der Extremwerte und des Monotonieverhaltens.5. Notwendige Bedingung f (x) = 0 An allen Hoch- und Tiefpunkten können Tangenten angelegt werden, die waagerecht sind, also die Steigung 0 haben. Wir suchen damit die Nullstellen der ersten Ableitung. Notwendige Bedingung heißt, dass nur an diesen Stellen Extremstellen denkbar sind. Ob es wirklich welche sind, wissen wir aber nach diesem ersten Schritt noch nicht. f (x) = 0 4x 4x = 0 x(4x 2 4) = 0 (7) x = 0 4x 2 4 = 0 x = 0 4x 2 = 4 (8) x = 0 x 2 = x = 0 x = x = (9) Jetzt ist über f also bekannt, dass an anderen Stellen als 0,, keine Extremstellen möglich sind..5.2 Hinreichende Bedingung f (x) = 0 f (x) 0 Vor einem Hochpunkt steigt der Graph an, erreicht im Hochpunkt die Steigung 0, um danach negativ zu werden. Es nimmt also die Steigung ab - die Steigung der Steigung ist negativ. Daher ist die zweite Ableitung in der Umgebung eines Hochpunkts negativ. Der Hochpunkt liegt immer in einer Rechtskurve mit negativer zweiter Ableitung. Vor einem Tiefpunkt fällt der Graph ab, erreicht im Tiefpunkt die Steigung 0, um danach positiv zu werden. Es nimmt also die Steigung zu - die Steigung der Steigung ist positiv. Daher ist die zweite Ableitung in der Umgebung eines Tiefpunkts positiv. Der Tiefpunkt liegt immer in einer Linkskurve mit positiver zweiter Ableitung. Sollte sich in der zweiten Ableitung für die Verdachtsstellen ein Wert von 0 ergeben, so muss noch das Vorzeichenverhalten der ersten Ableitung, auch Monotonieverhalten genannt, geprüft werden (siehe nächster Abschnitt). f (x) = 0 f (x) 0 (20) f ( ) = 2 ( ) 2 4 = 2 4 = 8 > 0 T ( /f( )) (2) f( ) = ( ) 4 2 ( ) 2 = 2 = T ( / ) (22) f () = = 2 4 = 8 > 0 T 2 ( /f( )) (2) f() = = 2 = T 2 (/ ) (24) M. Neumann Mathematik Oberstufe

4 f (0) = = 0 4 = 8 > 0 H(0/f(0)) (25) f(0) = = 0 0 = 0 H(0/0) (26) Die hinreichende Bedingung zeigt uns hier, dass es die Maximalzahl von Extremstellen gibt. Allgemein lässt sich aussagen, dass eine ganzrationale Funtion des Grades n höchstens n- Extremstellen hat, weil das Ableiten den Grad um reduziert. Außersem kann die Zahl der Hochund Tiefpunkte nie mehr als um eins abweichen. Es gibt also beispielsweise keine ganzrationale Funktion, die Tiefpunkte, aber nur einen Hochpunkt hätte..6 Monotonieverhalten / Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung Wenn in einem Bereich für x f (x) 0, heißt die Funktion monoton steigend. Ist f (x) > 0, streng monoton steigend. Ist in einem Intervall f (x) 0, nennt man das monoton fallend, für f (x) < 0 streng monoton fallend. Mit den Angaben aus dem vorherigen Abschnitt gilt: Für x ] ; ] monoton fallend (27) Für x ] ; 0] monoton steigend (28) Für x ]0; ] monoton fallend (29) Für x ]; [ streng monoton steigend (0) Das Monotonieverhalten kann man auch bestimmen, indem irgendein Wert aus dem jeweiligen Bereich eingesetzt wird. Positive Werte weisen auf steigende Graphen, negative auf fallende..7 Bestimmung der Wendestellen und des Krümmungsverhaltens Eine Wendestelle ist ein Ort, wo eine Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt. Hier ist die Steigung am größten (Linkskurve nach Rechtskurve) oder am geringsten (Rechtskurve nach Linkskurve). Es liegt also ein Extremwert in der ersten Ableitung vor, deshalb hat die erste Ableitung von f eine Nullstelle. Anders gesagt gilt f (x) = 0, was nichts anderes als das notwendige Kriterium für das Vorliegen von Wendestellen ist..7. Notwendiges Kriterium f (x) = 0 f (x) = 0 2x 2 4 = x 2 = 4 : 2 () x 2 = x = x = (2).7.2 Hinreichendes Kriterium f (x) = 0 f (x) 0 f ( ) = 24 = 8 0 W ( /f( )) () f( ) = ( ) 4 2 ( ) 2 = 9 2 = 5 9 W ( / 5 9 ) (4) f ( ) = 24 ( ) = 8 0 W 2 ( /f( )) (5) f( ) = ( ) 4 2 ( ) 2 = 9 2 = 5 9 W 2 ( / 5 9 ) (6) Mehr als diese zwei Wendepunkte sind für eine ganzrationale Funktion mit Grad 4 nicht möglich. Allgemein erhält man für den Grad n höchstens n-2 Wendestellen. M. Neumann Mathematik Oberstufe 4

5 .8 Wertetabelle / Graph In der Wertetabelle sollten alle charakteristischen Punkte, also Nullpunkte, y-achsenschnittpunkt, Extremwerte und Wendepunkte - darüber hinaus normalerweise die Werte für ganze Zahlen zwischen +5 und -5. Dann zeichnet man den Graphen und überprüft zur Probe, ob alle gemachten Aussagen mit dem Graphen verträglich sind. 2 Kurzversion zur Übersicht - Klausurmuster 2. Bestimmung der Symmetrie Also liegt hier y-achsensymmetrie vor. f(x) = x 4 2x 2 ; D = R (7) f( x) = ( x) 4 2( x) 2 = x 4 2x 2 = f(x) (8) 2.2 Randverhalten / Globalverhalten f(x) = x 4 2x 2 = x 4 ( 2 lim x x 2 = lim x 2. Bestimmung der Achsenschnittpunkte 2.. y-achsenschnittpunkt 2..2 x-achsenschnittpunkte 2.4 Bestimmung der Ableitungsfunktionen x 2 ) (9) x 2 = 0 (40) lim f(x) = lim f(x) = (4) x x f(0) = = 0; S y (0/0) (42) f(x) = 0 x 4 2x 2 = 0 (4) x 2 (x 2 2) = 0 (44) x 2 = 0 x 2 2 = 0 +2 (45) x = 0 x 2 = 2 (46) x = 0 x = 2 x = 2 (47) S x (0/0); S x ( 2/0); S x ( 2/0) (48) f(x) = x 4 2x 2 (49) f (x) = 4x 4x (50) f (x) = 2x 2 4 (5) f (x) = 24x (52) M. Neumann Mathematik Oberstufe 5

6 2.5 Bestimmung der Extremwerte und des Monotonieverhaltens 2.5. Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = 0 4x 4x = 0 x(4x 2 4) = 0 (5) x = 0 4x 2 4 = 0 x = 0 4x 2 = 4 (54) x = 0 x 2 = x = 0 x = x = (55) Hinreichende Bedingung f (x) = 0 f (x) 0 f ( ) = 2 ( ) 2 4 = 2 4 = 8 > 0 T ( /f( )) (56) f( ) = ( ) 4 2 ( ) 2 = 2 = T ( / ) (57) f () = = 2 4 = 8 > 0 T 2 ( /f( )) (58) f() = = 2 = T 2 (/ ) (59) f (0) = = 0 4 = 8 > 0 H(0/f(0)) (60) f(0) = = 0 0 = 0 H(0/0) (6) 2.6 Bestimmung der Wendestellen und des Krümmungsverhaltens 2.6. Notwendiges Kriterium f (x) = 0 2x 2 4 = x 2 = 4 : 2 (62) x 2 = x = x = (6) Hinreichendes Kriterium f (x) = 0 f (x) 0 f ( ) = 24 = 8 0 W ( /f( )) (64) f( ) = ( ) 4 2 ( ) 2 = 9 2 = 5 9 W ( / 5 9 ) (65) f ( ) = 24 ( ) = 8 0 W 2 ( /f( )) (66) f( ) = ( ) 4 2 ( ) 2 = 9 2 = 5 9 W 2 ( / 5 9 ) (67) 2.7 Wertetabelle / Graph M. Neumann Mathematik Oberstufe 6

7 Figure : Graph von x 4 2x 2 M. Neumann Mathematik Oberstufe 7