( ) 6 eine. 1. Führen Sie für die Funktion f mit vollständige Kurvendiskussion durch. eine. 5. Führen Sie für die Funktion f mit f ( x) = 2x

Transkript

1 . Führen Sie für die Funktion f mit vollständige Kurvendiskussion durch. Berücksichtigen Sie dabei die folgenden Punkte: f( ) 0 7 eine -Definitionsmenge; -Symmetrie; -Grenzwertverhalten; -Schnittpunkt mit der y-achse ; -Schnittpunkte mit der -Achse; 6-Ableitungen; 7-Etrempunkte; -Wendepunkte; 9-Wertemenge und Wertetabelle; -Skizze. Führen Sie für die Funktion f mit 0 7 eine vollständige Kur- vendiskussion durch.. Definitionsmenge f( ) LÖSUNGEN Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Führen Sie für die Funktion f mit vollständige Kurvendiskussion durch. f ( ) + eine. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y- Achse.. Führen Sie für die Funktion f mit f ( ) + eine vollständige Kurvendiskussion durch.. Grenzwertverhalten lim f ( ) lim + f ( ) + weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm auftritt gerade ist (n ) und sein Koeffizient positiv ist ( a ).. Schnittpunkt mit der y-achse. Führen Sie für die Funktion f mit f ( ) eine vollständige Kurvendiskussion durch. Bedingung: 0. Schnittpunkt mit der -Achse f ( 0) somit: S y ( 0 / 0). Bedingung: f ( ) 0. Führen Sie für die Funktion f mit f ( ) eine vollständige Kurvendiskussion durch und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten ) 0 ) ± ( ( ( 7 ) 0 : ( ) pq Formel + 7 ± 6 also N ( 0) N ( 0 0) und ( 6 / 0) / / N.

2 6. Ableitungen f( ) 7 0 d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : ) 6 ) ( ) ( ) 6 ( ) 7 f ( ) 6 7. Etrempunkte I. notwendige Bedingung: ) ( 6) 0 : ( ) ± ( ) II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 7: pq Formel ± 0 ) ( ) ( ) 6 ( 7) ) ( ) ( ) 6 ( ) 7 Bei findet also ein (-/+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f ( 7) ( 7) 07 ( 7) ( 7) 6 f ( 0 ) 0 denn 0 ist auch Nullstelle. f () () 07 () () 77 Somit ergeben sich die Punkte: TP ( 7 / 6) ; HP(0 / 0) und TP (/ 77 ). Wendepunkte I. notwendige Bedingung: f ( ) 0 ) ( ) ( ) 6 ( ) Bei 7 findet also ein (-/+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor ± 09 ( 07 ) : ( ) pq Formel + 07 ± 6 Überprüfung von 0: ) ( ) ( ) 6 ( ) ) ( ) ( ) 6 ( ) 7 Bei 0 findet also ein (+/-)-Vorzeichenwechsel von f statt II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 09: f ( ) ( ) ( ) 6 06 f (0) (0) (0) 6 6 Bei - findet also ein (+/-)-Vorzeichenwechsel von f statt

3 d.h. hier liegt ein Wendepunkt (Übergang LK/RK) vor.. Skizze des Graphen (Da -09 keine Nullstelle von f war ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) Überprüfung von 6: f ( 0) 6 f () () () 6 Bei 6 findet also ein (-/+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt (Übergang RK/LK) vor. (Da 6 keine Nullstelle von f war ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) III. y-koordinaten der Wendepunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f ( 09) ( 09) 07 ( 09) ( 09) 9 f (6) (6) 07 (6) (6) 7 Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP ( 09 / 9) und WP (6 / 7). 9. Wertemenge und Wertetabelle Es gilt: lim f ( ) lim f( ) + + das heißt es gibt einen tiefsten Punkt des Graphen (somit ein absolutes Minimum den y-wert des tiefsten Tiefpunktes). Also gilt: \W { R y 77 } y. -Wert y-wert Eigenschaften N TP WP N S y TP WP TP N 6

4 . Führen Sie für die Funktion f mit vollständige Kurvendiskussion durch.. Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f( ) + eine Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten lim f ( ) + und lim f ( ) + weil der höchste Eponent von der im Funkti- onsterm auftritt ungerade ist ( n ) und sein Koeffizient negativ ist ( ) a ( ( ) 0 + ) ± 6 0 ( 7) ( ) ± 6 also N ( 0 / 0) N ( 6/ 0) und ( 6 / 0) 6. Ableitungen 7. Etrempunkte N. f ( ) + ) f ( ) + I. notwendige Bedingung: ) 0 pq Formel 7 P. Schnittpunkt mit der y-achse ( ) 0 0 ( ) Bedingung: 0 f (0) pq Formel somit: ( 0 / 0) S y ± (6) 6 ± Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f ( ) 0 II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 0 : ) ) ( ) + 6 ( ) 6 ( ) () + 6 () 6 () Bei 0 findet also kein Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt kein Etrempunkt vor. (Hier könnte ein Sattelpunkt vorliegen) 7

5 Überprüfung von 7 : ) ) () + 6 () 6 () Bei 0 findet also ein (-/+) Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Überprüfung von 7 7 : ) + 0 ( ) : ( ) ± 6 ± 9 ( ) II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 0 : ) () + 6 () 6 () 60 f ( ) ( ) + ( ) ( ) Bei 7 7findet also ein (+/-)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f () () + () () 7 Bei 0 findet also ein (+/-)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor (Übergang LK/RK). (keine Nullstelle von f daher Sattelpunkt) f (7) ( 7) + ( 7) ( 7) 7 9 f (77) Somit ergeben sich die Punkte: ( 77 ) + ( 77 ) ( 77 ) 9 TP ( 7 / 79) und HP (77 / 9). Überprüfung von 6 : f ( ) 7 f () () + () (). Wendepunkte I. notwendige Bedingung: f ( ) 0 Bei 6 findet also ein (-/+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor (Übergang RK/LK). 9

6 Überprüfung von 6 : f ( ) f () () + () () 0 Bei 6 6 findet also ein (+/-)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor (Übergang LK/RK). III. y-koordinaten der Wendepunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f ( 0 ) 0 ( 6 ) ( 6 ) f (6) (6) + f (6) ( 6) + ( 6) ( 6) Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: SP (0 / 0) ; WP (6/ ) und WP (66/ ) 9. Wertemenge und Wertetabelle Es gilt: lim f ( ) + und lim f ( ) + und es gilt für die Wertemenge: \W IR.. Somit sind die Grenzwerte verschieden -Wert y-wert Eigenschaften N S y SP WP TP N WP HP N

7 . Führen Sie für die Funktion f mit f ( ) + eine vollständige Kurvendiskussion durch.. Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f ausschließlich gerade Eponenten auftreten verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten lim f( ) lim f( ) weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm + auftritt gerade ist (n ) und sein Koeffizient negativ ist ( a 0 ).. Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: 0 f( 0) ( 0) + ( 0) somit: ( 0 / ). Schnittpunkte mit der -Achse Bedingung: f ( ) ( ) S y. 6. Ableitungen f ( ) + f ( ) + f ( ) + 7. Etrempunkte I. notwendige Bedingung: ) ( + ) ± ± ( 0) 0 0 ( 0) ( ) pq Formel II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 7: 7 ( ) + ( ) 6 0 ) ) ( ) + ( ) 0 9 Bei 7 findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor Substitution : z Überprüfung von 0: z 0z + 0 z 0 ± z 0 ± ± ( 0) z ± 6 + ± z pq Formel 6 also N ( 6 0) N ( 0) N ( 0) und ( 6 0) / / / N /. Rücksubstitution : + 6 z ) 9 ( ) + ( ) ) Bei 0 findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Überprüfung von 7 ) 9 ( ) + ( ) ) Bei 7indet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor.

8 III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f ( f (. Wendepunkte ( 7) + ( 7) ) ( 7) + ( 7) ) Somit ergeben sich die Punkte: HP ( 7 / ) ; TP( 0 / ) und HP ( 7 / ) I. notwendige Bedingung: f ( ) ( 0) + ( 0) f( 0) 6 0 :( ) 0 ± ( 0) + 6 pq Formel II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von III. y-koordinaten der Wendepunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): ( ) + ( ) f ( ) ( ) + ( ) f ( ) 9. Wertemenge und Wertetabelle Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP ( / 9 7) und WP ( / 9 7). Es gilt: lim f( ) lim f( ) das heißt es gibt einen höchsten Punkt des + Graphen und somit ein absolutes Maimum den y-wert des höchsten Hochpunktes. (Auf Grund der Achsensymmetrie tritt dieser y-wert hier bei zwei Punkten auf.) Also gilt: \W { R y } y. -Wert y-wert Eigenschaften N HP WP N S y TP N WP HP N. Skizze des Graphen ( 6) + + f ( 6) f ( 0) ( 0) + Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Überprüfung von f ( 0 ) ( 6) + + f ( 6) Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. 6

9 . Führen Sie für die Funktion f mit f ( ) eine vollständige Kurvendiskussion durch und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten.. Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f sowohl nur gerade Eponenten auftreten ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten lim f( ) + lim f ( ) + und + weil der höchste Eponent von der im Funk- a tionsterm auftritt gerade ist (n ) und sein Koeffizient positiv ist ( 0 ).. Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: 0 somit: ( 0 / 9) S y. f ( 0) also: 6. Ableitungen ( P) f ( ) f ( ) 9 f ( ) 9 N( 7 / 0) ; N ( / 0) N ( / 0) und 7. Etrempunkte ( ) I. notwendige Bedingung: ( ) ( 0 ) ± 0 ) 0 0 ( ) : ( 0) + ausklammern p q Formel N ( 7 / 0). Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f( ) 0 II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f ( P) Überprüfung von : z z z 9z z 9 ± z ± z ± z 9 6 ( ) 0 0 z 0 0 ± Substitution : z : ( ) 0 pq Formel Rücksubstitution : ± 7 7 z ( ) 9 ( ) + ) ( ) 9 ( ) ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor.

10 Überprüfung von 0: ) 7 ( ) 9 ( ) ) Bei 0 findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor.. Wendepunkte ( ) I. notwendige Bedingung: f ( ) ( 0 ) ± ( 0) + 6 : ( 0 6) Überprüfung von : ) 7 ( ) 9 ( ) ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. ( ) 9 9 f ( ) f ( ) 9 0 ALTERNATIV: ( ) 9 0 f ( ) > ( 0) f ( 0) < d.h. LK also liegt hier ein TP vor. d.h. RK also liegt hier ein HP vor. ( 0) 9 9 f ( 0) Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. (Da keine Nullstelle von f war ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) ( ) 9 0 f ( ) > d.h. LK also liegt hier ein TP vor. Überprüfung von : III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f( ( ) ( ) ) 0 f( f ( ( 0) ( 0) ) 0 ( ) ( ) ) 0 Somit ergeben sich die Punkte: ( 0) 9 9 f ( 0) ( ) 9 9 f ( ) Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. (Da keine Nullstelle von f war ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) TP ( / ) TP ( / ) und HP( 0 / 9)

11 f ( ) 6 ALTERNATIV: Überprüfung mit. Funktionsgraph ( P) ( ) 6 0 f ( ) 6 also liegt hier ein WP vor. (Da hier keine Nullstelle von f war ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) f () ( ) also liegt hier ein WP vor. (Da hier keine Nullstelle von f war ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) III. y-koordinate des Wendepunktes bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): ( ) ( ) f ( ) 0 ( ) ( ) f ( ) 0 Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP ( / ) und WP (/ ). 9. Wertemenge und Wertetabelle ( P) lim f( ) + lim f ( ) + Es gilt: und + das heißt es eistiert ein tiefster Punkt des Graphen der absolute Tiefpunkt. Die y-koordinate des Tiefpunktes begrenzt die auftretenden y-werte. Da TP ( / ) und TP ( / ) (auf Grund der Ach- W { y IR y } sensymmetrie zur y-achse) gilt für die Wertemenge: Eigenschaften N TP WP N Sy WP (SP) WP HP N

12 . Führen Sie für die Funktion f mit f ( ) eine vollstän- ( + + 6) : ( ) + dige Kurvendiskussion durch und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten. ( + 6 ) + 6 Lösung: ( + 9). Definitionsmenge + 6 ( 6) Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR. 0. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten lim f() + und lim f() + weil der höchste Eponent von der im Funktionsterm auftritt ungerade ist (n ) und sein Koeffizient negativ ist ( a ).. Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: 0 somit: ( 0/ 6) f(0) (0) + (0) + (0) 6 6. Schnittpunkt mit der -Achse NEBENRECHNUNG: f() () + () + () 6 0 Zugehöriger Linearfaktor: ( ) S y. Bedingung: f ( ) ( ) ( + ) 6. Ableitungen ± 0 0 :( ) ( ) ( + ) Etrempunkte ( 07) also: N ( /0) und N (0/0) und (/0) f() f () 6 f () + 6 p qformel + 07 ± N I. notwendige Bedingung: ) ( ) 09 6 ± 0 ( ) 9 + ( 6) p q Formel 6 :

13 II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von 09: f ( ) 6 ( ) + 6 ( ) + Überprüfung von 9: 0) III. y-koordinate des Wendepunktes bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): ( ) ( ) + ( ) + ( ) 6 0 f ( ) Der Wendepunkt hat also die folgenden Koordinaten: WP /0. f (0) 6 ( 0) + 6 ( 0) + Bei 09 findet also ein (-/+)- Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. f () 6 ( ) + 6 ( ) + Bei 9 findet also ein (+/-)- Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. 9. Wertemenge und Wertetabelle Es gilt: lim f() + und lim f() das heißt es gilt: \W IR. + -Wert y-wert III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ): f( 09) ( 09 ) + ( 09 ) + ( 09 ) 6 0 Eigenschaften N TP S y N WP N HP f(9) ( 9 ) + ( 9 ) + ( 9 ) 6 0 Somit ergeben sich die Punkte: TP ( 09/ 0) und HP(9/ 0). Skizze des Graphen. Wendepunkte I. notwendige Bedingung: 6 f ( ) II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : f (0) f () Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von f statt d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor.

14 Wendetangente: Allgemein gilt: t( ) m + b. WP( /0) ( ) 6 ( ) + 6 ( ) + m f Einsetzen: ( ) ( ) b 6 b + b also: t w () 6