Analysis Inhaltsverzeichnis

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1 Analysis Inhaltsverzeichnis 1. Verfahren zur Berechnung von Nullstellen Vier Ableitungsregeln Produktregel: Quotientenregel: Kettenregel: Ableitung der Umkehrfunktion Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Definitionsbereich: Symmetrie: Nullstellen (NST): Extrempunkte (Extrema): Wendepunkte (WP): Grenzwerte: Zeichnung: Wertebereich: Das Vorzeichenwechselkriterium Bei der Berechnung von HP / TP und SP: Bei der Berechnung der WP: Beispiel einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion: Kurvendiskussion einer Kurvenschar e-funktionen ln-funktionen Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion Tangente und Normale / Orthogonale: Tangente Normale / Orthogonale Die Ortskurve einer Kurvenschar: Extremwertaufgabe Allgemeine Vorgehensweise: Vokabelliste Steckbriefaufgaben Regel von l Hospital

2 15. Sinus- und Cosinus-Eigenschaften Sinus Cosinus Integralrechnung - Ober- und Untersumme (OS und US): Wie lautet eine zugehörige Stammfunktion? Zeige, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist Berechne den Wert des Integrals im vorgegebenen Intervall Berechne die Fläche, die der Graph von f(x) im Intervall [a, b] mit der x-achse einschließt Berechne die Fläche, die die Funktion f(x) mit der x-achse einschließt Berechne die Fläche, die von den Funktionen f(x) und g(x) eingeschlossen wird Aufgaben mit Parameter Nützliche Rechenregeln Volumenintegral/Rotationskörper Uneigentliche Integrale Allgemeine logarithmische Integration Partielle Integration (Produktintegration) Substitution

3 1. Verfahren zur Berechnung von Nullstellen Situation 1: x-term mit Zahl 3x + 12 = 0 3x = -12 Vorgehensweise: Normales Auflösen Zahl auf die rechte Seite bringen Durch Zahl vor dem x teilen x = -4 Situation 2: x²-term mit Zahl Vorgehensweise: Normales Auflösen 4x² - 64 = 0 Zahl auf die rechte Seite bringen 4x² = 64 Durch Zahl vor dem x teilen x² = 16 Wurzel ziehen x 1,2 = 4 Situation 3: x²-term und x-term Vorgehensweise: Ausklammern 5x² - 15x = 0 x ausklammern x ( 5x 15 ) = 0 x 1 = 0 x 2 = 3 5x 15 = 0 1. Lösung notieren! Klammerinhalt gleich Null setzen 2. Lösung berechnen Situation 4: x²-term, x-term und Zahl Vorgehensweise: abc-formel 3x² - 12x + 9 = 0 a = 3, b = -12, c = 9 x 1,2 = Formel: x 1,2 = b b² 4ac 2a x 1 = 3 ; x 2 = 1 3

4 Situation 5: x³-term, x²-term und x-term Vorgehensweise: Ausklammern 2x³ + 16x² + 24x = 0 x ausklammern x ( 2x² + 16x + 24 ) = 0 x 1 = 0 1. Lösung notieren 2x² + 16x + 24 = 0 Klammerinhalt gleich Null setzen abc-formel x 2 = -2 ; x 3 = -6 Mit einem der bekannten Verfahren weitere Lösungen bestimmen Situation 6: x³-, x²-, x-term und Zahl Vorgehensweise: Polynomdivision x³ - 3x² - 10x + 24 = 0 Eine Nullstelle durch Einsetzten erraten. f(x) durch (x geratene NST) teilen Geratene Nullstelle: x 1 = 2 (x³ - 3x² - 10x + 24) : (x 2) = x² - x 12 Für jeden Ergebnisteil folgende Frage be- -(x³ -2x²) antworten: Welcher Term mal x gibt den Term - x² - 10x der aktuell ganz vorne steht? -(-x² + 2x) Anschließend die gesamte hintere Klammer mit - 12x + 24 diesem Teil des Ergebnisses multiplizieren und -(-12x + 24) von dem aktuellen Teil der Funktion abziehen. 0 x² - x 12 = 0 Ergebnis der Polynomfunktion gleich Null setzen abc-formel x 2 = -3 ; x 3 = 4 Diese neue Gleichung mit einem bekannten Verfahren lösen (evtl. erneut Polynomdivision nötig!) Situation 7: x 4 -Term, x²-term und Zahl Vorgehensweise: Substitution 4x 4 26x² +6,25 = 0 x² durch z ersetzen x² = z Es entsteht eine Gleichung mit einem z²-term, einem z-term und einer Zahl 4z² - 26z + 6,25 = 0 abc-formel z 1 = 6,25 ; z 2 = 0,25 x 1,2 = 2,5 ; x 3,4 = 0,5 Diese Gleichung mit der abc-formel lösen Die für z berechneten Ergebnisse in Gleichung x² = z für z einsetzen und x freistellen (also einfach Wurzel ziehen!) 4

5 2. Vier Ableitungsregeln 2.1 Produktregel: Beispiel: Beispiel: f(x) = f (x) = u v u v 2.2 Quotientenregel: Beispiel: Beispiel: 2.3 Kettenregel: 2.4 Ableitung der Umkehrfunktion Beispiel: Beispiel: arc sin (x)= (äußere Ableitung mal innere Ableitung) 5

6 3. Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Bevor man mit der eigentlichen Kurvendiskussion beginnt, bildet man sinnvollerweise zuerst die ersten drei Ableitungen. 3.1 Definitionsbereich: Im Definitionsbereich liegen die Zahlen, die man für x einsetzen kann und die auch einen Funktionswert (Ergebnis) liefern. Für alle ganzrationalen Zahlen ist der Definitionsbereich komplett R (mit Doppelstrich) D= R 3.2. Symmetrie: - besteht die Funkion nur aus geraden Exponenten (0, 2, 4, ) ist sie symmetrisch zur y-achse achsensymmetrisch - bei ungeraden Exponenten ist sie symmetrisch zum Ursprung (0 0) punktsymmetrisch - bei sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten ist sie nicht symmetrisch zur y-achse und zum Ursprung. - Zu beachten: Zahlen ohne x gehören zur Gruppe der geraden Exponenten 3.3 Nullstellen (NST): Mit den Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-achse gemeint. Man setzt die Ursprungsfunktion f(x) = 0 und löst die Gleichung nach x auf mit einem bekannten Nullstellenverfahren siehe 1. Verfahren zur Berechnung von Nullstellen 3.4 Extrempunkte (Extrema): Hochpunkte (HP), Tiefpunkte (TP) und Sattelpunkte (SP): notwendiges Kriterium: f (x) = 0 löse mit einem Nullstellenverfahren - setze die Lösung des ersten Schrittes in die zweite Ableitung ein: 1. Fall: f (Lsg.) < 0 HP 2. Fall: f (Lsg.) > 0 TP hinreichendes Kriterium 3. Fall: f (Lsg.) = 0 SP falls f (Lsg.) 0 falls auch f (Lsg.) = 0 Siehe 4. Das Vorzeichenwechselkriterium - zur Berechnung der y-koord.setzt man die Lösungen des ersten Schrittes in die Ursprungsfunktion ein. 6

7 3.5 Wendepunkte (WP): - notwendiges Kriterium: f (x) = 0 löse mit einem Nullstellenverfahren - setze die Lösungen des ersten Schrittes in die dritte Ableitung ein (hinreichendes Kriterium). Für einen WP muss das Ergebnis 0 sein. - Sollte beim Einsetzen in die 3. Ableitung = 0 als Ergebnis herauskommen, so versagt unsere bisherige Vergehensweise zu HP / TP / SP und WP! In diesem Fall siehe 4. Das Vorzeichenwechselkriterium - Zur Berechnung der y-koord. setzt man die Lösungen des ersten Schrittes in die Ursprungsfunktion ein. 3.6 Grenzwerte: Mit den Grenzwerten einer Funktion ist das Verhalten der Funktion gemeint, wenn man auf der x-achse ganz weit nach rechts und ganz weit nach links geht. Bei einer ganzrationalen Funktion kommen als mögliche Ergebnisse nur und in Frage. Für das Endergebnis ist lediglich der Teilterm der Funktion verantwortlich, der den größten Exponenten beinhaltet. Schreibweise und Beispiel: Zeichnung: Sammle die Ergebnisse aus den Punkten 3-5 (NS, Extrema, WP) ein und zeichne sie in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Zeichne daraufhin den Funktionsgraphen. Nutze die Punkte 2 und 6 (Symmetrie und Grenzwerte) zur Kontrolle der Zeichnung. 3.8 Wertebereich: Im Wertebereich liegen alle Zahlen, die als Funktionswerte der Funktion vorkommen. Betrachte hierfür die Zeichnung. Beispiele: W= R W 7

8 4. Das Vorzeichenwechselkriterium Das Vorzeichenwechselkriterium wird in zwei Situationen angewendet: 4.1 Bei der Berechnung von HP / TP und SP: Sind an einer Stelle erste und zweite Ableitung gleich Null, so vermutet man, dass ein SP vorliegt. Dies ist aber nur der Fall, wenn die dritte Ableitung ungleich Null ist. Sollte die dritte Ableitung jedoch gleich Null sein, untersucht man die erste Ableitung links und rechts von dieser Stelle. Man unterscheidet die folgenden Fälle: a) Vorzeichenwechsel von: nach TP b) Vorzeichenwechsel von: nach HP c) kein Vorzeichenwechsel: nach und nach SP 4.2 Bei der Berechnung der WP: Ist an einer Stelle die zweite Ableitung gleich Null, dann liegt ein WP vor. In diesem Fall benötigt man das Vorzeichenkriterium nur, um die Art des Krümmungswechsels herauszufinden. Man unterscheidet die folgenden Fälle: a) Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung von nach : links-rechts WP (erst Links-, danach Rechtskrümmung bzw. -Kurve) b) Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung von nach : rechts-links WP (erst Rechts-, danach Linkskrümmung bzw. -Kurve) 8

9 5. Beispiel einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion: 1. Definitionsbereich: D= R 2. Symmetrie: Diese Funktion ist nicht symmetrisch zur y-achse und zum Ursprung, da sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten beinhaltet. 3. Nullstellen:? 4. Extrema:? HP(0,25 0,125) 5. Wendepunkte: Es gibt keine Wendepunkte! 7. Zeichnung: 6. Grenzwerte: 8. Wertebereich: W 9

10 6. Kurvendiskussion einer Kurvenschar In einer Kurvenschar ist neben dem x ein zweiter Buchstabe enthalten, der sogenannte Scharparameter. Dieser Parameter wird in allen Rechnungen wie eine normale Zahl behandelt. In sämtlichen Ergebnissen kann der Parameter enthalten sein, muss aber nicht. Beispiel: = - a>0 = 6ax = 6x -6a = keine Symmetrie, da gerade, als auch ungerade Exponenten vorhanden sind 3. = 0 0 = - 0 = (x-3a) = 0 0 = x-3a = 3a 4. = 0 0 = -6ax 0 = x (3x-6a) = 0 0 = 3x-6a = 2a = 6 0-6a = -6a Hochpunkt = -3a = 0 HP (0 l 0) = 6 2a -6a = 6a Tiefpunkt = -3a = -3a = - TP (2a l - ) 5. = 0 0 = 6x-6a x = a 6. = 6 Wendepunkt = -3a = - = - WP (a l - ) 7. Zeichnung nicht möglich 8. 10

11 7. e-funktionen Die e-funktion ist die einzige Exponentialfunktion, die sich beim Ableiten und Integrieren nicht verändert. Kurvendiskussion von e-funktionen Ableitung: Definitionsbereich: Symmetrie: Wird beim Ableiten der e-funktion die Produkt-oder Quotientenregel verwendet, so kann und sollte man in der Ableitung den e-term immer ausklammern. Bei Gleichungen, bei denen auf der rechten Seite eine 0 steht, ist der Aufbau mit dem ausgeklammerten e-term wie folgt nützlich: Der e-term kann nie 0 werden, daher muss lediglich der restliche Klammerterm gleich 0 gesetzt werden (in der jeweiligen Aufgabe notieren, dass der e-term nie 0 wird). alle Zahlen ( ) sind erlaubt Damit überhaupt Symmetrie vorliegen kann, dürfen im Exponenten von e lediglich gerade Exponenten vorkommen. Für den restlichen Term gelten dann die bekannten Regeln: nur gerade Exponenten nur ungerade Exponenten gerade und ungerade Exponenten achsensymmetrisch: f(-x) = f(x) punktsymmetrisch: f(-x) = -f(x) keine Symmetrie NST / Extrema /: Wendepunkte Grenzwerte: Sonstige Überlegungen sind analog zu der normalen Kurvendiskussion. Die Grenzwerte werden getrennt für den e-term und den restlichen Term der Funktion berechnet. Aus den beiden Teilergebnissen ergibt sich, wie in den folgenden Beispielen zu sehen ist, der Grenzwert der gesamten Funktion: Wertebereich: Den Wertebereich wie bisher an der Skizze ablesen (Hochpunkte/Tiefpunkte und Grenzwerte beachten). 11

12 8. ln-funktionen Besonderheiten bei der Kurvendiskussion von ln: 1. Der ln(0) ist nicht definiert (darf nicht gebildet werden)! 2. In den ln dürfen nur positive Zahlen eingesetzt werden, daher ist der Definitionsbereich immer eingeschränkt, daher ist auch keine Standard Symmetrie abzulesen 3. Ableitung von ln(x) = 4. Stammfunktion von ln(x) = x ln(x) x (mit Hilfe der partiellen Integration nachweisbar) 5. Bei der Berechnung der Extrema und der Wendepunkte fällt der ln meistens weg (siehe 3.) 6. Bei der Grenzwertbildung muss der Grenzwert an den beiden Rändern des Definitionsbereichs gebildet werden (nicht bei + und - ). Rechenregeln für ln

13 9. Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion 1. Definitionsbereich: Mit einem Nullstellenverfahren die Nullstellen des Nenners berechnen. Diese Werte werden aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Beispiel: f(x) = x² - 25 = 0 x 1/2 = 5 D= R \ { 5} 2. Symmetrie: 2.1 Achsensymmetrie: Sind Zählerfunktion und Nennerfunktion gerade, ist die gebrochen rationale Funktion achsensymmetrisch zur y-achse. Sind Zählerfunktion und Nennerfunktion ungerade, ist die gebrochen rationale Funktion achsensymmetrisch zur y-achse. 2.2 Punktsymmetrie: Ist die Zählerfunktion gerade und die Nennerfunktion ungerade, ist die gebrochen rationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Ist die Zählerfunktion ungerade und die Nennerfunktion gerade, ist die gebrochen rationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. 2.3 Keine Symmetrie: In allen anderen Fällen liegt keine Symmetrie vor. ACHTUNG: Für Nullstellen, Extrema und Wendepunkte gelten die berechneten Ergebnisse nur, wenn sie nicht in Punkt 1 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen wurden. 3. Nullstellen: Mit einem uns bekannten Nullstellenverfahren berechnen wir die Nullstellen des Zählers. Dies sind die Nullstellen der gesamten Funktion. Ist eine Nullstelle auch gleichzeitig Definitionslücke, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. Versuche in diesem Fall eine (einfachere) Ersatzfunktion zu finden, indem Du entweder etwas kürzen kannst oder indem Du eine Polynomdivision Zählerfunktion durch Nennerfunktion durchführst. Führe anschließend die verbleibende Kurvendiskussion für die berechnete Ersatzfunktion durch. In der Skizze trage an der Stelle der hebbaren Definitionslücke einen Kringel ein. 4. Extrema: Man bildet mit Hilfe der Quotientenregel die erste Ableitung. Setzt diese erste Ableitung gleich Null, in dem man nur den Zähler gleich Null setzt und wendet ein bekanntes Nullstellenverfahren an. Kontrollieren ob die Ergebnisse im Definitionsbereich liegen Ergebnisse in zweite Ableitung einsetzten Ergebnisse in Ursprungsfunktion einsetzten um Funktionswerte zu erhalten 13

14 5. Wendepunkte: Analoges Verfahren zur normalen Kurvendiskussion. 6. Grenzwerte: 6.1 Polstellen: Ist eine Definitionslücke nicht gleichzeitig Nullstelle des Zählers, handelt es sich um eine Polstelle. In diesem Fall geht durch die Polstelle eine senkrechte Asymptote (eingezeichnet als senkrechte, gestrichtelte Linie durch die Polstelle). Direkt links und direkt rechts der Polstelle verläuft die Funktion entweder Richtung + oder Richtung -. Um dies herauszufinden, bilde den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Polstelle. 6.2 Verhalten der Funktion für x --> + oder x --> - Vergleiche den größten Zählerexponenten mit dem größten Nennerexponenten. Es muss nicht zwischen + und - unterschieden werden, da der Grenzwert für alle gebrochen rationalen Funktionen identisch ist. 1. Fall: größter Zählerexponent < größter Nennerexponent: lim f(x) = 0 x -> ± Die Funktion nähert sich in beiden Richtungen an die x-achse an, die eine waagerechte Asymptote darstellt. 2. Fall: größter Zählerexponent = größter Nennerexponent: lim f(x) = c c = (Zahl vor größtem Zählerexp.) / (Zahl vor größtem Nennerexp.) x -> ± Die Funktion nähert sich in beiden Richtungen an die waagerechte Asymptote an, die in Höhe der y-achse durch c geht. Beispiel: f(x) = 54 x³ + 12 x² - 10x + 7 lim f(x) = 18 3x 3 12x² + 8 x -> ± 3. Fall: größter Zählerexponent > größter Nennerexponent: Führe eine Polynomdivision Zählerfunktion durch Nennerfunktion durch. Führe diese Division solange durch, wie möglich. Das Ergebnis der Division ist die Asymptotenfunktion, an die sich die Ursprungsfunktion für x -> ± annähert. Beispiel: f(x) = 6x³ + 4x² - 10x + 5x 3x² + 8x (6x³ + 4x² - 10x + 5x) : (3x² + 8x) = 2x x _ Asymptotenfunktion: y = 2x 4 - (6x³ + 16x²) 3x² + 8x - 12 x² -10x - (-12x² - 32x) 22x 7. Skizze: Wie bisher 8. Wertebereich: Wie bisher 14

15 10. Tangente und Normale / Orthogonale: t(x) P(1-2) f(x)=2x³-4x n(x) 10.1 Tangente Tangenten sind Geraden mit der allgemeinen Funktionsvorschrift t(x)= mx + b. Hierbei steht m für die Steigung und b für den Achsenabschnitt. Für den Punkt P( l ), in dem die Tangente einer Funktion berührt, gilt: 1. beide haben in diesem Punkt die gleiche Steigung 2. beide haben an dieser Stelle den gleichen Funktionswert (y) Für parallele Geraden gilt: Sie haben die gleiche Steigung. Beispiel: f(x) = - 4x t(x) = m x + b m: f (x) = 6-4 f (1) = 6 4 = 2 m = 2 t (x) = 2x + b b: f(1) = = - 2 P ( 1 l -2 ) -2 = b b = - 4 t(x) = 2x

16 10.2 Normale / Orthogonale - schneidet die Funktion in einem Punkt - steht senkrecht zur Tangenten Steigung der Normalen ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente - Funktionsgleichung: Berechnung (Beispiel von oben): Man berechnet die Steigung der Normalen mittels der Steigung des Punktes / der Tangente: Nun berechnet man b, indem man den Punkt in die Funktionsgleichung der Normalen einsetzt: 16

17 11. Die Ortskurve einer Kurvenschar: Zu jedem markanten Punkt (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt) einer Kurvenschar kann die so genannte Ortskurve ermittelt werden. Zum Beispiel liegen auf der Ortskurve eines Hochpunktes einer Kurvenschar alle Hochpunkte, egal welcher Wert für a in die Kurvenschar eingesetzt wird. Bestimmung der Ortskurve: 1. Setze einen in der Aufgabe bisher noch nicht verwendeten Buchstaben mit der x-koordinate des Punktes gleich, für den die Ortskurve ermittelt werden soll. 2. Löse diese Gleichung nach dem Parameter der Kurvenschar auf. 3. Setze diesen Term in die y-koordinate des Punktes ein, für den die Ortskurve ermittelt werden soll. 4. Vereinfacht man diesen Term (aus Punkt 3), erhält man die gesuchte Ortskurve. 5. Beachte, ob der Definitionsbereich der Ortskurve eingeschränkt werden muss, z.b. wenn alle Hochpunkte der Kurvenschar nur in einem Quadranten liegen. 6. Sind in der y-koordinate des Punktes, für den die Ortskurve ermittelt werden soll, Wurzeln vorhanden, so ersetze diese Wurzeln im Ganzen, indem Du folgendermaßen vorgehst: 6.1 Forme die Gleichung aus Punkt 1 zusätzlich so um, dass die Wurzel des Scharparameters (z.b.: = ) alleine auf einer Gleichungsseite steht. 6.2 Ersetze in der y-koordinate dann die gesamte Wurzel durch den Term aus Schritt 6.1 und setze nicht unter der Wurzel für den Parameter den Term aus Schritt 2 ein!! Beispiel: Ortskurve der Wendepunkte: a > 0 WP ( l ) t = a = in y-koord. a = --> = = -2,5 = -2,5 t > 0 17

18 12. Extremwertaufgabe Allgemeine Vorgehensweise: 1. Was soll minimiert bzw. maximiert werden? Mit welcher Formel kann dies berechnet werden? Dies ist die Hauptbedingung bzw. Extremalbedingung (HB bzw. EB)). Falls nötig, Skizze anfertigen. 2. HB als Funktion aufschreiben 3. Nebenbedingung (NB): Finde eine zweite Gleichung, in der dieselben Variablen wie in der HB enthalten sind. Orientiere dich an der in der Aufgabenstellung gegebenen Zahl (mit welchem Term kann diese Zahl berechnet werden?). Eine NB ist nur dann notwendig, wenn in der HB mehr als eine Variable vorkommt. 4. HB / Zielfunktion (ZF): Setze die NB in die HB ein und vereinfache so weit wie möglich. 5. Definitionsbereich: Gib an, in welchem Bereich die Variable der HB sinnvollerweise liegen kann. 6. Berechnung von HP bzw. TP: Berechne mit dem aus der Kurvendiskussion bekannten Verfahren HP bzw. TP. 7. Art der Extrema und Funktionswert: Überprüfe mithilfe der zweiten Ableitung, ob HP oder TP vorliegen. Setze die berechneten Werte in die Ursprungsfunktion ein, um die Funktionswerte (y-koord.) zu erhalten. Überprüfe in der Aufgabenstellung, ob weitere Größen gefragt sind und berechne diese gegebenenfalls. 8. Randextrema: Falls im Definitionsbereich aus (5) weitere Extrema außer dem von uns gesuchten HP bzw. TP liegen oder Definitionslücken enthalten sind, können Randextrema existieren: Setze die Grenzen des Definitionsbereichs hierfür in die HB ein. Sind diese Funktionswerte größer bzw. kleiner als der unseres berechneten HP bzw. TP, liegt ein Randextrema vor. In diesem Fall ist dieser Rand des Definitionsbereichs die Lösung unserer Aufgabe. 9. Antwortsatz: Gib alle gefragten Größen in einem Antwortsatz an. 18

19 13. Vokabelliste Steckbriefaufgaben Text f(x) ist achsensymmetrisch zur y-achse f(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung f(x) besitzt Grad a f(x) geht durch den Punkt P (a b) Information Alle ungeraden Exponenten fallen weg Alle geraden Exponenten fallen weg Der höchste Exponent ist a f(a) = b f(x) hat ein Extrema (HP/TP) an der Stelle x = a f (a) = 0 f(x) hat einen SP an der Stelle x = a f (a) = 0 und f (a) = 0 f(x) hat einen WP an der Stelle x = a f (a) = 0 f(x) geht durch den Ursprung f(0) = 0 Die Tangente bei x=a hat die Gleichung t(x)=m x+b Die Tangente an der Stelle x = a verläuft parallel zur Geraden g(x) = m x + b Die Tangente an der Stelle x = a verläuft senkrecht zur Geraden g(x) = m x + b f (a) = m und f(a) = t(a) f'(a) = m und f(a) = g(a) f'(a) = - (1/m) und f(a) = g(a) f besitzt an der Stelle x = a die Wendetangente t(x) = m x + b f (a) = m und f(a) = t(a) und f (a) = 0 f(x) hat an der Stelle x = a die Normale bzw. Orthogonale N(x) = m x + b f(x) schneidet den Graphen g(x) an der Stelle x=a f'(a) = - 1/m und f(a) = N(a) f(a) = g(a) f(x) schneidet den Graphen g(x) senkrecht an der Stelle x=a f(x) hat die gleichen NST wie g(x) f(x) hat an der Stelle x = a die Steigung m f (a) = - (1/ g (a)) g(x) = 0 -> Lösung = a -> f(a) = 0 f (a) = m f(x) schneidet die x-achse bei x = a unter dem Winkel f (a)= tan( ) und f(a) = 0 f(x) hat an der Stelle x = a einen Steigungswinkel f (a) = tan( ) f(x) berührt die x-achse bei x = a f(a) = 0 und f'(a) = 0 f(x) schneidet die y-achse bei y = b f(x) geht an der Stelle x = a knickfrei in g(x) über f(x) geht an der Stelle x = a ruckfrei in g(x) über f(0) = b f (a) = g (a) f (a) = g (a) f(x) hat die Nullstelle bzw. schneidet die x-achse bei x = a f(a) = 0 f(x) verläuft an der Stelle x = a am steilsten bzw. hat einen Krümmungswechsel bzw. die größte oder kleinste Steigung bzw. Wendepunkt: f (a) = 0 nimmt am stärksten zu oder ab f(x) hat an der Stelle x = a eine waagerechte bzw. horizontale bzw. f'(a) = 0 zur x-achse parallel verlaufende Tangente Falls vorhanden: Immer mit den Bedingungen f(0), f (0) oder f (0) beginnen! 19

20 14. Regel von l Hospital Beispiel: 15. Sinus- und Cosinus-Eigenschaften 15.1 Sinus punktsymmetrisch zu P(0 0): sin(x) = -sin(-x) Wertebereich: In Abhängigkeit von der jeweiligen Amplitude Periode von 2π: sin(x) = sin(x+2π) geht durch den Ursprung (P(0 0) Schnittpunkte mit der x-achse: o x1 = 0 + k*2π ; k Z o x2 = π + k*2π ; k Z Normaler Sinus: f(x) = sin(x) An der x-achse gespiegelt: f(x) = sin(-x) oder f(x)=-sin(x) 20

21 Sinuskurve um 2 nach oben verschoben: f(x) = sin(x)+2 Funktion um π/2 nach rechts verschoben: f(x) = sin(x-π/2) Amplitude ist 1,5: f(x) = 1,5 sin(x) 21

22 Periode auf π ändern: f(x) = sin(2x) Funktion um 2 nach rechts verschoben Amplitude ist 1,5 Periode ist 4π an x-achse gespiegelt: Allgemein: f(x) = a sin ( b ( x + c ) ) + k a = Amplitude: a > 1 strecken a < 1 stauchen b = Periode: Periode = 2π : b Beispiel: b = 0,5 Periode = 4π c = horizontale Verschiebung: c < 0 um c nach rechts c > 0 um c nach links k = vertikale Verschiebung: k < 0 um k nach unten k > 0 um k nach oben 22

23 15.2 Cosinus achsensymmetrisch zur y-achse: cos(x) = cos(-x) Wertebereich: In Abhängigkeit von der jeweiligen Amplitude Periode von 2π: cos(x) = cos(x+2π) schneidet die y-achse bei y=1 Schnittpunkte mit der x-achse: o x1 = 0,5 π + k * 2π ; k Z o x2 = 1,5 π + k * 2π ; k Z Normaler Cosinus: f(x) = cos(x) An der x-achse gespiegelt: f(x) = - cos(x) Um π nach links verschoben Amplitude ist 0,5 Periode ist π um 1 nach oben verschoben: 23

24 16. Integralrechnung - Ober- und Untersumme (OS und US): Um die Fläche zwischen einer Funktion und der x-achse zu berechnen, teilt man den entsprechenden Bereich in gleich breite Rechtecke ein: Untersumme: Hierbei lässt man die Anzahl der Rechtecke allgemein, so kann man später diese Anzahl gegen + lassen (Limes bilden) und erhält dann einen exakten Wert für die Fläche. laufen Der unterschiedliche Denkansatz zwischen Obersumme und Untersumme liegt darin, dass bei der Untersumme für die Höhe der Rechtecke der Funktionswert a den linken (bzw. unteren) Enden der Rechtecke genommen werden, während bei der Obersumme jeweils die rechten Enden (höhere Werte) der Rechtecke genommen werden. Bei einer konkreten Anzahl von Rechtecken nimmt man als Endergebnis für die gesuchte Fläche den Mittelwert zwischen Obersumme und Untersumme. Bei der Grenzwertbildung ist es bloß notwendig, die Obersumme zu berechnen, da bei diesem Verfahren die Unterschiede zwischen Obersumme und Untersumme wegfallen. Beispiel: f(x)=3x²+4 I=[0;5] n: Anzahl Rechtecke Obersumme = 0 (für n ) = 145 FE Anwendung: Das Bilden einer Stammfunktion (Integrieren) ist bei einigen Funktionen nur sehr schwer oder gar nicht möglich. In diesen Fällen greift man bei der Flächenberechnung auf das Verfahren der Obersumme und Untersumme zurück. 24

25 17. Wie lautet eine zugehörige Stammfunktion? Vorgehensweise: Umgekehrtes Ableiten von f(x) Das ist der einzige Aufgabentyp, wo das +c hinzu muss! Beispiele: Kettenregel (rückwärts) Zeige, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist Bei dieser Aufgabenstellung wird nicht versucht per integrieren die Stammfunktion zu erhalten! Es wird vielmehr die Stammfunktion F(x) abgeleitet und soweit umgeformt bzw. vereinfacht bis die Funktion f(x) entsteht. Vor allem bei e-funktionen, bei denen die Stammfunktion häufig nur sehr schwierig direkt berechnet werden kann, ist diese Aufgabenstellung beliebt! 19. Berechne den Wert des Integrals im vorgegebenen Intervall. Zu beachten: 1. Es müssen keine Betragsstriche gesetzt werden. 2. Es müssen keine Nullstellen berechnet oder beachtet werden. 3. Das Endergebnis kann eine negative Zahl sein. Beispiel: 25

26 20. Berechne die Fläche, die der Graph von f(x) im Intervall [a, b] mit der x-achse einschließt. Vorgehensweise: 1. Berechne die Nullstellen der Funktion. 2. Teile das gesamte Integral auf und berechne die Fläche jedes Teilintegrals, das durch die Intervallgrenzen bzw. die Nullstellen abgegrenzt wird. (Intervallgrenze Nullstelle Nullstelle Nullstelle Intervallgrenze) 3. Um jedes Teilintegral müssen Betragsstriche gesetzt werden, sodass jedes Teilergebnis eine positive Zahl ist. 4. Die Gesamtfläche ist die Summe aller Teilflächen. Beispiel: im Intervall [-3; 2] Nullstellen ( f(x) = 0) : Hinweis: Statt bei der Berechnung der Teilflächen um jeden einzelnen Zwischenschritt Betragsstriche zu setzen, kann der Wert des Integrals in einer Nebenrechnung ohne Betragsstriche bestimmt werden. Dieses Ergebnis kann dann direkt in den Ansatz mit Betragsstrichen eingesetzt werden. 21. Berechne die Fläche, die die Funktion f(x) mit der x-achse einschließt. Vorgehensweise: 1. Berechne die Nullstellen. 2. Integriere von Nullstelle zu Nullstelle. 3. Um jedes Teilintegral müssen Betragsstriche gesetzt werden, sodass jedes Teilergebnis eine positive Zahl ist. 4. Nutze eventuell vorhandene Symmetrie aus. Beispiel: 26

27 22. Berechne die Fläche, die von den Funktionen f(x) und g(x) eingeschlossen wird. Vorgehensweise: 1. Berechne die Schnittpunkte von f und g. 2. Integriere von Schnittpunkt zu Schnittpunkt. 3. Integriere über die Differenzfunktion f(x) g(x) (Vereinfache diese vor dem Integrieren soweit wie möglich). 4. Nullstellen der beteiligten Funktionen müssen bei dieser Aufgabenstellung nicht beachtet werden. 5. Bei dem Ansatz muss nicht beachtet werden, ob wir obere minus untere Funktion rechnen. Ist das Ergebnis positiv, so haben wir obere minus die untere Funktion gerechnet. Ist das Ergebnis negativ, nehmen wir den Betrag und wissen, dass wir untere minus die obere Funktion gerechnet haben. 6. Sonstige Betragsregeln wie bei Punkt 4 und 5. Beispiel: und f(x) = g(x) Schnittpunkt 23. Aufgaben mit Parameter Wird eine Kurvenschar integriert oder kommt als Integrationsgrenze ein Parameter vor, so ist in den meisten Aufgaben der Wert der Fläche gegeben und der jeweilige Parameter soll berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Berechne das Integral, in dem der Parameter bei allen Schritten wie eine Zahl behandelt wird. 2. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. 3. Setzte diesen Term mit dem in der Aufgabenstellung gegebenen Wert der Fläche gleich und berechne den Parameter. 4. Achte darauf, ob diese Fläche eventuell unter der x-achse liegt und nehme in diesem Fall für den vorherigen Schritt den negativen Wert der Fläche. 27

28 24. Nützliche Rechenregeln Volumenintegral/Rotationskörper Unter einem Volumenintegral versteht man, dass eine beliebige Funktion um die x-achse kreist (rotiert). Das dadurch entstehende Volumen berechnet man mit folgender Formel: Dieses Verfahren kann zur Volumenberechnung bei allen rotationssymmetrischen Körpern angewendet werden. Häufig ist zunächst eine Steckbriefaufgabe vorangestellt, um die jeweilige Randkurve des Körpers zu bestimmen. Handelt es sich nicht um eine Anwendungsaufgabe mit konkreten Einheiten (, ), lässt man das Volumenergebnis als Vielfaches von stehen (VE als Volumeneinheit des Endergebnisses). Rotation um die y-achse Entsteht ein Volumenintegral durch Rotation um die y-achse, muss zunächst die Umkehrfunktion gebildet werden (x und y vertauschen und nach y freistellen). Anschließend wird das Volumenintegral wie oben über die angegebenen Grenzen berechnet. Umkehrfunktion Beispiel: f(x) = 1 x = 1 = x + 1 y = 28

29 26. Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale beinhalten Aufgabenstellungen, bei denen eine Integrationsgrenze gegen plus oder minus Unendlich ( / ) oder gegen 0 geht. Obwohl keine endliche Integrationsgrenze vorliegt, kann die beschriebene Fläche oder das beschriebene Volumen einen endlichen Wert annehmen. Beispiel: 27. Allgemeine logarithmische Integration Ist die Stammfunktion eines Bruchs gesucht, bei dem im Zähler die Ableitung des Nenners steht, so kann die folgende Regel angewendet werden: Beispiel: 29

30 28. Partielle Integration (Produktintegration) Wie der Name dieses Integrationsverfahrens schon sagt, wird es immer dann angewendet, wenn ein Produkt integriert werden soll. Allerdings führt es nur dann zum Erfolg, wenn einer der beiden Faktoren beim Ableiten elementar einfacher wird (x-terme, -Terme, ln(x)). Eine weitere Einsatzmöglichkeit ist, dass das zu berechnende Integral auf der rechten Seite der Gleichung genauso wieder entsteht (siehe Beispiel 2). Die partielle Integration liefert nicht direkt eine Stammfunktion, sondern es entsteht viel mehr ein Integral, welches einfacher zu lösen ist, als das Ausgangsintegral. Bei einigen Produktintegralen muss die partielle Integration mehrfach durchgeführt werden, um zur Stammfunktion zu gelangen. Beispiel 1: u v Beispiel 2: u v 30

31 29. Substitution Bei der Substitution wird ein Teilterm der zu integrierenden Funktion durch z ersetzt. Ziel ist es dabei, eine leichter zu integrierende Ersatzfunktion herzustellen. Am Ende des Verfahrens, nachdem die Stammfunktion in Abhängigkeit von z gebildet wurde, werden alle existierende z durch den entsprechenden Substitutionsterm zurück ersetzt. Bei Aufgaben mit konkreten Integrationsgrenzen werden diese erst nach der Rücksubstitution eingesetzt. Bei der Substitution muss nicht nur jedes vorkommende x ersetzt werden, sondern auch das dx muss in einem Term mit dz überführt werden. Hierzu wird die Ableitung des Substitutionsterms gebildet (siehe Beispiel). Beispiel 1: z = x + 2 x = z 2 z = = 1 dz = dx (nicht immer gilt dz = dx!) Beispiel 2: z = 3x + 2 x = z = = 3 dz = dx 31