Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 11. Übung

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1 TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 06. Dezember 06 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur. Übung In beiden Beispielen wird eine vollständige Kurvendiskussion gezeigt. In den Übungsaufgaben/Klausuraufgaben werden in der Regel nur ausgewählte Aspekte der Kurvendiskussion gefragt. Beispiel - Kurvendiskussion für f(x) = e x cos(x) Definitionsbereich: es gibt keine Einschränkung des Definitionsbereiches (kein Teilen durch 0, keine Wurzeln oder Logarithmen); also: x R. Symmetrie: Wir unterscheiden in der HM nur zwischen Achsensymmetrie, Punktsymmetrie (zum Koordinatenursprung) und keiner Symmetrie. Unsere Funktion ist nicht achsensymmetrisch, da es x gibt für die f(x) = e x cos(x) e x cos(x) = e x cos( x) = f( x); und auch nicht punktsymmetrisch, da es x gibt für die f(x) = e x cos(x) e x cos(x) = e x cos( x) = f( x). Damit ist f nicht symmetrisch. Nullstellen: Für die Nullstellen lösen wir f(x) = e x cos(x) = 0. Da e x nicht 0 werden kann, muss an einer Nullstelle cos(x) = 0 gelten. Die Nullstellen des Kosinus sind x 0 = π + kπ, k Z und das sind auch die Nullstellen von f. Ableitungen: Bevor wir Extremwerte, Wendepunkte, Monotonie usw. betrachten, empfiehlt es sich meist zuerst die Ableitungen zu bestimmen. Wir erhalten f (x) = e x cos(x) + e x ( sin(x)) = e x (cos(x) sin(x)), f (x) = e x (cos(x) sin(x)) + e x ( sin(x) cos(x)) = e x sin(x), f (x) = (e x sin(x) + e x cos(x)) = e x (sin(x) + cos(x)). Extremstellen: Meist reicht für die Extremstellen die Betrachtung der. und. Ableitung. In unserem Fall gilt f (x) = e x (cos(x) sin(x)) = 0, wenn cos(x) = sin(x), da e x nicht 0 werden kann. Die Stellen an denen cos(x) = sin(x) ist, sind x E = π 4 +kπ, k Z und x E = 5π 4 +kπ, k Z. Hierfür schauen wir einfach

2 in der Formelsammlung in eine Tabelle mit speziellen Werten der Winkelfunktionen. Wir prüfen die. Ableitung und erhalten f (x E ) = e x E sin(x E ) = e x E < 0, da e x > 0 für alle x. Damit handelt es sich also an allen Stellen x E um Maxima. Für x E erhalten wir f (x E ) = e x E sin(x E ) = e x E > 0. Damit handelt es sich an allen Stellen x E um Minima. Zur Berechnen von sin(x E ) und sin(x E ) haben wir dabei einfach k = 0 gesetzt und die Werte π 4 und 5 4π in den Sinus eingesetzt. Die Vielfachen von π, die jeweils addiert würden, ändern am Wert des Sinus ja nichts. Wendepunkte: Wir betrachten die. und die 3. Ableitung und erhalten f (x) = e x sin(x) = 0, wenn sin(x) = 0. Das gilt, wenn x W = kπ, k Z. Wir prüfen die 3. Ableitung und haben f (x W ) = e x W (sin(x W ) + cos(x W )) = e x W cos(x W ) 0, da sin(x W ) = 0 und cos(x W ) = ± (abhängig von k). Monotonie: Wenn wir die Extremstellen berechnet haben, ist die Monotonie recht simpel: Wir haben Maxima bei x E = π 4 + kπ, k Z und Minima bei x E = 5π 4 + kπ, k Z. Da der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist (und somit keine Polstellen o.ä. auftreten), muss die Funktion fallen, wenn wir von einem Maximum zum nächsten Minimum gehen. Umgekehrt muss die Funktion steigen, wenn wir von einem Minimum zum nächsten Maximum gehen. Insgesamt ergibt das: f(x) ist monoton fallend, wenn π 4 + kπ < x < 5π 4 + kπ, k Z steigend, wenn 5π 4 + kπ < x < π 4 + (k + )π, k Z Krümmungsverhalten: Wir kennen bereits die Wendepunkte x W = kπ, k Z und müssen nun nur noch entscheiden zwischen welchen Wendepunkten die Funktion f konvex bzw. konkav ist. Die entscheidende Frage dabei ist, wann ist f (x) = e x sin(x) größer bzw. kleiner als 0. Der erste Teil der Antwort ist recht offensichtlich: f (x) > 0, wenn sin(x) < 0, f (x) < 0, wenn sin(x) > 0. Also müssen wir jetzt entscheiden wann sin(x) kleiner oder größer als Null ist. Mit Hilfe einer Wertetabelle oder unserer Vorstellung vom Einheitskreis kommen wir

3 dann auf sin(x) < 0, wenn π < x < π, sin(x) > 0, wenn 0 < x < π. Jetzt müssen wir nur noch an die Periodizität denken und erhalten: konvex(f > 0), wenn π + kπ < x < π + kπ, k Z f(x) ist konkav(f < 0), wenn 0 + kπ < x < π + (k + )π, k Z Verhalten im Unendlichen und an den Randpunkten des Definitionsbereichs: Da unser Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist, müssen wir lediglich das Verhalten im Unendlichen prüfen. Hier sind also die Grenzwerte f(x) und x zu berechnen. Für x erhalten wir f(x) = x x }{{} ex 0 f(x), cos(x) }{{} cos(x) = 0. Für x + ist klar, dass e x gegen + geht, wohingegen cos(x) die ganze Zeit zwischen und pendelt. Wir erwarten also, dass der Grenzwert von f immer zwischen + und hin und her pendelt; also unbestimmt divergiert. Um das zu begründen, nutzen wir wieder das Teilfolgenargument (siehe Lösungen zur 5. Übung, Aufgabe.l)). Wir wählen eine Teilfolge die gegen + divergiert, nämlich: x k = 0 + kπ. Für diese Teilfolge ist cos(x k ) = und somit f(x k) = k k ex k cos(x k ) = k ex k = +. Die zweite Teilfolge wählen wir als x m = π+mπ. Für diese Teilfolge ist cos(x m ) = und somit f(x m) = m m exm cos(x m ) = m exm =. Damit haben wir zwei Teilfolgen gefunden, die gegen unterschiedliche Werte divergieren und somit kann f(x) nicht existieren. Wertebereich: Ich empfehle den Wertebereich erst zu bestimmen, wenn alle anderen Punkte klar sind (insbesondere Verhalten im Unendlichen und am Rand des Definitionsbereiches). In unserem Fall wissen wir, dass x f(x) und dass f(x) nicht existiert, weil wir zwei Teilfolgen gefunden haben, die gegen + und divergieren. Da wir keine Definitionslücken haben und die Funktion überall stetig ist (sonst wäre sie nicht überall differenzierbar), muss der Wertebereich alles zwischen + und abdecken. Also ist der Wertebereich ganz R. Skizze: Zum Erstellen einer Skizze empfehle ich folgendes Vorgehen: wählen Sie 3

4 zuerst eine sinnvolle Achseneinteilung für die x-achse. In unserem Fall sollten dort Vielfache von π stehen. Markieren Sie dann die Grenzen des Definitionsbereichs (damit meine ich Definitionslücken, wenn es denn welche gibt); zeichnen Sie dann alle Nullstellen ein (oder ausgewählte Nullstellen, wenn es - wie hier - unendlich viele Nullstellen gibt). Als nächstes zeichnen Sie die Lage der Extrempunkte und Wendepunkte ein - hier geht es (meist) nur um ungefähre y-werte. Zeichnen Sie dann einige charakteristische Punkte ein - also Punkte, für die schöne Werte raus kommen. Bei uns z.b. f(0) =. Anschließend versuchen Sie die eingezeichneten Punkte zu verbinden. Als letztes sollten Sie, falls vorhanden, noch Asymptoten einzeichnen. In unserem Fall sieht eine Skizze in etwa so aus. Was hier nicht zu erkennen ist, in Ihrer Skizze aber nicht fehlen sollte, ist das Verhalten im Unendlichen. f(0) = f ( ) π 4 f ( ) π = 0 f ( ) π π = π f( 3 π) = 0 π/ π/ π 3π/ 0 f(x) = e x cos(x) Beispiel - Kurvendiskussion für f a (x) = x x a, a > 0 Definitionsbereich: Offenbar dürfen wir nicht durch 0 teilen - also muss x a. Weiterhin darf x nicht negativ sein (wegen der Wurzel). Also erhalten wir x [0, + )\{a }. Symmetrie: Da der Definitionsbereich nicht symmetrisch um die 0 liegt, kann die Funktion nicht symmetrisch sein. Nullstellen: Für die Nullstellen lösen wir f a (x) = x x a = 0. 4

5 Für x a können wir mit x a durch multiplizieren und erhalten x 0 = 0. Ableitungen: Wir erhalten f a(x) = f a (x) = x a x x x a ( x a) = x ( x a) = 4 x ( x a) ( x a ( x a), x a)( x a) x ( x a) 4 = ( x a) ( x 4a) 4 x ( x a) 3 = 3a x 4 x ( x a) 3. Die dritte Ableitung nutzen wir nicht - sie wäre ziemlich hässlich und wir können auch ohne sie die Wendepunkte finden. Extremstellen: Wir prüfen die notwendige Bedingung für Extremstellen: f a(x) = x a ( x a) = 0, das gilt, wenn x a = 0, also wenn x = a und somit xe = 4a. Wir prüfen die. Ableitung für x E = 4a und erhalten a (x E ) = 3a 4a 4 4a ( 4a a) = 3a a 3 4 a (a a) 3 = 8a 3 > 0, f da a > 0. Damit handelt es sich also an der Stelle x E um Minimum mit f a (x E ) = 4a. Wendepunkte und Krümmungsverhalten: Zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens und der Wendepunkte argumentieren wir über den Vorzeichenwechsel der. Ableitung. Das Vorzeichen von a (x) = 3a x 4 x ( x a) 3, f x 3a wird durch das Vorzeichen von 3a x ( = x a) 3 ( bestimmt; dieses wird wiederum x a) 3 durch die Vorzeichen von Zähler und Nenner bestimmt. Normalerweise müssten wir jetzt 4 Fälle betrachten (alle Kombinationen von positiven und negativen Vorzeichen in Zähler und Nenner) - da aber x a > x 3a ist, kommen wir hier mit 3 Fällen aus:. Fall: Wenn beide Vorzeichen negativ sind, also 0 > x a > x 3a, dann ist f a < 0 und f a ist konkav. Das gilt, wenn x < a.. Fall: Nur x 3a hat ein negatives Vorzeichen, also x a > 0 > x 3a. Dann ist f a > 0 und f a ist konvex. Das gilt, wenn a < x < 3a. 3. Fall: Beide Vorzeichen sind positiv, d.h. x a > x 3a > 0. Dann ist f a < 0 und f a ist konkav. Das gilt, wenn 3a < x. 5

6 Wendepunkte haben wir nun an den Stellen, an denen ein Vorzeichenwechsel der. Ableitung auftritt und die Funktion definiert ist. Damit handelt es sich bei der Stelle x = a nicht um eine Wendestelle, da fa für x = a nicht definiert ist. Die Stelle x = 3a also xw = 9a hingegen ist eine Wendestelle. Monotonie: Hier bietet es sich an die Monotonie aus dem Vorzeichen der. Ableitung abzulesen. Das Vorzeichen der. Ableitung f a(x) = x a ( x a), wird durch das Vorzeichen von x a bestimmt. Offenbar ist x a < 0, wenn x < 4a und x a > 0, wenn x > 4a. Also ist f a monoton fallend für x < 4a und monoton wachsend für x > 4a. Verhalten im Unendlichen und an den Randpunkten des Definitionsbereichs: Dieses Mal ist unser Definitionsbereich eingeschränkt, sodass wir die Grenzwerte berechnen müssen. Wir stellen fest, dass f a(x), f a (x), x 0 f a(x) = und offenbar f a (x) = x 0 x 0 Weiterhin und f a(x) und x a x x a L H = x x a = 0 0 a = 0. f a(x) = x a f a(x) = x a + Bei x = a liegt also eine Polstelle vor. x a x a + x a {}}{ x =, x a }{{} 0 a {}}{ x = +. x a }{{} 0 f a(x), x a + = x = +, Asymptoten: Wir unterscheiden zwischen vertikalen Asymptoten und nicht vertikalen Asymptoten. Vertikale Asymptoten treten bei Polstellen auf und haben die Form x = c, wobei c eine Konstante ist. In unserem Fall haben wir eine Polstelle bei x = a und das ist auch die Gleichung unserer vertikalen Asymptoten: x = a. Nicht vertikale Asymptoten beschreiben das Verhalten der Funktion, wenn x gegen ± geht. In unserem Fall entfällt die Untersuchung von. Das Mittel der Wahl 6

7 zur Bestimmung der Gleichung einer Asymptoten ist dabei die Polynomdivision. In unserem Fall ist das recht simple: wir berechnen x ( x a) = x + a + a ( x xa) xa x a ( xa a ) a Tatsächlich haben wir nichts anderes gemacht als die Funktion f a anders zu schreiben. In der Form f a (x) = x + a + a x a, sehen wir aber recht klar, dass sich die Funktion für x + wie x + a verhält. Das ist auch die Gleichung der gesuchten Asymptoten. Wertebereich: Wir wissen: Die einzige Nullstelle liegt bei x = 0. Die Funktion ist fallend bis x = 4a. Bei x = a haben wir eine Polstelle. Wenn wir uns von links annähern geht s gegen, von rechts gegen +. Ab x = 4a ist die Funktion steigend. Bei x = 4a liegt ein Minimum mit f a (4a ) = 4a. Wenn x + geht auch der Funktionswert gegen +. Aus den ersten drei Punkten können wir schlussfolgern, dass unsere Funktionswerte den ganzen Bereich zwischen 0 und abdecken, wenn sich x von 0 Richtung a bewegt. Die übrigen Anstriche erlauben die Schlussfolgerung, dass die Funktionswerte rechtsseitig der Polstelle von + kommen und bis zum Minimum bei x = 4a auf f a (4a ) = 4a fallen. Anschließend steigen sie wieder gegen +. Damit decken wir rechtsseitig der Polstelle alle Werte zwischen 4a und + ab. Zusammengefasst ergibt das: W fa = (, 0] [4a, + ). Skizze: Beim Zeichnen der Skizze gehen wir wie oben vor. Da die Funktion von a abhängt, empfiehlt es sich die Achseneinteilung ebenfalls in Abhängigkeit von a vorzunehmen - Maßstabstreue ist dabei nicht entscheidend - eher, dass charakteristische Punkte gut zu erkennen sind. Weiterhin ist es sinnvoll die Asymptoten ebenfalls einzuzeichnen. 7

8 x = a 4a f a (4a ) x + a f a (x) 4a 8