Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten"

Transkript

1 Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist, heißt Funktion: y = f x. x wird als unabhängig-veränderliche Größe, y als abhängig-veränderliche Größe bezeichnet. Ablesen von einander zugeordneten Werten

2 Wie der Abbildung zu entnehmen ist, wir jedem x ein eindeutiger Wert f x zugewiesen, d.h. die Zuordnung f x ist eine Funktion. Für die Umkehrung gilt dies nicht, da z.b. zum Wert f x = 8 zwei x-werte ( x = 2,52 und x = 8 ) gefunden werden können. Hat eine Funktion f auch die Eigenschaft, dass jedem Wert y B der abhängigen Variablen genau ein Wert x A der unabhängigen Variablen zugewiesen wird, so nennt man f umkehrbar oder bijektiv. Eine Zuordnung, die in beiden Richtungen eine Funktion ist, heißt bijektive Funktion. Definitionsmenge und Wertemenge Die Menge der Zahlen, welche die unabhängig-veränderliche Größe x annehmen kann, nennt man die Definitionsmenge D f der Funktion. Die Menge aller Werte, welche die abhängig-veränderliche Größe y annimmt, nennt man die Wertemenge W f der Funktion.

3 Minimum und Maximum Die größte und der kleinste Wert der Wertemenge W f heißen Maximum bzw. Minimum der Funktion. Eine Funktion kann, aber muss kein Maximum bzw. Minimum haben.

4 Monotonie Gilt für jedes Paar x 1, x 2 der unabhängig-veränderlichen Größe x aus einem Intervall I D f eine der folgenden Aussagen, so hat die Funktion f dort die jeweils angegebene Eigenschaft: x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I streng monoton steigend x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I monoton steigend x 1 x 2 f x 1 = f x 2 f ist in I konstant x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I streng monoton fallend x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I monoton fallend

5 Zeichnen von Funktionsgraphen aus Wertetabellen In einer Wertetabelle ist eine endliche Menge von Wertepaaren x, f x einer Funktion f gegeben. Diese werden als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Der Verlauf des Graphen zwischen den einzelnen Punkten ist unbestimmt. Die Darstellung des Graphen ist der Funktion angemessen zu wählen.

6 Termdefinierte Formeln Die Beschreibung von Gesetzmäßigkeiten in der Mathematik und/oder den Naturwissenschaften erfolgt mittels Funktionsgleichungen (auch Zuordnungsvorschrift oder Formel genannt). Die unabhängige Variable heißt Argument, die abhängige Variable heißt Funktionswert. Die korrekte Angabe einer Funktion besteht aus der Angabe der Definitionsmenge D f, der Wertemenge W f und der Zuordnungsvorschrift y = f x. Definitionsmenge und Wertemenge lassen sich nicht immer eindeutig bestimmen, in diesen Fällen verwendet man Obermengen, die dann als Argumentevorrat und Wertevorrat bezeichnet werden. Beispiel: f : N R, y = = D f = W f 1 1 n n

7 Graphisches Lösen von Gleichungen mit einer Variablen Nullstellen einer Funktion Jene Argumente x, deren Funktionswert y = 0 zugeordnet ist, heißen Nullstellen einer Funktion f. Die Lösungen einer Gleichung f x = 0 sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion y = f x. Verallgemeinerung des Verfahrens Es sei die Gleichung folgt um: x 3 = x 2 5 zu lösen. Zunächst formen wir die Gleichung wie x 2 5 = x 3 x 3 x 2 x 2 = 0 Nun bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f x = x 2 x 2. Diese Funktion schneidet die x/achse an den Stellen x 1 = 1 und x 2 = 2. x 1 und x 2 sind also Nullstellen der Funktion f(x) und damit gleichzeitig Lösungen der Gleichung

8 x 2 x 2 = 0 Wir können aber auch die Linke Seite der Gleichung x 3 = x 2 5 als Funktion g x = x 3 und die rechte Seite als Funktion h x = x 2 5 betrachten. Die Lösung der Gleichung x 3 = x 2 5 ergibt sich dann als Schnittpunkte der g x und h x. Die reellen Lösungen einer Gleichung f x = g x sind die x-koordinaten der Schnittpunkte der Funktionsgraphen f(x) und g(x). Lineare Eine Funktion f : R R mit der Funktionsgleichung heißt lineare Funktion. y = k x d mit k, d R 1. Ist d = 0, d.h. y = k x spricht man von einer homogenen linearen Funktion. 2. Ist d 0, d.h. y = k x d spricht man von einer inhomogenen linearen Funktion. 3. Ist k = 0, d.h. y = d spricht man von einer konstanten Funktion.

9 Satz: Der Graph einer reellen linearen Funktion y = k x d ist eine Gerade. Aus obigem Satz folgt, dass zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion nur zwei Punkte benötigt werden. Zusammenhang lineare Gleichungen lineare a x b = 0, a,b 0 inhomogene Funktion L = {x} a x = 0, a 0 homogene Funktion L = {0} a = 0, b 0 konstante Funktion L = {} a = 0 b = 0 konstante Funktion L = G Eigenschaften der Graphen linearer Stufenformel (allgemeine Form): Wächst das Argument einer linearen Funktion um Funktionswert um y = k x. x, so verändert sich der f x x = y x k x x R ; k R

10 Beweis: f x x = k x x d = = k x k x d = = k x d k x = = y x = y x k x Ändert sich das Argument um x = 1, verändert sich der Funktionswert um y = k 1 = k. Die konstante Größe k wird als Steigung der Geraden bezeichnet. Besondere Steigungen: k = 0 Der Funktionswert bleibt unverändert konstante Funktion k = 1 y = x Anstieg um 45 k = 1 y = x Anstieg um 135 = -45 k = y = Anstieg um 90 Ermitteln des Graphen einer linearen Funktion Aus der Funktionsgleichung y = k x d einer linearen Funktion kann der Funktionsgraph auf zwei Arten bestimmt werden: 1. Berechnung der Koordinaten zweier Punkte. 2. Geometrische Deutung der Funktionsgleichung. Ad 2) Der Funktionswert y 0 = 0 x d = d kann als Abstand der linearen Funktion vom Ursprung verstanden werden, bzw. bezeichnet der Punkt 0, y 0 = 0,d den Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse. Beim Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion trägt man den Abstand d (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) entlang der y-achse auf. Von diesem Punkt geht man dann x Einheiten nach rechts und geht dann (je nach Vorzeichen von k ) x k Einheiten nach oben bzw. unten.

11 Ermitteln der Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus dem Graphen Wir bestimmen aus dem Graphen die Koordinaten von zwei Punkten x 1, y x 1 und x 2, y x 2. Aus den Koordinaten dieser Punkte berechnen wir dann die Parameter k und d.

12 y x 1 = k x 1 d y x 2 = k x 2 d y x 1 k x 1 = d y x 2 k x 2 = d y x 1 k x 1 = y x 2 k x 2 k x 2 y x 1 k x 1 k x 2 = y x 2 y x 1 k x 1 k x 2 = y x 2 y x 1 k x 2 x 1 = y x 2 y x 1 x 2 x 1 k = y x 2 y x 1 x 2 x 1 Die Differenzen der x-koordinaten a = x 2 x 1 und b = y x 2 y x 1 bilden die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks, das als Steigungsdreieck bezeichnet wird. Wenn k berechnet ist, kann der Parameter d wie folgt berechnet werden:

13 y x 1 = k x 1 d d = y x 1 k x 1 y x 2 = k x 2 d d = y x 2 k x 2 Zusammenfassend gilt: Kennt man die Koordinaten x 1, y x 1 und x 2, y x 2 zweier Punkte, dann berechnen sich die Parameter k und d einer linearen Funktion aus: k = y x 2 y x 1 x 2 x 1 = b a x 1 x 2 d = y x 1 k x 1 = y x 2 k x 2 Der Ausdruck y x = y x y x 2 1 = b x 2 x 1 a wird als Differenzenquotient bezeichnet. Bei jeder linearen Funktion ist der Differenzenquotient y x konstant. Satz: Ist f eine lineare Funktion mit f x = k x d, dann gilt x R und x R : 1. f x 1 f x = k 2. f x x f x = k x 3. f x x f x = k x Deutung der Steigung: 1. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht der Änderung der Funktionswerte bei Vermehrung um 1 (Einheitsdeutung der Steigung) 2. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Faktor, mit die Änderung der Argumente multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte zu erhalten. Lineares Wachsen (Abnehmen) bedeutet: gleiche Zunahme (Abnahme) der Argumente (um x ) bewirkt stets gleiche Zunahme (Abnahme) der Funktionswerte (um k x ). 3. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente (Verhältnisdeutung der Steigung). Schieberegeln: Der Graph der Funktion y = f x a entsteht durch Verschieben des Graphen von y = f x um a Der Graph der Funktion y = f x a entsteht durch Verschieben des Graphen von y = f x um a

14 Einheiten parallel zur y-achse. Ist a positiv, so schiebt man nach oben ist a negativ, so schiebt man nach unten Einheiten parallel zur x-achse. Ist a positiv, so schiebt man nach rechts ist a negativ, so schiebt man nach links Direkte Proportionalität und linearer Zusammenhang Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch die homogene lineare Funktion y = k x beschreiben lässt, so sagt man: die Größen x und y stehen in einem direkt proportionale Verhältnis mit dem Proportionalitätsfaktor k zueinander. Satz: Ist f eine direkte Proportionalität mit f x = k x, dann gilt: 4. f a x = a f x 5. f x y = f x f y 6. k = f 1 7. f x = k x für x 0 Sind die Funktionswerte zu den Argumenten direkt proportional, dann sind auch die Argumente zu den Funktionswerten direkt proportional, kurz: die Funktionswerte und die Argumente sind zueinander direkt proportional. v R : y = k x v y = k v x Direkter Schluss von der Einheit auf die Mehrheit Direkter Schluss von der Mehrheit auf die Einheit Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch die inhomogene lineare Funktion y = k x d beschreiben lässt, so sagt man: die Größen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang.

15 Indirekte Proportionalität vom Typ y = c x Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch eine Funktion des Typs y = c beschreiben lässt, so sagt man: die Größen x und y stehen in einem x indirekt proportionale Verhältnis zueinander mit der Proportionalitätskonstanten c. Zur Überprüfung, ob zwei Größen zueinander in einem indirekt proportionalen Verhältnis stehen, gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Aus der Funktionsgleichung f x = c x x f x = c konstant sein muss. ergibt sich durch Umformung, dass 2. Im Falle einer indirekten Proportionalität muss für je zwei Wertepaare x 1 f x 1 und x 2 f x 2 gelten: f x 1 = c x 1 und f x 2 = c x 2. f x 1 f x 2 = x 2 x 1 Diese Bedingung folgt unmittelbar aus Satz: Ist f eine indirekte Proportionalität mit f x = c x, dann gilt: 1. f a x = f x für a 0 2. c = f 1 3. f x x = c a Sind die Funktionswerte zu den Argumenten indirekt proportional, dann sind auch die Argumente zu den Funktionswerten indirekt proportional, kurz: die Funktionswerte und die Argumente sind zueinander indirekte proportional.

16 vom Typ y = c x a Den roten Graphen der Funktion y = c x a erhält man aus der Funktion f x = c x mit Hilfe der Schieberegeln durch Verschieben um a Einheiten parallel zur x- Achse. Bei a 0 erfolgt eine Verschiebung nach rechts. vom Typ y = Den roten Graphen der Funktion y = c x a d erhält man aus der Funktion f x = c mit Hilfe der x Schieberegeln durch Verschieben um a Einheiten parallel zur x- Achse. c x a d Bei a 0 erfolgt eine Verschiebung nach rechts. Anschließend wird die Funktion y = c um d Einheiten parallel zur y-achse verschoben. Bei d`>`0 erfolgt eine x a Verschiebung nach oben.

17 vom Typ y = a x 2 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = a x 2 mit der Konstanten a 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 2 direkt proportional. Wenn a > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Quadrat von x zu. Der Graph einer Funktion vom Typ y = a x 2 ist eine Parabel, deren Scheitel im Koordinatenursprung und deren Achse die y- Achse ist. vom Typ y = c x 2 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = c x 2 mit der Konstanten c 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 2 indirekt proportional. Wenn c > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Quadrat von x ab.

18 Der Graph einer Funktion vom Typ y = c x 2 ist eine Kurve, deren beide Äste symmetrisch zur y- Achse liegen. Die Kurve hat die x- und die y- Achse als Asymptoten. An der Stelle x`=`0 hat die Kurve eine Polstelle. Sie ist dort nicht definiert. vom Typ y = a x 3 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = a x 3 mit der Konstanten a 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 3 direkt proportional. Wenn a > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Kubus von x zu. Der Graph einer Funktion vom Typ y = a x 3 ist auf der gesamten Grundmenge definiert. Die Funktion ist streng monoton steigend, ihr Graph geht durch den Ursprung und ist zur x-achse symmetrisch.

19 vom Typ y = c x 3 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = c x 3 mit der Konstanten c 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 3 indirekt proportional. Wenn c > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Kubus von x ab. Der Graph einer Funktion vom Typ y = c x 3 ist eine Kurve, deren beide Äste symmetrisch zur x- und zur y-achse liegen. Die Kurve hat die x- und die y-achse als Asymptoten. An der Stelle x = 0 hat die Kurve eine Polstelle. Sie ist dort nicht definiert. vom Typ y = ax 2 bx c Der Graph von y = ax 2 bx c ist eine Parabel, deren Achse parallel zur y-achse ist. 4ac b2 4a. Der Parabelscheitel liegt im Punkt S = b 2a Zusammenhang quadratische Gleichungen vom Typ y = ax 2 bx c Die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen lautet: In Abhängigkeit vom Wert der Diskriminante Lösung: x 1,2 = b 2a ± b2 4ac 2a D = b 2 4ac ergeben sich 2, 1 oder keine

20 D = b 2 4ac 0 2 Lösungen D = b 2 4ac = 0 1 Lösung D = b 2 4ac 0 keine Lösung

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion : Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Lösen einer Gleichung

Lösen einer Gleichung Zum Lösen von Gleichungen benötigen wir: mindestens einen Term eine Definition der in Frage kommenden Lösungen (Grundmenge) Die Grundmenge G enthält all jene Zahlen, die als Lösung für eine Gleichung in

Mehr

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die

Mehr

1 Analysis Kurvendiskussion

1 Analysis Kurvendiskussion 1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise

Mehr

x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend.

x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend. Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x 2, D = R, heißt Quadratfunktion. Ihr Graph heißt Normalparabel. Wertetabelle

Mehr

Relationen / Lineare Funktionen

Relationen / Lineare Funktionen Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS . Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und

Mehr

Formelsammlung Mathematik 9

Formelsammlung Mathematik 9 I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen

Mehr

Grundwissen Mathematik JS 11

Grundwissen Mathematik JS 11 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn

Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient für alle Wertepaare gleich ist. ( Quotientengleichheit

Mehr

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen F u n k t i o n e n Potenzfunktionen Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer (*907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht

Mehr

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu.

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Basistext Funktionen Definition Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Man schreibt: f: x -> y mit y = f(x) Die Wertemenge einer Funktion f besteht aus

Mehr

+ 2. Bruchgleichungen

+ 2. Bruchgleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen Bruchgleichungen. Definitionsmenge: Nenner 0 Lösungsweg: 1. Multiplikation mit dem Hauptnenner 2. Äquivalenzumformungen

Mehr

Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in Scheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform. y 2 x 2x 3 2 ausklammern. Binom.

Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in Scheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform. y 2 x 2x 3 2 ausklammern. Binom. Parabel zeichnen Parabel zeichnen Schritt für Schrittanleitungen unter www.fraengg.ch Klasse, GeoGebra) Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in Scheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Expertenpuzzle Quadratische Funktionen

Expertenpuzzle Quadratische Funktionen Phase 1 Lösung für die Expertengruppe I Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen a : x x, b : x x 0,5, c : x x und d: x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G a von a, also

Mehr

3 Lineare und quadratische Funktionen

3 Lineare und quadratische Funktionen 3 Lineare und quadratische Funktionen 31 Lineare Funktion Eine Funktion der Art f : mx + t, sind reelle Zahlen) x D heißt lineare Funktion (m und t Man kann die Funktionsgleichung auf zwei verschiedene

Mehr

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: 1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen

Mehr

Repetitionsaufgaben: quadratische Funktionen

Repetitionsaufgaben: quadratische Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: quadratische Funktionen Zusammengestellt von Bruno Wyrsch und Erich Huber, KS Seetal Inhaltsverzeichnis 1. Einführungsbeispiel.... Allgemeine Form der

Mehr

Wahlfach Mathematik: Funktionen

Wahlfach Mathematik: Funktionen Wahlfach Mathematik: Funktionen In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-wert)

Mehr

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x = WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote.

Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote. G13-2 KLAUSUR 24. 02. 2011 1. Pflichtteil (1) (2 VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e2x 1 e x und vereinfachen Sie gegebenenfalls. (2) (2 VP) Geben Sie für die Funktion f(x) = (5 + 3 ) 4

Mehr

Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen

Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Lineare Funktionen und Proportionalität

Lineare Funktionen und Proportionalität Lineare Funktionen und Proportionalität Rainer Hauser Dezember 2013 1 Allgemeine Funktionen 1.1 Blackboxmodell einer Funktion Eine Funktion liefert für Eingabewerte x, die man ihr gibt, Ausgabewerte y.

Mehr

Funktionen. Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts

Funktionen. Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Funktionen Allgemeines Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Ein Lesetext Datei Nr. 800 Stand: 5. Juli 0

Mehr

Kreuze nur die zutreffenden Eigenschaften für die folgenden Funktionen im richtigen Feld an!

Kreuze nur die zutreffenden Eigenschaften für die folgenden Funktionen im richtigen Feld an! Teil : Grundkompetenzen ( Punkte) Beispiel : ( Punkt) Die nebenstehende Graphik stellt ein eponentielles Wachstum der Form f() = a b (a, b R + ) dar. Bestimme aus dem Graphen die Werte der Konstanten a

Mehr

Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet.

Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet. 8. Funktionen: Wird jeder reellen Zahl x aus einem Definitionsbereich ID durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift f eine reelle Zahl y = f(x) zugeordnet, dann heißt f eine reelle Funktion. x heißt die

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

Expertenpuzzle Quadratische Funktionen

Expertenpuzzle Quadratische Funktionen Phase 1 Aufgaben für die Expertengruppe I Im Folgenden sollen die in IR definierten Funktionen a : x x, b : x x 0,5, c : x x und d: x x 3 untersucht werden. Die Abbildung zeigt den Graphen G a von a, also

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-10

Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-10 Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-0 Aufgaben Richtig Themengebiet : Terme /. Vereinfache: (9x ) + 3x xy + x ( 3xy) (x + 3) (x ) + (x + 3)² abc 5x 0 3yx x +. Kürze: a) b) c) d) 5a² b 5

Mehr

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte 166 FUNKTIONSUNTERSUCHUNGEN 3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte Einführung (1) Anschauliche Erklärung des Begriffs Wendepunkt Bei Motorradrennen lässt sich beobachten, wie sich die Motorradfahrer beim

Mehr

Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert Download Jens Conrad, Hard Seifert Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Neue Aufgaben, Februar 2007

Neue Aufgaben, Februar 2007 1. Der Fußball-Globus Neue Aufgaben, Februar 007 Ein begehbarer Fußball-Globus machte bis zur Fußball-Weltmeisterschaft 006 eine Reise durch alle zwölf Austragungsorte der Weltmeisterschaft. In diesem

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................

Mehr

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analsis 1... 6 Wahlteil Analsis... 9 Wahlteil Analsis 3... 13 Wahlteil Analtische Geometrie 1... 16 Wahlteil Analtische Geometrie... 3 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation

Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen Idee der Koordinatentransformation Rahmenlehrplan Berlin P4 9/10: Situationen mit n und Potenzfunktionen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Die folgende Abbildung zeigt dir, wie man mit Hilfe des Brennstrahls und des Parallelstrahls das Bild bestimmen kann.

Die folgende Abbildung zeigt dir, wie man mit Hilfe des Brennstrahls und des Parallelstrahls das Bild bestimmen kann. Begleitmaterial zum Modul Bruchgleichungen Die folgende Abbildung zeigt dir, wie man mit Hilfe des Brennstrahls und des Parallelstrahls das Bild bestimmen kann.. Führe eine entsprechende Konstruktion selbst

Mehr

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten

Mehr

Affine Funktionen. ANALYSIS Kapitel 2 SprachProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich

Affine Funktionen. ANALYSIS Kapitel 2 SprachProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Affine Funktionen ANALYSIS Kapitel 2 SprachProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 11. August 2016 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen:

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

1. Mathematikschulaufgabe

1. Mathematikschulaufgabe . Mathematikschulaufgabe. Stelle die folgende Produktmenge im Koordinatensystem dar: M = [ -2; +2 ] Q x [ -2; + ] Q 2.0 Gegeben ist die Funktion f: y = 2 + x G= Q x Q 2. Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem.

Mehr

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2010 9. April 2010 Eine Maximumsaufgabe Eine Firma stellt aus

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl0-Gruppe B. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x =0.8 2 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( )

Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( ) 1.1 Der Kreis Der Kreis Umfang Flächeninhalt Der Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunktswinkel Bogenlänge Flächeninhalt Grundwissen 10. Klasse Mathematik Wie ändert sich der Flächeninhalt eines

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A 1. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x = 0,5 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe

Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe Halbjahr 10. 1 Schwerpunkt Inhaltsbezogene Prozessbezogene Arithmetik/Algebra Zahlenmengen (LS10 Kap. I) Angabe von Zahlenmengen mit der Intervall-

Mehr

4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen

4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen .. Aufgaben zu quadratischen Funktionen Aufgabe : Stauchung und Streckung der Normalparabel a) Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen in das Koordinatensstem. b) Vervollständige die darunter

Mehr

24.1 Überblick. 24.2 Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen

24.1 Überblick. 24.2 Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4.1 Überblick Die Interpolationsaufgabe haben wir bereits in Kapitel 7 (Band Analysis 1) untersucht. Als Auffrischung: Zu n vorgegebenen

Mehr

Inhaltsverzeichnis Mathematik

Inhaltsverzeichnis Mathematik 1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)

Mehr

Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse

Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse Aufgaben zu Inhalten der 5. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) September 2010 Zahlbereiche Es gibt Gleichungen, die (1) in Z, nicht aber in N, (2) in Q, nicht

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Korrekturheft zur Probeklausur März 2014.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Korrekturheft zur Probeklausur März 2014. Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Korrekturheft zur Probeklausur März 2014 Teil-1-Aufgaben Aufgabe 1 Gleichung interpretieren + y = 24 = 2y Ein Punkt ist genau dann

Mehr

Repetitionsaufgaben: Quadratische Funktionen

Repetitionsaufgaben: Quadratische Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Quadratische Funktionen Zusammengestellt von Felix Huber, KSR Lernziele: - Sie wissen, dass der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist

Mehr

Quadratische Funktionen (Parabeln)

Quadratische Funktionen (Parabeln) Quadratische Funktionen (Parabeln) Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion = () x. Berechne mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionswerte von bis + im Abstand 0,. Zeichne anschließend die Punkte

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik Grundlagen für das Unterrichtsfach Mathematik für die Fachhochschulreifeprüfung Zweijährige Höhere Berufsfachschule Berufsoberschule I Duale Berufsoberschule Inhalt 0. Vorwort...

Mehr

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,

Mehr

1 Funktionen. 1.1 Zuordnungen

1 Funktionen. 1.1 Zuordnungen 2 1 Funktionen Der Begriff der Funktionen, oder noch allgemeiner der Zuordnungen, ist grundlegend für die Mathematik und ihre Anwendung. Er ist so wesentlich, dass er fast immer auftaucht. Dabei wird er

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

6 Trigonometrische Funktionen

6 Trigonometrische Funktionen 6 Trigonometrische Funktionen 6. Definition Die Trigonometrischen Funktionen (oder Winkelfunktionen) Sinus-, Kosinusund Tangensfunktion stellen den Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis dar.

Mehr

Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke

Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke linft.nb Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke. Steigung und Gefälle einer Strasse Einleitung: -Wie würden Sie die Steilheit einer Strasse "messen"? Wie kann man die Steilheit einer Strasse, einer

Mehr

Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen

Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Aufgabe : Eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion.Ordnung hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y = 7x und in

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = 3x + 7 und f (x) = x 13! Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der

Mehr

MATHEMATIK GRUNDWISSEN 8. KLASSE LESSING-GYMNASIUM

MATHEMATIK GRUNDWISSEN 8. KLASSE LESSING-GYMNASIUM MATHEMATIK GRUNDWISSEN 8. KLASSE LESSING-GYMNASIUM NEU-ULM Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite von I. Funktionen. Direkt proportionale Zuordnungen und sind direkt proportional, wenn, zum n-fachen Wert für der

Mehr

Gleichungsarten. Quadratische Gleichungen

Gleichungsarten. Quadratische Gleichungen Gleichungsarten Quadratische Gleichungen Normalform: Dividiert man die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung durch a, erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung. x 2 +px+q=0 Lösungsformel:

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

STOFFPLAN MATHEMATIK

STOFFPLAN MATHEMATIK STOFFPLAN MATHEMATIK 1. Semester (2 Wochenstunden) Mengenlehre Reelle Zahlen Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten Funktionen und ihre Graphen Lineare Funktionen Aufgaben aus der

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

Die berufsbildenden Schulen im Land Bremen. Handelsschule. Mathematik. Rahmenplan. Freie Hansestadt Bremen. Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft

Die berufsbildenden Schulen im Land Bremen. Handelsschule. Mathematik. Rahmenplan. Freie Hansestadt Bremen. Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft Die berufsbildenden Schulen im Land Bremen Handelsschule Mathematik Rahmenplan Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft Freie Hansestadt Bremen 2 Handelsschule Rahmenplan Mathematik Herausgegeben von

Mehr

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben

Mehr

Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Bestimmung ganzrationaler Funktionen Bestimmung ganzrationaler Funktionen 30 0 0-50 -40-30 -0-0 0 0 30 40 50 x. Eine Brücke ist 30 m hoch und hat eine Spannweite von 00 m. Welche Parabel beschreibt die Krümmung des Stützbogens? Wir führen

Mehr

GRUNDKURS MATHEMATIK. Zahlenmengen. Natürliche Zahlen. Ganze Zahlen. Gebrochene Zahlen { } Rationale Zahlen { } Irrationale Zahlen { } Reelle Zahlen

GRUNDKURS MATHEMATIK. Zahlenmengen. Natürliche Zahlen. Ganze Zahlen. Gebrochene Zahlen { } Rationale Zahlen { } Irrationale Zahlen { } Reelle Zahlen GRUNDKURS MATHEMATIK Zahlenmengen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen : 0, 1, 2, 3, Gebrochene Zahlen { } : 0, -1, 1, - Rationale Zahlen { } : 0,,, - Irrationale Zahlen { } : 0, -, Reelle Zahlen Addition und

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare Funktionen kinderleicht erlernen

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare Funktionen kinderleicht erlernen Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: kinderleicht erlernen Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Ab 8. Schuljahr Friedhelm Heitmann Lineare Funktionen...

Mehr

BOS - MATHEMATIK. Hilfe vor den Eintritt und zur einfacheren Verständnis im Fach Mathematik der Berufsoberschule.

BOS - MATHEMATIK.  Hilfe vor den Eintritt und zur einfacheren Verständnis im Fach Mathematik der Berufsoberschule. BOS - MATHEMATIK Eine Zusammenfassung über die Grundlegenden Themen im Fach Mathematik für die Vorbereitung zur Berufsoberschule (Klasse 12). Hilfe vor den Eintritt und zur einfacheren Verständnis im Fach

Mehr

/46. Abschlussprüfung Fachoberschule 2013 Mathematik

/46. Abschlussprüfung Fachoberschule 2013 Mathematik Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Aufgabenvorschlag B /46 Am. Februar 0 wird um 4:00 Uhr ein Erdbeben mit der Anfangsstärke auf der sogenannten Richter-Skala gemessen. Das Beben dauert etwas länger als

Mehr

Numerische Ableitung

Numerische Ableitung Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:

Mehr

12.4 Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen

12.4 Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen 1. Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen 1..1 Kostenfunktion a) Vorgaben und Fragestellung Die Materialkosten für die Herstellung eines Stücks belaufen sich auf CHF 1.--. Die anteilmässigen

Mehr

Ergänzungen zum Fundamentum

Ergänzungen zum Fundamentum Matura 2014 - Mathematik - Gymnasium Immensee 2 Ergänzungen zum Fundamentum Abstand eines Punktes zu einer Geraden d = AP v v Substitution ohne Grenzen Mit u = g(x) gilt: f(g(x))dx = 1 u f(u)du Matura

Mehr

Leistungsbeurteilung aus Mathematik 7. Klasse

Leistungsbeurteilung aus Mathematik 7. Klasse Leistungsbeurteilung aus Mathematik 7. Klasse Für die Leistungsbeurteilung wird ein Punktesystem herangezogen. Die Semesterpunktezahl setzt sich wie folgt zusammen: a) ca. 65% der erreichten Punkte bei

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

ABITURPRÜFUNG 2002 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)

ABITURPRÜFUNG 2002 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) ABITURPRÜFUNG 00 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 10 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben

Mehr

2.2 Funktionen 1.Grades

2.2 Funktionen 1.Grades . Funktionen.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis) Inhaltsverzeichnis Was ist eine Funktion.Grades? Die Steigung einer Geraden. Die Definition der Steigung.................................... Die Berechnung

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste

Mehr

Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 7. September 0 Inhaltsverzeichnis Gebrochenrationale Funktion Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad

Mehr