mathphys-online QUADRATISCHE FUNKTIONEN

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1 QUADRATICHE FUNKTIONEN

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt eite Zuordnungsvorschriften, Funktionsgraph ymmetrie. ymmetrie zur. ymmetrie zu einer Parallelen zur Nullstellen Anzahl der Nullstellen 7 cheitel der allgemeinen Parabel. cheitelbestimmung mithilfe der Nullstellenformel 8. cheitelbestimmung mithilfe der quadratischen Ergänzung 9 Bestimmung von Funktionstermen 0 7 Ungleichungen 8 Parabel und Gerade 9 Weitere Eigenschaften der Quadratfunktion 9. Beschränktheit und Wertemenge 9. Monotonie Graphiken erstellt mit Mathcad Januar 0

3 Zuordnungsvorschriften, Funktionsgraph Definition f : IR IR Eine Funktion der Art x ax bx c a, b,c IR a 0 heißt Quadratfunktion oder Parabel. Allgemeine Form (Polynomform): f(x) ax bxc air\{0}, x,b,c IR cheitelform mit cheitel: f(x) ax p q p/q Produktform: f(x) a x x x x mit den Nullstellen x und x. Beispiele Normalparabel: x Allgemeine Form: f(x) x x cheitelform: f(x) x Produktform: f(x) xx

4 Einfluss der Parameter Im Folgenden soll untersucht werden, welchen Einfluss die einzelnen Parameter auf den Graphen der Quadratfunktion haben. Dazu wird jeweils nur ein Parameter verändert.. Fall: f(x) a x a > 0 a < a = a = a = 0, a = a = a = 0, atz Der Graph der Funktion f(x) a x entsteht aus dem Graphen der Funktion x durch trecken in y-richtung mit dem Faktor a. Für a wird die Parabel schlanker, für a breiter als die Normalparabel. Für a > 0 sind die Parabeln nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.. Fall: f(x) x q q 0: Normalparabel (a = ) mit cheitel (0 / 0) q 0: Nach oben verschobene Normalparabel mit cheitel (0 / q) q 0: Nach unten verschobene Normalparabel mit cheitel (0 / q) 0

5 . Fall: f(x) x p p 0: Normalparabel (a = ) mit cheitel (0 / 0) p 0: Nach rechts verschobene Normalparabel mit cheitel (p / 0) p 0: Nach links verschobene Normalparabel mit cheitel (p / 0) 0 atz Der Graph der Funktion f(x) ax p q entsteht aus dem Graphen der Funktion y-richtung um q Einheiten. x durch Verschieben in x-richtung um p Einheiten und durch Verschieben in ymmetrie. ymmetrie zur Eine Funktion f heißt achsensymmetrisch bzgl. der, falls gilt: f( x) f(x) Beispiel f(x) ax q f( x) a x q ax q f(x) Achsensymmetrie zur. Folgerung Die Parabeln f(x) ax q a IR \ {0} sind achsensymmetrisch bzgl. der.

6 . ymmetrie zu einer Parallelen zur Allgemeine Herleitung Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) ax p q. Das ist eine Parabel mit dem cheitel (p/q). Behauptung: Parabeln sind achsensymmetrisch bzgl. einer senkrechten Geraden x = p durch den cheitel. Beweis: Die Parabel f wird durch eine Koordinatentransformation in ein neues Koordinatensystem (u;v) so verschoben, dass der cheitel auf der v-achse liegt. Transformationsgleichungen: x up; y v; Anwendung auf die Funktionsgleichung y axp q: v a upp q v au q Funktionsterm im neuen Koordinatensystem: f neu(u) au q Nachweis der ymmetrie: f ( u) a ( u) q a u q f (u) ymmetrie zur v-achse. neu neu Beispiel f(x) x y x Koordinatentransformation: x u ; y v; v u v u f neu(u) u ymmetriebeweis: f neu( u) ( u) u f neu(u)

7 Nullstellen Gegeben ist der Funktionsterm: Bedingung für Nullstellen: f(x) ax bxc a 0 f(x) 0 ax bx c 0 Zum Berechnen der Nullstellen gibt es verschiedene Möglichkeiten:. Fall: a 0, b 0, c 0 ax c 0 (reinquadratische Gleichung) Lösung: Auflösen nach x und Wurzel ziehen. x c c x/ a a. Es gibt nur reelle Lösungen, wenn c 0 gilt. a Beispiel x 8 0 x x/ 8. Fall: a0, b0, c 0 ax bx 0 (Konstanter Term fehlt) Lösung: Ausklammern und jeden Faktor des Produkts gleich Null setzen. b xaxb0 x 0 axb0 x a Beispiel 0,x 7x0 x 0,x7 0 x 0 0,x70 x. Fall: a0, b0, c 0 ax bxc 0 Lösung: Allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung. Ausklammern: Ergänzung: Umformung: Binomische Formel: b b a a a x x c 0 a x x c 0 b b b ax x c 0 a a a b b b ax x a c 0 a a a b b ax a c 0 : a 0 a a

8 Umformung: Wurzel ziehen: Wurzelterm vereinfachen: b b c x a a a b b c x a a a b b ac x a a Nach x auflösen und teilweises Radizieren: x / b a b ac a Bruchterme zusammenfassen: x / b b ac a Beispiel x x 8 0 x / ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) ( 8) x ; x ;. Fall Als onderfall kann die quadratische Gleichung noch das Aussehen einer binomischen Formel haben.. a b a ab b. a b a ab b. a b a b a b Beispiel. x x0 x 0 x0 x/ Beispiel. 0, x x 0 0, x 0 0, x 0 x/ Beispiel. x 9 0 x x 0 x0 x0 x 0, x 0,

9 Anzahl der Nullstellen Da der Term unter der Wurzel, die so genannte Diskriminante positiv, gleich Null oder negativ sein kann, wirkt sich das auf die Anzahl der Nullstellen (N) aus: Eine Parabel kann zwei (einfache) N besitzen, das heißt, die Parabel schneidet die x Achse, genau eine (zweifache) N besitzen, das heißt, die Parabel berührt, keine N besitzen. Beispiele: x x 0 x x0 D D 0 Nullstellen D x/ x ; x ; x x 0 x x0 D 0 D 0 Nullstelle D x/ x x 0 x x0 D D 0 keine Nullstelle 0 7 7

10 cheitel der allgemeinen Parabel. Mithilfe der Nullstellenformel Parabeln aus. p 0 7 Man sieht (ohne Beweis): Die Parabeln aus. sind symmetrisch bzgl. der Parallelen zur durch den x-wert des cheitels, also zur Geraden x = p. Insbesondere sind auch die Nullstellen x und x der Parabel p (x) symmetrisch zur Geraden x = p. Diese ymmetrieeigenschaft kann zur Bestimmung des cheitels verwendet werden. Gegeben ist eine allgemeine Parabel f mit dem Funktionsterm f(x) ax bx c. Mit der allgemeine Gleichung für Nullstellen b b man für die einzelnen Nullstelle x x und x x. a a Daraus ist ersichtlich, dass der Term b a x / b b ac b b ac a a a genau in der Mitte liegt. x erhält Damit gilt für die x-koordinate des cheitels: x b p a Durch Einsetzen in den Funktionsterm bekommt man die y-koordinate des cheitels: b b b b b b y q f(x ) f a b c c c a a a a a a Beispiel ; x x x ; y p () ; 8

11 . Mithilfe der quadratischen Ergänzung Funktionsterm: Ausklammern: Umformung: Ergänzung: Umformung: Binomische Formel: Umformung: f(x) ax bx c f(x) ax x c a b b f(x) ax x c a b b b f(x) a x x c a a a b b b f(x) ax x a c a a a b b f(x) ax a c a a b b f(x) ax c a a cheitelform: f(x) ax p q cheitel ablesen: b b x p y qc a a Beispiele f(x) x x f(x) x x p p q 0 q 0 f(x) x x f(x) x x f(x) x ( / ) f(x) x x f(x) x x f(x) x (/) 9

12 Bestimmung von Funktionstermen Aufgabentyp Gegeben sind der cheitel x / y der Parabel und ein weiterer Punkt P P Lösungsansatz: Verwendung der cheitelform a x x y. P x /y : Beispiel : Die Parabel p hat den cheitel / und schneidet die in P0/0,. Ansatz: a x P einsetzen: p(0) 0, a 0, 9 a, a x Funktionsterm: Aufgabentyp Gegeben sind die Nullstellen x und x der Parabel und ein weiterer Punkt P P Lösungsansatz: Verwendung der Produktform a x x x x. Beispiel : x und x und der absolut kleinste Funktionswert ist y0 Ansatz: a x x Der absolut kleinste Funktionswert ist der y-wert des cheitels. Der cheitel liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen, also x. cheitel / einsetzen: 8 Funktionsterm: x x Aufgabentyp P x /y. p() a a 8 Gegeben sind drei Punkte A, B und C einer Parabel p. Lösungsansatz: Verwendung der allgemeinen Parabelgleichung Beispiel : Punkte A /, B / und C /. Ansatz: Punkte einsetzen in ax bx c A Gp p( ) : abc () BGp p() : abc () CG p() : 9abc () p und Gleichungssystem lösen, z.b. mit dem Additionsverfahren: c eliminieren: b eliminieren: () () : a b a b () () () : 8a b 0 a b 0 () () () a () () b c ( ) a x b x c Funktionsterm: x x 0

13 7 Ungleichungen Eine quadratische Ungleichung hat die Form ax bxc 0 bzw. ax bxc 0 Ansatz: Faktorisieren über die Lösungen x und x der Gleichung ax bxc 0 und in die Form a (xx ) (xx ) 0 bzw. a (xx ) (xx ) 0 bringen. Algebraische Lösung der quadratischen Ungleichung Lösung der faktorisierten Ungleichung (x x ) (x x ) 0 : Das Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren gleiches Vorzeichen haben, also entweder beide positiv oder beide negativ sind. Lösung der faktorisierten Ungleichung (x x ) (x x ) 0: Das Produkt ist negativ, wenn beide Faktoren ungleiches Vorzeichen haben, also entweder ist der erste Faktor positiv und der zweite negativ oder der erste Faktor ist negativ und der zweite positiv. ei (x x ) (x x ) 0 und x x, sowie a 0.. Fall:. Fall: xx 0xx 0 x x 0xx 0 x x x x x x x x x x x x IL x IR x x IL x IR x x Gesamtlösungsmenge: IL ILIL x IR x x x x ei (x x ) (x x ) 0 und x x, sowie a 0.. Fall:. Fall: xx 0xx 0 x x 0xx 0 x x x x x x x x x x x Widerspruch IL x IR x x x IL Gesamtlösungsmenge: IL ILIL x IR x x x Gilt a 0, so vertauschen sich die zu lösenden Ungleichungen: a (xx ) (xx ) 0 wird zu (x x ) (x x ) 0. a (xx ) (xx ) 0 wird zu (x x ) (x x ) 0. Beispiel: x x 0 (x ) (x ) 0;. Fall: x 0 x 0 x x x. Fall: x 0 x 0 x x x Lösungsmenge: IL x IR x x

14 Graphische Lösung der quadratischen Ungleichung () Definiere einen Funktionsterm f(x) ax bx c. () uche die Nullstellen und faktorisiere damit den Funktionsterm f(x) a (xx ) (x x ). () kizziere den Graphen G f mit Hilfe der Nullstellen x und x und der Kenntnis des Vorzeichens von a. Für a 0 ergibt sich eine nach oben geöffnete Parabel Für a 0 ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel () Markiere die Bereiche des Graphen oberhalb bzw. unterhalb der. Die zugehörigen x-werte bilden die Lösungsmenge der Ungleichung. Beispiel : x x 0; Funktionsterm: f(x) x x Faktorisierter Funktionsterm: f(x) (x ) (x ) Nullstellen x ; x ; G f oberhalb der : f(x) 0 x x Lösungsmenge der Ungleichung: L xir x x Beispiel : 7 x x 0; Funktionsterm: 7 Faktorisierter Funktionsterm: f(x) x x f(x) (x ) (x ) Nullstellen x ; x ; G f unterhalb der : f(x) 0 x x Lösungsmenge der Ungleichung: L xir x x

15 Beispiel : x x 0 ; Funktionsterm: f(x) x x Faktorisierter Funktionsterm: f(x) (x ) (x ) Nullstellen x ; x ; G f unterhalb und auf der : f(x) 0 x Lösungsmenge der Ungleichung: L xir x Beispiel : x x 0 Funktionsterm: f(x) x x Faktorisierter Funktionsterm: f(x) (x ) (x ) Nullstellen x ; x ; G f oberhalb und auf der : f(x) 0 x Lösungsmenge der Ungleichung: L xir x

16 8 Parabel und Gerade Beispiel Gegeben ist eine Parabel p mit dem Funktionsterm und eine Geradenschar g b mit g(x) b = x+ b, x, b IR. Die Gerade kann die Parabel in Abhängigkeit des Parameters a schneiden, man nennt sie dann ekante, berühren, man nennt sie dann Tangente, x x, x IR, nicht schneiden und nicht berühren, man nennt sie dann Passante. a) Gesucht sind die konkreten Bedingungen für den Parameter a, sodass die Gerade ekante, Tangente oder Passante ist. b) Bestimmen ie a der ekante mithilfe der Zeichnung und berechnen ie die Koordinaten der chnittpunkte und Bestimmen ie die Koordinaten des Berührpunkts. Teilaufgabe a) Ansatz für die gemeinsamen Punkte: f gb f(x) g b(x) x x xb x x b 0 Lösen der quadratischen Gleichung: x / b b Gerade ist ekante, falls D(b) > 0 Gerade ist Tangente, falls D(b) = 0 Gerade ist Passante, falls D(b) < 0 Man sieht, dass unter der Wurzel ein parameterabhängiger Term vorkommt, der für die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung verantwortlich ist: Diskriminante: D(b) b b 0 b b 0 b b0 b Teilaufgabe b) x/ x ; x / ; / ; ekante: b = : ( 0,) Tangente: b = 0, x x,; B,/, / /

17 9 Weitere Eigenschaften der Quadratfunktion 9. Beschränktheit und Wertemenge Gegeben ist eine Parabel f mit f(x) a x x y x D, f a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet und nach unten beschränkt. Für alle x Df gilt: f(x) y x / y Tiefpunkt (TP). y wird absolutes Minimum genannt, der cheitel Wertemenge: W yir y y a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet und nach oben beschränkt. Für alle x Df gilt: f(x) y x / y Hochpunkt (HP). y wird absolutes Maximum genannt, der cheitel Wertemenge: W yir y y Beispiel Ein Fußball wird abgestoßen und beschreibt eine Bahnkurve (vgl. Diagramm), die durch folgenden Funktionsterm modellhaft dargestellt werden kann: y(x) x x. 0 a) Gesucht sind die erreichte maximale Höhe und die horizontale Flugweite des Fußballs. b) Bestimmen ie den Abwurfwinkel mithilfe der Tangente (vgl. Diagramm). y in Meter x in Meter Teilaufgabe a) cheitel: x 0 7,; y y(0 ) 0 0 ; 0 0 Wurfweite: y(x) 0 x x 0 x x 0 x 0; x 0 0 0, ; Teilaufgabe b) Diagramm zeigt Punkt auf der Tangente: P8 / ; Abwurfwinkel: arctan 0, 8 ;

18 9. Monotonie a > 0: Der Graph der Parabel ist streng monoton fallend für x ; x und streng monoton steigend für xx ;. a < 0: Der Graph der Parabel ist streng monoton steigend für x ; x und streng monoton fallend für xx ;. Beispiel Gegeben sind die Parabeln p und p mit wobei x IR. x x 7,7 und x x,, Gesucht sind die Monotonieintervalle beider Parabeln. Geben ie das absolute Maximum bzw. Minimum an. cheitel von p : ( ) x,; y p (,),,/, Monotonieintervalle: Der Graph von p ist streng monoton fallend für x ;, streng monoton steigend für x,;. Absolutes Minimum: ymin, und cheitel von p : x,; y p (,),/ Monotonieintervalle: Der Graph von p ist streng monoton steigend für x ;, und streng monoton fallend für x,;. Absolutes Maximum: ymax Parabel mit Tiefpunkt x Parabel mit Hochpunkt x y y 0 0