Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

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1 I. Nullstellen Arbeitsblatt I.1 Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele: (x 2 4)(x+5)=0 x 2 4=0 v x+5 = 0 x = 2 v x= 2 v x = 5 x 3 +2x 2 = 0 x 2 (x+2)=0 x=0 v x = 2 a) (x 5)(2x+4)=0 b) (x 2 +9) (x+9)=0 c) (x+3)(3x+1)=0 d) x 3 +6x 2 = 0 e) (2x 5)(5x+2) = 0 f) x 6 8x 3 = 0g) (4 x 2 )(2+x 4 )=0 h) x 5 4x 4 =0 E 0; 1,25 L 3; 1 3 N 0; 2 I 2,5; 0,4 V 0; 6 S 0 E 9 H 5; 2 F 3; 9 B 5; 0,5 S 8; 6 K 2; 2 I 0; 4 K 2,5; 0,4 I 3; 3; 9 L 2; 2; 0,5 S 0; 6 R 0; 1; 1 In der Tabelle sind die richtigen Lösungsmengen zu finden. Die zugehörigen Buchstaben ergeben eine europäische Großstadt. Aufgabe 2 Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen: a) f 1 (x) = x 2 +x b) f 2 (x) = 4x 4 2x 2 c) f 3 (x) = 5x 2 +8x 2 d) f 4 (x) = x 4 3x 2 e) f 5 (x) = 2x 3 6x 2 f) f 6 (x) = 8x 9 +9x 8 g) f 7 (x) = 2x 3 6x 2 +2x h) f 8 (x) = x 3 x 4 Aufgabe 3 Ermittle die Nullstellen a) f(x)= x(2x 3)(x+4) b) f(x)= x 2 +8 c) f(x)= 3x 2 6x+9 d) f(x) = 3 (x 2 +2)(x-3)(x 3-1) Aufgabe 4 Ermittle die Nullstellen (ggf. auch mit TR) und den y Achsenabschnitt: a) f(x)= (x 2 +2)(2x 3) x b) f(x)= x 2 +8 c) f(x)= 3x 2 6x+9 d) f(x) = e) f(x) = 4x 2 12x+2 1 x 3 x 2 4 6

2 Arbeitsblatt I.2 Nullstellen, Scheitelpunkte quadratischer Funktionen, Transformationen der Normalparabel Hier ist Einiges durcheinander geraten. Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt und die richtigen Nullstellen zu. Berechne fehlende Nullstellen und Scheitelpunkte und gib an, durch welche geometrischen Transformationen der Graph aus dem Graphen der Normalparabel entsteht. Scheitel Entstehung aus der Funktion Nullstellen punkt Normalparabel (E. = Einheit) y = x S(0 1) Nullstellen: x 1 = 1 ; x 2 = 1 y = x 2 + 2x 1 S(3 4) Nullstellen: x 1 = 0 ; x 2 = y = (x 3) 2 4 S(1 0) keine Nullstellen y = (x 1) 2 S( 2 1) Nullstellen: x = y = x(x + 2) y = x 2 + 4x + 5 y = x 2 + 2x y = (x + 2) S(0 1) Verschiebung um 1 E. nach links und 1 E. nach unten. Verschiebung um 1 E. nach rechts, dann Spiegelung an der x Achse Aufgabe 2 Lies die Koordinaten der Scheitelpunkte rechts ab und ermittle die Funtionsgleichung. Achte auf eine mögiche Streckung der Parabel. a) S( ) y = b) S( ) y = a b c c) S( ) y = d) S( ) y = e) S( ) y = Aufgabe 3 Wie lautet die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem der Normalparabel entsteht, indem man diesen a) um 7 Einheiten nach unten verschiebt? f(x) = b) um 2,5 Einheiten nach links verschiebt? f(x) = c) um 2 5 Einheiten nach links und um 1 Einheiten nach 3 oben verschiebt? f(x) = d e d) an der x Achse spiegelt, und der die x Achse nur bei x = 4,2 berührt? f(x) = Aufgabe 4 Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung: a) 1 4 x2 25 = 0 b) 2x 2 + 4x = 0 c) x 2 + 3x 10 = 0 x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = d) 6(x 4)(x + 4) = 0 e) 1 2 x2 4x + 8 = 0 f) 1 3 x2 + 2x +10 = 0 x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 =

3 AB I.3 Graphen zuordnen Aufgabe 1 Ordne die Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu: f(x) = x 4 + 2x 2 2 g(x) = x 5 + 2x 3 x h(x) = x 5 +x 4 +x 3 +2 i(x) = 7x j(x) = 7x A B C D E F k(x) = x 5 x 4 x 3 2 f i g j h k Aufgabe 2 Ordne die Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu: A B G C D H E F f 1 (x) = 1 10 x4 1 2 x2 +1; f 2 (x) = 1 10 x5 +x 3 x+ 1 f 3 (x) = 1 10 x x3 2x+ 1 f 4 (x) = 1 10 x4 +x 2 +1 f 5 (x) = 1 10 x x4 x 3 +2x+1; f 6 (x) = 1 2 x3 +2x+1; f 7 (x) = 1 2 x3 2x+1; f 8 (x) = 1 10 x4 1 2 x3 2x+1 Funktion: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 Buchstabe:

4 Arbeitsblatt II.1 Transformationen Regeln mit Beispielen geometrische Transformation a) Spiegelung an der x Achse b) Spiegelung an der y Achse c) d) e) f) g) nach rechts nach links nach oben nach unten Streckung in y Richtung mit Faktor a>0 Änderung des Funktionsterms zu f(x) Beispiel: f(x) = x 2 +3x+5; a = 4 Funktionsterm mit ( 1) multiplizieren. Beispiel: f(x) = ( x 2 +3x+5) = x 2 3x 5 Ersetze jedes x durch ( x) Beispiel: f( x) = ( x) 2 +3( x)+5 = x 2 3x + 5 Ersetze jedes x durch (x a) Beispiel: a=4; f(x 4) = (x 4) 2 +3(x 4)+5 = Ersetze jedes x durch (x+a) Beispiel: a=4; f(x+4) = (x+4) 2 +3(x+4)+5 = Zum Funktionsterm a addieren. Beispiel: a=4; f(x)+4 = x 2 +3x+5+4 = x 2 +3x+9 Vom Funktionsterm a subtrahieren. Beispiel: a=4; f(x) 4 = x 2 +3x+5 4 = x 2 +3x+1 Funktionsterm mit a multiplizieren. a=4; 4 f(x) = 4x 2 +12x+20 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus! Spiegelung an der x Achse von a) f(x) = 2x 2 +5x b) f(x) = 2 3 x Spiegelung an der y Achse a) f(x) = x 3 3x b) f(x) = 4 1,5 x Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts a) f(x) = x 2 +x b) f(x) = 2 0,5 x Verschiebung um 2 Einheiten nach links a) f(x) = x 3 b) f(x) = 4 x Verschiebung um 4 Einheiten nach oben a) f(x) = x 4 +3x 2 2 b) f(x) = 3 1,5 x Verschiebung um 3 Einheiten nach unten a) f(x) = 3x 4 +7x 2 3x +5 b) f(x) = 0,4 5 x a) b) Streckung in y Richtung mit Faktor 2 a) f(x) = x 2 3x b) f(x) = 3 1,5 x Aufgabe 2 Führe folgende Transformationen durch (LE. = Längeneinheiten) a) Verschiebung um 3 LE. nach unten. b) Verschiebung um 2 LE. nach rechts. c) Spiegelung an der x Achse. f(x) = 3x 3 2x 2 +4 g(x) = 3 2 x

5 AB III.1 Symmetrie Welche Funktionen sind nullpunktsymmetrisch (ungerade), welche y achsensymmetrisch (gerade), welche haben keine besondere Symmetrie? Die zugehörigen Buchstaben ergeben jeweils den Namen einer Stadt. A f(x) = x 3 +1 K f(x) = (x 2) 4 I f(x) = x 4 3 T f(x) = x 1 D f(x) = x 5 3x U f(x) = (x 2 +1) 3x H f(x) = 3 2x B f(x) = 0,2x E f(x) = x 3 +x+1 E f(x) = x 6 11x 2 L f(x) = 1 x I f(x) = a 2 x 3 +a 4 x W f(x) = 5 N f(x) = 2x 3 N f(x) = x nullpunktsymmetrisch: y achsensymmetrisch: weder nullpunktsymmetrisch noch y achsensymmetrisch :

6 AB IV.1 Ganzrationale Funktionen ableiten Aufgabe 1 Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = x 4 ; f (x) = b) f(x) = 4x 2 ; f (x) = c) f(x) = 2x 6 +x 3 : f (x) = d) f(x) = 1 x 4 2x 3 ; f (x) = 4 e) f(x) = 0,5x 5 2x + 1; f (x) = f) f(x) = 3x 4 f (x) = g) f(x) = x 2 + tx: f (x) = h) f(x) = 2; f (x) = i) f(x) = x; f (x) = j) f(x) = 3x 2 + 2a; f (x) = Funktion f fehlerhafte Ableitung Verbesserung Fehlerbeschreibung f(x) = x f (x) = 3x f (x) = 3x 2 Konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. f(x) = x 6 f (x) = 6x 5 f(x) = f(t) = tx 2 2 x 2 3 4x f (x) = 1 x 4 3 f (t) = 2tx f(x) = 3x 5 f (x) = 3x f(x) = 2 f (x) = 2 Aufgabe 3 Bestimme f (x), indem du zuerst den Funktionsterm umwandelst. a) f(x) = x 2 (x 2) = ; f (x) = b) f(x) = 5 (x + 2) 2 = ; f (x) = c) f(x) = x (x + 2)(x 3)= ; f (x) = d) f(x) = 4(x 4 +3) x 2 = ; f (x) =

7 AB V.1 Besondere Geraden und Parabeln Aufgabe 1 Der abgebildete Graph gehört zur quadratischen Funktion f(x) = 0,5x 2 1. a) Zeichne eine Gerade durch die Punkte Q( 1 0,5) und R(3 3,5) des Graphen. b) Diese Gerade nennt man.. Ihre Gleichung ist g(x) =. c Zeichne näherungsweise eine Tangente parallel zur Geraden g(x) ein. Diese Tangente hat die Gleichung t(x) = und sie berührt die Parabel im Punkt P( ). d) Geraden, die einen Graphen weder schneiden noch berühren, nennt man. Zeichne dafür ein Beispiel ein. Aufgabe 2 Gesucht ist derjenige Punkt P(x 0 y 0 ), in dem die Tangente an die Parabel f(x) = 1,5x 2 die angegebene Steigung m habt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes a) m = 6 b) m = 1,5 c) m = 2 x 0 = ; y 0 = x 0 = ; y 0 = x 0 = ; y 0 = P( ) P( ) P( ) Aufgabe 3 Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel f(x) = 3x 2 im Punkt P. a) P(3 27) b) P( 1 3 ) c) P( 2 ) m = m = m = t(x) = x t(x) = x t(x) = x Aufgabe 4 Der Graph von t ist Tangente an die Parabel it der Gleichung f im Punkt P. Ordne die Tangenten und die Berührpunkte den richtigen Parabeln zu. (Zu einer Parabel gehören zwei Tangenten.) Parabeln: f 1 (x) = 2 3 x2 b) f 2 (x) = 1,5x 2 c) f 3 (x) = 4x 2 d) f 4 (x) = 6x 2 ; Tangenten: t 1 (x) = 4x+1; t 2 (x) = 4x 6; t 3 (x) = 6x+6; t 4 (x) = 12x 6 ; t 5 (x) = 3x+1,5 Berührpunkte: P 1 ( 0,5 1); P 2 (1 6); P 3 (1 1,5); P 4 ( 2 6); P 5 (3 6); f 1 ; f 2 ; f 3 ; f 4 ; Aufgabe 5 a) (i) Bestimme die Gleichungen der Geraden g 1 durch die Punkte P(3 7) und Q( 2 8). (ii) Bestimme die Gleichungen der Geraden g 1 durch die Punkte R(3 4) und S(5 20). b) Prüfe, ob die Geraden g 1 und g 2 aus a) Sekante, Tangente oder Passante für den Graphen der Funktion f(x) = 3x 2 12x + 8 für sind.