Mathematik Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 3. Klausur Lösung. 1. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion

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1 Datum:.0.0 Thema: Quadratische Funktionen. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion f mit f(x) = ( x ) + in die Polynomdarstellung um und bestimmen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y- Achse. Umwandlung in Polynomschreibweise: f(x) = ( x ) + f(x) = ( x 6x + 9) + Zuerst das Binom ausrechnen! 9 9 f(x) = x + x + = x + x + 5 = + = + f(x) = x + x = x + x,5 (Polynomschreibweise) Nullstellenberechnung : 5 x + x = 0 ( ) + = x 6x 5 0 (Normalform) p = 6 p = q = 5 x x p p x/ = ± q ( ) = ± = ± = ± = ± x = + = 5 S 5 0 x = = S 0 Schnittpunkt mit y- Achse: Bedingung : x = 0 ( 0 ) y = x + = + = 9 + =,5 + y =, 5 S 0,5 = y

2 Datum:.0.0 Graph (war in der Aufgabenstellung nicht verlangt) f(x) = x +

3 Datum:.0.0. a) Berechnen Sie die Nullstellen des Graphen der Funktion f mit x/ = die Scheitel(punkt)form und bestimmen Sie den Scheitel. f(x) x x und formen Sie die Polynomdarstellung um in [ ] b) Zeichnen Sie den Graphen im Intervall 9; 5. Berechnung der Nullstellen: = x x 0 x + x + = 0 (Normalform) p = p = q = / + + = p p x/ = ± q 0 = ± = ± x = (Doppelte Nullstelle) S = 0 Berechnung Scheitel(punkt)form und Scheitel: y = x x y = x + x + = y x x = y = x + + y = ( x + ) y = ( x + ) f(x) = x + S 0

4 Datum:.0.0 Berechnung Scheitel(punkt)form und Scheitel: = y = x + x + y = x x = y x x y = x + + y = ( x + ) y = ( x + ) f(x) = x + S ( 0) Wertetabelle: x y x 0 5 y

5 Datum:.0.0 Doppelte Nullstelle Graph = f(x) x x 5

6 Datum:.0.0. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionsgraphen g mit g(x) = x + 8 und f mit f(x) = x x 0.(Koordinaten der Schnittpunkte = + = angeben!) Berechnung der Schnittpunkte der Graphen: = + x x 0 x 8 = x x 0 x 8 0 x x 8 = 0 : = x x 6 = 0 (Normalform) = p = p = q = 6 p p x/ = ± q 6 = ± x/ = ± + 6 = ± = ± = ± x 5 6 = + = = y = x + 8 = + 8 = S ( ) 5 x = = = y = x + 8 = + 8 = S 6

7 Datum:.0.0 Graphen: (war in der Aufgabenstellung nicht verlangt) f(x) = x x 0 g(x) = x + 8 7

8 Datum:.0.0. Von einer Parabel sind die Punkte A(-,5), B(0 -,5) und C( 0) gegeben. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Die dieser Aufgabe gliedert sich in Schritte:. Ansatz: Funktionsgleichung in allgemeiner Form(hier: Polynomform). Einsatz der Bedingungen: Punktprobe. Auswertung der Gleichungen und Bestimmung der Kooeffizienten Für eine Parabel werden in der Regel Bedingungen benötigt, da Koeffizienten zu bestimmen sind. Graph (in der Aufgabenstellung nicht verlangt) = f(x) = x x,5 8

9 Datum:.0.0. Funktionsgleichung f(x) = ax + bx + c = + +. Bedingungen: = + + = A,5 : f( ) =,5 : a + b + c =,5 () B 0,5 : f(0) =,5 : a 0 + b 0 + c =,5 () C 0 : f 0 : a b c 0 () a b + c =,5 () c =,5 () 9a + b + c = 0 () Auswertung der Bedingungen: Bestimmung der Kooeffizienten: a b + c =,5 () 9a + b + c = 0 () () () 5a + 5b =,5 5a 5b =,5 5a : 5 b,5 5a = = 0,5 a 5 b = 0, 5 a () () und () in() : a b + c =,5 () ( 0,5 a) a,5 =,5 a + + a,5 =,5 6a 0,5 =,5 6a = : 6 a = = a = (5) 6 (5) in () : b = 0,5 a = 0,5 0,5 = b = =. Funktionsgleichung : f(x) = x x,5 9

10 Datum: Welche Gleichungen gelten für folgende Parabeln? Anzugeben ist jeweils die Linearfaktorschreibweise, die Scheitel(punkt)form und die Polynomform. a) A( 0) ; B( ) ; C( 0) ( 0 ) ( 0 ) Linearfaktordarstellung : f(x) = a x x x x Aus dem Graphen sind die beiden Nullstellen A und C zu entnehmen: f(x) = a x x = a x x x + = a x x + () Für Punkt B gilt: f(x) = In () eingesetzt: = + = a ( 8 + ) = a ( ) = a + a = f(x) = x x Linearfaktorschreibweise f(x) = a x x + = x x + = + f(x) x 8x 6 Polynomschreibweise Für den Scheitelpunkt B gilt : f(x) = x + Scheitel(punkt)form 0

11 Datum:.0.0 Die Scheitel(punkt)form könnte auch aus dem Polynom entwickelt werden: y = x + 8x 6 : ( ) = + y = + = + + = + y = ( x ) ( ) x x x x x x y = x + f(x) = x + Scheitel(punkt)form

12 5. Fachschule für Datum:.0.0 b) A(0 ) ; B( ) Aus dem Graphen ist der Scheitelpunkt B( ) zu erkennen. s f(x) = a x x + y = a x + () s Für Punkt A 0 gilt : f(x) = = a 0 + = a + = a a = In () eingesetzt: f(x) = ( x ) + Scheitel(punkt)form ausmultipliziert : f(x) = x x + = + f(x) x x Polynomschreibweise Linearfaktorschreibweise nicht möglich, da keine Nullstellen vorhanden.

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