Quadratische Funktionen Kapitel 8. Quadratische Funktionen Kapitel 8. D ( 20/ 501) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen.

Transkript

1 Schuljahr FOS Schuljahr FOS. Gegeben sind die Funktionen f mit f = x g mit g = x +. a) Erstellen Sie für die x-werte von bis + eine Wertetabelle von f g zeichnen Sie anschließend die zugehörigen Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. b) Lesen Sie soweit möglich in Ihrer Skizze die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen ab Sx S y ) geben Sie diese an. c) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A / 69), B 0/), C 0/ 7) D 0/ 0) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen.. Gegeben sind die Funktionen f mit f, x + g mit g, x 7. a) Erstellen Sie für die x-werte von bis + eine Wertetabelle von f g zeichnen Sie anschließend die zugehörigen Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. b) Lesen Sie soweit möglich in Ihrer Skizze die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen ab Sx S y ) geben Sie diese an. c) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A 0 / ), B 6/ 7), C 0/ 6) D 0/ 0) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen.. Gegeben sind die Funktionen f, f f mit f x, f x f x a) Erstellen Sie für die x-werte von bis + eine Wertetabelle der Funktionen zeichnen Sie anschließend die zugehörigen Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. b) Lesen Sie soweit möglich in Ihrer Skizze die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen ab Sx S y ) geben Sie diese an. c) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A / ) B 0/ 0) auf dem Graphen von einer der drei Funktionen liegen. d) Erläutern Sie, welchen Einfluss bei einer Funktion der Art f = ax + c, wie sie hier vorliegen, die Variable c auf den Verlauf des Graphen hat. Wie unterscheiden sich die Graphen, wenn c verschiedene Werte annimmt?). Gegeben sind fünf Funktionen mit folgenden Funktionsgleichungen: g = x g = 0, x g = 0, x g 0, x g x a) Erstellen Sie jeweils für die x-werte von bis + Wertetabellen der Funktionen zeichnen Sie anschließend die Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. b) Lesen Sie soweit möglich in Ihrer Skizze die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen ab Sx S y ) geben Sie diese an. c) Erläutern Sie, welchen Einfluss bei einer Funktion der Art f = ax + c die Variable a auf den Verlauf des Graphen hat. Wie unterscheiden sich die Graphen, wenn a verschiedene Werte annimmt?). Gegeben sind die Funktionen f mit f = x g mit g x. a) Erstellen Sie für die x-werte von bis + eine Wertetabelle von f g an zeichnen Sie anschließend die zugehörigen Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. b) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A 0/00), B 0 / 0), C8/6) D/ 0) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen. c) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A 0/ y), B x / ) C x /6) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. d) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A / y), B x / 8) C x / 0, ) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion g liegen. 6. Gegeben sind die Funktionen f mit f = x g mit g x. a) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A 0/ 00), B /6), C/ 6) D 8/ 00) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen. b) Bestimmen Sie soweit möglich rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A / y), B x /00), C x / 00) D x / 676) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. c) Bestimmen Sie soweit möglich rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A 8/ y), x / ) B, x / ) der Funktion g liegen. C D x /80) so, dass die Punkte auf dem Graphen

2 Schuljahr FOS Schuljahr FOS 7. Gegeben sind die Funktionen f mit f = x 6 g mit g, x +. a) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A 0/9), B /), C / ) D 0/ ) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen. b) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A / y), B x /), C x / ) D x /) so, dass die Punkte auf dem Graphen von f liegen. c) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A 8/ y), B x /), C x / 7) D x /0) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion g liegen. 8. Gegeben sind die Funktionen f mit f = x g mit g 0,x +. a) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A 0/ ) B / ) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen. b) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A / y), B x / ), C x /0) D x /6,) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. c) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte A 8/ y), B x /,), C x /0) D x /,7) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion g liegen. 9. Gegeben sind die Funktionen f mit f = x g mit g 0, x, 6. a) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte A 0/ 8, ), B 0 / ) C / 0) auf dem Graphen der Funktion f oder der Funktion g liegen. b) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte P 0/ y), Q x / 98) R x / ) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. c) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte S 8 / y), T x / 8,) U x / 0) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion g liegen. +. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Benutzen Sie dabei das Verfahren des Ausklammerns für die Bestimmung von S x. = x 8x b) f x 0x + b) f = x x d) f 0, x 6x +. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine qualitative Skizze an. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, der in der Mitte zwischen den beiden Schnittpunkten mit der x-achse liegt, um den Graphen etwas exakter zeichnen zu können.) + = 0, x x b) f x x c) f = x x. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine qualitative Skizze an. Falls es Schnittpunkte mit der x-achse gibt, bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, dessen x-wert in der Mitte zwischen den beiden Schnittpunkten liegt. x b) f = 0, x 0, c) f = x + + d) f = 0, x 0, x e) f x x f) f = x x 6 0. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Machen Sie für jeden Funktionsgraphen eine qualitative Skizze. f = x x f = x f. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine qualitative Skizze an. = x 8x + 7 b) g = x + 0x + 9 c) h = x 6x f 0, x,6 f = x 0

3 Schuljahr FOS Schuljahr FOS. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine qualitative Skizze an. = x x + 0 b) g = x + x c) h 0, x 6x 6 6. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine qualitative Skizze an. = x +, x b) g x x 0 c) h = x x 8, 8 7. Die folgenden Funktionen sind in der sogenannten Linearfaktordarstellung angegeben. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für diese Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine qualitative Skizze an. = x ) x + ) b) g = x + ) x ) c) h x 0,) x + ) 8. Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die folgenden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit der x-achse S x ) geben Sie mit Hilfe dieser Ergebnisse eine Linearfaktordarstellung für jede Funktionsgleichung an. 9. Die Buchhaltung eines ambulanten Pflegedienstes hat festgestellt, dass der mögliche Gewinn in einer groben Näherung) durch eine quadratische Funktion berechnet werde kann. Dabei stehen die x-werte für die Zahl der betreuten Personen, die Funktionswerte ergeben den möglichen Gewinn angegeben in 000 ). Die von der Buchhaltung benutzte Funktionsgleichung lautet: G x +, x 0. 0 a) Berechnen Sie den erwirtschafteten Gewinn bei der Betreuung von 0 Personen mit Hilfe der Funktionsgleichung. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, wie viele Personen betreut werden müssen, um einen Gewinn von zu erzielen. c) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion G die Schnittpunkte mit der x-achse) überprüfen Sie rechnerisch, ob der Graph der Funktion vor, zwischen nach diesen Nullstellen jeweils ober- oder unterhalb der x-achse verläuft. Erläutern Sie die Bedeutung Ihrer Ergebnisse im Anwendungskontext. 0. Ein Produzent von speziellen Blutdruckmessgeräten hat in ganz Deutschland Abnehmer. Seine Buchhalter stellen den möglichen Gewinn bei der Produktion dieser Geräte in einer groben Näherung) durch die folgende quadratische Funktion dar: G x + 6,7 x Dabei stehen die x-werte für die Produktionsmengen angegeben in 00 Stück), die Funktionswerte für den erzielten Gewinn angegeben in 000 ). a) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, wie viele Geräte hergestellt werden müssen, um einen Gewinn von zu erzielen. b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion G die Schnittpunkte mit der x-achse) überprüfen Sie rechnerisch, ob der Graph der Funktion vor, zwischen nach diesen Nullstellen jeweils ober- oder unterhalb der x-achse verläuft. Erläutern Sie die Bedeutung Ihrer Ergebnisse im Anwendungskontext c) Bei einem Konkurrenten ergibt sich die folgende Gewinnfunktion: x ) 9) G ) x x. 00 Welche Angaben kann man dieser Darstellung unmittelbar entnehmen? Erläutern Sie die Bedeutung dieser Werte im Sachzusammenhang. = x + x b) g x + x + 0, c) h = x 7 x +

4 Schuljahr FOS Schuljahr FOS. Die Flugkurve eines Speers beim Speerwerfen kann mit Hilfe einer quadratischen Funktion näherungsweise) beschrieben werden. Beim Wurf von Steffi wurde die Funktionsgleichung h 0,0x + 0,8 x +,8 ermittelt. Dabei gibt h die Höhe des Speers in m) bei einer Entfernung x Metern an. a) Bestimmen Sie die die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen erläutern Sie deren Bedeutung im Anwendungskontext. b) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, wie hoch der Speer nach 0 Metern war. c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, bei welcher Entfernung der Speer eine Höhe von Metern hatte.. Hochspannungsleitungen werden meist als sogenannte Freileitungen gebaut. Dabei werden die Stromkabel an zwei Masten in gleicher Höhe) aufgehängt. Zwischen den Masten hängen die Kabel frei über dem Boden. Die Höhe des Kabels über dem Boden kann für zwei Masten mit einer vorgegebenen Entfernung - näherungsweise - durch die Gleichung h = 0,000 x 0, x + 0 bestimmt werden. S. Skizze) a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, in welcher Höhe das Kabel am ersten Mast aufgehängt ist. b) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, in welcher Entfernung vom ersten Mast sich der zweite Mast befindet. c) Die tiefste Stelle des Kabels befindet sich stets genau in der Mitte zwischen den beiden Masten. Bestimmen Sie den x-wert dieses Punktes berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung, wie hoch das Kabel an dieser Stelle über dem Boden ist.. Für quadratische Funktionen, die zwei Nullstellen Schnittpunkte mit der x-achse) besitzen, gilt stets: Der tiefste bzw. höchste Punkt des Funktionsgraphen befindet sich genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Schnittpunkte mit der x-achse. Ermitteln Sie anhand dieser Schnittpunkte den x-wert des höchsten bzw. tiefsten Punktes des Graphen des sogenannten Scheitelpunktes) bestimmen Sie auch den y-wert dieses Punktes. Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an. x x + 6 b) = x x 7, g c) h x, ) x + ). Die Formeln aus dem Buch S. 00 u. 0) ermöglichen es, auch die Scheitelpunkte der Graphen von quadratischen Funktionen zu bestimmen, die keine Schnittpunkte mit der x- Achse besitzen. Bestimmen Sie mit Hilfe der Formeln die Scheitelpunkte der folgenden Funktionen: = x x + 6 b) g x x, c) h = x + 8x 6 d) d x + 6x + e) k = x + x + 6 f) m = 0x 60x Bestimmen Sie mit Hilfe der Formeln aus dem Buch die Scheitelpunkte der folgenden Funktionen. Bestimmen Sie außerdem die Schnittpunkte der jeweiligen Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen also S x S y ). Fertigen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse eine Skizze an. Bezeichnen Sie alle benutzten Punkte!) =, x + x b) g x x c) h = x Der Ruhrverband betreibt eine Reihe von Stauseen in Nordrhein-Westfalen. Für jeden Stausee ist festgelegt, wie viel Wasser er mindestens enthalten sollte, um seine vorgesehenen Aufgaben erfüllen zu können. Für einen bestimmten Stausee kann die Abweichung von dieser Mindestmenge für die Monate des letzten Jahres näherungsweise) mit Hilfe einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Diese Funktion hat die Funktionsglei- chung h = x x + 8, 8. Dabei gibt h an, um wie viel Prozent der aktuelle Wasser- stand von der Mindestmenge nach oben +) oder unten ) abweicht. a) Bestimmen Sie, wann der Stausee am meisten wann am wenigsten Wasser enthält wie viel es dann ist. Erläutern bzw. begründen Sie Ihre Ergebnisse.) b) Geben Sie die Zeiträume an, in denen der Stausee weniger bzw. mehr Wasser enthält als erforderlich belegen Sie Ihre Einteilung rechnerisch.

5 Schuljahr FOS Schuljahr FOS 7. Gegeben sind die Funktionen f g mit f 0, x + 0,8 x + 6, g = x x. a) Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für die beiden Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie für die beiden Funktionen die Scheitelpunkte der Funktionsgraphen. Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichungen, ob diese Scheitelpunkte die höchsten oder tiefsten Punkte des Funktionsgraphen sind. c) Erstellen Sie für jeden Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse jeweils eine Skizze. d) Die sogenannten Grenzwerte lim f lim f geben an, wie die Graphen am x x + linken bzw. rechtem Rand des Definitionsbereichs verlaufen Buch S. ff). Erläutern Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse, welche Grenzwerte die beiden Funktionen besitzen geben Sie diese an. 8. Erstellen Sie für die folgenden Funktionen eine Wertetabelle, in der Sie die Funktionswerte für die x-werte 000, 00, 0, 0, berechnen erläutern Sie anhand Ihrer Ergebnisse, welche Grenzwerte diese Funktionen haben. Geben Sie diese formal korrekt an lim f lim f ). x x + = x x + 6 b) g x + x + 7, c) h = x ) x + ) d) k = x + ) x ) e) m = x x + f) n x x 0 0. Gegeben sind die folgenden Funktionen: f x + ) x + ) g x x a) Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für diese Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit beiden Koordinatenachsen. b) Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichungen der gegebenen Funktionen, welche Grenzwerte diese besitzen geben Sie die Grenzwerte formal korrekt an als lim f lim f ). x x + c) Fertigen Sie mit Hilfe ihrer Ergebnisse jeweils eine qualitative Skizze der Funktionsgraphen an. d) Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der beiden Funktionen geben Sie jeweils die Wertemengen an.. Gegeben sind die folgenden Funktionen: f 0,x x +,6 h = x ) x + ) a) Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für diese Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit beiden Koordinatenachsen. b) Geben Sie die Intervalle an, in die die x-achse durch die Nullstellen unterteilt wird überprüfen sie rechnerisch, ob die jeweilige Funktion in den einzelnen Intervallen positive oder negative Funktionswerte annimmt. c) Fertigen Sie mit Hilfe ihrer Ergebnisse jeweils eine Skizze der Funktionsgraphen an. d) Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der beiden Funktionen geben Sie jeweils die Wertemengen an Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichungen der folgenden Funktionen, welche Grenzwerte diese Funktionen haben geben Sie diese formal korrekt an. Erstellen Sie mit Hilfe der angegebenen Scheitelpunkte jeweils eine qualitative Skizze der Funktionsgraphen geben Sie die Wertemengen der Funktionen an. + f Scheitelpunkt: S / 9 ) a) 0,x + 0,8 x 8, + f Scheitelpunkt: S /9 ) b) = x 6x f Scheitelpunkt: S 6/ 6 ) c) 0, x + 6x f Scheitelpunkt: S / 6 ) d) = 0, x + x 8 + f Scheitelpunkt: S / 0 ) e) = x + 0x 0 6 f Scheitelpunkt: S / ) f) x + x. Gegeben sind die folgenden Funktionen: f = x 0,6 x g x +, x 6 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für diese Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen. b) Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichungen der gegebenen Funktionen, welche Grenzwerte diese haben geben Sie die Grenzwerte formal korrekt an als lim f lim f ). x x + c) Bestimmen Sie für die Funktionen die Scheitelpunkte der Funktionsgraphen geben Sie die Wertemengen an. d) Geben Sie die Intervalle an, in die die x-achse durch die Nullstellen unterteilt wird erläutern Sie anhand ihrer bisherigen Ergebnisse, ob die jeweilige Funktion in den einzelnen Intervallen positive oder negative Funktionswerte annimmt.

6 Schuljahr FOS Schuljahr FOS. Ein Produzent von speziellen Kleinkinderstühlen ist praktisch ein Monopolist. Seine Buchhaltung hat berechnet, dass die Gewinne, die der Hersteller durch den Verkauf der Stühle erzielen kann, durch die Funktion G 0,x +,8 x 0 näherungsweise) beschrieben werden. Dabei werden die Produktionsmengen x in 000 Stück angegeben die Funktionswerte in Durch technische Einschränkungen kann die Produktionsmenge maximal x = 0 betragen, so dass die Definitionsmenge hier ID = [ 0;0] ist. a) Wie groß sind die Gewinne, wenn die Produktion stillsteht also keine Stühle produziert werden)? b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Gewinnfunktion mit der x-achse. c) Berechnen Sie, für welche Produktionsmenge der maximale Gewinn erzielt wird. d) Erläutern Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse, welches Teilintervall des Definitionsbereiches die sogenannte Gewinnzone bildet. Erläutern Sie auch, welche Bedeutung die anderen Teilintervalle des Definitionsbereiches die durch die Nullstellen gebildet werden) im Anwendungskontext haben. 6. Gegeben sind die folgenden Funktionen: f = x + 6x + 9 g x + 6x + 9 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der zugehörigen Bedingungen für diese Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen. b) Bestimmen Sie für die Funktionen die Scheitelpunkte der Funktionsgraphen. c) Geben Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse die Funktionsgleichungen der Funktionen f g sowohl in der Linearfaktorschreibweise, als auch in der Scheitelpunktform an. 7. Ordnen Sie die Funktionsgleichungen den Funktionsgraphen in der folgenden Abbildung zu. Begründen erläutern ausführlich Sie ihre Zuordnung. ) f = x +. Die Funktion f mit x + ) x ) f ist in der Linearfaktordarstellung gegeben. a) Formen sie die Funktionsgleichung in die allgemeine Form um erläutern Sie anhand dieser Funktionsgleichung, welche Grenzwerte diese Funktion besitzt. Geben Sie die Grenzwerte formal korrekt an. b) Bestimmen Sie zudem die Schnittpunkte dieser Funktion mit den beiden Koordinatenachsen den Scheitelpunkt des Graphen zeichnen Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse eine Skizze des Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. f x + x + x + ) 6) f = x. Die Funktion g mit = x ) g ist in der sogenannten Scheitelpunktform gegeben. a) Formen sie die Funktionsgleichung in die allgemeine Form um erläutern Sie anhand der Funktionsgleichung, welche Grenzwerte diese Funktion besitzt. Geben Sie diese Grenzwerte formal korrekt an. b) Bestimmen Sie zudem anhand der allgemeinen Form den Scheitelpunkt dieser Funktion erläutern Sie anhand Ihrer Ergebnisse den Begriff "Scheitelpunktform". c) Bestimmen Sie zudem die Schnittpunkte dieser Funktion mit den beiden Koordinatenachsen. d) Zeichnen Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse eine Skizze des Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. x + ) ) f x

7 Schuljahr FOS Schuljahr FOS 8. Lesen Sie in den folgenden Abbildungen so genau wie möglich - die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen f g ab überprüfen Sie anschließend rechnerisch Ihre Ergebnisse. x 0,7 x +, g = x b) f x 0,7 x +, g = x 9. Gegeben sind die folgenden Funktionen: f = x + 6x + 9 g x + 6x + 9 a) Bestimmen Sie für beide Funktionen rechnerisch die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen. b) Bestimmen Sie für die Funktionsgraphen die Scheitelpunkte. c) Geben Sie anhand Ihrer Ergebnisse die Funktionsgleichungen der Funktionen f g sowohl in der Linearfaktorschreibweise als auch in der Scheitelpunktform an. d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionsgraphen der Funktionen miteinander. e) Zeichnen Sie beide Graphen anhand aller bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Kennzeichnen bezeichnen Sie dabei alle bekannten Punkte. 0. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Funktionsgraphen der gegebenen Funktionen sich schneiden bestimmen Sie ggf. die Koordinaten der Schnittpunkte. x + x +, g x, b) f = x + x + g =, x 8 c) f = x x + g = x + 0, x 0, c) f, x x + g = x + 0x 7 d) f 0, x x g = x + x + 7. Unter der Ein-Seken-Kapazität der Lunge Auch FEV-Wert) versteht man das Volumen, das ein Mensch bei schnellstmöglicher Ausatmung in einer Seke ausatmen kann. Dieser Wert hängt unter anderem vom Alter ab ist bei Zwanzigjährigen maximal. Für Nichtraucher kann nach einem einfachen Rechenmodell die Altersabhängigkeit der Ein- Seken-Kapazität der Lunge durch eine quadratische Funktion beschrieben werden. Hierbei ist x das Alter in Jahren f die Ein-Seken-Kapazität der Lunge in Prozent des Wertes im Alter von 0 Jahren. Die entsprechende Funktionsgleichung ist 80 f x + x + 9. a) Weisen Sie nach, dass diese Funktion ihr Maximum tatsächlich bei x = 0 erreicht. b) Um wie viel Prozent sinkt die Lungenfunktion bis zum Alter von Jahren? c) In welchem Alter beträgt die Ein-Seken-Kapazität nur noch 0%? d) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. Welche Bedeutung hätte theoretisch) die positive Nullstelle dieser Funktion?

8 Schuljahr FOS Schuljahr FOS. Bei einem Springbrunnen haben die Wasserfontänen einen parabelförmigen Verlauf, die entsprechende Funktionsgleichung ist k x x. a) Berechnen Sie, in welcher Entfernung von der Düse der Wasserstrahl auf der Wasseroberfläche auftrifft. b) Berechnen Sie die Höhe der Wasserfontäne. c) In welcher Entfernung von der Düse ist der Wasserstrahl 0, m hoch? d) Zwei Düsen, die beide im gleichen Bogen spritzen, stehen sich im Abstand von Metern gegenüber. In welcher Höhe treffen sich die Wasserfontänen? Machen Sie gegebenenfalls eine Skizze, um sich die Aufgabenstellung zu verdeutlichen!. Gegeben ist die quadratische Funktion f mit f = x + x,. +. Ordnen Sie den gegebenen Funktionen jeweils den passenden Graphen zu begründen Sie Ihre Zuordnung anhand der Form der Funktionsgleichung. Keine Rechnung erforderlich). f x ), f = 0, x ), f 0, x + ) x ) a) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der entsprechenden Formeln den Scheitelpunkt von f. c) Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichung von f, welche Grenzwerte der Graph für unendlich große bzw. unendlich kleine x-werte hat geben Sie diese formal korrekt an lim f x + lim f ). x d) Geben Sie die Intervalle an, in die die x-achse durch die Nullstellen unterteilt wird überprüfen sie, ob die jeweilige Funktion in den einzelnen Intervallen positive oder negative Funktionswerte annimmt. f = x + ) x ) f 0,x + x +. Gegeben sind die quadratischen Funktionen g h mit g 0, x +, x +, 7 sowie h = 0, x +, x + 8 a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, an denen sich die beiden Funktionsgraphen schneiden Schnittpunkte S S ) b) Berechnen Sie für beide Funktionsgraphen jeweils den Scheitelpunkt. c) Erstellen Sie anhand der berechneten Punkte Ihres Wissens über den Verlauf von Graphen quadratischer Funktionen eine qualitative Skizze der Funktionsgraphen kennzeichnen Sie die bekannten Punkte. d) Geben Sie die Intervalle von x-werten an, in denen der Graph der Funktion f oberhalb bzw. unterhalb von dem der Funktion g verläuft. 6. In einem Lagerhaus befindet sich ein parabelförmiger Durchgang, dessen Öffnung durch den Graphen der Funktion f,6x 9x beschrieben wird Einheit Meter). + a) Für den Durchgang soll eine Metalltür gefertigt werden, die aus einem Stück aus einer rechteckigen Stahlplatte geschnitten werden soll. Wie hoch wie breit muss die Platte mindestens sein? b) Es werden würfelförmige Kisten mit einer Kantenlänge von, m angeliefert. Passen diese Kisten durch die Öffnung? Hinweis: Machen Sie jeweils eine ungefähre Skizze, um sich die Aufgabenstellungen klarzumachen.