Eingangstest quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen

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1 Eingangstest quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen Graphen erkennen Welche Graphen können zu einer quadratischen Funktion gehören? II I, II I 6 6 IV III Graphen zeichnen a) Zeichne den Graphen der Funktion f: = + mithilfe einer Wertetabelle. 0 b),5 0,5,5 0 b) Gib den Scheitelpunkt an und zeichne den Graphen der Funktion g, ohne eine Wertetabelle zu erstellen. g: = ( + ) S ( ) 6 6 a) Funktionsgleichung bestimmen Gib die Funktionsgleichung an a) durch Ablesen aus dem Graphen. a d 6 a: = ( + ) b: = c: = _ ( ) + d: = + b) durch Berechnung aufgrund der gegebenen Bedingungen. Scheitelpunkt S ( ); Punkt A ( ) liegt auf dem Graphen. = ( ) + 6 b c 6 A ( 5,5), B ( 5), C (0 ) liegen auf dem Graphen. = + Normalparabel mit den Nullstellen und. = ( + ) ( + ) = Quadratische Gleichung Bestimme die Lösungen. = 5 = = = = = = = 0 = = keine Lösungen keine Lösungen

2 Eingangstest quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen 5 Scheitelpunktform Normalform faktorisierte Form Bestimme die fehlenden Darstellungsformen. a) = = ( ) ( + ) = ( ) b) = ( + ) = = ( + ) ( + 6) 6 Wahr oder falsch? Welche der Aussagen zum Finden einer quadratischen Funktion = a + b + c sind wahr? Entscheide und gib die Funktion an oder begründe, warum die Angabe nicht zu einer eindeutigen Lösung führt. Bedingung w f Funktion/Begründung a) Mit der Angabe des Scheitelpunktes S ( ) wird die Funktionsgleichung eindeutig bestimmt. Die Öffnung der Parabel kann variieren. b) Mit den drei Punkten P ( ), P (0 ), P ( ) wird die Funktionsgleichung eindeutig bestimmt. =,5,5 + c) Mit zwei Punkten P ( ), P ( ) und dem Streckfaktor a = wird die Funktionsgleichung eindeutig bestimmt. =,8 5,8 7 Hängebrücke Ingenieure planen eine Hängebrücke, die an dicken Drahtseilen aufgehängt ist. Den Brückenbogen kann man näherungsweise durch die Funktion f mit = beschreiben. Bestimme den tiefsten Punkt des Brückenbogens und seine Höhe über der Fahrbahn. T (50 0) ist 0 m über der Fahrbahn. 8 Hochspannungsleitung Hochspannungsleitungen werden meist als Freileitungen gebaut: Zwischen zwei Masten hängt das Kabel hierbei frei über dem Boden. Bei einer Anlage ist das Kabel an 00 m auseinander stehenden Pfeilern in 50 m Höhe befestigt. An seiner tiefsten Stelle befindet es sich 9,875 m über dem Boden. a) Gib eine quadratische Funktion an, mit deren Hilfe man die Höhe des Kabels näherungsweise an jeder Stelle zwischen den Pfeilern bestimmen kann. h () = 0,000 5 ( 50) + 9,875 b) In welcher Höhe befindet sich das Kabel 50 m vom Mast entfernt? h (50) =,75

3 Funktionstpen und Graphen Kann die Zuordnung durch eine quadratische Funktion beschrieben werden? ja nein a) Würfel: Kantenlänge Volumen b) Quader: Kantenlänge Oberflächeninhalt c) Kreis: Radius Umfang d) Hand ( ohne Flatrate ): Anzahl der Gesprächsminuten Gesprächskosten (in ) e) Auto: durchschnittliche Geschwindigkeit Zeit für eine bestimmte Strecke f) ( + ) ( ) Markiere die Funktionsgleichungen, Graphen bzw. Tabellen, die zu einer quadratischen Funktion gehören können. a) = + 7 b) = ( ) c) = 5 d) = e) = 6 f) = g) = ( ) h) = i) = + q) k) = 0 r) = l) s) 0 0,5 5,5 0 = + m) n) o) p) t) 0,5 6 Vervollständige die Tabelle und zeichne den Graphen. a) = b) = + 0 0,5 0 0 =,5,5 8, ,5,75 = ( + ),5 0 0,5 8 8,

4 Graphen Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung? a) = b) = ( ) c) = + d) = e) = III I II V a) b) c) d) e) III V IV I II 6 6 IV Der gezeichnete Graph gehört zu der angegebenen Funktion. Zeichne ein geeignetes Koordinatensstem ein. a) = b) = + c) = ( + ) d) = ( ) Der Bremsweges eines Autos ist von seiner Geschwindigkeit abhängig. a) Ergänze die Wertetabelle und zeichne den Graphen in das Koordinatensstem. Geschwindigkeit in km/h Bremsweg in m b) Gib eine Funktionsgleichung an, mit deren Hilfe man den Bremsweg beschreiben kann. = 00 c) Bei einem anderen Auto ergaben sich in einer Messreihe folgende Werte: Geschwindigkeit in km/h Bremsweg in m 0,9,6 8,,5,5,5, Zeichne den Graphen ebenfalls in das Koordinatensstem. d) Welches Auto hat die besseren Bremsen? Begründe. Auto c), da bei gleicher Geschwindigkeit der Bremsweg kürzer ist. e) Für einen Neuwagen mit ABS kann der Bremsweg durch die Funktion mit der Gleichung f () = 0,006 beschrieben werden. Stelle eine geeignete Wertetabelle auf und zeichne den Graphen Bremsweg in m a) c) e) Geschwindigkeit in km/h Bremsweg in m ,6, 5, 9,6 5,6 9, 0 Geschwindigkeit in km/h

5 Term Wertetabelle Graph Welche Wertetabellen, Graphen und Funktionsgleichungen gehören zusammen? A 0 a) = III 0, 0, 0 0,9 b) = 0, B c) = 0, 0 A B C II I III II C 0 I,6 0, 0,6 b) a) c) D E F IV V VI d) = ( ) e) = ( + ) f) = ( ) D E F f) e) d) V IV VI Zeichne verschobene, nach oben geöffnete Normalparabeln, die ihren Scheitel in S haben. Ergänze die Wertetabelle und gib die zugehörige Funktionsgleichung an. a) S ( 0) d) a) = ( ) b) S ( ) b) = ( ) c) S ( ) 0 7 = ( + ) d) S ( ) 0 9 c) 5 = ( + ) + 6 0

6 Punkte bestimmen Welche der Punkte liegen auf dem Graphen? Entscheide anhand des Graphen und überprüfe dein Ergebnis durch Rechnung. = A (0 ) B (,5,) C (0,5,7) D ( ) = ,,5 +,7 0,5 + + = Berechne die fehlenden Koordinaten der Parabelpunkte. (Tipp: Es kann auch mehrere Lösungen geben.) a) = +,5 0 0 jj A ( ), B ( jj ), C ( jj ), D ( jj ), E ( jj ) C ( ) D (,5 ) b) = ( ) A ( jj ), B ( jj ), C ( jj 0), D ( jj ), E ( jj ) D ( ) Die Länge des Bremsweges eines Autos ist von seiner Geschwindigkeit abhängig. Der Zusammenhang zwischen dem Bremsweg s in Metern und der Geschwindigkeit v in km/h kann bei trockener Straße durch die Funktion s (v) = 00 v beschrieben werden. a) Wie lang ist der Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h? 5 m b) In einer Testreihe wurde ein Bremsweg von 56 m gemessen. Welche Geschwindigkeit lag dem Versuch zu Grunde? 60 km/h Silvio steht auf einem Turm und lässt einen Stein hinunterfallen. Mithilfe der Funktion h (t) = 5 t + 5 (h in Metern, t in Sekunden) kann die Höhe des Steins zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden. a) Bestimme die Ausgangshöhe des Steins sowie seine Höhe eine halbe Sekunde nach dem Loslassen. Ausgangshöhe: 5 m; nach einer halben Sekunde:,75 m b) Wann ist der Stein nur noch einen Meter über dem Boden? c) Nach welcher Zeit trifft der Stein auf dem Boden auf? s 0,89 s

7 Quadratische Gleichungen Einfache quadratische Gleichungen Gib die Lösungsmenge an. a) = 96 b) 5 = 80 c) 75 = 0 = ; = L = { ; } = 6 L = { ; } = 5 L = { 5; 5} d) = 7 e) ( ) = 6 f) ( + ) = = 9 L = { 9 ; 9 } = 6 + ; = 6 + L = {6; 8} = ; = L = { 6; } Parameter bestimmen Bestimme d so, dass der zugehörige Graph durch den angegebenen Punkt P verläuft. a) = ( d) P = (6 ) b) = ( d) P = ( 5) d = oder d = 8 d = + oder d = Quadratische Gleichungen vermischt Gib die Lösungsmenge an. a) = 6 b) 5 5 = 0 c) 8 = = 0 L = {0; } = 0 L = {0; } 0 = 0 L = {0; 0} d) + 6 = 0 e) = f) = 0 ( 6) = 0 L = {6} ( ) = 0 L = {} ( 9) = 0 L = {9} Zeichnerisches Lösen von Gleichungen Stelle die Gleichung auf, die hier grafisch gelöst wird. Lies die Lösungen ab und überprüfe sie durch Einsetzen in die Gleichung. f g g f 6 g f g f 6 = = = = + = 0 + = 0 + = 0 + = 0 = od. = = od. = = od. = = od. =

8 Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichung der Form + p + q = 0 Gib die Lösungsmenge an. a) = 0 b) = 0 c) = 0 ( + ) = 0 L = { } ( 8) = 0 L = {8} + 6 = 0 ( 6) = 0 L = {6} Parameter bestimmen Bestimme t so, dass eine Lösung ist. Berechne auch die zweite Lösung. a) t = 0 = b) + t + 8 = 0 = eingesetzt: t = 0; t = = 0 / = ± ; =, = 9 eingesetzt: 6 + t + 8 = 0; t = = 0 / = ± 9 8 ; =, = Quadratische Gleichungen vermischt Gib die Lösungsmenge an. a) + 8 = 0 b) 8 0 = 0 c) = 0 ( ) = 0 5 = 0 / = 5 ± L = {} L = {,5} L = { ; } d) + = 5 e) ( ) ( + ) = 0 f) + 0 = = 0 L = { 5; } = ; = L = { ; } = 0 L = { 5; 5} g) 6 = h) 5 = 6 i) = = = 0 L = {; 7} L = { ; 6} Lösungselemente: 5; ; 5; ; ; ; ; 0,5; ; ; ; ; ; 5; 5; 6; 7 +,5 + = 0 L = { ; } Verschiedene Darstellungsformen Ergänze die fehlenden Darstellungsformen. Scheitelpunktform Normalform faktorisierte Form f () = ( + 0,5),5 f () = + f () = ( ) ( + ) a) f () = ( + ) 6 f () = 8 f () = ( 8 ) b) f () = ( ) f () = f () = ( ) ( + ) c) f () = f () = f () = ( ) ( + ) d) f () = ( + e) f () = ( + ) f () =,5 + f () = ( 0,5) ( + ) ) + f () = f () = ( + ) ( + )

9 Scheitelpunktform a) Beschreibe die Graphen f, g, h und p im Vergleich zur Normalparabel. p g 6 f h 6 6 f: um Einheiten in Richtung verschoben,... nicht gestaucht, nicht gestreckt g: um Einheiten in -Richtung verschoben, gestreckt h: Scheitelpunkt bei ( 5), nach unten geöffnet, nicht gestaucht/gestreckt p: Scheitelpunkt bei ( ), gestaucht b) Gib die Funktionsgleichungen zu den Graphen an. f: = ( ) g: = h: = ( + ) + 5 p: = ( ) Gib den Scheitelpunkt der Funktionsgraphen an und zeichne die Graphen. a) 6 d) a) = ( + ) S ( jj jj ) b) = ( ) + S ( jj jj ) c) = ( + ) + 6 S ( jj jj 6 ) d) = ( ) + 5 S ( jj jj ) c) b) Gib die Funktionsgleichung der Parabel an, die entsteht, wenn man den Graphen der Funktion an einer der Koordinatenachsen spiegelt. Funktionsgleichung = ( + ) = ( ) + = ( ) + = ( + ) + 6 Spiegelung an der -Achse = ( + ) + = ( ) = ( ) = ( + ) 6 Spiegelung an der -Achse = ( ) = ( + ) + = ( + ) + = ( ) + 6 Ergänze die fehlende Darstellungsform. Scheitelpunktform = ( ) + = ( ) 6 = ( + 6) 8 = ( + ) 0 Normalform = + 8 = 5 = + + = + 6

10 Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkt mit der -Achse Man kann den Schnittpunkt mit der -Achse einfach aus der Funktionsgleichung bestimmen. Welchen Schnittpunkt mit der -Achse hat der Graph der angegebenen Funktion? a) f () = + + b) g () = ( + ) 8 c) h () = 5 d) i () = ( + ) ( ) S (0 ) S (0 7) S (0 0) S (0 6) Schnittpunkte mit der -Achse Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit b) der - Achse und zeichne den Graphen. a) f () = ( ) ( ) S ( 0); S ( 0) b) g () = ( ) ( + ) S ( 0); S ( 0) c) h () = 0,5 ( ) ( + ) S ( 0); S ( 0) Nullstellen Gib die Nullstellen an. 6 6 a) f () = ( ) ( + 5) b) f () = ( + ) c) f () = ( + ) 8 d) f () = = + 8 ; = ; = 5 = 0; = = 8 = c) a) e) f () = ( + ) f) f () = g) f () = 5 h) f () = + 9 = = 0 = 5 ; = + 5 keine Nullstelle Aussagen über Schnittpunkte mit den Achsen Welche der Aussagen über Schnittpunkte mit den Achsen einer quadratischen Funktion sind wahr? Kreuze w oder f an. a) Der Schnittpunkt mit der -Achse ist der höchste Punkt einer Parabel. b) Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung f () = 0. c) Wenn = eine Nullstelle ist, dann ist es auch =. d) Es gibt immer mindestens einen Schnittpunkt mit der -Achse. j w j f j w j f j w j f j w j f 5 Flugbahn eines Steines Von einem 6 m hohen Felsen wird gegen einen Stein getreten, der nun auf einer parabelförmigen Bahn fällt. Welche Parabelgleichung kann die Flugbahn des Steines beschreiben? I f () = + 6 II f () = 6 III f () = + 6 IV f () = 6 Begründung: III Die Flugbahn wird durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben; der -Achsenabschnitt ist positiv. 5

11 Anwendungen zu Schnittpunkten mit den Achsen Fußballkurve Ein liegender Fußball wird 0 m weit geschossen, dabei erreicht er eine maimale Höhe von 0 m. Welche Bilder passen zur Situation? I II III IV I IV Flugkurve Was bedeuten die Schnittpunkte mit der -Achse im dargestellten Flug? Start- und Landepunkt auf dem Boden Wasserstrahl Ein Wasserstrahl spritzt 0 m weit und erreicht eine Höhe von 0 m. Mit welcher quadratischen Funktion kann man den Wasserstrahl beschreiben? I f () = ( 0) II g () = ( 0) III h () = 0,05 + IV k () = 0, III Kugelstoß Die Flugbahn einer Kugel wird durch die Gleichung k () = 0, + +,95 beschrieben. Dabei bezeichnet die horizon tale Entfernung vom Abstoßpunkt und k die Höhe über dem Boden in Metern. a) Skizziere die Bahn der Kugel. b) Welche Bedeutung hat k (0)? Abstoßhöhe c) In welcher Höhe wird die Kugel abgestoßen?,95 m d) Wie weit fliegt die Kugel? K () = 0 = 6,5 Die Kugel fliegt 6,50 m weit. 6

12 Parabeln und Geraden Schnittpunkte von Parabeln und Geraden a) Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel mit einer Geraden besitzen? keinen oder einen Schnittpunkt, zwei Schnittpunkte b) Bestimme die Schnittpunkte der Parabel f () = mit der Geraden. g () = + h () = i () = S ( + + ) S ( S (0 0); S ( ) S ( ) ) Schnittpunkte von Parabeln a) Wie viele Schnittpunkte können zwei Parabeln besitzen? keinen oder einen Schnittpunkt, zwei Schnittpunkte b) Bestimme die Schnittpunkte der Parabel f () = mit der Parabel. g () = + h () = i () = + keinen SP S (0 0) S ( ) Aussagen über Schnittpunkte von Parabeln oder Geraden Welche der Aussagen sind wahr? Notiere w oder f. Erstelle ggf. ein Beispiel oder eine Skizze. a) Die Stellen der Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden erhält man durch Gleichsetzen b) Geometrisch bedeutet das Lösen einer quadratischen Gleichung immer die Schnittpunktbestimmung c) Hat eine Gerade mit einer Parabel den Scheitelpunkt als einzigen Schnittpunkt, so ist die Gerade eine d) Zwei nach oben geöffnete Parabeln können nicht zwei Schnittpunkte haben. der Funk tionsterme. einer Parabel mit einer Geraden. Tangente. w f Skizze/Beispiel Skizze/Beispiel Skizze/Beispiel Skizze/Beispiel w: p() = ² w g() = + ² = + S ( ); S ( ) Quadratische Gleichungen Die Parabeln sind verschobene oder gespiegelte Normalparabeln. Bestimme die Schnittpunkte. a) Gleichung: b) Gleichung: ( + ) + = 0 ( + ) = 0,5 A B D, = ±, = ± =,7 = 0, =, = 0,9 C A (,7 0) B ( 0, 0) C (,,) D (0,9 0,) c) E F Gleichung: = ( + ) +, = ± 7 =,8 = 0,8 d) G H Gleichung: + 5 = ( ), = ± =, =, E (,8,) F (0,8 0,7) G (,,7) H (, 0,) 7

13 Quadratische Funktionen finden Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform Bestimme die Koeffizienten in der Scheitelpunktform f () = a ( d) + e. a) a) a = 0,5 d = 0 e = b) a = d = e =,5 0 c) c) a = d = e = 0,5 b) Verschobene Normalparabel Gib die verschobene Normalparabel in der Scheitelpunktform f () = ( d) + e oder allgemeinen Form f () = + b + c an, die die angegebene Bedingung erfüllt. a) Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ( ). b) Die Parabel schneidet die -Achse an den Stellen und. c) Die Parabel schneidet die -Achse bei, ihre Smmetrieachse geht durch P ( 0). f () = f () = f () = f () = d) Die Parabel schneidet die -Achse bei und schneidet die -Achse bei. ( + ) ( ) + Parabel Funktionsgleichung Gib die zu den Graphen gehörenden Funktionsgleichungen an. a) f () b) f () c) f () 5 f () = 0,5,5 + f () = ( ) f () =,5 +,5 = Funktionsgleichungen Gesucht ist die Gleichung einer quadratischen Funktion f () = a + b + c. a) Nullstellen = ; = 5; Punkt P ( ) b) Scheitelpunkt S( ); Punkt P ( 9) c) -Achsenabschnitt ; Punkte P ( ); P ( ) f () = f () = f () = f () = Fragen zu Parabeln Gib die Funktion f () = a + b + c an und beantworte die Frage. In einem Fall gibt es keine eindeutige Funktion. d) Nullstellen = ; = ; Streckfaktor Bedingungen Funktion Frage a) Der Scheitelpunkt ist S ( 8) und eine Nullstelle ist bei. b) Der Scheitelpunkt ist S ( ) und P ( ) liegt auf dem Graphen. f () = c) Die Nullstellen sind und 6. f () = 8 + f () = + 8 f () = 6 + Wo liegt die zweite Nullstelle? Nullstelle bei. f () = + Wie lautet der Punkt an der Stelle? + 8 ( ) Wo liegt der Scheitel? Scheitel an der Stelle. 8

14 Komplee Aufgaben Kugelstoß Die Flugbahn einer Kugel kann durch die Gleichung h () = 0, +, +,6 beschrieben werden. Dabei bezeichnet die horizontale Entfernung vom Abstoßpunkt und h () die Höhe über dem Boden in Metern. a) Skizziere die Bahn der Kugel. b) Bestimme die Abstoßhöhe.,60 m 6 8 c) Wo war der höchste Punkt der Kugel? ( m, m) e) Beim Lösen der Gleichung 0, +, +,6 = 0 erhält man zwei Lösungen. Welche Bedeutung haben die beiden Lösungen? negative Lösung: keine Bedeutung; positive Lösung: Landestelle der Kugel bei 7, m Gatewa Arch Das Wahrzeichen der Stadt St. Louis ist der Gatewa Arch, ein 9 m großer Bogen, der von Eero Saarinen gestaltet wurde. Der parabelförmige Bogen kann durch die Gleichung f () = 0, beschrieben werden. a) Wie breit ist der Bogen (am Boden)? 9,5 m b) Während einer Flugshow möchte ein Flugzeug unter dem Bogen hindurch fliegen. Passt das Flugzeug mit einer Spannweite von 0 m in einer Höhe von 00 m hindurch, wenn es einen Sicherheitsabstand von 0 m zum Bogen einhalten muss? f () = 00 liefert = 66,5 m. Breite m reicht. c) Welche maimale Flughöhe muss der Pilot mit den Sicherheitsbestimmungen einhalten? f (0) = 8,68 m. Aus Smmetriegründen ma. Flughöhe 8,68 m bei 0 m Breite Basketball Die Flugbahn eines Freiwurfs eines Spielers im Basketball kann f () durch die Funktion f () = 0,5 +, + beschrieben werden. Dabei bezeichnet die horizontale Entfernung vom 8 Abwurfpunkt und f () die Höhe des Balles über dem Boden in Metern. 6 a) Skizziere die Bahn des Basketballs. b) Welche Bedeutung hat f (0)? Abwurfhöhe m c) Wo hat der Ball seinen höchsten Punkt? d) Der Korb hängt in einer Höhe von,05 m. Aus welcher Entfernung wird der Freiwurf ausgeführt? (,0 m,88 m) f () =,05 liefert, m. 6 9

15 Komplee Aufgaben Sprungverhalten eines Basketballs Bei einem Eperiment zum Sprungverhalten von Bällen hat man die Flugkurven analsiert. Bei der Sorte Gii ergab sich nebenstehender Bildausschnitt. Die beiden Parabelbögen können durch die Funktionen f () = 7,5 + 6 und g () = 0 +, beschrieben werden. a) Wie hoch sprang der Ball jeweils?,0 m; 0,90 m b) Bestimme den Abstand zwischen dem. und. Auftreffpunkt.,0 m... c) Beim dritten Sprung des Balles wurde eine Höhe von 0,6 m gemessen, beim vierten Auftreffpunkt hatte der Ball eine Strecke von,90 m zurückgelegt. Bestimme die Gleichung der Parabel, die diesen Sprung beschreibt. h () = 9,6 (,65) + 0,6 Golf Im Golfsport benutzen die Spieler unterschiedliche Schläger, die Einfluss auf die Höhe und Weite der Flugbahn der Bälle haben. Dabei verwendet man für kurze bis mittlere Distanzen, bei denen es unter Umständen auch wichtig ist, dass der Ball unmittelbar nach dem Aufkommen liegen bleibt, Eisenschläger. Verena hat verschiedene Eisen in ihrer Golftasche. Die Flugbahn eines von ihr mit einem Eisen 6 geschlagenen Balls kann durch die Funktion f mit f () = 0,00 + 0,6 beschrieben werden. a) Wie weit fliegt der Ball? 50 m b) Bestimme den höchsten Punkt der Flugbahn des Balls. P (75,5) c) Welche Höhe hat der Ball 0 m nach dem Abschlag erreicht? 0, m d) Wann erreicht er eine Höhe von 0 m? nach 50 m und nach 00 m e) Mit einem anderen Eisen kann Verena den Ball m weit schlagen, wobei eine maimalen Höhe von 8 m erreicht wird. Bestimme die Gleichung einer quadratischen Funktion, die diese Flugbahn beschreiben könnte. f () = 0,0087 +,5 0

16 Komplee Aufgaben Speerwurf Die Flugbahn eines Speeres kann ohne Berücksichtigung der Luftreibung durch die Funktion f () = 0, beschrieben werden. Dabei bezeichnet die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und f () die Höhe des Speeres über dem Boden in Metern. a) Skizziere die Flugbahn des Speeres. 0 0 f () b) Wie weit fliegt der Speer? 0 m c) Bestimme den höchsten Punkt der Flugbahn. (9,05 m,5 m) d) Wie verändern sich Weite und höchster Punkt, wenn die Bahn des Speers durch f () = 0,0 + + beschrieben wird? Weite: 5, m Höchster Punkt: (6,67 0,) Was bedeutet dies für den Abwurfwinkel? Der Abwurfwinkel ist kleiner. Medizinballwurf Die Flugbahn eines Medizinballes ist im nebenstehenden Bild dargestellt. a) Beschreibe die Flugbahn des Balles mithilfe einer Funktionsgleichung. f () = Höhe in m Weite in m b) Überprüfe deine Funktionsgleichung anhand weiterer Punkte ( ), (6 ), (0 ), ( 0) Gewinn Der Gewinn einer Firma hängt vom Einsatz des in Werbung investierten Geldes ab. Laut Untersuchung der Marketingabteilung besteht ein funktionaler Zusammenhang, der sich durch die Gleichung G () = 0, beschreiben lässt. Dabei ist das für Werbung eingesetzte Geld und G () der erzielte Gewinn in Tausend Euro. a) Zeichne den dazugehörigen Graphen. b) Unterbreite der Geschäftsleitung einen Vorschlag über das einzusetzende Geld für Werbung G () in 000 in Mit für Werbung wird der maimale Gewinn von erzielt.

17 Abschlusstest quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen Graphen zeichnen a) Zeichne den Graphen der Funktion f mithilfe einer Wertetabelle. f: = ,75 6,5 0 b) Zeichne den Graphen der Funktion g mit der Gleichung = ( ), ohne vorher eine Wertetabelle zu erstellen. 6 6 Graphen erkennen und Funktionsgleichung angeben Welche Graphen können zu einer quadratischen I II III Funktion gehören? Gib in diesen Fällen die Funktionsgleichung an. IV II: = ( ) + IV: = ( ) Funktionsgleichung bestimmen Bestimme die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion, von deren Graph bekannt ist: a) Scheitelpunkt S ( ); Punkt A ( ) liegt auf dem Graphen. = ( ) + b) A ( ), B ( 8,5), C ( ) liegen auf dem Graphen. = 6 c) Normalparabel mit den Nullstellen 0 und. = ( ) = Quadratische Gleichung Bestimme die Lösungen. 7 = 0 = = = = = ; = = 0; = = = ; = 9 keine Lösung 5 Scheitelpunktform Normalform faktorisierte Form Bestimme die fehlenden Darstellungsformen. a) = 6 b) = ( 6) = ( ) 6,5 = ( ) ( + ) = = / (keine Nullstellen)

18 Abschlusstest quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen 6 Wahr oder falsch? Welche der Aussagen zum Finden einer quadratischen Funktion = a + b + c sind wahr? Entscheide und gib die Funktion an oder begründe, warum die Angabe nicht zu einer eindeutigen Lösung führt. Bedingung w f Funktion/Begründung a) Mit der Angabe des Scheitelpunktes S ( ) wird die Gleichung eindeutig bestimmt. Öffnung ist variabel b) Durch die drei Punkte P (0 ), P ( ), P ( ) wird die Gleichung eindeutig bestimmt. = + c) Mit den zwei Punkten P (0 0) und P ( ) und dem Streckfaktor a = wird die Gleichung eindeutig bestimmt. = (,5) +,5 d) Mit der Angabe des Punktes P ( ) und der Smmetrieachse durch ( 0) wird die Gleichung eindeutig bestimmt. -Koordinate des Scheitelpunktes kann variieren. 7 8 Schnittpunkte Bestimme die Schnittpunkte der quadratischen Funktion f mit f () = + a) mit den Koordinatenachsen. -Achse: (0 ) -Achse: ( + 0 0); ( 0 0) b) mit der linearen Funktion g: =. S ( 8) c) mit der quadratischen Funktion h: =? S ( + 55,7) S ( 0,) Delfine Delfine können sich auch mit Sprüngen fortbewegen. Bei einer Tierbeobachtung stellt man fest, dass ein Sprung des Delfins näherungsweise durch die Funktion mit der Gleichung = 0, +,6 beschrieben werden kann. a) Wie weit ist der Delfin gesprungen? 7, m b) Bestimme die maimal erreichte Sprunghöhe.,89 m c) Nach wie vielen Metern hatte der Delfin eine Höhe von,0 m erreicht? ca. 0,6 m und 6,6 m 9 Brückenbogen Ein,5 m hoher Brückenbogen führt über einen 50 m breiten Geländeabschnitt. a) Bestimme eine quadratische Funktion, die den Brückenbogen beschreibt. = 0,0 + b) Fünf Meter von den Endpunkten A bzw. B sollen Stützpfeiler errichtet werden. Wie hoch müssen sie werden?,50 m A B