1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität. a x heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität.

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1 Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität a Die Funktion f : y = a 0, 0 heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität. Spezialfall a = 1: f: Bilde den Kehrwert der gegebenen Zahl. An der Stelle = 0 ist die Funktion nicht definiert. Der Graph heisst rechtwinklige Hyperbel. Um etwa den Graphen zu zeichnen, bestimmt man an einigen Stellen die Funktioenswerte f() und verbindet die Punkte durch eine schön geschwungene Linie. Die Hyperbeläste kommen den Koordinatenachsen beliebig nahe. Die Koordinatenachsen heissen Asymptoten der Hyperbel. Da die Funktionswerte an den Stellen und - entgegengesetzt gleich sind (d.h. es gilt f(-) = - f() ), ist die Hyperbel zentralsymmetrisch zum Ursprung (0, 0). Die Hyperbel ist ausserdem aialsymmetrisch zu den Winkelhalbierenden. Unabhängig von der Wahl des Hyperbelpunktes sind die entsprechenden achsenparallelen Rechtecke inhaltsgleich. Welchen Einfluss hat der Parameter a? (Skizze mit a= 1, 4, -, - 1 / ) Die bisherigen Funktionswerte werden mit a multipliziert. Dies bewirkt eine Dehnung bzw. Pressung der Kurve in y-richtung. Ist a < 0, so kommt eine Spiegelung an der -Achse dazu (diese Abbildung heisst normale Affinität bezüglich der -Achse). Asymptote (griech. nicht zusammenfallen) funktion_1_07_s /ul

2 35 Unterscheide: Proportionalität: y und sind quotientengleich indirekte Proportionalität: y = a y und sind produktgleich y = a geometrisch: flächengleiche Rechtecke 1 / / y / f : y = f : y = Der Graph von f ist eine Ursprungsgerade Der Graph von f ist eine Hyperbel Beispiele: Erreicht man bei einer Wanderung eine mittlere Geschwindigkeit von 4. km/h dann ist der zurückgelegte Weg s (in km) proportional zur Zeit t (in Stunden): s = 4. t Die Dauer t (in Stunden) eines Fussmarschs von 0 km ist umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit v (in km/h): 0 t = v a Bestimme den Parameter a so, dass die Hyperbel mit der Gleichung y = durch den Punkt P(, 3) geht. Die Koordinaten von P erfüllen die Hyperbelgleichung: a 3 = und damit a = funktion_1_07_s /ul

3 Quadratische Funktionen Funktionen mit der Gleichung f : y = a + b + c heissen quadratische Funktionen. Der Graph einer quadratischen Funktion heisst Parabel. Spezialfälle: a) Die Quadratfunktion f : y = a + b + f: quadriere die gegebene Zahl Der Funktionswert an der Stelle ist 4 oder kurz: f() = 4 Es gilt: f() = f(-) = 4 oder allgemein f(-) = f() Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. An der Stelle = 0 berührt die Parabel die - Achse, die -Achse ist also Tangente an die Parabel. Dieser Punkt heisst Scheitel der Parabel. Eine Anwendung der Parabeleigenschaften in der Prais: funktion_1_07_s /ul c Achsenparallele Lichtstrahlen werden bei Refleion an einem parabolförmigen Spiegel im Brennpunkt gesammelt (Parabolspiegel, -antenne). b) f : y = a a 0 Skizze: a = 1,, ¼, -¼ Satz: Der Graph der Funktion f: y = a, a 0 (Die Kurve mit der Gleichung y = a ) ist eine quadratische Parabel. Die y-achse ist Symmetrieachse, der Nullpunkt Scheitelpunkt der Parabel. Die Parabel ist für a > 0 nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Der Parameter a bewirkt eine Dehnung oder Pressung der Normalparabel y = in y-richtung im Verhältnis a : 1 (normale Affinität zur - Achse). Hinweis: Die Ellipse kann als normalaffines Bild eines Kreises aufgefasst werden. Bestimme den Parameter a so, dass die Kurve k : y = a durch den Punkt Q(-3, 6) geht. Die Koordinaten des Punktes Q erfüllen die Kurvengleichung, dh. f (-3) = 6 bzw. 6 = 9a, also a = / 3.

4 37 c) f : y = a + c a, c R, a 0 Skizze: a = ¼ c = 0, -, a = -¼ c = 3 Satz: Der Graph der Funktion f : y = a + c ist eine zur y-achse symmetrische Parabel mit dem Scheitel S(0, c). Sie entsteht aus der Parabel mit der Gleichung y = a durch Translation um c Einheiten in y-richtung 0 (m.a.w. durch Translation um den Vektor c Eine zur y-achse symmetrische Parabel geht durch die Punkte P(4, ) und Q(, -1). Bestimme ihre Gleichung. f (4) = 16a + c = f () = -1 4a + c = -1 Subtrahiert man die beiden Gleichungen, so erhält man a = ¼ und nach Einsetzen in einer der beiden Gleichung c = - Die Parabel hat die Gleichung y = ¼ - Während der Parameter a die Form der Parabel bestimmt, bewirkt eine Veränderung von c eine Parallelverschiebung der Parabel in y-richtung funktion_1_07_s /ul

5 38 Ist der Koeffizient b 0, so liegt der Scheitel nicht mehr auf der y-achse, wie das folgende Beispiel zeigt: d) f : y = für y - 1 / / / / / 4 Die abgebildete Parabel ist nach unten geöffnet. An der Stelle = 4 ist die Parabeltangente horizontal, der zugehörige Parabelpunkt S(4, ) heisst Scheitel der Parabel Die Parabel schneidet die -Achse an den Stellen = und = 6. Damit ist die quadratische Gleichung = 0 auf graphischem Weg 4 gelöst. Ein rechnerischer Weg ergibt sich später mit der quadratischen Auflösungsformel. Allgemein gilt: Die Form der Parabel wird durch den Parameter a bestimmt; ist a > 0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten. Die Parameter b und c bestimmen die Lage der Parabel im Koordinatensystem, c ist die y- Koordinate des Schnittpunkts der Parabel mit der y-achse. Wegen der Symmetrieeigenschaft der Parabel, ergibt sich die Lage des Scheitels unmittelbar, sobald zwei Stellen mit gleichem Funktionswert bekannt sind. Im Kapitel Differentialrechnung ergibt sich später eine einfache Methode zur Bestimmung des Scheitelpunkts. Uebungsaufgabe: Zeichne den Graphen der Funktion f: f : y = 1 3 und bestimme geometrisch die -Koordinaten der Schnittpunkte mit der -Achse. Lösung: Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel S(, -5). Sie schneidet die -Achse an den Stellen 1-1. und 5.3, d.h. die quadratische Gleichung 1 3 = 0 hat die Lösungen 1 1. und 5.3. Da an diesen Stellen der Funktionswert 0 ist, sagt man auch 1 und sind die Nullstellen der Funktion f : y = funktion_1_07_s /ul

6 39 Anwendungen der quadratischen Funktion: Ein Etremalproblem: Wie sind die Seiten eines an einer Hauswand angrenzenden rechteckigen Zauns zu wählen, wenn dazu ein 30 m langes Drahtgeflecht zur Verfügung steht und die Rechtecksfläche möglichst gross sein soll? 1. Zielfunktion: Die Rechtecksfläche y = z soll maimal sein. Nebenbedingung: Breite z = Zielfunktion Rechtecksfläche f : y = (15 1 ) 4. Der Graph ist eine nach unten geöffnete quadratische Parabel. Sie schneidet die - Achse an den Stellen 0 und 30. Damit liegt der Scheitel aus Symmetriegründen in der Mitte bei = 15. Also ist für die Länge = 15 m die Rechtecksfläche maimal. Durch Einsetzen 5 erhält man die maimale Rechteckfläche zu f (15) = Bem. Soll das Drahtgeflecht ohne einschränkende Bedingungen den grösstmöglichen Flächeninhalt umfassen, dann ist es zu einem Kreis zu formen funktion_1_07_s /ul

7 Die Betragsfunktion (Schönfarber-, Vorzeichenfresser-) Einführendes Beispiel: Die Zahlen - und haben auf der Zahlengeraden von 0 denselben Abstand. Wir sagen - und haben denselben absoluten Betrag und schreiben dafür - = =. Allgemein: a a < 0 Def. a = 0 a = 0 a a < 0 Der absolute Betrag einer Zahl ist eine nichtnegative Zahl. Der Graph der Betragsfunktion Die Betragsfunktion nimmt keine negativen Funktionswerte an. Sie verändert positive Zahlen und die Zahl 0 nicht, wechselt aber bei negativen Zahlen das Vorzeichen. Korrekt sollte es also heissen a = a z.b. ( 3) = 3 = 3 Der Graph der Betragsfunktion kann gezeichnet werden, indem man zunächst die Gerade y = darstellt und anschliessend die unterhalb der -Achse liegenden Punkte an der -Achse spiegelt. Löse die folgenden Gleichungen: a) = 5 Lösung = 5 b) = 5 keine Lösung c) = 5 = 5 oder = -5 d) 5 Gesucht sind die Punkte, deren Abstand von 0 kleiner oder gleich 5 ist Lösung: 0 5 e) 1 < < 3 [1,3] [-3,-1] funktion_1_07_s /ul

8 41 Zeichne den Graphen der Funktion f : y = Zeichne zunächst den Graphen der Funktion f : y = Das Betragszeichen bewirkt, dass Punkte unterhalb der -Achse an der -Achse gespiegelt werden. Die Ersetzung von durch bewirkt eine Translation des Graphen in -Richtung um Einheiten. Zeichnet man zusätzlich zum Graphen die Gerade y = 1, dann können die folgenden Gleichungen grafisch gelöst werden: - = 1 Lösung: = 1 oder = 3 - < 1 Lösung: L = ]1, 3[ - > 1 Lösung: L = ]-, 1[ ]3, [ Allgemein gibt - a den Abstand der Zahl zu a an. Zeichne den Graphen der folgenden Funktionen: a) f : y = Der Summand bewirkt eine Verschiebung des Graphen um Einheiten in negativer y-richtung b) f : y = 1 + Fallunterscheidung: 1 f() = 1 + = 3 1 < < f() = 1 + = 1 f() = 1 + = 3 Der Graph kann auch durch Superposition der beiden Summanden gezeichnet werden funktion_1_07_s /ul

9 4 Löse die folgende Gleichung: 1 = 5 Lösung durch Fallunterscheidung: < 0-1 = 5 ( = 6) 0 5 / 1 = 5 = > 5 / 1 = 5 = 4 Lösungsmenge L = {, 4} Grafische Lösung: In der Skizze sind die Graphen der Funktionen f : y = 1 bzw. f : y = 5 dargestellt. Die -Koordinaten ergeben die beiden Lösungen der Gleichung funktion_1_07_s /ul

10 43 Einige weitere Beispiele: Die Vorzeichenfunktion (Signumfunktion) 1 < 0 f : y = sign = 0 = 0 1 > 0 Die Gauss sche Klammerfunktion (Integerfunktion, grösste ganze Zahl ) f : y = int( ) = [ ] Beispiel einer Funktion, deren Graph nicht gezeichnet werden kann: 1 rational f : y = 1 irrational funktion_1_07_s /ul

11 Funktionsbegriff (Zusammenfassung) Unter einer Funktion f verstehen wir eine Vorschrift, die jeder Zahl D R eindeutig eine Zahl y R zuordnet. heisst Original (Urbild), y heisst Funktionswert von und wird mit f() bezeichnet. D heisst Definitionsbereich der Funktion f. Die Menge W der Funktionswerte von f heisst Wertemenge. y = f() heisst Funktionsgleichung. Die Menge der Punkte (,y) mit D heisst Graph G(f) der Funktion: G(f) = { (, y) / D, y = f()}. Formulierungsvariante: Stellt man die Punkte (,y), deren Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen, in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den Graphen der Funktion. wichtige Beispiele von Funktionen: Funktionsgleichung Name der Funktion Definitionsbereich Graph f() = a Proportionalität R Ursprungsgerade f() = a + b lineare Funktion R Gerade a f ( ) = a 0 umgekehrte Prop. R\{0} rechtw. Hyperbel f() = Quadratfunktion R Ursprungsparabel f() = a + b + c quadratische Funktion R Parabel f() = Betragsfunktion R f ( ) = Wurzelfunktion R + Die Eindeutigkeit der Zuordnung bedeutet, dass für jedes des Definitionsbereichs der Graph der Funktion von einer Parallelen zur y-achse in genau einem Punkt geschnitten wird funktion_1_07_s /ul