Quadratische Funktionen

Transkript

1 Quadratische Funktionen 1-E

2 Galileo Galilei und der schiefe Turm von Pisa Galileo Galilei ( ) Der berühmte italienische Wissenschaftler Galileo Galilei stellte das korrekte Fallgesetz auf führte er in Pisa Fallexperimente durch. Dort ließ er seinem Schüler Vincenzo Viviani zufolge mit wachsender Begeisterung Gegenstände vom Schiefen Turm zu Boden fallen (es gilt nicht als gesichert, ob er die Versuche wirklich vom Turm aus vornahm). 1-1

3 Einführende Beispiele Das Fallgesetz: Das Fallgesetz besagt, dass alle Körper im Vakuum gleich schnell fallen egal, ob es sich um eine Feder oder um eine Eisenkugel handelt. Die physikalische Formel lautet S (t ) = 1 g t Dabei gibt S die Fallhöhe an, g die Fallbeschleunigung und t die Zeit, die der Fall dauert. Die kinetische Energie eines Körpers: Die kinetische Energie E eines Körpers der Masse m ist eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit v E kin v = 1-1 m v

4 Einführende Beispiele Abb. 1-1: Kreis mit dem Radius r Die Fläche eines Kreises des Radiuses r ist eine quadratische Funktion des Radiuses A (r) = π r 1-3

5 Beispiele von quadratischen Funktionen gt Das Fallgesetz: S (t ) = Die kinetische Energie: E kin (v) = Die Fläche eines Kreises: A (r) = π r Das Volumen eines Kreiszylinders: V (r) = π h r 1 mv

6 Sevilla Kurven, die man durch quadratische Funktionen beschreiben lassen 1-5

7 Kurven der quadratischen Funktionen Abb. 1-: Die Kurve, die den Flug des Baron von Münchhausens beschreibt, kann man näherungsweise durch eine quadratische Funktion beschreiben 1-6

8 Kurven der quadratischen Funktionen Abb. 1-3: Mit quadratischen Funktionen kann man die Form des Pfades vom Wasser aus einem Brunnen modellieren 1-7

9 Quadratische Funktion Definition: Funktionen mit der Gleichung f x = a x b x c x, a, b, c ℝ, a 0 heißen quadratische Funktionen. a x das quadratische Glied -A bx das lineare Glied c das absolute Glied

10 Quadratische Funktion: graphische Darstellung Abb. -1: Der Graph der Funktion y = x² ( x, y) = { ( 3, 9), (, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (, 4), (3, 9) } -1

11 Quadratische Funktion: Normalparabel Abb. -: Normalparabel y = x² y = x :D = ℝ, y = x² : Parabel ist nach oben geöffnet W = [ 0, ) Der Scheitelpunkt S (0, 0) ist der Tiefpunkt (Minimum) -

12 Normalparabel: Symmetrieeigenschaften Abb. -3: Zur Symmetrieeigenschaft der Normalparabel y = x², y-achse ist die Symmetrieachse f x = x -3 : f x 1 = f x 1, f x = f x

13 Normalparabel: Monotonieeigenschaften Abb. -4: Monotonieeigenschaft der Normalparabel y = x² im negativen Definitionsbereich f x = x, -4 x 1 =, x = 1, x1 x, f x1 f x

14 Normalparabel: Monotonieeigenschaften Abb. -5: Monotonieeigenschaft der Normalparabel y = x² im positiven Definitionsbereich f x = x, -5 x 1 = 1, x =, x1 x, f x1 f x

15 Monotonieeigenschaften Definition: Eine Funktion y = f (x) heißt in einem Intervall I des Definitionsbereiches monoton wachsend, wenn für alle x1, x I D, gilt: x1 x f x1 f x Definition: Eine Funktion y = f (x) heißt in einem Intervall I des Definitionsbereiches monoton fallend, wenn für alle x1, x I D, gilt: x1 x f x1 f x Die Funktion f (x) = x² ist für x 0 monoton fallend und für x 0 monoton wachsend. -6

16 Quadratische Funktionen y = a x²: Aufgaben 1, Aufgabe 1: Zeichnen Sie in einem Koordinatensystem folgende quadratische Funktionen. Erklären Sie ihre Eigenschaften anhand der graphischen Darstellung a ) f ( x) = x, g ( x) = 3 x b ) f ( x) = x, g ( x) = 0.4 x c ) f ( x) = x, g ( x) = x d ) f ( x) = x, g ( x ) = 3 x e ) f ( x ) = x, g ( x) = 0.3 x Aufgabe : Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion y = x² folgende Werte auf dem Zahlenstrahl 3-A, 3

17 Quadratische Funktionen y = a x²: Lösung 1a Abb. L1-a: Parabeln y = f (x) und y = g (x) 3-1a Normalparabel: a = 1, f (x ) = x Streckung der Normalparabel: a = 3, g (x) = 3 x

18 Quadratische Funktionen y = a x²: Lösung 1b Abb. L1-b: Parabeln y = f (x) und y = g (x) 3-1b Normalparabel: a = 1, f ( x) = x Stauchung der Normalparabel: a = 0.4, g (x) = 0.4 x

19 Quadratische Funktionen y = a x²: Lösung 1c Abb. L1-c: Parabeln y = f (x) und y = g (x) 3-1c a = 1, Normalparabel: Spiegelung der Normalparabel: a = 1, f ( x) = x g ( x) = x

20 Quadratische Funktionen y = a x²: Lösung 1d 3-1d Abb. L1-d: Parabeln y = f (x) und y = g (x) f ( x) = x, g ( x) = 3 x

21 Quadratische Funktionen y = a x²: Lösung 1e 3-1e Abb. L1-e: Parabeln y = f (x) und y = g (x) f ( x) = x, g ( x) = 0.3 x

22 Quadratische Funktionen y = a x²: Lösung Abb. L: Graphische Lösung der Aufgabe 3-

23 Quadratische Funktionen: y = x² + n Abb. 3-1: Die Normalparabel f (x) = x² wird um n = 3 Einheiten in die positive Richtung der y-achse verschoben Den Graphen der Funktion y = x² + n erhält man durch Verschiebung des Graphen der Funktion y = x² in Richtung der y-achse um n Einheiten. 4-1 f x = x, g x = x n

24 Quadratische Funktionen: y = x² + n Abb. 3-: Die Normalparabel f (x) = x² wird um 1 Einheit in die positive Richtung der y-achse und um Einheiten in die negative Richtung der y-achse verschoben Die Verschiebung erfolgt für n > 0 in positive Richtung der y-achse, für n < 0 in negative Richtung der y-achse. 4- f x = x, g 1 x = x 1, g x = x

25 5-E

26 Quadratische Funktionen: y = a x² + n Aufgabe 3: Zeichnen Sie folgende Funktionen und erklären Sie Ihren Verlauf: a ) g 1 ( x ) = x +, b ) g 1 ( x) = 3 x 1, 5-A g (x ) = 0. x 1 x 3 g (x) = + 4

27 Quadratische Funktionen: Lösung 3a Abb. L3-1: Graphische Darstellung der quadratischen Funktionen f x = x, 5-1 g 1 x = x, g x = 0. x 1

28 Quadratische Funktionen: Lösung 3b f 5- Abb. L3-: Graphische Darstellung der quadratischen Funktionen x x = x, g 1 x = 3 x 1, g x = 4 3

29 Quadratische Funktionen: Lösung 3 a ) g 1 x = x : Streckung: a =, Verschiebung um n = in die positive Richtung der y-achse g x = 0. x 1 : Stauchung: a = 0., Verschiebung um n = 1 in die negative Richtung der y-achse b ) g 1 x = 3 x 1 Spiegelung an der x-achse, Streckung: a = 3, Verschiebung um n = 1 in die negative Richtung der y-achse x 3 g x = 4 Spiegelung an der x-achse, Stauchung: a = 0.5, Verschiebung um n = 3/ in die positive Richtung der y-achse 5-3

30 Quadratische Funktionen: y = (x d)² Abb. 4-1: Die Normalparabel f (x) = x² wird um d Einheiten in die positive Richtung der x-achse verschoben Den Graphen der Funktion y = g (x) erhält man durch Verschiebung des Graphen der Funktion y = f (x) in Richtung der x-achse um d Einheiten. f x = x, 5-4 g x = x d

31 Quadratische Funktionen: y = (x d)² Abb. 4-: Die Normalparabel f (x) = x² wird um 4 Einheiten in die positive Richtung der x-achse und um Einheiten in die negative Richtung der x-achse verschoben Die Verschiebung erfolgt für d > 0 in positive, für d < 0 in negative x-richtung. f x = x, 5-5 g 1 x = x 4 d = 4, g x = x d =

32 Quadratische Funktionen: y = (x d)² + n Abb. 5: Die graphische Darstellung der Funktion y = f (x) wird durch zwei nacheinander durchzuführende Verschiebungen gewonnen g 1 x = x 6 g x = x 3 f x = x 3