Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet.

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1 8. Funktionen: Wird jeder reellen Zahl x aus einem Definitionsbereich ID durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift f eine reelle Zahl y = f(x) zugeordnet, dann heißt f eine reelle Funktion. x heißt die unabhängige Variable und y die abhängige Variable. Die Menge der Funktionswerte y stellt den Wertebereich W dar. Beispiele für Funktionen sind : 1) y = f(x) = 2x ID = IR ; W = IR 2) y = f(x) = x 2 ID = IR; W = IR + 0 3) y = f(x) = x 1/2 = x ID = IR + 0; W = IR + 0 Wichtig! Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet. Funktionen kann man darstellen durch eine Funktionsgleichung ( s. 1),2) oder 3) ), durch eine Wertetabelle oder durch Graphen. Eine Wertetabelle sieht etwa so aus: x ,5-1 -0, ,7... y = 3x , , ,1... Es ist verständlich, dass man durch eine solche Tabelle nicht alle Wertepaare (x y ) der Funktion erfassen kann. Eine anschaulichere Übersicht liefern da Graphen, auch Diagramme genannt. Über die Darstellungen der Funktionen durch Graphen erfahren wir bei der Behandlung der einzelnen Funktionstypen mehr, da die Form der Graphen typisch sind für die einzelnen Funktionsarten Lineare Funktionen : Die einfachste Art von Funktionen stellen die linearen Funktionen dar. Das sind Funktionen mit der Gleichung der Form f(x) = mx + b oder auch y = mx + b. Beginnen wir mit der Funktion y = x [ m = 1 und b = 0 ]. Jedem x wird dabei eindeutig der eigene Wert zugeordne: y = x. Als Tabelle x y Der zugehörige Graph ( im kartesischen x-y-system. Das ist ein System von zwei Achsen, die senkrecht aufeinander stehen ) sieht folgendermaßen aus:

2 y II I 1 y =x 1 x III IV Zu diesem Diagramm ist zu sagen, dass die x-achse und die y-achse die Ebene in 4 Quadranten, die gegen den Uhrzeigersinn mit I, II, III und IV bezeichnet werden, einteilt. Die Pfeile an den Achsen weisen in die positive Richtung und werden auch nur an diesen Stellen angetragen. Die Einheiten auf den Achsen kann man frei wählen. Die Einheiten auf den Achsen können gleich oder auch unterschiedlich groß gewählt werden ( je nach Zweckmäßigkeit ). Die Gerade y = x verläuft im Winkel von 45 0 zur x-achse. Sie halbiert also den Winkel, den die beiden Achsen im 1. Quadranten miteinander bilden [ 90 0 ]. Deshalb nennt man diese Gerade auch Winkelhalbierende ( des 1. und 3. Quadranten ). Der Graph der Funktion y = 2x verläuft etwas steiler, wie aus der nächsten Graphik zu ersehen ist. y= 2x y = x Der Grund für den stärkeren Anstieg liegt darin, dass zu jedem x - Wert der doppelte Wert als y-wert auftritt. Also für x = 1 nicht y = 1, sondern y = 2. Für x = 2 y = 4, und nicht y = 2, wie vorher. Man kann das auch anders deuten : wenn man vom Schnitt- punkt der Achsen ( dem sogenannten Ursprung des Koordinatensystems ) auf der x-achse um 1 Einheit nach rechts geht, dann muß man (bei y = 2x) um 2 Einheiten nach oben gehen, um zu einem Punkt der Geraden zu gelangen. Diesen Sachverhalt kann man auch an dem sogenannten Steigungsdreieck der Geraden erkennen α 2 1 α 1 2

3 Wie man sieht, sind die Steigungsdreiecke längs ein und derselben Geraden kongruent ( deckungsgleich ). Man kann also an irgendeiner Stelle der Geraden ansetzen, um eine Einheit in Richtung der x-achse ( gleichbedeutend mit ' parallel zur x-achse ' ) zu gehen und dann um 2 Einheiten in Richtung der y-achse, um zu einem neuen Punkt der Geraden zu gelangen. Den Schnittwinkel, den die Gerade mit der x-achse ( in positiver Richtung ) bildet, haben wir in der Zeichnung mit a bezeichnet. Dieser Winkel tritt auch in den anderen Steigungsdreiecken an vergleichbarer Stelle auf ( Stufenwinkel ). Die Steigungsdreiecke sind rechtwinklige Dreiecke. [ Die Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennt man Hypotenuse, die beiden anderen Seiten nennt man Katheten. Die Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt, nennt man Gegenkathete ( bezüglich dieses Winkels ), die andere Ankathete.] Das Verhältnis von Gegenkathete G (in unserm Beispiel 2) zur Ankathete A ( hier 1) eines Steigungsdreiecks nennt man die " Steigung der Geraden ". Die Steigung der Geraden ist im allgemeinen mit der Formvariablen m belegt. In unserem Beispiel ist m = 2. Die Steigung m ist eine charakteristische Göße einer Geraden. Je größer m ist, umso steiler verläuft die Gerade. Ist m < 0, so ist der Schnittwinkel α von Gerade und x- Achse gößer als 90 0.Die Gerade ist sozusagen nach " links gekippt ". Ist m > 0, ist α < Der Winkel α = 90 0 kann im Zusammenhang mit Funktionen nicht auftreten. Denn dann verläuft die Gerade parallel zur y-achse. Zu dem betreffenden x-wert gibt es dann nicht mehr genau einen y-wert, sondern unendlich viele. Eine solche Gerade hat die Gleichung x=a ( (a 0) Schnittpunkt dieser Geraden mit der x-achse.). Sie stellt aber keine Funktionsgleichung dar, da keine eindeutige Zuordnung mehr vorliegt! Kein Funktionsgraph α < 90 0 α > 90 0 m > 0 : y = mx y = -mx x = a Kehren wir wieder zu unserem Beispiel y = 2x zurück. Der Graph dieser Funktion stellt eine Gerade dar, die durch den Ursprung verläuft und die Steigung 2 hat. Das ist auch die einzige Gerade mit diesen Eigenschaften, d.h. alle Wertepaare ( x y), die dieser Funktionsgleichung genügen, entsprechen Punkten in der Ebene, die - bei Vorgabe des Koordinatensystems - auf der Geraden ( dem Graphen ) zu y = 2x liegen. Wenn man nun zu jedem y - Wert 3 addiert, so bekommt man die Gleichung y = 2x + 3. Auch dieses ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift. Die Gleichung y = 2x + 3 stellt mithin eine neue Funktionsgleichung dar. Der zugehörige Graph hat dieselbe Steigung wie der Graph zu y = 2x, nämlich 2. Er ist nur um 3 Einheiten nach oben verschoben, denn zu jedem y - Wert der " alten " Funktion werden jeweils 3 addiert.

4 y=2x + 3 Die beiden Graphen laufen parallel zueinander; beide besitzen ja die gleiche Steigung m = 2. y=2x Den Abschnitt 3 auf der y - Achse nennt man 3 y - Achsenabschnitt. Man nennt die Gleichung y = mx + b die allgemeine Geradengleichung. m heißt die Steigung ( oder auch der Steigungsfaktor ) und b der y - Achsenabschnitt. In der Tat ist für x = 0 der y- Wert y = m0 + b = b ( alle Punkte auf der y-achse haben den x-wert 0; alle Punkte auf der x- Achse haben den y-wert 0 ). Da der Graph der Funktion f(x) = y = mx + b eine Gerade ( gerade Linie ) ist, nennt man diese Funktionen auch Lineare Funktionen. Wie kann man nun feststellen, ob beispielsweise der Punkt P(3 9 ) auf der Geraden mit der Gleichung y = 2x + 3 liegt oder nicht? [ Punkte der Ebene werden mit großen Buchstaben bezeichnet gefolgt vom x-wert und x-wert - in dieser Reihenfolge - durch " " getrennt und in Klammern gesetzt.] Zur Überprüfung geht man folgendermaßen vor. P(3 9) - man weiß also, daß für den x - Wert 3 der y-wert 9 ist. Wenn der Punkt auf der Geraden liegen soll, dann müssen seine Koordinaten der Gleichung y = 2x + 3 genügen, d.h. für x = 3 müßte y =9 sein. Setzen wir für x den Wert 3 in die Gleichung ein, dann erhalten wir y = = = 9. y ist also in der Tat 9. Daher liegt der Punkt P(3 9) auf der Geraden y=2x+3. Überprüfen wir den Punkt Q( -1 4) : y = 2(-1) + 3 = = 1 4. Dieser Punkt liegt also nicht auf der Geraden. Punkt und Steigung Stellen wir uns vor, wir hätten die Steigung m = -3 einer Geraden gegeben und den Punkt A (2-10). Wir suchen die Gleichung der Geraden mit der Steigung m = -3, die durch den Punkt A verläuft. Wir machen den Ansatz: y = -3x + b. Der Punkt A soll auf der Geraden liegen, also müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. x = 2 liefert y = -10. Einsetzen ergibt : -10 = (-3)2 + b -10 = -6 + b b = -4. Damit lautet die Funktionsgleichung y = -3x - 4.Die Probe ergibt f(2) = (-3)2-4 = -6-4 = Zwei Punkte Im folgenden ist die Gleichung der Geraden gesucht, die durch die Punkte P 1 (1 1) und P 2 (3 9) verläuft. Aus den Koordinaten der Punkte entnehmen wir, daß y=1 ist, falls x = 1, und y= 9, falls x=3. Also gelten die beiden Gleichungen : I : 1 = 1m + b und II : 9 = 3m + b Diese beiden Gleichungen kann man voneinander subtrahieren,d.h. die linke Seite der Gleichung II von der linken Seite der Gleichung I und die rechte Seite der Gleichung II von der rechten Seite der Gleichung I. Inhaltlich bedeutet das, daß man von beiden Seiten der

5 Gleichung I den Wert 9 subtrahiert ( 3m + b ist ja gleichwertig mit 9, das besagt eben Gleichung II: 3m +b = 9 ). Die Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten ist eine Äquivalenzumformung und verändert die Lösungsmenge nicht. Wir subtrahieren also Gleichung II von Gleichung I nach folgendem Schema : I : 1 = m + b II : 9 =3m +b - -8=-2m +0 => m = 4 Diesen Wert m = 4 setzt man in die Gleichung I oder Gleichung II ein. In beiden Fällen erhält man b = -3.[ 1 = 4 + b => b = -3 und 9 = 12 + b => b = -3 ]. Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung y = 4x - 3. Die beiden Gleichungen I und II faßt man zu einem System zusammen und spricht dann von einem Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Variablen, hier m und b. Das oben demonstrierte Verfahren nennt man Additionsverfahren ( Sub- traktionsverfahren ). Es gibt noch andere Möglichkeiten, die Gleichungen von Geraden zu bestimmen. Orientieren wir uns an folgender Skizze : Y1 P 1 (x 1 y 1 ) Y P(x y) α x1 - x y1 y x x 1 Es gilt ( wir erinnern uns ) : die Steigung m einer Geraden ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete G / A. In diesem Steiungsdreieck ist die Gegenkathete (y 1 - y ) und die Ankathete (x 1 - x), wobei P 1 (x 1 y 1 ) ein fester Punkt und P(x y) ein variabler Punkt auf der Geraden ist. Es gilt also : y 1 - y - ( y - y 1 ) y - y 1 m = = = x 1 - x - ( x - x 1 ) x - x Man nennt diese Gleichung die Punkt - Steigungs - Form der Geradengleichung. Punkt - Steigungs - Form y - y 1 m = x - x 1

6 Im nächsten Fall sind zwei Punkte P 1 (x 1 y 1 ) und P 2 (x 2 y 2 ) gegeben. P 2 ( x 2 y 2 ) P(x y) y2 y1 P 1 (x 1 y 1 ) x2 - x1 Nach den obigen Überlegungen gilt nun : y - y 1 y 2 - y 1 = m und ebenso = m x - x 1 x 2 - x 1 Da nun in beiden Fällen m gleich ist, gilt die sogenannte Zwei - Punkte - Form der Geradengleichung : Zwei - Punkte - Form y - y 1 y 2 - y 1 = x - x 1 x 2 - x Testen wir unsere beiden Formeln an den obigen Beispielen. 1) m = -3 ; P 1 ( 2-10) y - (-10) = - 3 x - 2 y + 10 = -3(x - 2) = -3x + 6 y = -3x = -3x - 4, wie oben!

7 2) P 1 (1 1) ; P 2 ( 3 9) Quadratische Funktionen : y = = x y - 1 = 4(x - 1) = 4x - 4 y = 4x - 3, wie oben! Quadratische Funktionen sind solche Funktionen, deren Funktionsterme nicht nur die Funktionsvariable in 1. Potenz beinhalten, sondern auch in 2.Potenz. Die einfachste Funktion dieser Art ist gegeben durch die Funktionsgleichung y = f(x) = x 2. Man kann diese Funktionen ebenfalls durch Wertetabellen darstellen. Die graphische Darstellung liefert die Parabeln. Anders ausgedrückt : die Graphen quadratischer Funktionen nennt man Parabeln ( 2. Ordnung oder 2. Grades ). Der Definitionsbereich der Funktion f(x) = x 2 ist ID = IR, der Wertebereich W = IR + 0. Dementsprechend verläuft der Graph von y = x 2 nur oberhalb der x - Achse y = x Wie wir sehen, ist der Graph der Funktion gekrümmt. Er verläuft, wie gesagt, nur oberhalb der x-achse, mit Ausnahme des Punktes S(0 0). Er liegt auf der x-achse. Dieser Punkt S ist der Punkt der Parabel mit dem kleinsten y-wert. Dieser Punkt hat den Namen Scheitel oder Scheitelpunkt der Parabel mit der Gleichung y = x 2. Die Parabel ist ferner nach oben geöffnet. Im linken Ast ( das ist der Teil der Parabel, der links von der y-achse, als Symmetrieachse, verläuft ) fällt die Parabel, im rechten Ast steigt sie. Die Begriffe "fallen" und "steigen" kann man präziser fassen.der Graph einer Funktion steigt, die Funktion ist monoton steigend, wenn für wachsende x-werte die Funktionswerte y ebenfalls zunehmen. Formelmäßig :

8 x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) ; [ x 1 < x 2 => y 1 < y 2 ] Entsprechend kann man formulieren : Eine Funktion ist monoton fallend, wenn gilt : x 1 < x 2 => f (x 1 ) > f(x 2 ) ; [ x 1 < x 2 => y 1 > y 2 ] Diese Formulierungen gelten für alle Funktionen. So sind die linearen Funktionen monoton steigend in ganz IR, wenn nur m > 0 ist. Ist m < 0, so sind diese linearen Funktionen monoton fallend in ganz IR. Die quadratischen Funktionen sind nur in Teilbereichen von IR monoton steigend bzw. monoton fallend. Man sagt auch, die Funktion mit y = x 2 ist im Intervall 0 < x < [ Symbol für Unendlich ] monoton steigend. Ein Intervall ist also ein Teilbereich eines Zahlbereichs ( oder auch Teilmenge eine Zahlbereichs ). y = x 2 fällt monoton im Intervall - < x < 0. Versehen wir alle Funktionswerte von y = x 2 mit einem negativen Vorzeichen, dann erhalten wir y = -x 2. Der Graph dieser Funktion verläuft ganz unterhalb der x-achse, denn sämtliche Funktionswerte sind negativ - mit Ausnahme von S, denn y s = 0. S ist wiederum der Scheitel der neuen Parabel. Im Unterschied zum Scheitel der Parabel mit y = x 2 ist der neue Scheitel S der höchste Punkt der zugehörigen Parabel, der Punkt mit dem größten y-wert. Der neue Graph ist sozusagen durch Spiegelung an der x- Achse aus dem alten Graphen hervorgegangen. Hier nun die Zeichnung y = - x Es folgen die Schaubilder der Funktionen y = 1/2 x 2 und y = 2 x 2 :

9 y = 1/2x y = 2x 2 Wir sehen, der Faktor 1/2 bei x 2 bewirkt eine Öffnung der Parabel, der Faktor 2 bewirkt eine Verengung nach oben. Man beachte die unterschiedlichen Einteilungen der y-achsen!! Fassen wir zusammen: Ein negativer Koeffizient bei x 2 bewirkt eine Spiegelung an der x- Achse, ein Koeffizient 0< a < 1 bewirkt eine Stauchung ( weitere Öffnung ), ein Koeffizient a > 1 bewirkt eine Streckung der Normalparabel zu y = x Die Parabel mit der Gleichung y = x 2 + c geht durch Verschiebung der Normalparabel parallel zur y-achse aus der Normalparabel hervor. Hier gelten die gleichen Überlegungen wie zu Geradenverschiebung.

10 y = x 2 + b y = (x - x s ) 2 Die Verschiebung um x s Einheiten in Richtung der x-achse liefert die Gleichung y = ( x - x s ) 2. Das kann man so einsehen : Das Quadrat des Klammerausdrucks ( x - x s ) liefert immer positive Werte. Nur, wenn man für x den Wert x s einsetzt,wird die Differenz in der Klammer x s - x s = 0 und damit das Quadrat auch Null. An der Stelle x s hat also die Parabel den kleinsten y-wert. Der Scheitel der neuen Parabel geht also aus dem alten Scheitel durch Verschiebung in Richtung der x-achse um den Wert x s hervor; damit auch die gesamte Parabel.

11 Multiplizieren wir in der Gleichung y = ( x - x s ) 2 den rechten Term aus, dann erhalten wir : y = x 2-2x s x + x s 2. Wir können durch Anwendung der binomischen Formeln den ( neuen ) rechten Term sofort wieder in ( x - x s ) 2 umwandeln. Das geht nicht immer so bequem. Nehmen wir die Funktion mit der Gleichung y = x 2-4x + 6. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ( s.o.) gelingt uns folgendes. y = x 2-4x + 6 = x 2-4x = (x 2-4x + 4) = ( x - 2 ) y = ( x - 2 )2 + 2 ist die Gleichung einer Parabel, die um 2 nach rechts und 2 nach oben verschoben ist. Auch dieses kann man wieder so einsehen. Zum Wert 2 liefert das Quadrat der Klammer immer einen positiven Summanden. Eine Ausnahme ist gegeben für x = 2. Dann wird nämlich zu 2 der Wert 0 addiert. Der kleinste y-wert dieser Parabel ist 2 und zwar an der Stelle x = 2. Der Scheitel dieser Parabel ist also S(2 2). Die allgemeine Gleichung der Parabel lautet somit : y = ax 2 + bx + c. Durch geeignete Umformung kann man diese Gleichung in die Form y = a(x - x s ) 2 + y s bringen, wobei x s und y s die Koordinaten des Scheitelpunktes S sind. Diese Koordinaten kann man an dieser Form ablesen. Ebenso gibt der Faktor a an, ob die Parabel nach unten ( negatives Vorzeichen ) oder nach oben ( pos. Vorzeichen ) geöffnet ist. Ist der (absolute) Betrag von a > 1, dann ist der Graph gestreckter als die Normalparabel, gilt 0 < a < 1, dann ist die Parabel gestaucht. ( a Symbol für absoluter Betrag [ absolut bedeutet losgelöst vom Vorzeichen : -3 = 3 = 3 { später dazu mehr }]). Wir werden nun ein etwas umfangreicheres Beispiel durchrechnen. y = - 1/4 x 2 - x + 3 y = ( -1/4x 2 - x ) + 3 Assoziativgesetz y = -1/4( x 2 +4x) + 3-1/4 ausgeklammert y = -1/4([ x 2 + 4x + 4-4] ) + 3 quadr, Ergänzung in [..] y = -1/4([ x + 2 ] 2-4 ) + 3 bin. Formel in [..] y = -1/4[ x + 2 ] 2-4 ( -1/4) + 3 Ausmultiplizieren (... ) y = -1/4 [ x + 2 ] y = -1/4 ( x + 2 ) [..] durch (..) ersetzt, weil (.. ) üblicher An der letzten Gleichung können wir nun einiges ablesen : 1. die Parabel ist nach unten geöffnet, da negatives Vorzeichen 2. die Parabel ist gestaucht -1/4 = 1/4, d.h. 0 < 1/4 < 1 3. Sie ist um 2 Einheiten nach links verschoben, x s = - 2,(x - (-2)) = (x + 2) 4. Sie ist um 4 Einheiten nach oben verschoben. S ( -2 4 ) Es folgt eine Skizze des Graphen :

12 Übrigens, wenn man feststellen will, an welchen Stellen ( für welche x-werte ) die Parabeln y = ax 2 + bx + c die x - Achse schneiden, braucht man nur y = 0 zu setzen, denn alle Punkte auf der x-achse haben den y-wert Null, auch die Punkte der Parabel, die auf der x-achse liegen. 0 = ax 2 + bx + c ist aber eine quadratische Gleichung, deren Bearbeitung wir weiter oben durchgeführt haben. 8. Tag Betragsfunktion : Der absolute Betrag einer Zahl ist schon erwähnt worden. Hier nun die genaue Definition : a falls a > 0 a = 0 falls a = 0 - a falls a < 0 Praktisch bedeutet diese Definition, falls die Zahl a positiv oder Null ist, sind der Betrag von a und a identisch. Ist aber a negativ, dann soll der Betrag das Negative der negativen Zahl sein. Dieser Wert aber ist positiv. z. B. (- 3) = - (-3) = 3. Die letzte Zeile in der obigen Definition wird oft fehlgedeutet, weil angenommen wird, daß a grundsätzlich positiv ist und (- a) negativ. Das ist aber nicht der Fall. a kann durchaus negativ sein, dann ist (- a) positiv, und genau das ist der Inhalt der letzten Zeile der Definition. Setzen wir für a die Variable x ein, dann gelangen wir zur Betragsfunktion f(x) = y = x Diese Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, ID = IR. Der Wertebereich ist naturgemäß W = IR + 0. Der Graph ist folgender :

13 y y = x Wie man sieht, geht der Graph der Betragsfunktion aus dem Graphen der Funktion y=x hervor, indem der Teil des Graphen, der unterhalb der x - Achse verläuft, nach "oben" geklappt wird. Man kann auch die Betragsfunktion auf den Funktionsterm etwa der Funktion y = x 2-4 anwenden. Man erhält dann eine sogenannte geschachtelte Funktion : y = x 2-4. Diese Funktion läßt sich auch ohne Betragstriche definieren. Man spricht dann von einer stückweise definierten Funktion. Zur Formulierung der stückweisen Definition geht man folgendermaßen vor. Man fragt, in welchen Intervallen die Funktionswerte negativ sind und in welchen positiv. Dazu sucht man die Nullstellen, die in diesem Beispiel x 01 = -2 und x 02 = 2 sind. Da der Scheitelpunkt der Parabel y = x 2-4 die Koordinaten S(0-4 ) hat, sind folgende Vorzeichenbereiche gegeben : x 2-4 ist positiv ( Vorzeichen + ) für x < - 2 oder ( v ) x > 2. (*) x 2-4 ist Null für x = - 2 v x = 2 x 2-4 ist negativ ( Vorzeichen - ) für -2 < x < 2. Diesen letzten Fall kann man mit der Ungleichungskette -2 < x < 2 beschreiben, weil x > -2 und gleichzeitig < 2 sein soll ( ^ ). Im 1.Fall (*) läßt sich keine Ungleichunskette formulieren. Damit lautet nun die neue Formulierung der Funktion y = x 2-4 x 2-4 für x < -2 V x > 2 y = 0 für x = 0 -( x 2-4) = - x 2 +4 für -2 < x < 2 Den zugehörigen Graphen erhält man, indem man vom Graphen der Funktion y = x 2-4 ausgeht und den Teil dieses Graphen, der unterhalb der x - Achse verläuft, nach "oben" klappt. Die andere Möglichkeit ist die, daß man gemäß (**) stückweise zeichnet, nämlich y = x 2-4 in den Bereichen x < -2 und x > 2 bzw. y = - x im Intervall -2 < x < 2. x

14 ( Die Skizze weist einen Nachteil von Excel nach : normalerweise müsste der Graph an den Stellen x = -2 und x = 2 Spitzen aufweisen. Excel versucht, diese Spitzen zu glätten. ) Eine exaktere Darstellung können Sie hier erhalten! Umkehrfunktionen : Die lineare Funktion mit der Gleichung f(x) = 2x + 3 hat als Schaubild eine Gerade. Mit Hilfe der Funktionsgleichung kann man für jeden x - Wert den zugehörigen y-wert berechnen. So ist z.b. f(1) = 5. Geometrisch bedeutet das, daß der Punkt P mit den Koordinaten x = 1 und y = 5 auf dem Graphen der Funktion, der oben erwähnten Geraden, liegt. Wenn nun umgekehrt der y - Wert gegeben ist, in diesem Beispiel 5, kann man dann den zugehörigen x - Wert berechnen? Antwort : ja! Man muß nur die obige Gleichung y = 2x + 3 nach x auflösen und dann den Wert y = 5 einsetzen. y = 2x + 3 y - 3 = 2x x = 1/2 y - 3/2 Setzt man in diese Gleichung für y den Wert 5 ein, dann erhält man den zugehörigen x - Wert : x = (1/2) 5-3/2 = 5/2-3/2 = 2/2 = 1. Man nennt die Funktion f(y) = x = 1/2y - 3/2 die Umkehrfunktion zu f(x) = 2x + 3. In dieser Schreibweise haben Funktion und zugehörige Umkehrfunktion denselben Graphen. Nun hat man es sich in der Mathematik angewöhnt, die unabhängige Veränderliche mit x zu bezeichnen und die abhängige Veränderliche mit y. Vertauschen wir also in der Gleichung für die Umkehrfunktion die Variablen, dann erhalten wir die Gleichung f -1 (x) = y = 1/2 x - 3/2. Nennt man eine Funktion f, so bezeichnet f -1 die Umkehrfunktion. Durch das Vertauschen der Variablen ändert sich aber der Graph der Umkehrfunk- tion. Das Vertauschen der Variablen bewirkt eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x, wie man sich schnell überzeugen kann. Nehmen wir den Punkt P(3 4). Vertauschen wir die Koordinaten, dann erhalten wir Q (4 3). Geometrisch nimmt man die Spiegelung von P so vor: Man fällt das Lot von P auf die Winkelhalbierende und erhält den Punkt S. Dann verlängert man die Strecke PS über S hinaus um die Länge von PS und erhält den Punkt Q, der tatsächlich die Koordina- ten Q(4 3) hat.

15 P(1 5) f(x) =2x+3 y=x f - 1 (x) = 1/2 x - 3/2 Q(5 1) Das Vertauschen von x und y bewirkt also eine Spiegelung an der Winkelhalbieren- den des 1. Quadranten. Um den Graphen der Umkehrfunktion zu zeichnen, spiegelt man den Graphen der Ursprungsfunktion an der Winkelhalbierenden. Der Punkt F geht bei der Spiegelung in sich über. Man nennt solche Punkte auch Fixpunkte. Bei linearen Funktionen kann man die Graphen der Umkehrfunktionen auch in gewohnter Weise mit Hilfe des Achsenabschnitts und des Steigungsdreiecks zeichnen, denn die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist wieder eine lineare Funktion. Anders ist das allerdings bei den quadratischen Funktionen. Dann bewährt sich die oben angeführte Methode! Gegeben sei die Funktion y = x 2. Wir wissen, daß hier z. B. f(3) = 9 ist. Andererseits ist aber auch f(- 3) = 9. Geht man nun von dem Funktionswert 9 aus, so kann man nicht genau den zugehörigen x - Wert bestimmen. Man weiß nicht, ist x = 3 oder x = - 3. Die Quadratfunktion ist nicht umkehrbar eindeutig! Bei den linearen Funktionen ist das anders. Sie sind immer umkehrbar eindeutig, d.h. zu jedem x - Wert gibt es genau einen y - Wert und umgekehrt, zu jedem y-wert gibt es auch genau einen x - Wert. Man erkennt die umkehrbare Eindeutigkeit daran, daß die linearen Funktionen in ganz IR monoton wachsend ( oder monoton fallend ) sind. Bei Quadratfunktionen gilt, daß sie nur in bestimmten Intervallen monoton wachsend bzw. monoton fallend sind. Die Funktion y = x 2 ist nur für 0 x monoton wachsend und für x < 0 monoton fallend. Betrachtet man nur den rechten Ast der zugehörigen Parabel, also alle Punkte des Graphen mit 0 x, dann ist die Zuordnung y = x 2, 0 x, umkehrbar eindeutig, und zu y = 9 gehört der x - Wert 3! Man kann für diesen Teil die Umkehrfunktion nach dem obigen Verfahren bilden. 1. Auflösung der Gleichung nach x => x = y Der Graph beider Funkionen ist derselbe 2. Vertauschen der Variablen => y = x 3. Definitions- und Wertebereich bestimmen => eventuelles Anpassen der Vorzeichen 4. Spiegeln des Graphen an der Winkelhalbierenden, um den Graphen der Umkehrfunktion zu bekommen.

16 Die Punkte 1., 2. und 4. sind uns schon bekannt. Der Punkt 3. wird jetzt erläutert. Vergleichen wir die Definitionsbereiche und die Wertebereiche der beiden Funktionen y = x 2, x 0,[ linker Ast der Parabel ] und y = x. Da es sich um den linken Ast der Parabel handelt, gehört jetzt zum Wert 9 der x-wert (- 3). y = x liefert aber nur nichtnegative Werte, also sicher nicht (- 3). Daher muß die Umkehrfunktion für den linken Ast der Parabel, x 0, lauten y = - x. y = x 2 : y = - x : ID = { x x 0} ID = { x 0 x } W = { y 0 y} W = { y y 0 } Wir sehen, dass der Definitionsbereich der Ursprungsfunktion zum Wertebereich der Umkehrfunktion wird, und der Wertebereich der Ursprungsfunktion wird zum Definitionsbereich der Umkehrfunktion. ( Die Variablen sind natürlich jeweils vertauscht! )

17 Nehmen wir das Beispiel y = x ID = IR + 0. W = { y 5 y } 1. Auflösen nach x y - 5 = x 2 x = y Vertauschen der Variablen y = x Def.-, Wertebereich ID = { x 5 x } entspricht altem Werteber. W = IR + 0 entspricht altem Def.-Ber. 4. Spiegeln der Graphen Und ein letztes Beispiel : y = - 1/4(x + 2) 2 + 4, linker Ast S ( ) ID = { x x -2 } W = { y y 4 } 1. -4y + 16 = ( x + 2 ) y = x + 2 4(4 - y) - 2 = x

18 x = y y = x 3. ID = { x x 4 } entspricht altem Wertebereich W = { y -2 y } entspricht nicht dem alten Definitionsbereich! Also muss die Gleichung für die Umkehrfunktion lauten : y = x. Jetzt ist W = { y y -2 }. Das aber entspricht dem alten Definitionsbereich! Als letztes Beispiel wollen wir das Paar Exponentfunktion - Logarithmusfunktion im Fall des 10-er Logarithmus untersuchen. Also y = 10 x und y = lg x. y = 10 x, ID = IR ; W = IR y = 10 x lg y = lg 10 x lg y = x lg Logarithmengesetz lg y = x da lg 10 = 1 [ 10 lg 10 = 1 ] 2. y = lg x 3. alter Wertebereich IR + wird zum neuen Definitionsbereich. Die Logarithmusfunktion ( gleich welcher Basis ungleich 1 ) ist nur für positive reelle Zahlen definiert. ID log = IR +. Der alte Definitionsbereich geht in den neuen Wertebereich über. W log = IR. Ferner gilt, da f (0) = 10 0 = 1 ist, lg 0 = 1. [ Dieser Zusammenhang gilt für alle Basen ungleich 1. ]

19 H 1 α G 1 G 2 G 3 A 1 A Winkelfunktionen : Zur Erinnerung : In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Seite, die dem rechten Winkel ( 90 0 ) gegenüberliegt, mit Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Die dem Winkel a gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete, die anliegende Ankathete. Hypotenuse Gegenkathete α Ankathete Werden zwei Strahlen unter dem Winkel α geschnitten, so kann man senkrecht zu dem einen Strahl eine Parallelenschar zeichnen. H 3 H 2 A 3 Es entsteht so eine eine beliebige Anzahl von rechtwinkligen Dreiecken, die alle den Winkel a haben. Nach dem Strahlensatz ( s. Anhang Geometrie ) gilt nun : G 1 G 2 G 3... G n = = = H 1 H 2 H 3 H n Für alle diese rechtwinkligen Dreiecke mit dem Winkel α ist also das Verhältnis von