Exponentialfunktion, Logarithmus

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Exponentialfunktion, Logarithmus"

Transkript

1 Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei a eine streng positive reelle Zahl (a > 0). Dann wird die Funktion die Exponentialfunktion zur Basis a genannt. Achten Sie darauf, dass keine Exponentialfunktion zu einer negativen Basis oder zur Basis Null definiert wird!.. Die eulersche Zahl e. Es gibt in der Mathematik eine sehr wichtige Zahl, die eulersche Zahl e =, (diese Zahl hat unendlich viele Dezimalstellen: Wenn wir e schreiben dann verstehen wir die exakte reelle Zahl; wenn wir, 788 oder, 7 schreiben, handelt es sich nur um eine Approximation). Die Funktion f(x) = e x = exp(x), also die Exponentialfunktion zur Basis e, heißt die Exponentialfunktion. Da diese Exponentialfunktion am häufigsten benutzt wird, hat die auch eine spezielle Notation der Vorteil ist, dass man den Exponenten besser lesen kann, z.b. e = exp( )... Einige wichtige Rechenregeln. Hier sind a, b, x, y reelle Zahlen mit a, b > 0. a x > 0 a x a y = a x+y (a x ) y = a x y a x = a x = ( a ) x a x b x = (ab) x a x ( a ) x b = x b. Die Graphen der Exponentialfunktionen.. Die drei verschiedenen Fälle. Es gibt drei Fälle für die Exponentialfunktion zu einer positiver Basis: Falls a =, dann ist x = für alle x, also haben wir die konstante Funktion f : R {} f(x) = x = Falls a >, dann ist die Exponentialfunktion zur Basis a eine streng monoton wachsende Funktion, die als Werte alle streng positiven reellen Zahlen annimmt (jeden Wert genau einmal): f : R R >0

2 Falls 0 < a <, dann ist die Exponentialfunktion zur Basis a eine streng monoton fallende Funktion, die als Werte auch alle streng positiven reellen Zahlen annimmt (jeden Wert genau einmal): f : R R >0 e x x = x ( )x.. Werte an der Stelle 0. Für alle a > 0 ist a 0 =. Deswegen ist der Wert der Exponentialfunktion zur Basis a im Punkt x = 0 gleich. Auf dem Graphen abgelesen: Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-achse ist immer der Punkt (0, )... Werte an der Stelle. Für alle a > 0 ist a = a. Deswegen ist der Wert der Exponentialfunktion zur Basis a im Punkt x = gleich a. Auf dem Graphen abgelesen: Wenn wir wissen wollen, was für eine Basis es sich handelt dann müssen wir den Graphen in x = ablesen, da es sich um den Punkt (, a) handelt. Wenn wir nur wissen wollen, ob die Basis gleich ist, > ist oder zwischen 0 und liegt, dann müssen wir nur sehen, ob der Graph der Exponentialfunktion konstant ist oder steigt oder fällt. Je größer die Basis >, umso schneller steigt die Funktion. Je kleiner die Basis 0 < a <, umso schneller fällt die Funktion..4. Grenzwerte. Für die drei Fälle: Falls die Basis a > ist: für x + ist a x + und für x ist a x 0. Falls die Basis 0 < a < ist: für x + ist a x 0 und für x ist a x +. Falls die Basis a = ist: für alle x ist x =..5. Beispiele von Werten der Exponentialfunktionen. =, = 8, = 8, =, 8 = 8 =, () 4 = 5 4 = 4, ( 4 ) = 6 9, (0.5) = 0.5 = 4.

3 . Der Logarithmus zu einer Basis > 0 und.. Eine Notation/Definition. Sei a eine streng positive reelle Zahl, die von verschieden ist (a > 0 und a ). Sei b > 0. Mit log a (b) meinen wir die reelle Zahl r, sodass a r = b. Einige Beispiele sind: log 0 0 =, log =, log = log = log =, log 0 0 =... Die Logarithmusfunktion zu einer Basis > 0 und. Sei a eine von verschiedene streng positive reelle Zahl (a > 0 und a ). Dann heißt die Funktion f(x) = log a (x) die Logarithmusfunktion zur Basis a. Achten Sie darauf, dass keine Logarithmusfunktion zu einer negativen Basis oder zur Basis Null oder zur Basis definiert wird. Achten Sie darauf, dass die reelle Zahl x streng positiv sein muß... Der dekadische Logarithmus. Die Funktion f(x) = log 0 (x) = log(x), also die Logarithmusfunktion zur Basis 0, heißt der dekadische Logarithmus, mit Notation log oder lg..4. Der natürliche Logarithmus. Die Funktion f(x) = log e (x) = ln(x), also die Logarithmusfunktion zur Basis e (die berühmte eulersche Zahl) heißt der natürliche Logarithmus. Da er sehr häufig benutzt wird, hat man auch die kürzere Notation ln (aus logarithmus naturalis ) eingeführt. Verwechslunggefahr: Manchmal schreibt man log für log e, eine ganz schlechte Gewohnheit..5. Der Zweierlogarithmus. Die Funktion f(x) = log (x), also die Logarithmusfunktion zur Basis, heißt der Zweierlogarithmus (auch binärer Logarithmus), mit Notation ld (aus logarithmus duales ). Man muß diese Notation kennen, aber die Basis wird nicht so oft benutzt..6. Exponential und Logarithmus. Man kann den Logarithmus zur Basis a als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a sehen. In der Tat gilt für a > 0 und a log a (y) = x, falls y = a x a y = x, falls x > 0 und y = log a (x)

4 4. Eigenschaften der Logarithmen 4.. Regeln der Logarithmen. Sei a > 0 und a. Seien x, y > 0 und r eine reelle Zahl. Aus der Eigenschaften der Exponentialfunktion folgen: log a () = 0, weil a 0 = log a (a) =, weil a = a log a (x r ) = r log a (x) ( ) log a = log x a (x) [Spezialfall r = ] log a (x y) = log a (x) + log a (y) ( x ) log a = log y a (x) log a (y) [Konsequenz der obigen Eigenschaften] 4.. Umrechnung zwischen Basis: Seien a, b > 0 und a, b. Sei x > 0. Es gilt: log b (a) = log a (b) log b (x) = log b (a) log a (x) = log a(x) log a (b) Um die richtige Formel zu benutzen (um Fehler zu vermeiden), testen Sie die mit den Basen 0 und 00. Für die erste Formel: Da 00 = 0 und 0 = 00 gilt: log 0 (00) = log 00 (0) = Für die zweite Formel: Es gilt = 0 6 = 00. Daher: log 0 ( ) = 6 log 0 (00) = log 00 ( ) = Aufgabe: Seien a > 0 und a und s 0. Verstehen Sie warum log a s(x s ) = log a (x). (Hinweis: (a s ) r = x s und a r = x sind äquivalent). 5. Die Graphen der Logarithmusfunktionen 5.. Die zwei verschiedenen Fälle. Es gibt zwei Fälle für die Logarithmusfunktion zu einer positiven Basis: Falls a >, dann ist die Logarithmusfunktion zur Basis a eine streng monoton wachsende Funktion, die als Werte alle reellen Zahlen annimmt (jeden Wert genau einmal): f : R >0 R f(x) = log a (x) Falls 0 < a <, dann ist die Logarithmusfunktion zur Basis a eine streng monoton fallende Funktion, die als Werte alle reellen Zahlen annimmt (jeden Wert genau einmal): f : R >0 R f(x) = log a (x) 4

5 ln(x) log 0 (x) log (x) log 0.5 (x) Anmerkung: Die Graphen berühren niemals die y-achse. Das ist nur eine optische Täuschung. 5.. Der Wert an der Stelle. Für alle a > 0 und a ist log a () = 0. Deswegen ist der Wert der Logarithmusfunktion zur Basis a im Punkt x = gleich 0. Auf dem Graphen abgelesen: Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-achse ist der Punkt (, 0). 5.. Der Wert an der Stelle der Basis. Für alle a > 0 und a ist log a (a) =. Deswegen ist der Wert der Logarithmusfunktion zur Basis a im Punkt x = a gleich. Auf dem Graphen abgelesen: Wenn wir wissen wollen, um welche Basis es sich handelt, dann müssen wir nur den Graphen in y = ablesen, da es sich um den Punkt (a, ) handelt. Wenn wir nur wissen wollen, ob die Basis > ist oder zwischen 0 und liegt, dann müssen wir nur sehen, ob der Graph der Logarithmusfunktion steigt oder fällt. Je größer die Basis >, umso langsamer steigt die Funktion. Je kleiner die Basis 0 < a <, umso langsamer fällt die Funktion Grenzwerte. Falls die Basis a > ist: für x + ist log a (x) + und für x 0 ist log a (x). Falls die Basis 0 < a < ist: Für x + ist log a (x) und für x 0 ist log a (x) Beispiele. Einige Beispiele von Werten der Logarithmusfunktionen: log 0 0 =, log 0 = 0, log 0 00 =, log = 4, log 0 0. = log =, log = log =, log =. Und auch: ln(e) =, ln(e ) =, ln( e ) =. Was ist log 0 (4)? und ln(4)? Für die meisten reellen Zahlen können wir den Logarithmus nicht exakt berechnen (also nur approximieren). Was wir sofort sagen können, ist 0 < log 0 4 < (da < 4 < 0) und < ln(4) < (da e <, 8 < 4 < (, 7) < e ). Wir können mit dem Computer bessere Abschätzungen berechnen. 5

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y 5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x

Mehr

3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS

3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS 3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS ln Der natürliche Logarithmus ln(x) betrachtet als Funktion in x, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp(x). Das bedeutet, für reelle Zahlen a und b gilt b = ln(a)

Mehr

Exponential- u. Logarithmusfunktionen. Funktionen. Exponentialfunktion u. Logarithmusfunktionen. Los geht s Klick auf mich!

Exponential- u. Logarithmusfunktionen. Funktionen. Exponentialfunktion u. Logarithmusfunktionen. Los geht s Klick auf mich! Exponential- u. Logarithmusfunktionen Los geht s Klick auf mich! Melanie Gräbner Inhalt Exponentialfunktion Euler sche Zahl Formel für Wachstum/Zerfallsfunktionen Logarithmen Logarithmusfunktionen Exponentialgleichung

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen F u n k t i o n e n Potenzfunktionen Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer (*907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht

Mehr

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu.

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Basistext Funktionen Definition Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Man schreibt: f: x -> y mit y = f(x) Die Wertemenge einer Funktion f besteht aus

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Logarithmen Wie löst man die Gleichung a x = b nach x auf? (dabei soll gelten a, b > 0 und a 1) Neues

Mehr

Zusammenfassung - Mathematik

Zusammenfassung - Mathematik Mathematik Seite 1 Zusammenfassung - Mathematik 09 October 2014 08:29 Version: 1.0.0 Studium: 1. Semester, Bachelor in Wirtschaftsinformatik Schule: Hochschule Luzern - Wirtschaft Author: Janik von Rotz

Mehr

5 Kontinuierliches Wachstum

5 Kontinuierliches Wachstum 5 Kontinuierliches Wachstum Kontinuierlich meßbare Größe Wir betrachten nun eine Größe a, die man kontinuierlich messen kann. Den Wert von a zum Zeitpunkt t schreiben wir nun als a(t). Wir können jedem

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Die Fakultät. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 2. Mai 2010

Die Fakultät. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten  2. Mai 2010 Die Fakultät Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 2. Mai 200 Dieser Artikel gibt die Definition der klassischen Fakultät und führt von dort aus zunächst zu der Anwendung in Taylor-Reihen

Mehr

10 - Elementare Funktionen

10 - Elementare Funktionen Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 1 10 Elementare Funktionen Definition 10.1 (konstante Funktion) Konstante Funktionen sind nichts weiter als Parallelen zur xachse, wenn man ihren Graphen in das

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Alfred Müller, Martin Rathgeb Universität Siegen Wintersemester 2008/09 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Zahlbereiche.................................... 1 1.2

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

Logarithmen näherungsweise berechnen

Logarithmen näherungsweise berechnen Logarithmen näherungsweise berechnen (Zehner)Logarithmen waren vor der Taschenrechner-Ära ein wichtiges Rechenhilfsmittel, da mit ihrer Hilfe Produkte in Summen und, wichtiger noch, Potenzen und Wurzeln

Mehr

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion : Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1

Mehr

Skript Mathematik. Analysis II: Exponentialfunktionen. Version: 17. Februar 2011. Roland Stewen.

Skript Mathematik. Analysis II: Exponentialfunktionen. Version: 17. Februar 2011. Roland Stewen. Skript Mathematik Analysis II: Exponentialfunktionen Version: 17. Februar 2011 Roland Stewen stewen.rvk@gmx.de Inhaltsverzeichnis 1 Extremwertaufgaben 1 1.1 Arbeitsblätter.............................

Mehr

x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend.

x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend. Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x 2, D = R, heißt Quadratfunktion. Ihr Graph heißt Normalparabel. Wertetabelle

Mehr

Mathematik-Vorkus WS 2015/2016 14.09.-18.09.2015. Dilay Sonel

Mathematik-Vorkus WS 2015/2016 14.09.-18.09.2015. Dilay Sonel Mathematik-Vorkus WS 2015/2016 14.09.-18.09.2015 Dilay Sonel dilay.sonel@studmail.hs-lu.de Mathe Online Kurs Hier mit seinem Namen und seiner Normalen email Adresse registrieren Auf Nachfrage biete ich

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Abbildungseigenschaften

Abbildungseigenschaften Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert

Mehr

Fehlerrechnung EXPERIMENTELLE FEHLER ANALYTIK II IAAC, TU-BS, 2004 ANALYTIK II IAAC, TU-BS, 2004. Dr. Andreas Martens a.mvs@tu-bs.

Fehlerrechnung EXPERIMENTELLE FEHLER ANALYTIK II IAAC, TU-BS, 2004 ANALYTIK II IAAC, TU-BS, 2004. Dr. Andreas Martens a.mvs@tu-bs. Fehlerrechnung ANALYTIK II Dr. Andreas Martens a.mvs@tu-bs.de Institut f. Anorg.u. Analyt. Chemie, Technische Universität Braunschweig, Braunschweig, Germany EXPERIMENTELLE FEHLER ANALYTIK II - 2 - Signifikante

Mehr

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................

Mehr

1 Analysis Kurvendiskussion

1 Analysis Kurvendiskussion 1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise

Mehr

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,

Mehr

Grundwissen Mathematik JS 11

Grundwissen Mathematik JS 11 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE 1. Gebot: Nur die DUMMEN kürzen SUMMEN! Und auch sonst läuft bei Summen und Differenzen nichts! 3x + y 3 darfst Du NICHT kürzen! x! y. Gebot: Vorsicht bei WURZELN und

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim.

6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim. 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. = g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich konvergieren, d.h.

Mehr

1 Allgemeines, Verfahrensweisen

1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1.1 Allgemeines Definition einer Funktion Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-wert genau einen y-wert zuordnet. Dem y-wert, welchem ein x-wert zugeordnet

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen und ihre Graphen

Exponential- und Logarithmusfunktionen und ihre Graphen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Exponential- und Logarithmusfunktionen und ihre Graphen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur Kompensationsprüfung

Mehr

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist

Mehr

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen ur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012 Präsenblatt ur mündlichen Bearbeitung in den

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 25. Der große Umordnungssatz

Mathematik I. Vorlesung 25. Der große Umordnungssatz Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 5 Der große Umordnungssatz Satz 5.1. (Großer Umordnungssatz) Es sei a i, i I, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = 3x + 7 und f (x) = x 13! Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Exponentialgleichungen und Logarithmen

Exponentialgleichungen und Logarithmen Exponentialgleichungen und Logarithmen 1. Löse die Gleichungen: a) 2 x = 16 b) 3 4x = 9 Tipp: Exponentialgleichungen (die Variable x steht im Exponenten) lassen sich durch Zurückführen auf die gleiche

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Formelsammlung spezieller Funktionen

Formelsammlung spezieller Funktionen Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, en 70700 Prof Dr E Görlich Formelsammlung spezieller Funktionen Logarithmus, Eponential- un Potenzfunktionen Natürlicher Logarithmus Der Logarithmus ist auf (0, ) efiniert

Mehr

6.3 Exakte Differentialgleichungen

6.3 Exakte Differentialgleichungen 6.3. EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 6.3 Exakte Differentialgleichungen Andere Bezeichnungen: Pfaffsche Dgl., Dgl. für Kurvenscharen, Nullinien Pfaffscher Formen. 1. Definitionen Pfaffsche Dgl, Dgl.

Mehr

Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 7. September 0 Inhaltsverzeichnis Gebrochenrationale Funktion Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad

Mehr

Potenzen und verwandte Funktionen

Potenzen und verwandte Funktionen Kapitel 3 Potenzen und verwandte Funktionen Biologisch relevante Zahlen können rasch sehr unhandlich werden. So besteht beispielsweise das Genom des Menschen aus circa 3000000000 Basenpaaren, das menschliche

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben an der Fachhochschule Heilbronn im Wintersemester 2002/2003 Dr. Matthias Fischer Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für

Mehr

Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Summenregel. Allgemeiner

Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Summenregel. Allgemeiner Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Fragestellung: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Elemente auszuwählen, z. B. Anzahl verschiedener möglicher Passwörter, IPAdressen, Zahlenkombinationen

Mehr

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lineare Gleichungen mit 2 Variablen sind sehr eng verwandt mit linearen Funktionen. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion f(x) = m x+q m: Steigung, q: y Achsenabschnitt

Mehr

Ableitung und Steigung. lim h

Ableitung und Steigung. lim h Ableitung und Steigung Aufgabe 1 Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x über den Differentialquotienten. f (x f '(x ) lim h h) f (x h ) (x lim h h) h x x lim h hx h h x h(x lim h h h) lim x h h x

Mehr

Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet.

Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem Wertebereich W zugeordnet. 8. Funktionen: Wird jeder reellen Zahl x aus einem Definitionsbereich ID durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift f eine reelle Zahl y = f(x) zugeordnet, dann heißt f eine reelle Funktion. x heißt die

Mehr

Analysis I. Vorlesung 16. Funktionenfolgen

Analysis I. Vorlesung 16. Funktionenfolgen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015 Analysis I Vorlesung 16 Funktionenfolgen Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Eine kurze Methode, Summen unendlicher Reihen durch Differentialformeln zu untersuchen

Eine kurze Methode, Summen unendlicher Reihen durch Differentialformeln zu untersuchen Eine kurze Methode, Summen unendlicher Reihen durch Differentialformeln zu untersuchen Leonhard Euler Auch wenn ich diesen Gegenstand schon des Öfteren betrachtet habe, sind die meisten Dinge, die sich

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Computertechnik / Automatisierungstechnik Elektrotechnik

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 3 Logarithmen

Vorkurs Mathematik für Informatiker 3 Logarithmen 3 Logarithmen Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 3: Logarithmen 1 Logarithmen: Definition Definition: Zu x > 0 und b > 0, b 1 sei der Logarithmus von x zur Basis b folgende

Mehr

Die Eulersche Zahl. Halbjährliche Verzinsung: (50%=0,5)... n- malige Verzinsung:

Die Eulersche Zahl. Halbjährliche Verzinsung: (50%=0,5)... n- malige Verzinsung: 1 Die Eulersche Zahl Euler war als Mathematiker ein großer Experimentator. Er spielte mit Formeln so, wie ein Kind mit seinem Spielzeug und führte alle möglichen Substitutionen durch, bis er etwas Interessantes

Mehr

Hilfe zur Vorbereitung auf die Zentrale Klassenarbeit Mathematik

Hilfe zur Vorbereitung auf die Zentrale Klassenarbeit Mathematik Hilfe zur Vorbereitung auf die Zentrale Klassenarbeit Mathematik Jahrgangsstufe 10 (Baden-Württemberg und Auslandsschulen) Wenn du dieses Dokument in schwarz-weiß kopierst zeichne am besten die Graphen

Mehr

Kapitel II. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel II. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen 7 Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen 8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 9 Konvergenz und absolute Konvergenz

Mehr

GFS im Fach Mathematik. Florian Rieger Kl.12

GFS im Fach Mathematik. Florian Rieger Kl.12 file:///d /Refs/_To%20Do/12_09_04/NewtonVerfahren(1).html 27.02.2003 GFS im Fach Mathematik Florian Rieger Kl.12 1. Problemstellung NewtonApproximation Schon bei Polynomen dritter Ordnung versagen alle

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Reihen, Einleitung 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Einleitung Im Folgenden werden wir Reihen, d.h. Summen von Zahlen untersuchen. Wir unterscheiden zwischen einer endlichen Reihe, bei der die Summe endlich

Mehr

STOFFPLAN MATHEMATIK

STOFFPLAN MATHEMATIK STOFFPLAN MATHEMATIK 1. Semester (2 Wochenstunden) Mengenlehre Reelle Zahlen Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten Funktionen und ihre Graphen Lineare Funktionen Aufgaben aus der

Mehr

λ(a n ) n 1 = (λa n ) n 1. Abbildung 1: Graph einer Folge. b n = arctan(n), f n = cos(nπ), g n = n 2, h n = ( 1) n n.

λ(a n ) n 1 = (λa n ) n 1. Abbildung 1: Graph einer Folge. b n = arctan(n), f n = cos(nπ), g n = n 2, h n = ( 1) n n. Folgen Es sei X eine beliebige Menge. Eine Folge mit Werten in X ist eine Abbildung von N nach X. Es wird also jeder natürlichen Zahl n (dem Index) ein Element a n aus X zugeordnet (das n-te Folgenglied).

Mehr

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus EvBG Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5

Mehr

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 11. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Ein angeordneter Körper. ) Eine Folge in

Mehr

Mathematik. Jahrgangsstufe 11. Berufliche Gymnasien. 1. Auflage. Dr. Claus-Günter Frank und Harald Ziebarth unter Mitarbeit von Johannes Schornstein

Mathematik. Jahrgangsstufe 11. Berufliche Gymnasien. 1. Auflage. Dr. Claus-Günter Frank und Harald Ziebarth unter Mitarbeit von Johannes Schornstein Dr. Claus-Günter Frank und Harald Ziebarth unter Mitarbeit von Johannes Schornstein Mathematik Jahrgangsstufe Berufliche Gymnasien. Auflage Bestellnummer 526 Haben Sie Anregungen zu diesem Buch oder Fehler

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen 1.1 Die Zahlen 1.2 Zahlen darstellen 1.3 Addieren 1.4 Subtrahieren 1.5 Vereinfachen algebraischer Summen

Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen 1.1 Die Zahlen 1.2 Zahlen darstellen 1.3 Addieren 1.4 Subtrahieren 1.5 Vereinfachen algebraischer Summen 6 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen... 11 1.1 Die Zahlen... 11 1.1.1 Zahlenmengen und ihre Darstellung... 11 1.1.2 Übersicht über weitere Zahlenmengen... 17 1.1.3 Zahlen vergleichen... 18 1.1.4 Größen, Variablen

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS . Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und

Mehr

Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Die Fakultät Definition: Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. n! = 1 2 3... (n 2) (n 1) n Zusätzlich wird definiert 0! = 1 Wie aus der Definition

Mehr

2 Exponential- und Logarithmusfunktion

2 Exponential- und Logarithmusfunktion 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 33 2 Exponential- und Logarithmusfunktion 2.0 Wiederholung und Vorschau Die Weltbevölkerung betrug Mitte 2005 etwa 6,48 Mrd. Menschen und steigt jährlich um 1,2 %(Quelle:

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung. Kapitalwert zum Zeitpunkt j (nach j Zinsperioden) Bsp. 1. 0 1 2 3 4 Zeitpunkte

Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung. Kapitalwert zum Zeitpunkt j (nach j Zinsperioden) Bsp. 1. 0 1 2 3 4 Zeitpunkte Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung Zinssatz (Rendite) je Zinsperiode i = p% p= Prozentpunkte Zinsfaktor (Aufzinsungsfaktor) q =1+i Diskontfaktor (Abzinsungsfaktor) v =1/(1 + i) =q 1 Laufzeit n

Mehr

Rechnen und Termumformungen mit Logarithmen

Rechnen und Termumformungen mit Logarithmen Rechnen und Termumformungen mit Logarithmen. Flucht aus Heidelberg Im Jahr 855 flüchtete in Heidelberg ein Student nach einem Duell mit einer Legitimationskarte, die er sich von einem Kommilitonen ausgeliehen

Mehr

4 Ganzrationale Funktionen

4 Ganzrationale Funktionen FOS, Jahrgangsstufe (technisch) 4 Ganzrationale Funktionen 4 Polynomfunktionen Eine Funktion, die man auf die Form f : x a n x n + a n x n + + a 2 x 2 + a x + a 0 mit x R bringen kann, heißt ganzrationale

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

g(x) = lim 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert Beispiel: Seif(x) = x 2 undg(x) = x.

g(x) = lim 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert Beispiel: Seif(x) = x 2 undg(x) = x. 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls x x 0 g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. x x 0 = x x 0 g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich

Mehr

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Kompetenzcheck. Mathematik (AHS) Oktober 2013. Lösungsheft

Kompetenzcheck. Mathematik (AHS) Oktober 2013. Lösungsheft Kompetenzcheck Mathematik (AH) Oktober 2013 Lösungsheft Lösung zu Aufgabe 1 Rationale Zahlen 1 2 3,5 16 Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle Kreuze richtig gesetzt sind. 2 Lösung zu Aufgabe 2 Rechenoperationen

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Kleine Algebra-Formelsammlung

Kleine Algebra-Formelsammlung Immnuel-Knt-Gymnsium Heiligenhus Gierhrt Kleine Alger-Formelsmmlung Mittelstufe (is Klsse 0) Drgestellt sin ie wichtigsten Fkten un Gesetze, woei iverse Ausnhmeregeln wie z.b. s Verot er Division urch

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

2 Fortführung der Differenzialrechnung... 48

2 Fortführung der Differenzialrechnung... 48 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Grenzwerte................................................................................... 10 1.1 Rekursive und explizite Vorgabe einer Folge...........................................................

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R

8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.1 Konvergenz monotoner Folgen 8.2 Die Zahl e 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 8.5 Konvergenzkriterium

Mehr

Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion.

Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion. rof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 200 Mathematik II Vorlesung 34 Wir erinnern an den Begriff einer rationalen Funktion. Definition 34.. Zu zwei olynomen,q K[X], Q 0, heißt die Funktion D K, z (z) Q(z),

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr