Umkehrfunktion Logarithmus Logarithmusfunktion. Mathematik W10. Mag. Rainer Sickinger LMM, BR. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 1 / 33
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- Friedrich Fiedler
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1 Mathematik W10 Mag. Rainer Sickinger LMM, BR v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 1 / 33
2 Mathematische Maschinen Sei f : A B eine Funktion. Die Umkehrfunktion f 1 ist nun wie folgt festgelegt: f 1 : B A. für alle x A gilt: f (x) = y für alle y B gilt: f 1 (y) = x f 1 (f (x)) = x v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 2 / 33
3 Bildung der Umkehrfunktion v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 3 / 33
4 Umkehrfunktion bestimmen Die Umkehrfunktion einer Funktion lässt sich in drei Schritten bestimmen: 1 Funktion als y = f (x) umschreiben. 2 Die neue Funktion nach x lösen. 3 Um f 1 (x) als Funktion von x zu schreiben, müssen x und y ausgetauscht werden! v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 4 / 33
5 Beispiel Problem: Bestimme die Umkehrfunktion von f (x) = x 3 5. Schritt... 1 Funktion als y = f (x) umschreiben: y = x Die neue Funktion nach x lösen: x 3 = y + 5 x = 3 y Nun müssen x und y getauscht werden: y = 3 x + 5 Folglich ist nun die Umkehrfunktion gegeben durch: f 1 (x) = 3 x 5 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 5 / 33
6 Nicht alle Funktionen haben eine Umkehrfunktion WICHTIG: Nicht alle Funktionen haben eine Umkehrfunktion Es ist nicht grundsätzlich so, dass jede Funktion auch eine entsprechende Umkehrfunktion besitzt. Graphisch lässt sich dies mit einer horizontalen Linie bestimmen. Zeichnet man die Funktion, dann darf eine horizontale Linie den Graphen nur an einer Stelle schneiden. Schneidet sie den Graphen an mehreren Stellen, so existiert wahrscheinlich keine Umkehrfunktion. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 6 / 33
7 Eine schwache Definition Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion! Um die Logarithmusfunktion zu verstehen, schauen wir uns erst einmal den Logarithmus an. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 7 / 33
8 Der Logarithmus I Wir wissen: also Basis Exponent = Potenzwert a n = z Angenommen wir kennen n und z: a 2 = 9 Dann wissen wir wie wir uns das a ausrechnen: a 2 = 9 a = 9 a = 3 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 8 / 33
9 Der Logarithmus II Wir fragen uns nun wie wir folgende Gleichung lösen: 2 n = 16 Gesucht ist n! Die Gleichung kann nun mit dem Logarithmus gelöst werden: n = log 2 (16) Gesprochen Logarithmus zur Basis 2 von 16. Dies geben wir nun in den Taschenrechner ein, und erhalten: n = 4 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 9 / 33
10 Der Logarithmus Allgemein Wenn wir folgendes haben: Basis Exponent = Potenzwert dann gilt: Exponent = log Basis (Potenzwert) Formal geschrieben bedeutet das: a n = b Wobei n gesucht ist! n = log a (b) v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 10 / 33
11 Übung Seite 176 im Mathematikbuch Bsp: und ! v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 11 / 33
12 Der Logarithmus eine Definition Definition (Logarithmus) Der Logarithmus von c zur Basis b ist der Exponent x, mit dem man eine Basis b potenzieren muss, um den Potenzwert (Numerus) c zu erhalten: b x = c log b c = x mit b, c R + und b 1. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 12 / 33
13 Warum sind die Einschränkungen wichtig! (b 0) Wir klären nun warum b R + (also b > 0) sein muss! Zunächst sei geklärt warum b=0 verboten ist. Dazu formen wir die Logarithmusform in die Potenzform um: log 0 (10) = x 0 x = 10 Die Gleichung 0 x = 10 ist unlösbar, denn Null hoch irgendeine Zahl x ist immer gleich Null. Deshalb dürfen wir die Zahl Null als Logarithmusbasis nicht zulassen. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 13 / 33
14 Warum sind die Einschränkungen wichtig! (b < 0) Wir klären nun warum b R + (also b > 0) sein muss! Das gleiche passiert, wenn wir eine negative Logarithmusbasis zulassen! Dazu formen wir die Logarithmusform in die Potenzform um: log 2 (8) = x ( 2) x = 8 Auch diese Gleichung ist unlösbar. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 14 / 33
15 Warum sind die Einschränkungen wichtig! (b 1) Wir klären nun warum b nicht 1 sein darf! Als dritten Fall müssen wir noch die Basis b = 1 ausschließen. Den Grund sehen wir wieder, indem wir die Logarithmusform in die Potenzform umformen: Dazu formen wir die Logarithmusform in die Potenzform um: log 1 (8) = x (1) x = 8 Egal welche Zahl wir für x einsetzen, der Potenzwert kann nie 8 werden, denn 1 hoch irgendeine Zahl ergibt immer 1, aber niemals die Zahl 8. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 15 / 33
16 Warum sind die Einschränkungen wichtig! (c > 0) Nun wollen wir erklären, warum die Forderung c > 0 in der Definition notwendig ist! Zunächst erklären wir warum c < 0 keinen Sinn macht! Dazu formen wir wieder die Logarithmusform in die Potenzform um: log 5 ( 25) = x 5 x = 25 Die Gleichung 5 x = 25 ist unlösbar, denn wenn man eine positive Zahl potenziert kommt auch immer eine positive Zahl heraus. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 16 / 33
17 Warum sind die Einschränkungen wichtig! (c 0) Nun wollen wir erklären, warum die Forderung c 0 in der Definition notwendig ist! Und weil eine positive Zahl beim potenzieren eine positive Zahl ergibt, müssen wir auch die Zahl Null als Numerus ausschließen: log 5 (0) = x 5 x = 0 Weil zur Lösung der letzen Gleichung häufig Fragen auftreten sei angemerkt: x = 0 ist keine Lösung der Gleichung 5 x = 0, denn 5 0 = 1 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 17 / 33
18 Zusammenfassung und Überblick v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 18 / 33
19 Spezialfälle Einige Spezialfälle v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 19 / 33
20 Verschiedene Basen Die Wahl der Basis v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 20 / 33
21 Basistransformation Wir können einen Logarithmus zur Basis b auch mit Logarithmen zur Basis a berechnen! Dies ist wichtig wenn unser Taschenrechner nur den natürlichen Logarithmus berechnen kann, oder den Logarithmus zur Basis 10! Es gilt: Satz (Basistransformation Logarithmus) Sei log b (x) ein Logarithmus zur Basis b und log a ein Logarithmus zur Basis a dann gilt folgender Zusammenhang: log b (x) = log a(x) log a (b) v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 21 / 33
22 Basistransformation Beweis Sei y = log b (x) dann gilt: b y = x Nun kann man den Logarithmus zur Basis a auf beiden Seiten anwenden: log a (b y ) = log a (x) Nun wird ein Logarithmengesetz (log r (s b ) = b log r (s)) angewendet: ylog a (b) = log a (x) Das formen wir nun auf y um: y = log a(x) log a (b) Wegen unserer Annahme wissen wir y = log b (x) also gilt log b (x) = log a(x) log a (b) q.e.d. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 22 / 33
23 Beispiele Angenommen wir wollen 1.05 r = 2 berechnen. Dafür wenden wir zuerst den Logarithmus an: log 1.05 (2) = r Nun machen wir eine Basistransformation zu der Basis 10! Wir kennen unsere Formel: log b (x) = log a(x) log a (b) Also gilt: log 1.05 (2) = log 10(2) log 10 (1.05) = 14.2 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 23 / 33
24 Übung log b (x) = log a(x) log a (b) Transformiere log in Logarithmen zur Basis 10 und versuche das Ergebnis im Kopf zu bestimmen! Transformiere log in Logarithmen zur Basis 2 und versuche das Ergebnis im Kopf zu bestimmen! (Tipp: 2 3 = 8 und = 1024) Löse = x. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 24 / 33
25 Lösung log = log log = 3 2 da 103 = 1000 und 10 2 = 100. log = log log 2 8 = 10 3 da 23 = 8 und 2 10 = = , 2 x 2 = 1, 2 x x = log = log 102 log 10 1,2 = 3, 8 (Letzter Schritt wurde mit dem Taschenrechner erledigt!) v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 25 / 33
26 Übung Berechne x mit dem Taschenrechner 1 3 x = 5 L : 1, , 1 x = 100 L : 48, x = 5 3 L : 6, x = 24 L : 2, x = 20 L : 2, e x = 2 L : 0, 6931 t = 1 10 L : 9, e 11,8x = 9 97 L : 0, 2015 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 26 / 33
27 Lösung 1 x = log 3 (5) = log 10(5) log 10 (3) = 1, x = log 1,1 (100) = log 10(100) log 10 (1,1) = 48, x = log 2 (5 3 ) = log 10(125) log 10 (2) = 6, x = log 4 (24) = log 10(24) log 10 (4) 5 x = log 3 (20) = log 10(20) log 10 (3) 6 x = ln(2) = 0, x = log 3 1 ( 1 10 ) = log10( 1 2 log 10 ( 3 8 ln( 9 97 = 2, 2925 = 2, ) 1 2 ) = 9, ln( 97 ) = 11, 8x x = ) 11,8 = 0, 2015 v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 27 / 33
28 Eine schwache Definition Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion! Um die Logarithmusfunktion zu verstehen, schauen wir uns erst einmal den Logarithmus an. v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 28 / 33
29 Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion Wir wissen nun was eine Umkehrfunktion ist, und wir wissen was der Logarithmus ist. Nun können wir für die Exponentialfunktion f (x) = a b x (mit a 0) eine Umkehrfunktion finden: f (x) = a b x y = a b x y a = bx log b ( y a ) = x Daraus folgt nun f 1 (x) = log b ( x a ). v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 29 / 33
30 Wir können nun neue Probleme Lösen Ein Staat hat gegenwärtig 20 Millionen Einwohner. Es soll eine Prognose abgegeben werden über die zukünftige Entwicklung der Einwohnerzahl. Experte A schätzt, dass die jährliche Zuwachsrate 2% betragen wird, Experte B schätzt diese auf 3%. Letztes mal: Welche Einwohnerzahl ist in 50 Jahren zu erwarten? Heute: Wann ist mit einer Einwohnerzahl von 40 Millionen zu rechnen? v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 30 / 33
31 Lösung Experte A: Wir wissen dass: f (t) = 20 1, 02 t gesucht ist nun das t sodass also f (t) = 40M 20 1, 02 t = 40M 1, 02 t = 2 Mit unserem Wissen über Logarithmen können wir nun t berechnen: t = log 1,02 (2) Basistransformation: Experte B: Übung t = log 1,02 (2) = log 10(2) log 10 (1, 02) = 35Jahre v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 31 / 33
32 Übung II 1 Berechne x von ( 3 )x = 6 aus der Hausübung mit deinem neuen Wissen! v 1 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W10 32 / 33
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