Rechnen und Termumformungen mit Logarithmen

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1 Rechnen und Termumformungen mit Logarithmen. Flucht aus Heidelberg Im Jahr 855 flüchtete in Heidelberg ein Student nach einem Duell mit einer Legitimationskarte, die er sich von einem Kommilitonen ausgeliehen hatte. Als die Flucht über die Grenze gelungen war, warf der Student die Karte fort; sie wurde als verdächtig an das Heidelberger Universitätsgericht eingesandt. In der folgenden Untersuchung antwortete der Kommilitone, dem die Karte gehörte, mit einem Satz, der sich zunächst unter den Studenten schnell verbreitete und heute als Redewendung allgemein bekannt ist. Dieser Satz ist der Lösungsspruch des Rätsels. Aufgaben: a) log 27 b) log x = 2 x = c) log x 49 = 2 x = d) log log e) (log ) : (log ) f) log 5+log 5 g) log log 2 4 h) log 2 log 2 4 i) log +log 9 j) 4(log 2 88 log 2 ) k) log 2 (log ) l) 2log 2 5+log 90+log log Lösung Zuordnung: Lösung Buchstabe H S E V T C N O A W I Lösung Buchstabe B M Q Y L Z G P X R F Als Lösungssatz ergibt sich eine Redewendung: j) l) k) g) g) h) j) l) k) d) i) f) h) d) l) k) e) f) b) l) k) d) d) a) c) g) g) k) e) f) i) d) Quelle: mathematik lehren (998), H. 92, S. 0 Lösung: Lösungen der Aufgaben: ; 9; 7; ; 5; 0; ; 8; 4; 2; 0; 2 Lösungssatz: MEIN NAME IST HASE; ICH WEISS VON NICHTS

2 2. Flucht aus Heidelberg Im Jahr 855 flüchtete in Heidelberg ein Student nach einem Duell mit einer Legitimationskarte, die er sich von einem Kommilitonen ausgeliehen hatte. Als die Flucht über die Grenze gelungen war, warf der Student die Karte fort; sie wurde als verdächtig an das Heidelberger Universitätsgericht eingesandt. In der folgenden Untersuchung antwortete der Kommilitone, dem die Karte gehörte, mit einem Satz, der sich zunächst unter den Studenten schnell verbreitete und heute als Redewendung allgemein bekannt ist. Dieser Satz ist der Lösungsspruch des Rätsels. Aufgaben: a) log 27 b) log x = 2 x = c) log x 49 = 2 x = d) log log e) (log ) : (log ) f) log 5+log 5 g) log log 2 4 h) log 2 log 2 4 i) log +log 9 j) 4(log 2 88 log 2 ) k) log 2 (log ) l) 2log 2 5+log 90+log log Lösung Zuordnung: Lösung Buchstabe H S E V T C N O A W I Lösung Buchstabe B M Q Y L Z G P X R F Als Lösungssatz ergibt sich eine Redewendung: j) l) k) g) g) h) j) l) k) d) i) f) h) d) l) k) e) f) b) l) k) d) d) a) c) g) g) k) e) f) i) d) Quelle: mathematik lehren (998), H. 92, S. 0 Lösung: Lösungen der Aufgaben: ; 9; 7; ; 5; 0; ; 8; 4; 2; 0; 2 Lösungssatz: MEIN NAME IST HASE; ICH WEISS VON NICHTS 2

3 . (a) log 0 0 (b) Produktwert der Lösungen der Gleichung x 2 7x+ über G = N 0 (c) (log 0 0 +log log 0 000) = (d) (e) (log log 2 52) 2 Lösung: (a) (b) (c) 5 (d) 57 (e) 4. (a) log (b) 72 0,5 2 0,5 (c) (+2) log (d) Lösung der Gleichung x 2 (x+)(x 2) über G = R + Lösung: (a) 4 (b) 08 (c) 8 (d) 2 5. (a) log 5 25 (b) Lösung der Gleichung log(2x 2) = 0 über ]0,5; [ (c) (log log 5 25) 2 (d) 0, (e) log 2 [(2 0 : 52) 2 ] Lösung: (a) 5 (b) (c) 9 (d) 47 (e) 2. (a) 4log (b) Diskriminante der Gleichung 2x 2 25x 9 = 0 (c) 00log log 5 25+log 5 25 (d) 2log 7 4+4log 5 25 (e) log log 0 0 Lösung: (a) 40 (b) 97 (c) 2 (d) 22 (e)

4 7. Geben Sie jeweils den Wert des Logarithmus an! a) log 0 0,00 b) log 0,25 25 c) log a 2 a Lösung: a), b) 4, c) Berechnen Sie ohne Verwendung des Taschenrechners: log Lösung: 7 9. Die folgende Aufgabe soll ohne Verwendung des Taschenrechners bearbeitet werden! Fassen Sie den folgenden Term zunächst zu einem einzigen Logarithmusterm zusammen und vereinfachen Sie diesen dann möglichst weit. lg27 lg2+2 lg5 Lösung: lg 0, 0. Formen Sie folgende Wortlaute in eine logarithmische Gleichung um und geben Sie jeweils die Lösung an! (a) Mit welcher Zahl muss man 7 potenzieren, um 240 zu erhalten? (b) Potenziert man eine Zahl mit 5, so erhält man (c) Welche Zahl erhält man, wenn man 4 dreimal mit sich selbst multipliziert? 5 Lösung: (a) log = x; x = 4 24 (b) log x 2 = 5; x = 2 (c) log4 x = ; x = Berechnen Sie folgenden Term: log a 2 a log a ( a 5 ) a Lösung: 4 0 4

5 2. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: 8 log 2 7 log 9 2 +log2 5 log Lösung:. Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfachen Sie so weit wie möglich: 2 log u log u + log u2 Lösung: log u 7 4. Fassen Sie folgenden Term so weit wie möglich zusammen: 2 ( + log ab log a c ) a,b,c R +,a Lösung: log a ab c 5. Vereinfachen Sie so weit wie möglich (a R +,a ): a log log 2 8 log4 a 2 + log a a Lösung:. Das gleichseitige Dreieck ABC ist Grundfläche der Pyramide ABCS. Der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist A, die Höhe m, das Volumen 8 m groß. (a) Erstellen Sie eine saubere und übersichtliche Schrägbildskizze! (b) Berechnen Sie die Längen sämtlicher Pyramidenkanten! (c) Welchen Neigungswinkel haben die Ebenen E(A; B; C) und E(B; C; S)? Lösung: (b): AB = BC = AC = 4m; SC = SB = 2 m; SA = m (c): 0 o 5

6 7. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: log a z 0,5 0,25 log a z +0, log a z z Lösung: log a z 8. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: Lösung: log a 2x x 2log a 2 log a0,25y +log a x x log a y log a 4x 9. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: Lösung: 2 log b log b 2 2b+log b 2b+logb (0,25b 2 ) 20. (a) Weisen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichung nach: Lösung: 5 log 2 = (b) Berechnen Sie unter Verwendung der Gleichung aus Aufgabe (a) den Wert des Terms: 5 log 2 (log 08 log ) 2 log 2 2. Für welche b,v,w R gilt: log b v w = w log b v Lösung: v > 0; b > 0 und b ; w beliebig 22. Für welche b,x,y R gilt: log b (xy) = log b x+log b y Lösung: x > 0; y > 0; b > 0 und b

7 Lösung: 2. Gegeben ist die Formel: log b z = log z b (a) Prüfen Sie die Formel am Beispiel: b = 8, z = 2 (b) Beweisen Sie die Formel. (Hinweis: Setze z = b u ) 24. Gegeben ist der Term log [ (x 2 y 2 )] log 9 (x y) 4 log (x+y) wobei x und y reelle Zahlen vertreten. (a) Welche Beziehung muss zwischen x und y bestehen, damit obiger Term definiert ist? (b) Man vereinfache den Term so weit wie möglich! Lösung: (a): x+y > 0 x y > 0 (b):,5 log (x y) 25. Gesucht ist irgendein x > 2, so dass 2 x > x Lösung: z.b. x = 2 25 (Monotonie des Logarithmus verwenden!) 7