Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs

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1 Hochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften WS 00/ Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs Thema : Mengen A.. Durch welche charakterisierenden Eigenschaften können die folgenden Mengen beschrieben werden A,,6,8,0,,,6,... B,,9,6,5,6,9,6,...? A.. A sei die Menge der Zahlen mit x mit 5 x 5. Schreiben Sie die Menge in aufzählender Schreibweise in der Grundmenge der natürlichen Zahlen in der Grundmenge der negativen ganzen Zahlen, in der Grundmenge der ganzen Zahlen. A.. Gegeben sind die Mengen 9 A { 5 8 }, 8 8 B { 5,75} C { } 56 7 x D { x und y sind natürlichen Zahlen} y Überprüfe Sie, ob folgende Eigenschaften richtig sind: A B C D A D.

2 A. Gegeben sind die Mengen A {,,5,7,9} B {,,6,8,0} C {5,6,7,8,9,0}. Geben Sie folgende Mengen an A B A.5 A.6 A B : A \ B A \ C B \ C C \ A C \ B C \ (A B) C ( C) AUB C AB Komplement von C bzgl.a B Wie muss die Grundmenge G sein,damit für das Komplement bezüglich G gilt A B C {,}? Bestimmen Sie die Menge derjenigen Elemente,die in genau zwei der Mengen A,B und C liegen. Bestimmen Sie alle Teilmengen von A { a, b, c, d, e}. Wie viele verschiedene Teilmengen gibt es insgesamt? Stellen Sie im nachfolgenden Venn- Diagramm alle 8 Teilmengen mit Hilfe von geeigneten Mengenoperationen durch die Ausgangsmengen A,B und C dar. G(Grundmenge) A B C

3 Thema : Dezimalzahlen und Brüche A. Stellen Sie folgende Zahlen als Dezimalzahlen dar: , A. Stellen Sie die folgenden Dezimalzahlen als Brüche dar 0,9 0,67 0,057 d) 0,59. Thema A. Fassen Sie zusammen,x y 8z 0,5x,5 y ( z) 0x 0y ( 5z) (x y) ( x z) 5 ( u v) u u( u v). A. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus ( x y) ( a ( x y) ( 5u) d) b(a b e) ( 0,5x 0,8 y) ( 0,z) A. Verwandeln Sie in ein Produkt 8uv wv 6v xy xyz 6x w 8ax 0ay bx 5by d) 5ux 9uy 5wx wy e) 5u(x y) x y f) xa xb 6xc ya 6yb 9yc g) x 6xv ux uv

4 h) ab ac b c. 9 7 A. Vereinfache Sie u 5[ x ( v x) u],5{ a 0,5[ b ( a 8( a ] b} ( (8 7(5 ) ) 9) d) 5( x ( x y ( x y)) ( x y) x). Thema : Rechnen mit Brüchen A. Kürzen Sie ab c a bc ax 6bx d) 5ay 9by x y e) y x xu xv 6yu 8yv f) xv xu yv 6yu ux vx yu 8yv 6zu zv g) ux vx yu yv 6zu zv A. Berechnen Sie xy yz y x x( y ) y y y y x b y a b d). a b a b b a

5 A. Berechnen Sie bzw. fassen Sie zusammen x y d) y x a b e) a c b c a b f) a b a b x 5 5x g) x 5x 7 h) 7. 5 A. Berechnen Sie ( ) ( ) 5 8 x y 8a 0b d) a 5b 6x 9y ab 6x y e). 8xy a A.5 Berechnen Sie 5 5 : 8 8 7ab 6bx : 9cx 5ac x y :. 5

6 A.6 Vereinfachen Sie x x a b b a a b. a b A.7 Vereinfachen Sie a b c x ( ) x x x a b 8c 5ax 6bx 8x ( ) : by ay y Thema 5: Summen und Produktzeichen A 5. Berechnen Sie 5 i i A 5. i i 5 (i 5) (i ). i i Berechnen Sie möglichst einfach 0 i 0 i 0 i (8 6i) ( i ( i) 0 i i ) 0 i (i ) 0 i ( i) (i. 0 i ( i) 5i 8) 0 i (i 6i 0) 6

7 A 5. Schreiben Sie unter Verwendung des Summenzeichens d) e) A 5. Berechnen Sie i0 i i i Thema 6: Die binomischen Formeln A 6. Benutzen Sie die binomischen Formeln ( a ( a A 6. ( a Vereinfachen Sie (5x ) A 6. ( a (x d) ( ax 7by)(ax 7by). (x 5) ( x ) ( x ) (x y) (x y) ( x )( x ) (Kopfrechnen) Berechnen Sie möglichst einfach d) 0 e)

8 A 6. Stellen Sie folgende Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln als Produkt dar 6x x 9 9u a x uv 9v w y. Thema 7: Wurzeln A 7. Berechnen Sie A 7. a c( a, c 0) d) 5 7 e) 6 6 : 5 f) a 6b : a b. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus ( x y ) A 7. ( 5 7)(5 7) ( 6 5) ( 6 6) d) ( 7) ( 7) e) a b 8a 6b ( a. Vereinfachen Sie ( x y)( x y ) 5x 0y a b a b ( 5) 5 x y d). x y 8

9 A 7. Berechnen Sie a ab b für : a, b 0 6a ab 6b für : a b 0 ( a ) d) a 0a 5 für : a 5. A 7.5 Machen Sie die Nenner rational und fassen Sie zusammen Thema 8: A 8. Vereinfachen Sie ( x ) A 8. ( x ) ( ) ( ) d) x x ( ) x y z x y z e) : x y z 5x y z ( x z w ) f) ( x z x ) 7 m m m m g) ( x x x ) : x. 5 Berechnen Sie d) 0 0 e) 9

10 7 f) A 8. Berechnen Sie A 8. 6 ( ) 65 6 ( ) ) d) ( 8 x e) ( ) 6 5y Vereinfachen Sie A x a a a 9 ( ) 8 d) x x 6 x 5. Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen x 8 0 A 8.6 x x d) x 5 0 e) x 9 0 f) x 5 0 g) x h) x 6 0. Lösen Sie die Klammern auf ( a ( a b ( a ( a b ). 0

11 A 8.7 Beseitigen Sie die Wurzeln im Nenner durch geeignete Erweiterungen. u v u v a x by. ax by A 8.8 Berechnen Sie alle reellen Lösungen der Gleichungen x 6 x 6 5 x 0, d) x 5, e) x 0. Thema 9: Logarithmen A 9. Berechnen Sie folgende Logarithmen log 5 5 lg 0,00 lg 0 d) ln( e e) e) lg f) lg0 g) log 7 h) log 096 i) log 0,5 5 j) log ( ).

12 A 9. Schreiben Sie als Summen und Produkte a b lg c A 9. x 5 y 0 lg( ) 0 0 a b lg 0 c 5 x ( 6 y) d) lg. u v Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen lgu lg v lg x lg y lg z 5 lg( u v) lg( u v) lgu lg v d) lg x. A 9. Berechnen Sie x aus lg x lg x 0,5 log x d) lg x lg5 lg 6 e) lg x lg 9 lg5 f) lg x lg x lg. A 9.5 Bestimmen Sie in den nachfolgenden Gleichungen die Unbekannte y. Die restlichen Größen seien gegeben 5 x y 0 x e 9 y 7 x 0 y y d) e. x

13 A 9.6 Lösen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners x 5 0 x 8 x 7 x d) 7. Thema 0 A 0. Berechnen Sie x aus 5x x ( x ) 5 ( x ) 50 5 x x x 5 5 d),5 x, 0,x, x e) x 0,75x 0,5. A 0. Lösen Sie x 5 x x x 5 ( x )( x ) ( x )( x 5) x 5 x d) x x 7 x x 7 e) x 5 x 6 A 0. Lösen Sie 6 x x x x 5 x 5 5 x 7x x 6x 5 x x d). x 0x 5x 5x

14 A 0. Lösen Sie 5(x ) x 8 6(x ) (x ) ( x) x 5( x) 9. Thema : Parabeln A. Stellen Sie die Gleichungen der Geraden durch folgende Punkte auf P () P (,) A. P (0 ) P ( 6) P ( ) 5 P ( ) 7 P ( ) 9 5 d) 5 P ( ). 7 5 Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden durch den Punkt P mit der Steigung m P() m 7 P( ) m P( ) m. A. Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden mit folgenden Achsenabschnitten a (x-achse) und (y-achse) a b a b

15 a 5 b. A. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g : y x g : y x 7 g : y x 5 g : y x 5 g : y x g : y x 0 8 g : y x 7 d) 9 8 g : y x. A.5 Gegeben ist die Geradengleichung: g : y 0,65x. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die auf g senkrecht steht und durch den Punkt P( 7) geht. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden. Thema A. Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen 6x 8 0 5x 7 0 7x 0 d) x 0 e) x 5x 0 f) x x

16 A. Lösen Sie die Gleichungen x x 6 0 x x 9 0 x x 0 d) x x 0 e) x 0,x, 0 f) 00x 0x 57 0 g) x 6,x 5, 0 h) 6x 0x 55 0 i) x x 7 0 j) x 8x 6 0. A. Stellen Sie quadratische Gleichungen auf mit folgenden Lösungen x x 5 x x 7 x 0 x d) x x 5 x 5 e) x 5 5 f) x x. A. Stellen Sie folgende Gleichungen als Produkt ( x ( x dar x x x d) x 5x 6 x 0 6x 7 x 6 e) x 6x 9 f) x x. A.5 Von den nachfolgenden Gleichungen ist jeweils eine Lösung zweite Lösung an, ohne die quadratische Gleichung zu lösen: x x 5 0 x 6 x 7x 0 0 x x 7x 6 0 x d) x x 0 x 0. 5 x gegeben. Geben Sie die 6

17 A.6 Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Machen Sie für jeden gefundenen Wert die Probe 8x 7 x x x x 6 x d) 5x x 7 e) x 7 8 ( x ) f) x x 6 g) x x. A.7 Bestimmen Sie durch eine geeignete Substitution alle Lösungen der Gleichungen x x 6 0 x x 0 x x 0 x x d) ( ) 0 x 6 x 6 e) x 5x 6 0 f) x x 6 0 g) x 6x 7 0 i) x 5x 6 0 j) x 6 9x 6 0 k) x 8 x 0 0. A.8 Lösen Sie x 8 7x x x 6 x 6 x 8 x x x 5x 0 x x x x x x 6x d). x x ( x ) ( x ) 7

18 Thema A. Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels und eventuelle Nullstellen der folgenden Parabeln 7 y x x y x x A. y x x 5 d) y 0,5x x 0. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden g mit der Parabel p p : y x x 6 g : y x A. p : y x x g : y x 6 p : y x 8x 7 g : y.5x 5. Bestimmen Sie beide Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit p p p p p p p : y x : y 5x x 8 x : y x x : y x x : y x x 0 : y x x. p Thema A. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen 5x x ( x 5) 7 x 5 d) x 0 x 5 8

19 e) 6 ( x ) 5 5x. A. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichungen x x 0,5 x 5 5x x x 5x 5x d) x 7 x e). x 5 A. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichungen x 5 x x 5 d) x 0 x e) x x 0 x f). x 6 A. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichungen x 00 x 8 0 x 0 d) x 0 e) x 0 f) x x 0 g) 0,5x h) x x 0 x 0 x 0 i) x j) x x

20 A.5 Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichungen x x x x. x Thema 5 A 5. Lösen Sie mit Hilfe der Einsetzungsmethode x y x y x 5y 8 5x 6,5y x y 8 x y 6 x y d) x y. A 5. Lösen Sie mit Hilfe der Gleichsetzungsmethode x y 6 x y 8 x y x y 6 8x 6y 5 0x 7,5y 8 x 6y 8 d) 5x 7,5y 0. A 5. Lösen Sie mit Hilfe der Additionsmethode x y 7 x y x y x 5y. 0

21 A 5. Lösen Sie mit Hilfe einer geeigneten Methode x 5y x 5y x y 8 x y 7 5x 0y 5 x 6y 6. A 5.5 Lösen Sie x y z 5 x y z 0 x 5y 5z x y z x y 5z x 7y z x y z x y z 7x y 6z 5. Thema 6: Textaufgaben A 6. Berechnen Sie die übrigen Seiten und Winkel in den folgenden rechtwinkligen Dreiecken: a 5cm b cm 90 c 8,5cm b,9cm 90 c 8,5cm 0 90 d) a 8cm b,5cm 90 e) c 5cm a 0cm 90 f) c,8cm 90 A 6.. Ein Motorradfahrer ist gezwungen an einer Tankstelle zu tanken, die keine Mischsäule hat. Der Tank des Motorrads fasst noch Liter, das Mischungsverhältnis(Öl: Benzin) muss :5 sein. Wie viel Liter Benzin und wie viel Liter Öl sind zu tanken, wenn der Tank voll werden soll?

22 . Der Preis einer Ware wurde um 0 % gesenkt und beträgt jetzt,7 Euro. Wie viel kostete die Ware vorher? Um wie viel Prozent hätte die Ware gesenkt werden müssen, damit sie dann genau einen Euro gekostet hätte?. Arbeiter erstellen in Stunden eine Meter lange Mauer. Wie lang ist die Mauer, die 8 Arbeiter in 8 Stunden erstellen?. Die Bevölkerung einer Stadt ist in den letzten zehn Jahren von.000 auf Einwohner angewachsen. Wie hoch war das durchschnittliche prozentuale Wachstum pro Jahr? Wie hoch wird die Einwohnerzahl in zehn Jahren sein, wenn gleich bleibendes Bevölkerungswachstum unterstellt wird? 5. Der Besitzer eines Tante-Emma-Ladens hat mit einem Jahresumsatz von Euro einen regionalen Marktanteil nur %. Durch Werbemaßnahmen und viel Engagement rechnet er für die nächsten fünf Jahre mit einer jährlichen Steigerung des eigenen Umsatzes um 0%. Wie hoch ist der Marktanteil des Tante-Emma-Ladens, wenn der Gesamtumsatz in der Region über die betreffenden 5 Jahre konstant bleibt? der Gesamtabsatz jährlich um % schrumpft?