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1 Aufgabensammlung Mit ausführlichen Lösungen Geradengleichungen und lineare Funktionen Zeichnen von Geraden in vorgefertigte Koordinatensysteme Aufstellen von Geradengleichungen Schnitt von Geraden Die Aufgaben wurden dem Text 000 entnommen Stand:. Juli 00 Datei Nr. 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für

2 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Vorwort Diese Sammlung von Aufgaben zum Thema Geradengleichungen ist eine Auskopplung aus dem Text 000, in dem die Methoden zum Lösen dieser Aufgaben ausführlich besprochen werden. Die Lösungen zu diesen Aufgaben stehen hier ab Seite bis 68. Eine weitere große Sammlung von Aufgaben ist der Text 000. Dort werden Geradengleichungen im Zusammenhang mit Dreiecken und Vierecken verwendet. Im demnächst erscheinenden Text 00 werden Aufgaben zur Anwendung von Geraden- gleichungen gezeigt. Torgelow am See,. Juli 00 Demo für

3 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe Lösung: y = x y = x+ y = x+ Berechne Lösungspaare zu den Gleichungen a) y = x b) y = x+ c) y = x+ Verwende für x dazu die Zahlen aus dieser Menge: {,, 0,,,,, }. Stelle dann die Lösungspaare als Punkte in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar Und zeichne die zugehörenden Geraden ein. x = x = x = 0 x = x = x = x = x = Demo für

4 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe a) g: y = x+ und h: y = x+ k: y = x und l: y = x+ b) g: y = x und h: y = x g: y x = + und h: y = x Für a) Für b) Demo für

5 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe Gegeben ist die Gerade g durch die Gleichung y = x+. a) Prüfe nach, welche der Punkte auf g liegen: ( ) A, B ( 6 ) und C( ) b) Berechne die fehlenden y-koordinaten von D6?, ( ) ( ) F?, damit sie auf g liegen. c) Berechne die fehlenden x-koordinaten von ( ) damit sie auf g liegen. Demo für G? 8, ( ). E0? und ( ) H? und ( ) I?. d) Trage Punkte von g in ein geeignetes Koordinatensystem ein und zeichne g. Aufgabe Gegeben ist die Gerade g durch y = x. a) Prüfe nach, welche der Punkte auf g liegen: A( ), B( ) b) Berechne die fehlenden y-koordinaten von D?, ( ) ( ) wenn sie auf g liegen. c) Berechne die fehlenden x-koordinaten von ( ) Aufgabe wenn sie auf g liegen. Gegeben ist die Gerade g durch y = x+. a) Prüfe nach, welche der Punkte auf g liegen: ( ) wenn sie auf g liegen. C. und ( ) E0? und F (? ). G? 7, ( ) H? und I? ( 9) A, B( ) und ( ). C. b) Berechne die fehlenden y-koordinaten von D(? ), E0? ( ) und ( ) wenn sie auf g liegen. F9?. c) Berechne die fehlenden x-koordinaten von G? ( ), H? ( ) und ( 9 ) I?. 6

6 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 6 Aufgabe 6 7 Gegeben sind die Geraden g mit der Gleichung y = x+ und h durch y = x+. a) Auf g liegen die Punkte A( y ) und ( ) b) Liegen C ( ) oder D ( ) auf h? B x. Berechne x und y. c) Zeige, dass der Schnittpunkt von g und h die x-koordinate hat. Berechne S. Aufgabe 7 Erstelle eine Wertetafel und zeichne die folgenden Geraden a) y = x b) y = x y c) y = x d) y = x Demo für

7 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 7 Aufgabe 8 Schreibe die Schnittpunkte der Geraden mit der y-achse als Punkt in der Form S( ) a) y = x+ 6 b) y = x+ c) y = x 7 d) x+ y = e) x y = 8 f) x y + 6 = 0 Aufgabe 9 Welche Steigungen haben diese Geraden: a) y = x+ 6 b) y = x+ c) y = x 7 d) x+ y = e) x y = 8 f) x y + 6 = 0 Aufgabe 0 Zeichne die Geraden mit diesen Gleichungen. auf. g : y = x g : y = x g : y = x+ g : y = x g : y = 6 x g 6 : y = x g 7 : x+ y = g 8 : y =, 7 Demo für

8 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 8 Aufgabe g : y = x g : y = x+ g : y = x g : y = x+ g : y = x g 6 : y = Demo für

9 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 9 Aufgabe g : y = x g : y = x+ g : y = x 7 6 g : y = x g : x = g 6 : y = Demo für 8

10 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 0 Aufgabe Berechne hier zuerst einen geeigneten Startpunkt für die Zeichnung. ( geeignet soll heißen: der auf dem Zeichenblatt liegt oder exakt ablesbare Koordinaten hat. Beide Achsen von 6 bis 6.) g : y = x 8 g y = x+ 0 g : y = x g : y = x+ g : y = x+ g 6 : y = x Demo für

11 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe Setze die folgenden Werte von a, b und c in die Gleichung ax + bx + c = 0 ein und gib an, ob es sich dann um eine Gerade handelt. Zeichne diese Gerade dann. a) a =, b =, c = 0 b) a =, b =, c = - c) a =, b = 0, c = 8 d) a = 0, b =, c = e) a = 0, b = 0, c = f) a = b = c = 0. Demo für

12 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe Stelle die folgenden Gleichungen um, bestimme die Lage der zugehörigen Geraden und zeichne sie in ein gemeinsames Achsenkreuz: g : x y + 6 = 0 g : x + y + = 0 g : x + y = 0 g : y 7 = 0 g : x = 0 Aufgabe 6 Prüfe nach, welche der Punkte A( ), B 8, ( ) C ( 8), D 7 ( ), E(, ) F ( ) auf welchen dieser drei Geraden liegen: g: y = x, h: y = x+, k: y = x Demo für

13 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe 7 Es geht jetzt um das Erkennen dieser Eigenschaften Geraden sind parallel zueinander Geraden schneiden die y-achse an derselben Stelle Geraden sind Ursprungsgeraden Geraden sind parallel zur x-achse Geraden sind parallel zur y-achse Geraden sind parallel zur. oder.winkelhalbierenden Welche der genannten Eigenschaften haben die folgenden 9 Geraden? a) g : y = x g : y = x+ g : y = x+ g y = x 6 g : y = x+ g 6 : y = g 7 : y = x g 8 : y = x+ g 9 : y = x+ b) g : y = x+ g : x = g : y = x+ g y = x g : y = x+ g 6 : y = x+ g 7 : y = g 8 : y = x+ g 9 : y = x c) g : x + y = g : x 8 = 0 g : x + y = 0 g x + y = g : y = x+ g 6 : x = y+ g 7 : x + y = 0 g 8 : 6 y = 0 g 9 : x + y = Aufgabe 8 Es geht um Gleichungen der Form ax + by + c = 0 a) x = y b) x + y = 0 c) ( x+ ) = ( y+ ) Demo für

14 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe 9 a g Aufgabe 0 Stelle die Gleichungen der dargestellten Geraden auf. Mit vier Punktepaaren wird jede der Methoden getestet. Gegeben: (a) P ( ) und P ( ), (b) C7, ( ) und D, ( ) 7 87 (c) A ( ) und Z( ) (d) A ( 7 ) und ( ) Demo für 8 B. Stelle jeweils die Geradengleichung auf, und zwar mit jeder der vier Methoden. Diese Übung zeigt dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben. Methode : Zuerst wird die Steigung berechnet und dann zusammen mit einem der beiden Punkte in die Punkt-Steigungsform eingesetzt Methode : Zuerst wird die Steigung berechnet und dann zusammen mit einem der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung y = mx+ n eingesetzt. Methode : Man verwendet die Zweipunkteform. k h r Methode : Man setzt in die allgemeine Geradengleichung y = mx+ n der Reihe nach beide Punkte ein. So entstehen zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten m und n. b r g k h

15 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe Bei den dargestellten Geraden ist der y-achsenabschnitt nicht genau oder gar nicht ablesbar. Verwende den angegebenen Punkt und suche einen zweiten gut ablesbaren Punkt, um damit wie oben gezeigt, die Geradengleichung aufzustellen. Aufgabe Gegeben sind die Steigung und ein Punkt der Geraden. Stelle die Geradengleichung auf. a) m = - P ( ) b) m = A ( ) c) m = B ( 0 6) d) m = Q ( ) e) m = C( ) f) m = M ( ) Aufgabe Gegeben sind die Steigung und ein Punkt der Geraden. Stelle die Geradengleichung auf. Zeichne die Geraden. a) m c) = F( ) m = R( 0 6) = B( 0 0) e) m b) d) m f) m 0 m = O( 0 0) = A ( 0 ) = P( 7 ) Für a, b und c: Für d, e und f: g Demo für g 6 g g g g

16 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 6 Aufgabe Stelle die Geradengleichung auf. a) P ( ); P ( 7 8) b) P ( ) ; P ( 7 8) c) ( ) ( 7 A 0 ; B ) d) A ( ) ; B( ) Aufgabe Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch die angegebenen Punkte gehen. Zeichne dann die Gerade auf Grund der Gleichung und trage in a) bis e) die gegebenen Punkte ein. (Dies ist dann eine Kontrolle darüber, ob die Gleichung stimmt.) a) A( ) ; B( 6) b) C( 7 ); D( ) Gemeinsames Achsenkreuz. c) E( ) ; F( 8 ) Demo für

17 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 7 Zu Aufgabe : d) P( ); Q( ) e) R ( 7 ); S ( ) Gemeinsames Achsenkreuz Demo für

18 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 8 Aufgabe 6 Gib an, welche Gleichungen die im Schaubild dargestellten Geraden haben. Berechne dazu aus zwei Punkten die Steigung und ermittle den y-achsenabschnitt. a) b) P g g 7 g R A g Demo für g g 6 g g g g 6 g g P g 7 B g Z

19 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 9 Aufgabe 7 7 a) Welcher der Punkte A ( ), B( 6) b) Überprüfe, ob A( ), B( ) und C( 6 ) c) Überprüfe, ob A( ), B( ) und C ( ) d) Bestimme y so, dass A( ), B ( ) und C( y) e) Für welches x bilden P( ), Q( x ) und R( ) Aufgabe 8 a) Die Gerade g sei parallel zu h: y x Welche Gleichung hat g? b) Gegeben ist g durch y x liegt auf der Geraden g mit y = x+? ein Dreieck bilden. ein Dreieck bilden. kein Dreieck bilden. kein Dreieck. = + und soll durch A( ) gehen. Z? =. Welche Gleichung hat die Parallele h zu g durch ( ) c) Gegeben ist die Gerade k: y =. Welche Gleichung hat die Parallele g zu k durch ( ) Demo für Z?

20 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung 0 Aufgabe 9 a) Gegeben ist ein Dreieck ABC durch A( ), B ( ) und C ( ) Demo für. Zu jeder Dreiecksseite gibt es eine Parallele durch die gegenüberliegende Ecke. Stelle die Gleichungen dieser drei Geraden g, h und k auf. b) Gegeben ist ein Dreieck ABC durch A( 0), B( ) und C0 ( ) Berechne die Mittelpunkte der Dreiecksseiten: M AB, M AC M BC. Verbindet man diese drei Mittelpunkte, entsteht ein kleines Dreieck im Innern des gegebenen großen Dreiecks.. Zeige, dass die neuen Dreiecksseiten parallel zu den Seiten des gegebenen sind. Zeichne beide Dreiecke in ein geeignetes Koordinatensystem. Hilfe: Für den Mittelpunkt zweier Punkte P ( x y ), ( ) P x y gilt die Formel: x + x y + y M

21 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe 0 a) Fälle von A( ) b) Fälle von A ( ) c) Fälle von Q( ) Aufgabe das Lot auf g: y = x. Berechne die Gleichung der Lotgeraden. das Lot auf g: y = x+. Berechne die Gleichung der Lotgeraden. das Lot auf g: y = x+. Berechne die Gleichung der Lotgeraden. Gegeben ist das Dreieck ABC durch A( ), B9 ( ) und ( ) Fälle von jedem Eckpunkt das Lot auf die Gegenseite. Aufgabe Fälle von ( ) P das Lot L auf die Gerade g: y = x. C 7. Anschließend stelle die Gleichung der Geraden h auf, die durch P geht und auf der Geraden L senkrecht steht. Was kann man auf Grund der Rechenergebnisse über g und h aussagen? Demo für

22 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe a) g: y= x und b) c) g: y= x und Berechne die Schnittpunkte dieser Geraden. 7 g: y= x+ und d) g: y= x+ und e) f) g) h) g: y= x+ und g: y= x+ und h: y= x+ h: y= x+ h: y= x 7 h: y= x h: y= x h: y= x g: y= x+ und h: y= g: y= x+ und h: x= Aufgabe a) g: y= x und b) c) g: y= x und g: y= x+ und Berechne die Schnittpunkte dieser Geraden. h: y= x h: y= x+ h: y= x+ d) g: y= x+ und h: y= x e) f) g) h) 6 g: y= x+ und g: y= x und g: y= x+ und h: y= x h: y= x+ h: y= g: y= x+ und h: x= Aufgabe Berechne die Schnittpunkte der folgenden Geraden ohne die Gleichungen nach y oder x aufzulösen (keine Zeichnung): a) g: x + y = 6 und h: x y = b) g: x + y = und h: x + y = 0 c) g: x y = und h: x+ y = d) g: x y = und h: x + y = e) g: x + y = und h: x y = f) g: x + y = und h: x y = g) g: x 6y = und h: x + y = h) g: x + y = und h: x y = Demo für

23 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Aufgabe 6 Berechne die Schnittpunkte mit dem Einsetzungsverfahren. a) g: x+ y = 8 b) g: y = 6x+ c) g: x y = 8 h: y = x+ h: x + y = h: x + y = Aufgabe 7 Berechne die Schnittpunkte der folgenden Geraden ohne die Gleichungen nach y oder x aufzulösen (keine Zeichnung): a) g: x + y = 6 und h: x y = b) g: x + y = und h: x + y = 0 c) g: x y = und h: 6x + y = Aufgabe 8 Berechne die Schnittpunkte der folgenden Geraden ohne die Gleichungen nach y oder x aufzulösen (keine Zeichnung): a) g: x + y = und h: x y = b) g: x + y = und h: x y = c) g: x 6y = und h: x + y = Demo für

24 00 Geradengleichungen Aufgabensammlung Nur auf der Mathe-CD: Demo für