Parabeln. quadratische Gleichungen. Extremwerte

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1 Parabeln quadratische Gleichungen Extremwerte Alle folgenden Seiten sind ohne Ausnahme zu lernen, bearbeiten und verstehen Sämtliche Aufgaben sind grundlegend für die Abschlussprüfung. -1-

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3 Inhaltsverzeichnis Normalparabel... 4 Öffnungsfaktor...5 Parabelgleichung: I Scheitelform... 7 AP-Aufgaben zur Scheitelform... 9 Parabelgleichung: II allgemeine Form AP-Aufgaben zur allgemeine Form von Parabelgleichungen AP-Aufgaben zu Parabelgleichungen...13 Scheitelberechung/Extremwertberechung Scheitelberechunung zur Extremwertbestimmung Quadratische Gleichungen...17 Schnittpunkte Parabeln/Koordinatenachsen Schnittpunkte Parabel - Gerade Standardaufgaben zu quadratischen Gleichungen Standardaufgaben - Handwerkzeug:...26 Streckenlängen im KS berechnen Koordinatenberechnungen in Abhängigkeit von x: Schnittwinkel mit x-achse: Flächenberechnung mit der Determinante:...29 Koordinatenbestimmung durch Berechnung der zugehörigen Streckenlängen:...30 Zusammenstellung verschiedener Abschlussprüfungen quadratische Gleichungen - Parabeln

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5 Normalparabel Beachte: * der Scheitel ist der tiefste Punkt * am Scheitel ist die Form flach-abgerundet Aufgabe: a) Zeichne eine Normalparabel p: y = x2 - erstelle hierzu eine Wertetabelle für x Є [-3;3] mit x = 0,5. b) Zeichne eine Normalparabel mit einer Parabelschablone. -5-

6 Öffnungsfaktor Aussehen von Parabeln mit unterschiedlichen Öffnungsfaktor a: a < -1-1 = a -1 < a< = a +1 < a -6-

7 Anmerkung: Die Parabelschablone kann nur für Parabeln mit a = oder a = verwendet werden. Aufgabe: Zeichne die Parabeln in eine Koordinatensystem (Achte auf den Scheitel und die zugehörige Abflachung!!) a) p1: y = 0,5x2 b) p2: y = -2x2 c) p3: y = 4x2-7-

8 Parabelgleichung: I Scheitelform Aufgabe: a) Parabelgleichung von p1: y = b) Parabelgleichung von p2: y = c) Parabelgleichung von p3: y = Scheitelform: Parabel mit Scheitel S(xs ys) und Öffungsfaktor a: -8-

9 Aufgaben: Stell die zugehörigen Parabelgleichungen auf und zeichne die Parabeln in ein KS a) Eine nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch den Scheitel S(-1 2,5) b) a = 0,5; S(2 3) c) a = -2; S(-3-1) Gib den Scheitel an und ob die parabel nach unten oder oben geöffnet ist (nicht zeichnen!) a) p: y = -0,5(x -5)2 + 9 b) p: y = (x+8)2-10 d) p: y = x2 + 9 e) p: y = -x2 c) p: y = -2(x-6)2-9-

10 AP-Aufgaben zur Scheitelform Scheitelform: p: y = a (x - xs)2 + ys Sobald irgendetwas vom Scheitel einer Parabel gegeben ist, wird die Parabel in der Scheitelform aufgestellt. Danach kann diese immer noch in die allgemeine Form umgewandelt werden!!! -10-

11 Parabelgleichung: II allgemeine Form Scheitelform p: y = a(x - xs)2 + ys Ausquadrieren und vereinfachen der Scheitelform --> man erhält die sogenannte allgemeine Form der Parabelgleichung p: y = ax2 + bx + c Umrechnung Scheitelform --> allgemeine Form Umrechnung am konkreten Beispiel z.b. gegeben: Öffnungsfaktor a = 2; Scheitel S(3 4) --> Scheitelform p: y = dann ausquadrieren p: y = danach vereinfachen p: y = Aufgabe: Eine nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch den Scheitel S(3 2). Gib die Parabelgleichung in der allgemeinen Form p: y = ax2 + bx + c an. -11-

12 Parabelgleichungen bestimmen _ohne_ Scheitelform!! Von einer Parabel ist vom Scheitel nichts bekannt. Allerdings lautet der Öffnungsfaktor a = 0,25, und die Punkte P(2 4) und Q(-4 8) liegen auf der Parabel. Bestimme durch Rechnung die zugehörige Parabelgleichung. (Herleitung alle zusammen!) Aufgabe: Bestimme die Parabelgleichung einer Normalparabel, die durch die Punkte A(-2 10) und B(0 4) verläuft. -12-

13 AP-Aufgaben zur allgemeine Form von Parabelgleichungen allgemeine Form: p: y = ax2 + bx +c Ist nichts vom Scheitel einer Parabel gegeben, müssen die gegebenen Punkte (oder sonstiges) in die allgemeine Form eingesetzt werden um diese Gleichung(en) dann nach den Unbekannten Koeffizienten (a, b oder/und c) aufzulösen. -13-

14 AP-Aufgaben zu Parabelgleichungen -14-

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16 Scheitelberechung/Extremwertberechung Berechne den Scheitel der Parabel: Scheitelpunktsformel: p: y = ax2 + bx + c Aufgabe: Berechne den Scheitel der obigen Parabel mit der Formel: Aufgabe: Berechne jeweils den Scheitel der folgenden Parabeln: p1: y = -4x2 + 2x > a = ; b = ; c = p2: y = -x2 + x - 1 p 3: y = x p4: y = 7x2-4x -16-

17 Scheitelberechunung zur Extremwertbestimmung Der Scheitel ist h oder n Punkt einer Parabel. Er ist also das M oder M = E --> Man kann die Scheitelpunktsformel auch zur Extremwertbestimmung anwenden!! Aufgaben: a) Bestimme rechnerisch mit der Scheitlpunktsformel das minimale Volumen Vmin des Volumens V(x) = (4x2 + 2x - 10)cm3 und den zugehörigen Wert für x. b) Berechne die maximale Fläche von A(x) = (-2x2 + 16x + 200) cm2-17-

18 Quadratische Gleichungen Ein Gleichung der Form ax2 +bx +c = 0 (a 0) nennt man. (weil das x zum Quadrat vorkommt!!) Beispiel: x2-5= 0 IL = { (x + 3)2 = 6 } IL = { (x - 4)2 = 0 } IL = { x2 + 7 = 0 } IL = x² + 2x - 1 = 0 IL = { } 2x2-8x - 20 = 14-2x (Jede quadratische Gleichung wird zuerst auf einer Seite nach 0 aufgelöst!!)... (allgemeine Auflösung --> nur Tafel) Formel: Lösung einer quadratischen Gleichung ax2 +bx +c = 0 (a 0) (diese muss nach "0" aufgelöst sein!!) x1/2 = D = ( ) D>0 D=0 Löse mit der Formel: ax2 2x2 --> a= D<0 + - bx 6x b= + - c = 0 34 = 0 c= -18-

19 Aufgaben zu den quadratischen Gleichungen a) 2x2 + 0,5x + 1 = -0,5x - 0,8 (Lösung: b) -0,2x2 + 0,5x + 2 = -0,35x - 1,8 (Lösung: x1 = -2,72 oder x2 = 6,98) c) 0,5x2 + 0,5x + 1 = 1,5x + 0,5 (Lösung: x = 1) d) Die Fläche der Dreiecke in Abhängigkeit von x lautet: A(x) = (-0,5x2 + 3x +15)FE. Überprüfe, ob ein Dreieck mit der Fläche von 30 FE existiert. -19-

20 Schnittpunkte Parabeln/Koordinatenachsen Aufgabe: a) Gib den Schnittpunkt T der Parabel mit der y-achse an: b) Berechne die Schnittpunkte Q1 und Q2 der Parabel p mit der x-achse. -20-

21 Schnittpunkte Parabel - Gerade Aufgabe: a) Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte von g1 mit p. b) Zeige, dass g2 Tangente an p ist und berechne die Koordinaten vom Berührpunkt B. c) Zeige rechnerisch, dass g3 an p vorbeiäuft (= Passante). -21-

22 Schnittpunkte Parabel/Parabel Aufgabe: Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte T1 und T

23 Standardaufgaben zu quadratischen Gleichungen 2007a 2007b 2009n 2008n 2005a -23-

24 2004c 2004b -24-

25 2007n 2007c 2004a1 2006c 2006a -25-

26 2004n3 2004a3 2004n1-26-

27 Standardaufgaben - Handwerkzeug: Streckenlängen im KS berechnen (Gegeben sind im Folgenden nur die Koordinaten der Punkte Q, P1 und P2) a1) Strecken parallel zur y-achse: "obere y-koordinate - untere y-koordinate" Berechne die Streckenlänge P 1 P 2 : a2) Strecke parallel zur x-achse "rechte x-koordinate - linke x-koordinate" Berechne QF b) Strecken schräg im Koordinatensystem: Formel AB= x A x B 2 y A y B 2 LE Berechne die Streckenlänge : QP 1 Anwendung: Streckenlängenberechnung: a) Berechne die Fläche des Dreieck QP2P1 Hinweis: in vielen Fällen verläuft eine Seite einer Fläche (Dreieck, Viereck) parallel zu einer Koordinatenachse. --> Man verwendet eine Formel derart "Grundlinie mal Höhe", da diese Seiten parallelen Seiten sehr einfach zu berechnen sind!!! b) Berechne P 1 P 2 Q, Q P 1 P 2, P 2 Q P 1 Wenn die Koordinaten der drei Eckpunkte gegeben sind, kann man die drei Strecken-längen berechne und dann den Kosinussatz anwenden!! c) Abschlussprüfungsaufgabe: -27-

28 Koordinatenberechnungen in Abhängigkeit von x: Fachbegriffe: Ordinate --> y-koordinate Abszisse --> x-koordinate Berechne die Koordinaten von An in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn Schnittwinkel mit x-achse: a) Berechne den Schnittwinkel mit der x-achse b) Berechne den Schnittwinkel mit der y-achse. c) Abschlussprüfungsaufgabe: (s.a. AP 2010n siehe S. 36) -28-

29 Aufgabe: Gegeben ist das Dreieck ABCn mit A(0 1,5), Cn hat die Abszisse x und liegt auf g2, B liegt auf g1 und es gilt AB= 3LE. Cn(x 0,7x + 1,5) Berechne die Fläche A(x) der Dreiecke ABCn in Abhängigkeit von x. Hinweis: Ist einer der Innenwinkel bei Dreiecken (die von x abhängen) immer gleich, so bietet sich häufig die Formel an: A = ½ Seite1 Seite2 sin(winkel dazw.) -29-

30 Flächenberechnung mit der Determinante: 1 a bx 1 A= x FE = a x b y a y b x FE 2 ay by 2 mit a = a x ; b= b x ay by Berechne die Fläche A(x) der Dreiecke ABCn -30-

31 Koordinatenbestimmung durch Berechnung der zugehörigen Streckenlängen: Um Koordinaten zu berechnen, kann man u.a. auch die Streckenlängen von den Koordinatenachsen bis zum Punkt selbst berechnen (meistens müssen mehrere Teilstrecken berechnet werden!) a) Berechne die Koordinaten von C(??): b) Bestimme die Geradengleichung der Geraden g, die durch die Punkte A und B verläuft. -31-

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35 Zusammenstellung verschiedener Abschlussprüfungen quadratische Gleichungen - Parabeln (Lösungen ab S. 41) -35-

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