f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5

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1 11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x +,5 k. x 2y + 1 = 0 l. 2x 2y + = 0 m. 6x 4y 14 = 0 n. 14x + 7y = 21 o. 4x + 4y = Stelle die Funktionsgleichungen der Geraden auf, die durch folgende Angaben gegeben sind : a. Der Steigungsfaktor ist 4,5, die Gerade schneidet bei 5 die y-achse. b. Die Gerade läuft durch den Punkt P(-2/) und schneidet bei die y-achse. c. Die Gerade läuft durch den Ursprung und den Punkt Q(1/-0,5). d. Die Gerade liegt parallel zur Geraden h: y = 1,5x 2 und verläuft durch den Punkt P(1/-2). e. Die Gerade schneidet die x-achse bei x = 5 und die y-achse bei y =. f. Die Gerade verläuft durch die Punkte P(2/-6) und Q(-/-14). g. Die Gerade verläuft durch die Punkte P(7,5/,5) und Q(-2/-10). 11. Berechne die Steigung(sfaktoren) der Geraden, die folgende Punkte enthalten: a. P(/) und Q(6/9) b. P(-2/-2) und Q(4/1) c. P(-4/5) und Q(2/-) d. P(-1/5) und Q(9/1) 11.4 Ermittle die Gleichungen der Geraden durch die Punkte: a. P(1/1) und Q(2/) b. P(0/2) und Q(2/0) c. P(-2/2) und Q(2/-2) d. P(1/-4) und Q(-2/-) 11.5 Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen: a. y = 0,5x 0,25 b. y = x c. y = 4 6x d. 4x + 4y = 0 e. 2x 2y + = 0 f. x 2y + 1 = 0 g. 11x 2y 8 = 0 h. x + y = Bestimme, wenn möglich die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Geraden: a. g: y = 0,5x 0,25 h: y = x b. g: y = 2x 2 h: 2x + 4y 5 = 0 c. g: x + y = h: y = x + 4 d. g: 2x y + 1 = 0 h: 4x + 2y 2 = Bestimme die Werte für m bzw. t so, dass der jeweils angegebene Punkt auf der Geraden liegt: a. y = mx +2 P(/-1) b. y = mx P(-2/5) c. y = 0,5x + t P(4/-2) d. y = 1,5x + t P(-1/-2) e. y = mx 2m P(1/1) f. y = 0,5mx + 0,5 P(-/-1) g. y = 1,5x + 4t P(0/2) h. y = 1 x + 2t 1 P(5/4) x 2 i. y = m P(-2/4) 11.8 Berechne in Abhängigkeit von m bzw. von t die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen: a. y = 2mx 2 b. y = 0,5mx + 1 c. y = 2x 0,5t d. y = 0,25x + 2,25t 11.9 Berechne die Schnittpunkte der Geraden in Abhängigkeit von a: a. y = 0,5x 0,25 y = 2ax b. y = 4 ax y = x c. y = 2x 2 y = ax + 1,25 d. y = 2x + 0,5a 5 y = 4x a

2 12. quadratische Funktionen 12.1 Die rein quadratische Funktion: f(x) = x 2 bzw. f(x) = ax 2 mit a. Der Scheitelpunkt liegt bei S(0/0) Bedeutung des Parameters a: < a < 1: enger als NP und nach unten offen a = 1: NP nach unten offen 1 < a < 0: breiter als NP und nach unten offen a = 0: keine Parabel 0 < a < 1: breiter als NP und nach oben offen a = 1: Normalparabel (NP) 1 < a < : enger als NP und nach oben offen 12.2 Die Funktionen: f(x) = ax 2 + c Der Scheitelpunkt liegt bei S(0/c) Bedeutung des Parameters c: Der Wert von c entspricht einer Verschiebung der Parabel in y-richtung 12. Die allgemeine quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c Der Scheitelpunkt hat die Abszisse (= x-koordinate): x S =. Die y-koordinate von S wird berechnet, indem man die x-koordinate in f einsetzt Beispiele: a. f(x) = x 2 2x + ; S(1/2); noo b. f(x) = x 2 + 4x 2; S( 2/ 6); noo c. f(x) = 0,5x 2 + x + 1; S( 1/0,5); noo d. f(x) = 0,25x 2 2x; S(4/ 4); noo e. f(x) = x 2 2x + 1; S( 1/2); nuo f. f(x) = 0,25x 2 + x 4; S(6/5); nuo g. f(x) = 0,5x 2 + bx + 2; S(-b/-0,5b 2 +2); noo h. f(x) = ax 2 x 2; S( 2; (a?!) ; i. f(x) = x 2 x + c; S(0,5/-0,25+c) noo 12.5 Scheitelpunktform: f(x) = a(x - x S ) 2 + y S Berechnung von x S siehe oben (12.) z.b.: a. f(x) = 0,5(x 4) 2 4 Parabel ist noo und breiter als NP (wegen der Zahl 0,5) und nach rechts und nach unten verschoben; der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(4/-4) (Vorsicht: Für x S -Wert anderes für y S -Wert gleiches Vorzeichen!) sie hat genau 2 Nullstellen (da noo und S unterhalb der x- Achse) 1 b. f(x) = (x + 1) Parabel ist nuo und breiter als NP (wegen der Zahl ) und nach links und nach oben verschoben, mit S(-1/1); genau zwei Nullstellen (da nuo und S oberhalb der x-achse)

3 12.6 Parabel durch drei Punkte: Durch drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen, ist eine Parabel eindeutig festgelegt. Der Funktionsgleichung lautet allgemein: f(x) = ax 2 + bx + c. Da jeder der Punkte A, B und C auf der Parabel liegen sollen, müssen ihre Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen, d. h. man setzt den x-wert für x ein und erhält den f(x)-wert (=y-wert). Der Funktionsterm wird berechnet, indem man ein lineares Gleichungssystem ( X ) mit drei Gleichungen und drei Unbekannten löst. z.b.: Parabel durch die Punkte A(1/2), B(-2/11) und C(/6) ergibt folgendes Gleichungssystem: ax 2 + bx + c = y A Parabel f(1) = 2 I a + b + c = 2 B Parabel f(-2) = 11 II 4a 2b + c = 11 C Parabel f(4) = III 9a + b + c = 6 Mögliche Lösung(sart): Aus I: a = 2 b c In II: 4(2 b c) 2b + c = b 4c 2b + c = 11 -c = 6b + c = -2b 1 In a eingesetzt: a = 2 b (-2b 1) a = b + a und c in III: 9(b + ) + b + (-2b 1) = 6 9b b 2b 1 = 6 b = -2 b in a und in c: c = -2(-2) 1 = a = 2 (-2) = 1 also: f(x) = x 2 2x + oder auch (Gaussverfahren): a b c "#$#% &2 6$% & "&1 $&2 %&!! 5%& Übungen Gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an, beschreibe die Eigenschaften der Parabel und zeichne sie: a. f(x) = 1,5(x 2) 2 1 b. f(x) = -0,75(x + 1) Ermittle die Scheitelpunktform: e. f(x) = 1,5x 2 6x + 5 f. f(x) = -0,75x 2 1,5x + 1,25 c. f(x) = 0,8x 2 4 d. f(x) = -1,6(x + 1) g. f(x) = 0,5x 2 4x + 4 h. f(x) = -1,6x 2,2x 0,6 Berechne die Nullstellen von und zeichne die zugehörige Parabel i. f(x) = 0,5x 2 0,5x 1 k. f(x) = 2,5x 2 + 4x 2 j. f(x) = -0,25x 2 0,5x + 1,5 l. f(x) = -0,4x 2 + x + 1,875 Überprüfe rechnerisch und zeichnerisch, ob sich die Graphen der Funktionen f und g schneiden oder berühren und ermittle gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte m. f(x) = x 2 + x + 1 g(x) = x + 2 o. f(x) = -0,25(x 2 +4x 12) g(x) = 0,25(x+4) 2 1 n. f(x) = 0,5x 2 x 2 g(x) = -0,5x-1 p. f(x) = 1,5x 2 6x + 5 g(x) = -0,5x 2 2x + Parabel durch drei Punkte q. A(-6/0) B(-4/) C(0/) r. A(1/-1) B(2/0) C(-/5) s. A(0/1) B(1/) C(2/7) t. A(2/-1) B(4/5) C(6/2) Ermittle die Anzahl der Nullstellen ohne sie zu berechnen: u. f(x) = 2x 2 4x + 2 w. f(x) = -0,5x 2 + 2x v. f(x) = -x 2 x 1

4 Funktionen Lösungen Teil

5 Lösungen: 11.2 a) y= 4,5x 5 b) y = c) y = 0,5x d) y = 1,5x,5 e) y = 0,6x + f) y = 1,6x 9,2 g) y = +, -., 11. a) m = 2 b) m = 0,5 c) m = d) m = 0, a) y = 2x 1 b) y = x + 2 c) y = x d) y = a) S x (0,5/0) S y (0/ 0,25) b) S x (0/0) = S y c) S x ( /0) S y(0/4) d) S x (0/0) = S y e) S x ( 1,5/0) S y (0/1,5) f) S x ( 1/0) S y (0/0,5) g) S x ( 8 11 /0) S y (0/ 4) h) S x (1/0) S y (0/1) 11.6 a) S(-0,1/-0,) b) S(1,/0,6) c) keine Lsg., da parallel d) g, h identisch viele Lsg a) m = 1 b) m = 4 c) t = 4 d) t =,5 e) m = 1 f) m = 1 g) t = 0,5 h) t = / i) m = a) S x ( 0 /0) S y(0/-2) b) S x ( 0 /0) S y(0/1) c) S x (0,25t/0) S y (0/ 0,5t) d) S x (9t/0) S y (0/2,25t) 11.9 a) S1 ; b) S1 ; 2 c) S1 2 ;4/ d) S15 46 ;5 / 12.7 a) S(2; 1) noo; enger als NP; 2 Nst. b) S( 1; 2) nuo; breiter als NP; 2Nst. c) S(0; 4) noo; breiter als NP; 2 Nst. d) S( 1; 1) nuo; enger als NP; 2 Nst. e) S(2; 1) y = 1,5(x 2) f) S( 1; 2) y = 0,75(x + 1) g) S(4; 4) y = 0,5(x 4) 2 4 h) S( 1; 4,2) y = 1,6(x + 1) 2 + 4,2 i) - / & 6,/9:6,/ 6,/ ; - 6,/ &2; - &1 j) - &1 6; - &1# 6 k) - &0,4; - &2 l) - &,75; - &1,25 m) - #-#1&-#2; - 1&0; - &1; &1; &1 B ;1;1; B ;1; n) 0,5- -2&0,5-1; 0,5-0,5-1&0; &1; &2 B ;1;1,5; B ;2; 2 o) 0,25;- #4-12&0,25;-#4 1; 2- #12-&0; &6; &0 B ;6;0; B ;0; p) 1,5-6-#5&0,5-2-#; 2-4-#2&0; 2;-1 &0; 5 &1 B / ;1; 0,5 C 6"6$#% &0 q) CC16"4$#% & CCC % & C "#$#% &1 r) CC4"#2$#% &0 CCC9"$#% &5 C % &1 s) CC "#$#% & CCC4"#2$#% &7 C 4"#2$#% &1 t) CC 16"#4$#% &5 CCC6"#6$#% &2 D;-& 0,25- #-# D;-& 0,5-0,5-1 D;-& - #-#1 D;-& 1,5-6-#5 u) S(1; 0) Scheitelpunkt liegt auf der x-achse eine (doppelte) Nullstelle v) S( 1,5; 1,25) S oberhalb der x-achse und Parabel nuo zwei einfache Nullstellen w) S(2; 1) S unterhalb der x-achse und Parabel nuo keine Nullstelle

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