Sammlung von umfassenden Aufgaben. Die meisten Aufgaben werden sowohl vektoriell als auch alternativ ohne Verwendung der Vektorrechnung gelöst

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Christel Winkler
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1 Analytische Geometrie Kreisaufgaben Sammlung von umfassenden Aufgaben Die meisten Aufgaben werden sowohl vektoriell als auch alternativ ohne Verwendung der Vektorrechnung gelöst Datei Nr. 676 Stand 4. Juni 9 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULATHEATIK

2 676 Kreis Aufgaben mit Lösung Aufgabe 6 Gegeben sind die Eckpunkte A ( ), B7 ( 3) und C 4 eines Dreiecks. a) Berechne den Dreiecksinhalt sowie den Innenwinkel α bei A. b) Berechne ittelpunkt und Radius des Umkreises U von ABC. Wie lautet die Kreisgleichung? (Erg.: x + y 6x 6 = ) c) Lege die Tangenten parallel zur Geraden AC an den Kreis U. Bestimme die Berührpunkte sowie die Tangentengleichungen. d) Spiegelt man die Punkte A und B am Kreismittelpunkt, so erhält man die Punkte A und B. Berechne deren Koordinaten. e) Bestimme die Art des Vierecks AA BB und seinen Flächeninhalt. Aufgabe 6 Gegeben ist ein Kreis K durch die Gleichung a) Bestimme ittelpunkt und Radius r von K. x + y + 4x+ y 7 = Zeige, dass A ( 3 ) auf K liegt. Stelle die Gleichung der Tangente T an K in A auf. (Erg.: y = x+ 5), der T auch berührt? Berechne den zugehörenden Berührpunkt B. b) Welchen Radius hat ein Kreis um ( ) c) Beide Kreise haben eine weitere gemeinsame Tangente. Stelle deren Gleichung auf und ermittle die Koordinaten der beiden Berührpunkte A und B. Fertige eine Zeichnung an! d) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S, beider Kreise.

3 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 3 Aufgabe 63 Gegeben sind die Punkte A ( 6 ) und B( 6 ). a) Es gibt zwei Kreise K und K mit Radius 5, die durch A und B gehen. Berechne ihre ittelpunkte. (Anleitung: Sie liegen auf der ittelsenkrechten h von A und B) b) Der Kreis K : x + y x + y 48 = und die Gerade g: y = x+ 7 besitzen zwei gemeinsame Punkte S und S. Berechne ihre Koordinaten. c) Lege an K die Tangenten T und T durch diese Punkte S und S. Welche Gleichungen haben sie? d) Welchen Inhalt hat das Dreieck S S? e) Lege von Q die Tangenten an K. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte und die Tangentengleichung in dem Berührpunkt, der ganzzahlige Koordinaten hat. Aufgabe 64 Gegeben ist ein Kreis K durch seine Gleichung x + y 6x 4y = Sowie eine Gerade g durch die Gleichung y = x+. a) Ermittle ittelpunkt und Radius des Kreises. b) Zeige, dass sich g und K schneiden. c) Berechne die Länge der von K und g erzeugten Sehne ohne deren Schnittpunkte S und S zu verwenden! d) Berechne (vektoriell) die Gleichung der zu g parallelen Kreistangenten und die Koordinaten der zugehörenden Berührpunkte B und B. e) Die Punkte B, B, S und S bilden einen Drachen. Berechne dessen Flächeninhalt A. f) Berechne ittelpunkt und Radius des Umkreises des Dreiecks AB A B6. mit ( ) und

4 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 4 Aufgabe 65 Gegeben ist ein Kreis K durch seine Gleichung x + y 6x y = Sowie eine Gerade g durch die Gleichung y = x+. a) Ermittle ittelpunkt und Radius des Kreises. b) Zeige, dass sich g und K schneiden. c) Berechne die Länge der von K und g erzeugten Sehne ohne deren Schnittpunkte S und S zu verwenden! d) Berechne (vektoriell) die Gleichung der zu g parallelen Kreistangenten und die Koordinaten der zugehörenden Berührpunkte B und B. e) Die Punkte B, B, S und S bilden einen Drachen. Berechne dessen Flächeninhalt A. f) Berechne ittelpunkt und Radius des Umkreises des Dreiecks AB A B6. mit ( ) und

5 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 5 Lösung 6 C A a) Inhalt des Dreiecks ABC mit A ( ), B7 ( 3) und C 4 () Nicht vektoriell: h B Grundseite (z. B.) AC; AC = Δ x +Δ y = = = 5 LE Zur Berechnung der Höhe h b müssen wir das Lot von B auf AC mit (AC) schneiden. Δy 4 mac = = = ml = Δx Gleichung der Geraden (AC): y = x+ 4 (da C der Achsenabschnitt von (AC) mit der y-achse darstellt) Lotgerade L: y+ 3 = x 7 y = x+ Schnitt: ( AC) L = { F } : x + 4 = x ergibt x y F ( ) Höhe F = =. 5 F b h = BF= + = + = 5 LE!!!!!!! an beachte den Trick mit der Wurzelberechnung! Flächeninhalt des Dreiecks: A = AC h = 5 5 = FE. B 5 B

6 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 6 () Vektoriell: AC = AC = = = 5 LE 4. 4 Normalenvektor zur Geraden (AC) ist z. B: n = (Er entsteht aus AC durch Vertauschen der Koordinaten, wobei dann bei einer von beiden das Vorzeichen geändert wird. Damit wird dann AC n=!) Die Koordinatengleichung der Geraden (AC) wird dann mit diesem Normalenvektor so aufgestellt: n x = k 4x+ y = k AC : 4x+ y = 8 bzw. x + y = 4 Da A ( AC) k = 8 also: Die Höhe h b von B auf AC berechnet man dann mit der Hesseschen x y 4 Normalform von (AC): + = : hb = d( B; ( AC) ) = = LE 5 5 Flächeninhalt des Dreiecks: A = AC h = 5 = FE Berechnung des Innenwinkels α : () it der Tangensformel nicht vektoriell: 7 AB AC 3 3 AB AC ( 3 ) 3 B 5 m m tanα= = = = 7 α 8,9 + m m + Hierzu musste man zuvor die beiden Steigungen berechnen: Δy 4 3 mac = = = ; mab = =. Δx 9 3 () In dieser Aufgabe wurde zuvor h b berechnet. Diese Höhe zerlegt das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke, also kann man im Dreieck ABF auch so vorgehen: hb sinα= = = = α 8,9 AB wobei zuvor berechnet werden muss: AB= Δ x +Δ y = 8+ 9 = 9 = 3 LE 9 AB AC (3) Vektoriell: cosα= = = = = AB AC Dies ergibt natürlich ebenso α 8,9.

7 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 7 b) Berechnung des Umkreismittelpunktes als Schnittpunkt zweier ittelsenkrechten. () Nicht vektoriell: 5 3 ittelpunkte: ( ) ; ( ) AB Steigungen der Seiten: m = ; m = Steigungen der ittelsenkrechten (negativer Kehrwert!): AB 3 AC AC m = 3 ; m = sab sac Gleichungen der ittelsenkrechten mit der Punkt-Steigungsform: s : y+ = 3 x y = 3x AB 3 s : y = x+ y = x+ AC Schnitt der ittelsenkrechten in : 3x 9 = x x = x = 3 Eingesetzt in s AB : y ( 3 ) =. Radius des Umkreises: r = A= x x = 3 = 5 LE Achtung: A und liegen auf der x-achse, daher keine Wurzelformel verwenden! Gleichung des Umkreises: ( ) ( ) x 3 + y = 5 () Vektoriell: A x x + y y = r 5 3 Berechnung der ittelpunkte: ( ) ; ( ) AB 9 Seitenvektoren: AB = und AC = Normalenvektoren: Zu AB : n = 9, zu AC : n =. Gleichungen der Seitenhalbierenden: AC s AB : 5 3 x = + a 3 9, s AC : 4 x = + b

8 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 8 Schnitt der Seitenhalbierenden: () ( ): a + 4b = a b = + 7 9a b = a = a = = Damit folgt aus s AB : m= + = + = ( 3 ) Radius des Kreises: 5 r = A = = 5 Kreisgleichung: 3 x = 5 c) Tangente an K parallel zu AC () Nicht vektoriell: x, bzw. x 3 + y = 5. Steigung der Geraden (AC): m AC =. Also hat auch die Tangente diese Steigung. y = x + n. Gemeinsame Punkte von Kreis und Tangente: x 3 + x+ n = 5 x 6x+ 9+ 4x + 4nx+ n = 5 5x + 4n 6 x + (n 6) = 4n 6 ± 4n 6 n 6 4n 6 ± 6n 48n + 36 n + 3 = = ( 4n 6) ± 4n 48n x, = (*) Tangentenbedingung: Da eine Tangente mit einem Kreis nur einen gemeinsamen Punkt besitzt, muss der Radikand Null werden: 4n 48n = : 4 n + n 89= ± ± 5 ± 5 n, = = = = 6± 5 5 Tangentengleichungen: T : y = x T : y = x Die Berührpunkte folgen aus (*) mit Hilfe der Tangentenbedingung:

9 676 Kreis Aufgaben mit Lösung 9 x B 4n 6 ± 4n = = = n+ 5 5 Für n x = = = + : Für n B, 5 5 x = = = : B, 5 5 Die zugehörigen y-koordinaten erhält man aus der Tangentengleichung: T : y = x also T : y = x also Ergebnis: B( ), B( 3 5 5) () Vektoriell: y = = 5 y = = 5 +. Gleichung der Geraden (AC): y = x + 4 bzw. x + y = 4. Der Normalenvektor lautet also n =. Er ist auch Normalenvektor für die beiden zu (AC) parallelen Tangenten. n n r n B B m b b T ( AC) Somit gilt für die Berührpunkte diese Berechnungsformel: T 3 b, = m± r n = ± 3 5 Es folgt B( ), B( 3 5 5) Die Tangentengleichungen erhält man über die Punkt-Steigungsform: T : y+ 5 = x 3 5 und T : y 5 = x 3+ 5 Die Ergebnisse stehen oben.

10 676 Kreis Aufgaben mit Lösung d) Spiegelung von A und B an. () Nicht vektoriell: an schneidet die Geraden (A) und (B) mit dem Kreis k und erhält so die gesuchten Spiegelbilder. Da A und beide auf der x-achse liegen, ist A leicht zu errechnen: B' A' x = x + r = 3+ 5 = 8 A' 8. Gerade (B): 3 3 B7 ( 3;3 ) mb = = 4 4 y = x 3 (B): y = x k: x 3 + y = 5 Schnitt: 3 9 x 3 + x+ = x 6x+ 9+ x x+ = 5 6 6x 96x x 54x + 8= 4 5x 5x 75 = : 5 x 6x 7 = 6± ± 8 7 = xb x, = = = = xb' y-koordinate: y = x + = + = 3 Ergebnis: B' ( 3) () Vektoriell: B' 4 B' Die Spiegelung eines Punktes P an geschieht durch diese Gleichung: P' = + P = m + m x = m x Also folgt: 3 a' = A' ( 8 ) und 3 7 b' = 3 B' ( 3). Das Viereck AA BB ist ein Parallelogramm, weil sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Für seinen Flächeinhalt gilt: A = A = r y = 3= 3 FE. PGr AA'B' B' A B A '

11 676 Kreis Aufgaben mit Lösung CD!

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