Kreise. 1. Kreise in der Ebene ( 2 ) Dr. Fritsch, FGG Kernfach Mathematik Klasse 12-A18

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1 Wiederholung (Klasse 11) zur Analytischen Geometrie (Abi 2007 Gk)..\..\..\Firma\Nachhilfe\Abituraufgaben\Mathematikabitur 2007 (13k-GK-A).pdf..\..\..\Firma\Nachhilfe\Abituraufgaben\Mathematikabitur 2007 (13k-GK-L).pdf 1. in der Ebene ( 2 ) Definition: Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte ( ), die von einem festen Punkt, dem sogenannten Mittelpunkt, einen festen Abstand =, den sogenannten Radius, haben. Mittels Ortsvektoren lässt sich der Radius darstellen als = = und dessen Quadrat ergibt die Vektorgleichung eines s : = bzw. Koordinatengleichung eines s : =( ) +. Beispiel: Ein Kreis mit dem Mittelpunkt ( 4 2) und dem Radius =3 hat also die Kreisgleichung : 4 2 =9 bzw. : (+4) +( 2) =9. Übung: LB Kl. 12, S. 86, Nr. 1 Eine quadratische Gleichung der Form +"+ +# =$ stellt genau dann eine Kreisgleichung dar, wenn die Bedingung 4$ >" +# erfüllt ist. Um den Mittelpunkt und den Radius des s ablesen zu können, muss man mittels quadratischer Ergänzungen umformen: +"+ +# =$ quadratische Ergänzung +"+ & + +#+ ' =$+ & + ' binomische Formel : + & ++ ' =$+ &( )' ( Mittelpunkt & - ' mit dem Radius =+$+ &( )' ( >0 und dem Beispiele: (B1) = 4 ist ein Kreis, weil /0 =$+ + /0 1

2 (B2) (B3) + ++ /0 = 4+ ( )/0 ( =25 mit dem Radius =5 und dem Mittelpunkt ( = 17 ist kein Kreis ( sondern ein einzelner Punkt), weil = = 17+ 4( )5 ( = = 145 ist kein Kreis, weil 12+ 4/ = / = /( )40 ( = 1<0 Hausaufgaben: LB Kl.12, S. 87, Nr. 2.(a), 3.(a), 4 Lagebeziehung eines Punktes 89 : ; : zu einem Kreis + = : Fall 1: = Punkt liegt auf dem Kreis. Fall 2: < Punkt liegt innerhalb des s. Fall 3: > Punkt liegt außerhalb des s. Übung: LB Kl. 12, S. 88, Nr. 5.(c), 6 Drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte A, B, C legen eindeutig einen Kreis fest ( Umkreis des Dreiecks =>?). Der Mittelpunkt ergibt sich als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Beispiel: Aus den drei Punkten =3 1, >3 5,? 5 1 lässt sich der Kreis : + = berechnen: Einsetzen der drei Punkte in die Kreisgleichung: =3 1 A = >3 5 AA 3 +5 =? 5 1 AAA = Auflösen der Klammern ( Binomische Formel): A = AA = AAA = 2

3 Eliminieren der Quadrate durch paarweise Subtraktion der Gleichungen: A AA = 0 A AAA = 0 =2 = 1 Berechnung des Radius: 1 2)... Mittelpunkt A = (3 ( 1)) +( 1 2) = 4 +( 3) = 25 =5 Übungen: LB Kl. 12, S. 90, Nr. 8, 9 (eventuell auch HA) S. 92, Nr (Anwendungsaufgaben) 3

4 2. und Geraden Bei der Betrachtung der Lage eines s und einer Geraden B zueinander unterscheidet man drei Fälle: B ist eine Passante: Gerade B und Kreis haben keine gemeinsamen Punkte. B ist eine Tangente: Gerade B und Kreis haben einen gemeinsamen Punkt ( Berührungspunkt ). B ist eine Sekante: Gerade B und Kreis haben zwei gemeinsame Punkte ( Schnittpunkte ). Bemerkung: Eine Sehne bezeichnet eine Strecke innerhalb eines s, welche von den beiden Schnittpunkten einer Sekante mit dem Kreis begrenzt wird. Die konkrete Lage eines s : C D E = : Vektorgleichung V + = : Koordinatengleichung und einer Geraden B: W =0 X +Y 1 : Vektorgleichung [ = +X : Koordinatengleichung zueinander wird damit über eine Schnittpunktberechnung von und B durch Einsetzen der Geraden in den Kreis bestimmt. 4

5 Beispiel: Gegeben sei der Kreis : =25. Die Gerade B: =\9+] ist eine Sekante des s, da B zwei Schnittpunkte mit hat: (1) B in einsetzen: +3 +\9+] 1 =+3 +2 =25 (2) Quadrate auflösen (binomische Formeln!) und umformen: =5 +6+9=25 +1,2+1,8=5 +1,2 3,2=0 (3) p-q-lösungsformel anwenden: 5 5 // = /, ±+/,( ( 3,2)= 0,6±b3,56 liefert zwei Lösungen / = 2,49 und =1,29. (4) Schnittpunkte bestimmen: / ( 2,49 3,98), da =2 ( 2,49)+1= 3,98 (1,29 3,58), da =2 1,29+1=3,58 Die Gerade B: = c d 9+]e d ist eine Tangente des s, da B einen Berührungspunkt mit hat: (1) B in einsetzen: (+3) + c d 9+]e d 1 =(+3) + /f + f f =25 (2) Quadrate auflösen (binomische Formeln!) und umformen: /g h /0 h +/gh h = i 2+10=9 2+1=0 (3) p-q-lösungsformel anwenden: h i0 h + i0 h =25 i h 9 // = (4) ±+(4)( 1=1 ist die einzige Lösung. (4) Berührungspunkt bestimmen: (1 4), da = f 1+/g f =4 Die Gerade B: =9 c ist eine Passante des s, da B keine Schnittpunkte mit hat: (1) B in einsetzen: (+3) +(9 c 1) =(+3) +( 5) =25 (2) Quadrate auflösen (binomische Formeln!) und umformen: =2 4+34=25 5 2

6 2+17=12,5 12,5 2+4,5=0 (3) p-q-lösungsformel anwenden: // = (4) ±+(4)( 4,5 =1±b 3,5 liefert keine Lösungen. Übung: LB Kl. 12, S. 94, Nr. 4 Tangente j an einen Kreis in einem Kreispunkt 8 k : (1) Punktprobe: l? Einsetzen der Koordinaten des Punktes l ( l l ) in die Kreisgleichung : ( ) + = (2) Gleichung der Geraden B durch den Mittelpunkt und den Kreispunkt l ( l l ) aufstellen: B: = n +X n mit n = o p4 q o r 4 s und X n = (3) Gleichung der Tangente Y an den Kreis : Y: = w +X w mit w = / v l o p4 q o r 4 q l u t o x und X w = l w l o p4 q o r 4 q Beispiel 1.A: Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt l (4 2) an den Kreis : ( 1) +(+3) = 34! (1) l? (4 1) +(2+3) = 34 34=34 w.a. (2) B: = i f / f mit n = 4f4 2 i f 4 = i und X /4 f n =y z= 3 i 1 f / f (3) Y: = f i + i mit w = / { = f i und X w =2 f i 4= i Beispiel 1.B: Gesucht ist die Gleichung der zur Tangente Y / : = f i + i parallelen Tangente Y an den Kreis : ( 1) +(+3) = 34! (1) Anstieg der parallelen Tangente Y : w/ = w = f i (da Y Y / ) (2) Anstieg der zu den Tangenten orthogonalen Sekanten: n = / 4 { = i f (3) Gleichung der Mittelpunktsekante B durch Einsetzen von (1 3): = i f / f (4) Berechnung der Schnittpunkte des s mit der Geraden B (B in einsetzen): 6

7 1 + i f / f +3 = 1 + i f i f = i h i0 h +i= f h h g5 h +f f =34 h h 2+1= =0 // =1± 9 =1±3 / = 2 und =4 / = i f = i f ( 2) / f = 8 l/( 2 8) 4 / f =2 l(4 2)... siehe Beispiel 1.A (5) Tangentengleichung aufstellen: Y : = f g i i mit X = 8 f g ( 2)= i i [ Vektorform der Tangente: = = 0 g i Übungen: LB Kl. 12, S. 96, Nr. 6, 7 (evtl. HA) ] Tangenten an einen Kreis von einem Punkt ~ außerhalb des s: : ( ) + = (1) Ist l ( l l ) ein Berührungspunkt einer Tangente, die auch durch geht, an den Kreis, so muss l zwei Bedingungen erfüllen: (B1) l genügt der Kreisgleichung: ( l ) + l = (A) (B2) l muss orthogonal zu l sein ( l =0): l ( l ) l + l l =0 (AA) (2) Berechnung der zwei Berührungspunkte l durch Auflösen der Klammern ( binomische Formeln) in (I) und in (II) und anschließende Subtraktion (I) - (II) zur Eliminierung der Quadrate und Einsetzen der entstandenen Geradengleichung ( Transversale ) in die Kreisgleichung (3) Bestimmung der beiden Tangentengleichungen an den Kreis in den Berührungspunkten l Beispiel: Gesucht sind die Gleichungen der beiden Tangenten, die vom Punkt (12 3) aus an den Kreis um (2 3) mit dem Radius = 20 gelegt werden können. 7

8 1 12 3) einsetzen (B1, B2): (I) ( l 2) +( l +3) =20 (II) ( l 2)( l 12)+( l +3)( l +3)=0 (2) Auflösen der Klammern: (I) l 4 l +4+ l +6 l +9=20 (II) l 14 l +24+ l +6 l +9=0 Eliminierung der Quadrate: (I) (II) 10 l 20= l =40 10 l =4... senkrechte Sekante durch Einsetzen in Kreisgleichung: (4 2) +( l +3) =20 4 ( l +3) =16 ± l = 3± 16 = 3±4 Berührungspunkte: l/ = 7 l/ (4 7), l =1 l (4 1) (3) Berechnen der Tangentenanstiege: l/ : / = 4ƒ4(4f) 4/ l : =0,5 = /4(4f) 4/ = 0,5 Bestimmen der Tangentengleichungen: Y / : =0,5 9 mit 7=0,5 4+X / Übungen: LB Kl. 12, S. 98, Nr. 8.(a), 9, 10 (evtl. HA) Y : = 0,5+3 mit 1= 0,5 4+X 8

9 3. Lagebeziehungen von n Betrachtet man die gegenseitige Lage zweier o (m... magenta) und (z... zyan) zueinander, so ergeben sich die folgenden sechs Szenarien, welche in der Darstellung zu sehen sind: I II IV V VI III Wie man in der graphischen Darstellung erkennen kann, lassen sich die sechs Szenarien in drei Fälle zusammenfassen und über den Vergleich der Abstände der Mittelpunkte und der Summe bzw. Differenz der Radien unterscheiden. Kreisgleichungen: o : D /, E = / : D, /, E =, Unterteilung: kein Schnitt- punkt ein Fall Szenario Bedingung Berührungs- punkt zwei Schnitt- punkte I II III IV V VI konzentrische ineinander liegende isolierte von außen berührende von innen berührende sich schneidende 9 =0 / / > < / / > / / + = / / + = / / / < < / / +

10 Eventuelle gemeinsame Punkte beider lassen sich durch Subtraktion der Kreisgleichungen voneinander berechnen. Beispiel: Gesucht sind gemeinsame Punkte der / : =10 und : 10 + =25 und die gegenseitige Lage der. (1) Vorbetrachtung: Abstand der Mittelpunkte: Differenz der Radien: Summe der Radien: =b4 10 / +3 0 = 45 / = 10 5=1,84 / + = 10+5=8,16 Analyse: 1,84< 45 <8,16, d.h. 2 Schnittpunkte (2) Auflösen der Quadrate: / : = 10 : = 25 (3) Subtraktion der Kreisgleichungen: / : = 15 bzw. = 2 10 (4) Einsetzen der Trägergerade in einen Kreis: : = = = = 0 // =6± =6±1 2 Lösungen: / =5 und =7 (5) Auswertung: zwei Schnittpunkte / 5 0 und 7 4 Übungen: LB Kl. 12, S. 100, Nr. 2.(a), 2.(c), 2.(d), 2.(f), 5 LB Kl. 12, S. 102f., Nr