Thema: Das Dreieck und seine Kreise. (Kapitel IV aus: Koecher, Krieg; Ebene Geometrie Seite )

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1 Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik Seminar zur Geometrie PD Dr. Martin Ekenhans Wintersemester 005/006 Thema: Das Dreieck und seine Kreise (Kaitel IV aus: Koecher, Krieg; Ebene Geometrie Seite 3-38) Vorgelegt von: Michael Balceris Fachsemester: 5 Sebastian Grothe Fachsemester: 5 am: 5. Dezember 005

2 Kaitel : Der Kreis. Definition Der Kreis mit Mittelunkt m, m IE (Euklidische Ebene), und Radius r, r > 0 ist der geometrische Ort aller x IE, die von m den Abstand r haben. Der Kreis ist also durch die Mittelunktsgleichung : x - m = r definiert.. Lemma (i) Die Mittelunktsgleichung ist äquivalent zu x ² x, m = r² m ² (ii) Die Parameterdarstellung eines Kreises ist cos( ϕ) x = m + re( ϕ ), e( ϕ ) =,0 ϕ π sin( ϕ) < Beweis (i) x m = r x m ² = r² x m, x m = r² x, x m m, x m = r² x, x x, m m, x + m, m = r² x ² x, m + m ² = r² x² x, m = r² m ² ( ii)zu 0 x IE gibt es ein eindeutig bestimmtes ϕ IR mit x = x e( ϕ), 0 ϕ < π (Lemma III..5(Polarkoordinaten)). Vergleicht man die Mittelunktsgleichung hiermit folgt die Behautung..3 Proosition Sind a und b zwei verschiedene Punkte des Kreises K, dann liegt der Mittelunkt des Kreises auf der Mittelsenkrechten M a,b = { x IE : x ( a + b), a b = 0} von a und b.

3 Beweis Wegen Lemma. gilt a ² a, m = r² m ² und b ² b, m = r² m ² a ² a, m = b ² b, m a ² a, m b ² + b, m = 0 a ² a b, m b ² = 0 a ² b ² a b, m = 0 a + b, a b a b, m = 0 a + b, a b a b, m = 0 bilinear ( a + b), a b a b, m = 0 ( a + b ), a b m, a b = 0 (-) m ( a + b ), a b = 0 Behautung. Satz (Satz von Thales) a,b,c IE bilden ein Dreieck. Es is äquivalent (i) c liegt auf dem Kreis um m = ( a + b) mit dem Radius a b (ii) Die Strecke c a und c b sind orthogonal, d.h. das Dreieck ist rechtwinklig Beweis Mit Mittelunktsgleichung folgt c-m = r c-m ² r² = 0 Einsetzen von m und r in die Gleichung liefert nun: c ( a + b) a b =< c ( a + b), c ( a + b) > < a b, a b > = c < c, a + b > + < a + b, a + b > < a b, a b > = c < c, a + b > + ( a + b + < a, b > ) ( a + b < a, b > ) = c < a + b, c > + < a, b >= c a, c b

4 (ii) (i): 0 = c a, c b = c ( a + b) ² a + b ² c ( a + b) ² = a + b ² c ( a + b) = a + b Behautung (i) (ii): c ( a + b) ² a + b ² = 0 c a, c b = 0 3

5 Kaitel : Die Tangente. Definition Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, heisst Tangente an den Kreis.. Lemma Zu K gibt es genau eine Tangente T an K durch. T ist dabei durch x m, m = r² gegeben (d.h. T = H mit γ : = r² + m, m ), oder äquivalent durch x, m = 0 mit x IE. - m, γ Beweis Im Folgenden sei G = G, u 0, eine beliebige Gerade durch.,u Es gilt ( + αu) K r² = + αu m, + αu m = + αu m ². r² = + αu m, + αu m =, + αu m + αu m, + αu m =, +, αu m + αu, + αu m m, + αu m = ² +, αu, m + αu, + αu, αu m m, m, αu m = ² + α, u, m + α u, + αu, αu αu, m m, m, αu + m, m = ², m + α u, + α ² u ² α u, m + m ² = m ² + α u, + α ² u ² α u, m = m ² + α ² u ² + α u, m r ² 0 = α ² u ² + α u, m 0 n.v. 0 n.v. 0 G ist genau dann eine Tangente, wenn α = 0 die einzige Lösung ist; Lemma III.. wenn also u, m = 0 u ist orthogonales Komlement zu ( m), Lemma III.. also u IR( m) T ist einzige Tangente durch die somit orthogonal zur Gerade m steht. Die Äquivalenz folgt, da K ist.

6 .3 Proosition Für eine Gerade G sind äquivalent (i) G ist eine Tangente an den Kreis K (ii) d( m, G) = r Beweis (i) (ii): Sei K und G = T so folgt mit Lemma. und III...(5): d( m, G) = d( m, H ) mit γ : = r² + m, m Lemma III..(5) - m, γ r² r² d( m, G) = m, m r² m, m = = = r m m m (ii) (i): Nach III. ist der Fußunkt q des Lotes von m auf G der einzige Punkt der auf G und K liegt. r. Satz Sei a IE ein Punkt außerhalb des Kreises K, d.h. a - m > r. Dann gibt es genau Tangenten an den Kreis die durch a gehen. Beweis Nach Lemma. genügt es alle K zu bestimmen für die a auf T liegt, also die Gleichungen a - m, - m = r² und m ² = r² zu lösen. Wegen Lemma III. gilt folgende Äquivalenz: a - m, - m = r² r² α IR mit: m + ( a m) + α( a m) = a m ² Setze nun in die Gleichung m ² = r² ein: r² m + ( a m) + α ( a m) m ² = r² a m ² r² ( a m) + α( a m) ² = r² a m ² r² r² ( a m) + α( a m), ( a m) + α( a m) = r² a m ² a m ² r² r² r² ( a m), ( a m) + α( a m) + α( a m), ( a m) + α( a m) = r² a m ² a m ² a m ² r² r² r² ( a m), ( a m) + ( a m), α( a m) + a m ² a m ² a m ² α r² ( a m), ( a m) ( a m), ( a m) r² a m ² α α + = = 0 = 0 5

7 r² r² ( a m), ( a m) + α( a m), α( a m) = r² a m ² a m ² r² ( a m) ² + α( a m) ² = r² a m ² r a m + α a m = r a m ² ²[ ] ² = a m r a m r a m a m ² + α ² a m ² = r² a m ² r² = α ² a m ² ( a m ²) r r² + = α ² a m a m ² Wegen a-m > r hat α genau reelle Lösungen. 6

8 Kaitel 3: Kreis und Gerade 3. Definition Es sei K = { x IE : x - m = r} ein gegebener Kreis. Man setzt (i) κ(x):= κ ( x) : = x m ² r² für x IE K Man nennt κ(x) die Potenz von x in Bezug auf K. Dabei sind die Punkte mit Potenz 0 genau die Punkte von K. Für κ( x) < 0 liegt x im Inneren des Kreises. Für κ( x) > 0 liegt x außerhalb des Kreises. 3. Satz Sei x ein Punkt in der Form x = a + ξu, u =. x gehört genau dann zu K, wenn ξ ² + ξ a m, u + κ ( a) = 0 ist. Beweis: Setze x = a + ξu in κ( x) ein und beachte Defintion ( x K Potenz von x ist 0) κ( x) = a + ξu m ² r² a + ξu m ² r² = 0 a + ξu m, a + ξu m r² = 0 a, a + ξu m + ξu, a + ξu m m, a + ξu m r² = 0 a, a + a, ξu a, m + ξu, a + ξu, ξu ξu, m m, a m, ξu + m, m r² = 0 a ² + ξ a, u a, m + ξ u, a + ξ ² u ² ξ u, m + m ² r² = 0 ξ ² + ξ a, u ξ u, m + a ² m, a + m ² r² = 0 ξ ² + ξ a m, u + a m ² r² = 0 ` = κ ( a) ξ ² + ξ a m, u + κ( a) = 0 = 3.3 Folgerung Eine Gerade schneidet einen Kreis in höchstens zwei Punkten. 7

9 3. Satz (Zwei - Sehnen - Satz) Wenn der Punkt a nicht auf dem Kreis liegt, dann hat das Produkt ης der Sehnenabschnitte unabhängig von der Richtung u der Gerade G den Wert κ( a). 3.5 Satz (Sehnen -Tangenten - Satz) Falls a ein Punkt im Äußeren von K ist, dann ist das Produkt ης der Sehnenabschnitte für jede den Kreis schneidende Gerade G gleich dem Quadrat des Tangentenabschnittes τ und gleich κ( a). Beweis: In beiden Fällen betrachtet man Geraden a + Ru, u =, durch a und bringt sie mit K = { x : x m = r} zum Schnitt. Setzen dabei O.E.: m = 0. Die eventuellen Schnittunkte haben die Form a+ ξu, und ξ ist durch r² = a+ ξu ² = a ² + ξ a, u + ξ ² u ² bestimmt. Nach dem Vietaschen Wurzelsatz ist das Produkt ης der beiden Wurzeln gleich dem konstanten Glied: ης = a ² r² und ist damit von der Richtung der Gerade unabhängig. Andererseits sind die Längen der Sehnenabschnitte a- = ηu = η bzw. a-q = ςu = ς. 8

10 Kaitel : Polare. Definiton Man definiert ausgehend von einem Kreis K = { x IE : x - m = r} und einem Punkt IE, m, die Polare T zu (in Bezug auf K) durch x - m, - m = r², d.h. T : = H mit γ : = r² + m, - m. m, γ Für K ist T nach. Lemma die Tangente an den Kreis K durch. Bemerkung : (i) Seien q m, m. Aus der Definition folgert man : q T T q Beweis: Aus q T folgt q - m, - m = r². Da das Skalarrodukt bilinear ist, folgt - m, q - m = r² T, da T = x - m, q - m = r² q q (ii) Sei m. Dann gilt : r² d( m, T ) =. m Beweis: Mit Hilfe von Kaitel III.3 (5) Lemma folgt: m, m r² m, m r² r² d( m, T ) = = = m m m. Proosition Für κ( ) > 0 berühren die beiden Tangenten durch an K den Kreis in den Schnittunkten q und q des Kreises K mit der Polaren T. Beweis: Wegen κ ( ) > 0 liegt außerhalb des Kreises K. Daraus folgt, dass d( m, T ) < r ist. Daher schneidet T den Kreis in den Punkten q und q. Nach obiger Bemerkung (i) gilt T und T. Nach. Lemma sind dann aber T und T die Tangenten durch an K. q q q q 9

11 .3 Bemerkung Eine Polare ist also die Verbindungsgerade der Berührungsunkte zweier Tangenten an einen Kreis.. Lemma Zieht man von einem Punkt m zwei den Kreis K in den Punkten a, b bzw. c, d schneidende Geraden,dann liegen die Schnittunkte ( a d) ( b c) und ( a c) ( b d), falls sie existieren, auf der Polaren T. Beweis : O.E. wählt man =0, woraus m 0 folgt (nach Voraussetzung). Nun setzt man die Geraden in der Form IRu bzw. IRv mit u = v =. Wegen 3. Satz gilt: a = ξ u, b = ξ u, c = η v, d = η v und wegen =0 und der Bilinearität des Skalarroduktes folgt: ξ ² ξ m, u + κ = 0 i und i η η m, v + κ = 0 i i mit κ : = κ(0) = ξ ξ = η η. Mit der Schnittunktformel II..() ergibt sich: s:=( a d) ( b c) = ( ξ u η v) ( ξ u η v) = = = ηη κ ξ ξ κ = (( η η) u + ( ξ + ξ) v) ξ η ξ η Schnittunktformel ( ξη ( ξu + ηv) ξη ( ξu + ηv)) ξ η ξ η Wegen ξ ² ξ m, u + κ = 0 und η η m, v + κ = 0 mit κ : = κ(0) = ξ ξ = η η, i i i i folgt nach Umstellen nach m, u bzw. m, v : m, u = ( ξ + ξ) und m, v = ( η η) 0

12 κ s, m = (( η η) u + ( ξ ξ) v)), m ξ η ξ η κ( η η ) κ ( ξ ξ ) u v m ξ η ξ η ξ η ξ η = +, κ( η η ) κ( ξ ξ ) u m v m ξ η ξ η ξ η ξ η =, +, κ( η η ) κ( ξ ξ ) u m ξ η ξ η ξ η ξ η =, +, κ( η η) ( ξ + ξ) κ( ξ ξ) ( η + η) = + ξ η ξ η ξ η ξ η v m κ = (( η η)( ξ + ξ) + ( ξ ξ)( η + η)) ( ξ η ξ η ) = κ Nach.. Definition gilt, dass s T. 0 Analog zeigt man ( a c) ( b d) T. 0