2 Spiegelungen. d(f(p), f(q)) = d(p, q) für alle p, q R n

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1 2 Siegelungen Definition: f : R n R n heißt Bewegung (Isometrie), wenn f Abstände erhält, dh wenn d(f(), f(q)) = d(, q) für alle, q R n Kaitel IV, Satz 32: f ist genau dann eine Bewegung, wenn es eine orthogonale lineare Abbildung ϕ : R n R n und eine Vektor x 0 R n gibt, so dass f(x) = x 0 + ϕ(x) für alle x R n Eine Bewegung ist also eine Affinität f mit T (f) orthogonal Schreibt man ϕ in der Form ϕ(x) = A x, A M(n n, R), so gilt nach Kaitel IV: ϕ ist genau dann orthogonal, wenn AA t = E n Seien, q, r drei verschiedene Punkte im R n, v = q, w = r q α v w r Der Winkel des Dreiecks (q,, r) mit Scheitel ist die eindeutig bestimmte Zahl α [0, π] mit α = (v, w), dh Schreibe auch α = (q,, r) cos α = v, w v w (21) Bemerkung: Jede Bewegung f : R n R n ist winkeltreu, dh α := (q,, r) = (f(q), f(), f(r)) =: β Beweis: T (f) = ϕ ist orthogonal, also a, b = ϕ(a), ϕ(b) 1

2 Es folgt cos α = v, w v w ϕ(v), ϕ(w) = ϕ(v) ϕ(w) = f()f(q), f()f(r) f()f(q) f()f(r) = cos β Fixunkte: x R n heißt Fixunkt von f : R n R n, wenn f(x) = x Fix (f) bezeichne die Menge aller Fixunkte von f (22) Satz: Sei f : R n R n affin Dann gilt: a) Fix (f) ist affin Im Fall Fix (f) φ ist T (Fix(f)) = Fix (T (f)) b) Ist 1 kein Eigenwert von T (f), so hat f genau einen Fixunkt Beweis: a) Ist Fix(f) φ und f() =, so gilt: x Fix(f) x = f(x) = f(x) f() = T (f)(x ) x Fix(T (f)) x +Fix(T (f)) Also ist Fix(f) = +Fix(T (f)) b) Nach Voraussetzung ist Fix(T (f)) = {0} Für ϕ = T (f) gilt also Kern (id ϕ) = 0 Daher ist ψ = id ϕ : R n R n ein Isomorhismus Setze = ψ 1 (f(0)) Dann ist ϕ() = ψ() = f(0), folglich f() f(0) = ϕ( 0) = f(0), also = f() Fix(f) Nach a) ist daher Fix(f) = + Fix(T (f)) = + {0} = {} 2

3 Die Siegelung an einem affinen Unterraum: Sei B = q + V R n ein nicht leerer affiner Unterraum Für B sei l das Lot von auf B und f sein Fußunkt f q = σ B (q) B σ B () Definition: Die Siegelung am Unterraum B ist die eindeutig bestimmte Abbildung { f = σ B : R n R n fσ mit B (), falls B σ B () = 0, falls B (23) Bemerkung: σ B ist eine Bewegung, insbesondere affin Beweis: Seien 1, 2 { R n vorgegeben Setze für i = 1, 2 Fußunkt des Lotes von i auf B, falls i B i = σ B ( i ) und f i = i, falls i B Zz: d( 1, 2 ) = d( 1, 2) Beweis: In jedem Fall ist v i := i f i = if i, i = 1, 2 Es folgt (1) 1 2 = 1 f 1 + f 1 f 2 2 f 2 = f 1 f 2 + (v 1 v 2 ) (2) 1 2 = 1f 1 + f 1 f 2 2f 2 = f 1 f 2 + (v 2 v 1 ) 3

4 Anschaulich: 1 v 1 v 2 2 v 2 f 1 f 1 f 2 f 2 B = q + V v 2 v 1 v Wegen v i V und f 1 f 2 V folgt nach (1) und dem Satz des Pythagoras: d( 1, 2 ) 2 = v 1 v f 1 f 2 2 Analog folgt mit (2): d( 1, 2) 2 = v 1 v f 1 f 2 2 Also ist d( 1, 2 ) = d( 1, 2) Weitere Eigenschaften von σ B : B σ B () = B f σ B () = 2 f 0 σ B () σ B ()σ B (σ B ()) = 2 σ B ()f = 2 f 2σ B () = σ B () = = σ B () σ B (σ B ()) = Damit ist gezeigt: (24) Bemerkung: a) B = Fix(σ B ) b) σ B σ B = id (25 Satz: Sei B R n wie oben, σ = σ B und ϕ = T (σ) Sei A O(n) mit ϕ(x) = A Dann gilt: a) A ist symmetrisch; insbesondere ist ϕ diagonalisierbar 4

5 b) T (B) = Fix(ϕ) (klar nach (22) und (24)) c) T (B) ist der Eigenraum von ϕ zum Eigenwert 1 Beweis: a) Sei v R n mit σ(x) = v + Ax Wegen σ 2 = id ist x = σ(σ(x)) = σ(v + Ax) = v + A(v + Ax) = v + Av + A 2 x für alle x R n Mit x = 0 folgt v + Av = 0 Für jedes x R n gilt daher x = A 2 x, dh A 2 = E n und A 1 = A Wegen A O(n) gilt auch A 1 = A t, also A = A t c) Nach a) ist ϕ diagonalisierbar Da ϕ orthogonal ist, sind 1 und -1 die einzig möglichen Eigenwerte und B = V (ϕ, 1) V (ϕ, 1) Wegen V (ϕ, 1) V (ϕ, 1) folgt aus Diemensionsgründen V (ϕ, 1) = V (ϕ, 1) = B (26) Bemerkung: Für je zwei Punkte q aus R n gibt eine Siegelung σ : R n R n an einer Hyerebene H R n derart, dass σ() = q Beweis: Sei f := +q 2 der Mittelunkt der Strecke (, q) und n = q Setze V := (R n) und H = f + V Dann ist H R n eine Hyerebene und σ H () = q f q q (27) Satz von Cartan: Jede Bewegung f : R n R n ist ein Produkt von höchstens n + 1 Siegelungen an Hyerebenen 5

6 Beweis in den Fällen n = 2 und n = 3: Nach (26) gibt es eine Hyerebenensiegelung σ 0 : R n R n mit σ 0 (f(0)) = 0, falls f(0) 0 Dann ist (wg σ 0 (f(0)) = 0) ϕ = σ 0 f eine orthogonale lineare Abbildung Wegen σ0 2 = id ist f = σ 0 ϕ Es genügt also zu zeigen: Ist ϕ : R n R n eine orthogonale lineare Abbildung, so ist ϕ das Produkt von höchstens n Hyerebenensiegelungen ( ) cos α sin α n = 2 : Ist ϕ eine Siegelung so ist nichts zu zeigen Ist ϕ = ( ) ( ) sin α cos α cos α sin α 1 0 eine Drehung, so ist ϕ = das Produkt von 2 sin α cos α 0 1 Siegelungen n = 3 : Nach dem Klassifikationssatz für orthogonale Endomorhismen ist ϕ entweder eine Siegelung, oder eine Drehung, oder das Produkt einer Siegelung und einer Drehung ( Drehsiegelung ) Zu zeigen: Jede Drehung des R 3 ist das Produkt von zwei Siegelungen Es existiert eine ON-Basis B = (v 1, v 2, v 3 ) des R 3 mit M B (ϕ) = 0 cos α sin α 0 sin α cos α Sei σ 1 die Siegelung an E = Rv 1 + Rv Dann ist M B (σ 1 ) = Sei σ 2 = ϕ σ 1 Dann ist M B (σ 2 ) = cos α sin α = 0 cos α sin α eine sin α cos α sin α cos α Siegelung und ϕ = ϕ (σ 1 σ 1 ) = σ 2 σ 1 das Produkt von 2 Siegelungen Die Hesse Normalform einer Siegelung: (28) Satz: Sei H R n eine Hyerebene mit HNF n, x b = 0 ( n = 1, b 0) Ist a H beliebig gewählt, so gilt die Formel σ H () = + 2 n, a n für alle R n 6

7 Beweis: Wegen n, a = b für alle a H hat H auch die Gleichung n, a x = 0 Für H ist σ H () = + 2 n, a n, denn n, a = 0 Sei nun H und f = + λn der Lotfußunkt von auf H f a H σ H () Wegen f H ist 0 = n, f a = n, + λn a = = n, a + λ n, n = n, a + λ und λ = n, a Es folgt f = n, a n und (29) Satz: Sei f : R n R n affin σ H () = Def 2(f ) = 2 n, a n a) Ist q ein Fixunkt von f und ϕ = T (f), so gilt f = τ q ϕ τ q (τ v = Translation um v) b) Ist H R n eine Hyerebene, so ist τ σ H τ = σ +H für alle R n 7

8 Beweis: a) ϕ(x q) = f(x) f(q) = f(x) q, also ist f(x) = q + ϕ(x q) = (τ q ϕ τ q )(x) für alle x R n Sei V = T (H) und ϕ = T (σ H ) Nach (25) gilt V = V (1, ϕ) und V = V ( 1, ϕ) und somit ϕ = σ V Wegen V = T (+H) ist ebenso T (σ +H ) = σ V Nach a) ist für h H = Fix(σ H ) σ H = τ h ϕ τ h und ebenso σ +H = τ +h ϕ τ (+h) = τ (τ h ϕ τ h )τ = τ σ H σ 8