1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /05/18 11:18:04 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe In diesem Abschnitt wollen wir die Automorphismengruppe der euklidischen Geometrie bestimmen. Alle Begriffe lassen sich letztlich auf Abstände zwischen Punkten zurückführen, Geraden lassen sich über die Mittelsenkrechte aus Aufgabe 16.a) in Termen von Abständen beschreiben und Winkel lassen sich nach dem Cosinussatz Satz 32 ebenfalls durch Abstände ausdrücken. Nur die orientierten Winkel sind etwas komplizierter, wie wir sehen werden kann man diese nicht alleine in Termen von Abständen bestimmen, aber dies wollen wir dies erst einmal ignorieren. Automorphismen der euklidischen Geometrie werden also Abbildungen sein die Abstände erhalten, und diese werden traditionell als Bewegungen bezeichnet. Definition 1.22 Bewegungen) Sei d N. Eine Abbildung ϕ : R d R d heißt eine Bewegung wenn sie den Abstand von Punkten erhält, wenn also ϕa)ϕb) = ab für alle a, b R d gilt. Wir schauen uns zunächst einige Beispiele von Bewegungen an. 1. Seien d N und u R d ein Vektor. Dann ist die Translation τ u : R d R d ; x x + u eine Bewegung denn für alle a, b R d gilt ϕa)ϕb) = b + u) a + u) = b a = ab. 2. Seien d N und A O d R eine orthogonale d d-matrix, also A t A = 1. Dann ist die Abbildung ψ A : R d R d ; x Ax eine Bewegung. Zunächst gilt nämlich Ax 2 = Ax Ax = Ax) t Ax) = x t A t Ax = x t x = x 2 für jedes x R d, also ist auch Ax = x. Für alle a, b R d folgt hiermit ψ A a)ψ A b) = Ab Aa = Ab a) = b a = ab. 10-1

2 3. Ist d N und sind ϕ, ψ : R d R d zwei Bewegungen so ist auch ψ ϕ eine Bewegung, denn für alle a, b R d haben wir ψϕa))ψϕb)) = ϕa)ϕb) = ab. 4. Sind a R 2 und φ R so ist die Drehung D φ a) eine Bewegung. Zunächst gilt nämlich ) ) cos φ sin φ cos φ sin φ DφD t φ = sin φ cos φ sin φ cos φ ) sin 2 φ + cos = 2 φ 0 0 sin 2 φ + cos 2 = 1, φ d.h. D φ ist eine orthogonale Matrix. Nach 1) und 2) ist D φ a) damit die Hintereinanderausführung dreier Bewegungen, also nach 3) selbst eine Bewegung. Als ein weiteres Beispiel wollen wir die Spiegelungen an Hyperebenen konstruieren. Seien d N und h R d eine Hyperebene. Für x h setzen wir dann σ h x) := x. Ist x R d \h so bezeichne l das Lot von x auf h, p den Lotfußpunkt von x auf h und σ h x) l sei dann der Punkt der durch Abtragen der Strecke [x, p] in l auf der anderen Seite von h entsteht, d.h. es ist σ h x) l auf der anderen Seite von h als x mit px = pσ h x). Wir behaupten das die so definierte Abbildung σ h : R d R d dann eine Bewegung ist. Hierzu wähle einen Normalenvektor u auf h und dann gibt es ein c R mit h = {x R d u x = c}. Die beiden durch h gegebenen Halbräume sind dann h + = {x R d u x c} und h = {x R d u x c}. Sei nun x R d \h gegeben. Ist p der Lotfußpunkt von x auf h so gilt x p Rh) also ist x p Rh) = Ru und wir erhalten x = p + tu für ein t R. Dann ist l = p + Ru das Lot von x auf h. Wir erhalten den Punkt y := p tu l und wegen u p = c sind u x = c+t und y u = c t also ist sign u x c) sign u y c) und somit liegen x und y auf verschiedenen Seiten von h. Außerdem ist py = tu = t = tu = px, also ist σ h x) = y. Dies können wir wegen y = p tu = p + tu 2tu = x 2 u x c)u = x 2 u x u + 2cu als σ h x) = x 2 u x u + 2cu schreiben und diese Formel gilt auch im Fall x h. Beachten wir nun das für jedes x R d stets u x u = u u x = uu t x 10-2

3 gilt, so folgt für x R d auch σ h x) = 1 2uu t )x + 2cu = S u x + 2cu mit der Spiegelungsmatrix S u := 1 2uu t. Wegen S t us u = 1 2uu t ) 2 = 1 4uu t + 4uu t uu t = 1 4uu t + 4 u 2 uu t = 1 ist S u eine orthogonale Matrix, nach den obigen Aussagen 1,2,3) ist σ h also eine Bewegung. Beachte das sich all diese Beispiele von Bewegungen aus einer Translation und einer linearen Abbildung zusammensetzen, und wir werden nun zeigen das dies tatsächlich für alle Bewegungen zutrifft. Wir behandeln zunächst den linearen Fall, nehmen also an das unsere Bewegung den Nullpunkt fixiert. Lemma 1.35 Bewegungen und orthogonale Matrizen) Seien d N und ϕ : R d R d eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: a) Die Abbildung ϕ ist eine Bewegung mit ϕ0) = 0. b) Für alle x, y R d gilt ϕx) ϕy) = x y. c) Es gibt eine orthogonale Matrix A O d R mit ϕx) = Ax für alle x R d. Beweis: a)= b). Zunächst gilt für jedes x R d auch ϕx) = ϕx)ϕ0) = x0 = x. Für alle x, y R d haben wir x y 2 = x 2 + y 2 2 x y und dies liefert eine sogenannte Polarisationsformel x y = 1 2 x 2 + y 2 x y 2) = 1 2 Mit dieser Formel folgt nun für alle x, y R d auch ϕx) ϕy) = 1 2 ϕx) 2 + ϕy) 2 ϕx)ϕy) 2) = 1 2 x 2 + y 2 xy 2). x 2 + y 2 xy 2) = x y. b)= c). Bezeichne e 1,..., e d die Standardbasis des R d. Für alle 1 i, j d gilt dann ϕe i ) ϕe j ) = e i e j = δ ij, also ist auch ϕe 1 ),..., ϕe d ) eine Orthonormalbasis des R d. Die Matrix A mit Spalten ϕe 1 ),..., ϕe d ) ist dann eine orthogonale Matrix und für jedes x R d gilt ϕx) = d ϕe i ) ϕx) ϕe i ) = i= d e i x ϕe i ) = Ax. i=1

4 c)= a). Dies ist klar nach dem obigen zweiten Beispiel. Durch Komposition mit einer Translation läßt sich der allgemeine Fall nun auf das eben bewiesene Lemma zurückführen. Satz 1.36 Bestimmung der Bewegungen) Seien d N und ϕ : R d R d eine Abbildung. Dann ist ϕ genau dann eine Bewegung wenn es eine orthogonale Matrix A O d R und ein u R d mit ϕx) = Ax + u für alle x R d gibt. In diesem Fall ist ϕ bijekiv und auch ϕ 1 ist eine Bewegung. Beweis: Zunächst nehme an das ϕ eine Bewegung ist und setze u := ϕ0) R d. Nach den obigen Beispielen ist auch ψ : R d R d ; x ϕx) u eine Bewegung und es gilt ψ0) = ϕ0) u = 0, also gibt es nach Lemma 35 eine orthogonale Matrix A O d R mit ψx) = Ax für alle x R d. Für jedes x R d ist damit auch ϕx) = ψx) + u = Ax + u. Nun gebe es umgekehrt A O d R und u R d mit ϕx) = Ax + u für alle x R d. Nach unseren obigen Beispielen ist ϕ dann eine Bewegung und weiter ist ϕ bijektiv mit ϕ 1 x) = A 1 x u) für alle x R d, d.h. auch ϕ 1 ist eine Bewegung. Wir wollen nun die Bewegungen des R 2 explizit bestimmen. Wir kennen bereits Translationen, Drehungen und Geradenspiegelungen, es gibt allerdings noch einen weiteren Typ von Bewegungen des R 2. Gegeben seien eine Gerade l R 2 sowie ein Vektor 0 u Rl). Dann nennen wir die Hintereinanderausführung der Geradenspiegelung an l und der Translation um u eine Gleitspiegelung, also σ l.u : R 2 R 2 ; x σ l x) + u. Manchmal ist es dabei praktisch auch die Geradenspiegelung σ l = σ l,0 als eine Gleitspiegelung zu interpretieren. Für die Klassifikation der ebenen Bewegungen können wir diese in zwei Typen unterteilen, zum einen die eigentlichen Bewegungen und zum anderen diejenigen die einen Spiegelungsanteil enthalten. Definition 1.23 Eigentliche Bewegungen der Ebene) Eine Bewegung ϕ des R 2 heißt eigentlich, oder orientierungserhaltend, wenn für jede positiv orientierte affine Basis a, b, c des R 2 auch ϕa), ϕb), ϕc) eine positiv orientierte affine Basis des R 2 ist. Ob eine Bewegung eigentlich ist oder nicht läßt sich an der Determinante des linearen Anteils ablesen. Beachte hierzu das eine orthogonale Matrix A O d R immer die Determinante +1 oder 1 hat, denn aus A t A = 1 folgt auch 1 = deta t A) = det A) 2. Lemma 1.37 Bewegungen der Ebene) Seien A O 2 R eine orthogonale 2 2-Matrix, u R 2 und betrachte die Bewegung ϕ : R 2 R 2 ; x Ax + u. a) Genau dann ist ϕ eigentlich wenn det A = 1 ist. 10-4

5 b) Ist ϕ nicht eigentlich so ist det A = 1 und für jede positiv orientierte affine Basis a, b, c des R 2 ist ϕa), ϕb), ϕc) eine negativ orientierte affine Basis des R 2. c) Für alle a, b, c R 2 mit b a, c gilt ϕa)ϕb)ϕc)) = abc). Beweis: a,b) Dies ist klar nach Aufgabe 19.a). c) Zunächst gilt nach Lemma 35 und mit Satz 31 folgt ϕa) ϕb) ϕc) ϕb) = Aa b) Ac b) = a b c b ) ϕa) ϕb) ϕc) ϕb) ϕa)ϕb)ϕc)) = arccos ϕa)ϕb) ϕb)ϕc) ) a b c b = arccos = abc). ab bc Wir wollen noch etwas Terminologie einführen. Ist ϕ : R d R d eine Bewegung so heißt ein Punkt x R d ein Fixpunkt von ϕ wenn ϕx) = x ist und eine Gerade l R 2 heißt eine Fixgerade von ϕ wenn ϕl) = l ist. Beachte das eine Fixgerade nicht aus Fixpunkten bestehen muss, beispielsweise hat eine nicht identische Translation keine Fixpunkte sie besitzt aber Fixgeraden. Ein Parallelbüschel P im R d ist eine Äquivalenzklasse der Parallelitätsrelation auf der Menge der Geraden im R d, also eine Menge der Form P = {g R d g ist eine Gerade mit l g} für eine fixierte Gerade l R d. Da Parallelität die Gleichheit der Richtungen bedeutet kann man P auch in der Form P = {g R d g ist eine Gerade mit Rg) = U} = {a + U a R d } für einen eindimensionalen Untervektorraum U des R d schreiben, man nennt P dann auch das Parallelbüschel in Richtung U. Ein Punktbüschel P ist die Menge aller Geraden durch einen fixierten Punkt, es soll also einen Punkt p R d mit P = {g R d g ist eine Gerade mit p g} geben. Damit steht alles bereit den Hauptsatz über ebene Bewegungen zu behandeln. Satz 1.38 Satz von Chasles) Sei ϕ eine Bewegung des R 2 und bezeichne F die Menge der Fixpunkte sowie L die Menge der Fixgeraden von ϕ. Dann liegt genau einer der folgenden Fälle vor: 10-5

6 a) Es ist F = und L ist ein Parallelbüschel. Dann ist ϕ = τ u eine Translation für ein 0 u R 2. Die Bewegung ϕ ist eigentlich und L ist das Parallelbüschel in Richtung Ru. b) Es sind F = und L = 1. Dann ist ϕ = σ l,u eine Gleitspiegelung für eine Gerade l R 2 und ein 0 u R 2 mit u Rl). Die Bewegung ϕ ist nicht eigentlich und es gilt L = {l}. c) Es sind F = 1 und L ist ein Punktbüschel. Dann ist ϕ = D π a) die Punktspiegelung an einem Punkt a R 2. Die Bewegung ϕ ist eigentlich mit ϕx) = 2a x für alle x R 2 und wir haben F = {a} und L ist die Menge aller Geraden durch a. d) Es ist F = 1 und L =. Dann ist ϕ = D φ a) eine Drehung mit einem Punkt a R 2 und einem φ 0, 2π) mit φ π. Die Bewegung ϕ ist eigentlich mit F = {a}. e) Die Menge l := F ist eine Gerade und es gilt L = {l} {g R 2 g ist eine Gerade mit l g}. Dann ist ϕ = σ l eine Geradenspiegelung und keine eigentliche Bewegung. f) Es ist F = R 2 und L ist die Menge aller Geraden im R 2. Dann ist ϕ = id R 2 eigentliche Bewegung. eine Beweis: Die sechs Fälle schließen sich gegenseitig aus, es ist also nur zu zeigen das stets einer dieser Fälle vorliegt. Nach Satz 36 existieren eine orthogonale 2 2-Matrix A O 2 R und ein u R 2 mit ϕx) = Ax + u für alle x R 2. Dann ist F = {x R 2 ϕx) = x} = {x R 2 1 A)x = u} und sind a R 2, v R 2 mit v = 1 und g := a + Rv so ist genau dann g L wenn g = ϕg) = Aa + u) + RAv) gilt und dies ist äquivalent zu Av Rv, d.h. v ist ein Eigenvektor von A, und u 1 A)a Rv. Schreibe nun ) a b A = also c d ) a c = A t A = b d ) ) a b = c d a 2 + c 2 ab + cd ab + cd b 2 + d 2 und wir haben a 2 + c 2 = b 2 + d 2 = 1 und ab + cd = 0. Insbesondere existiert ein 0 φ < 2π mit a = cos φ und c = sin φ. Wir unterscheiden nun zwei Fälle. Fall 1. Zunächst sei det A = 1 also ad bc = 1 und nach Lemma 37.a) ist ϕ dann eine eigentliche Bewegung. Es ist ad = 1 + bc und wir erhalten 0 = abd + cd 2 = 1 + bc)b + cd 2 = b + b 2 + d 2 )c = b + c, also ist c = b = sin φ. Wir setzen diesen Beweis dann in der nächsten Sitzung fort. ) 10-6