2.1 Voraussetzungen aus der Analytischen Geometrie

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1 2 Kinematik im E n 2.1 Voraussetzungen aus der Analytischen Geometrie (AG) Bewegungen E n... n-dimensionaler euklidischer Raum Bewegung: Abbildung so dass σ : E n E n, σ(p ) =: P, d(p, Q ) = d(p, Q) P, Q E n. Dabei... d(p, Q)... Abstand von P und Q σ ist injektiv. Aus der AG weiß man: σ ist bijektiv. Die Bewegungen des E n bilden eine Gruppe. Parallelentreue: Bilder paralleler Geraden sind parallele Geraden. Winkel bleiben erhalten.

2 2.1.2 Kartesische Koordinatensysteme Der E n ist ein Punktraum. Dazu gehört ein n- dimensionaler euklidischer Vektorraum (ein n-dim. euklid. VR). Punkte kann man nicht addieren. Vektoren kann man addieren und subtrahieren. Zwei Punkte kann man subtrahieren. Rechenregeln bei der Vektorrechnung sind einfach. Rechenregeln bei der Rechnung mit Punkten: Es ist besser, wenn man sie nicht braucht. Es gibt keinen ausgezeichneten Punkt. Es gibt einen ausgezeichneten Vektor, den Nullvektor. Zu je zwei Punkten P, Q gibt es eine Bewegung, die P auf Q abbildet. Der Nullvektor bleibt bei jeder strukturerhaltenden Vektorraum-Abbildung fest (also bei jeder (bijektiven) linearen Abbildung).

3 Punkt O E n (Koordinatenursprung), (Rechts-)Orthonormalbasis ((Rechts-)ONB) (e 1, e 2,..., e n ) des zugehörigen VRes K := (O; e 1, e 2,..., e n )... kartesisches (Rechts-)Koordinatensystem des E n (kart. Rechts-KS des E n ) X E n = OX = n i=1 x i e i x i... Koordinaten von X bzgl. K X = x 1 x 2. x n = x x... Koord.-Vektor von X bzgl. K Bezeichnung für Vektor (ohne KS): x, y,..., u, v,..., a, b,...

4 2.1.3 Koord.-Darst. von Bewegungen Aus der AG: Eine Bewegung σ : E n E n, σ(x) = X, besitzt bezüglich eines kart. KS eine Darstellung: mit x = A x + b A R n n fest, A T A = E = , b R n fest Bem.: A T A = E det(a) = ±1 Die Umkehrung gilt nicht! det(a) = eigentliche Bewegung A = E... Translation det(a) = 1, b = o... Drehung um O det A = 1, F Fixpunkt... Drehung um F det A = 1, R Fixpunktraum... Drehung um R

5 2.1.4 Orthogonale Matrizen A x = λ x (λ x) T (λ x) = λλ x T x (A x) T A x = x T A T A x = x T x Satz : Ist λ ein Eigenwert (EW) einer reellen orth. Matrix, so ist λ = 1. Zur Berechnung der EWe von A: 0 = det(a λe) =: p(λ)... Polynom in λ mit reellen Koeffizienten. Mit λ ist auch λ ein EW von A (mit derselben algebraischen Vielfachheit). Falls n ungerade ist, hat p eine (mindestens!) reelle Nullstelle. Satz : Jede reelle orth. Matrix ungerader Reihenzahl besitzt 1 oder -1 als EW.

6 det(a) = det(a λe) λ=0 = λ i EW von A (λ i λ) λ=0 = λ i λ i EW von A Satz : Jede reelle eigentliche orthogonale Matrix ungerader Reihenzahl besitzt 1 als EW Sätze über Bewegungen In diesem Abschnitt sei stets σ : E n E n, σ : X X eine Bewegung mit der Koord.-Darst. x = A x + b. X ist Fixpunkt von σ x = A x+ b (A E) x = b Satz : σ besitzt einen Fixpunkt Rg(A E, b) = Rg(A E). Bsp : In E 2 : Drehung um Punkt; in E 3 : Drehung um Gerade Bsp : In jedem E n gibt es fixpunktfreie Bewegungen, z.b. die Translationen mit Schiebvektor o.

7 Kann man Schraubungen verallgemeinern? Sei σ eine Bewegung, die auf einem Unterraum T k E n wie eine Schiebung τ wirkt: σ T k = τ T k. Dann ist σ = δ τ mit δ := σ τ 1. Saz : Besitzt σ eine Fixgerade g, aber keinen Fixpunkt, so ist σ = δ τ, wobei τ Schiebung längs g ist und der Fixpunktraum von δ die Gerade g enthält. Satz : Wirkt σ auf einer Geraden g wie eine Translation id, so besitzt σ eine Fixgerade (nämlich g), aber keinen Fixpunkt. Bew.: (mit Sizze!) Liegt ein Fixpunkt P Normalenhyperebene ν(p ) von g durch P, und ist ν(p ) g =: {S}, so liegt P auch in ν(s) und damit P = σ(p ) ν(σ(s)) ν(s), also ν(s) ν(σ(s)) =. Widerspruch! in der

8 Wann hat σ eine Fixgerade? Ansatz: g : x = p + ν q ( q o) g : x = A p + b + νa q Notwendig und hinreichend für g = g ist: (1) q EV von A (A q = λ q, λ R) (2) A p + b = p + t q, (σp g) Satz : σ besitzt eine Fixgerade g A besitzt einen EV q zum EW 1 oder -1, so dass gilt: Rg(A E) = Rg(A E, b + t q) für mindestens ein t R. Bsp : Im E 3 : Drehung um eine Gerade Schraubung

9 Satz : Besitzt σ einen Fixpunkt P und A den Eigenwert λ = 1 oder λ = 1, so besitzt σ eine Fixgerade durch P, die sogar Fixpunktgerade ist, falls λ = 1. Bew.: Sei q EV zum EW λ. Für die Punkte der Geraden gilt dann: g : x = p + ν q x = A ( p + ν q) + b = A p + b + ν A q = p + (νλ) q. Mit ν durchläuft auch νλ ganz R. Ist λ = 1, so ist x = p + ν q = x für alle x g.

10 Satz : Sei σ eine gleichsinnige Bewegung eines euklidischen Raumes E n mit ungerader Dimension n. Besitzt σ einen Fixpunkt P, so besitzt σ eine Fixpunktgerade g durch P, ist also eine Drehung um g. (Für n = 3: Euler 1776, daher Satz von Euler) Beweis: Sei σ gleichsinnig und n ungerade. Nach Satz besitzt dann A den EW 1. Nach Satz folgt daraus die Behauptung. Nun besitze σ eine Fixgerade g aber keinen Fixpunkt. Gibt es weitere Fixgeraden?

11 Sei h g eine weitere Fixgerade. Dann ist g h =. (Jeder Punkt g h wäre ein Fixpunkt von σ.) Falls g und h windschief: g h spannt einen dreidimensionalen Unterraum (UR) des E n auf. In diesem existiert das Gemeinlot l von g und h, und es gilt: σ(g) = g, σ(h) = h σ(l) = l. Damit wäre g l ein Fixpunkt von σ. Widerspruch! Möglich ist also nur: g h. Dann gilt: g h spannt eine zweidimensionale Ebene in E n auf, die längs g translatiert wird. Satz : Besitzt σ eine Fixgerade aber keinen Fixpunkt, so erfüllen alle Fixgeraden von σ einen Unterraum T k des E n, auf dem σ wie eine Schiebung längs g wirkt.