43911: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 2015 Lösungsvorschlag

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1 Dr. Erwin Schörner 439: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 5 Lösungsvorschlag I.. Für n N mit n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem in den n Unbekannten x,..., x n mit den n Gleichungen k n x j x j = für k =,,..., n Gleichung bis n j= j=k+ n x j = Gleichung n j= zu betrachten; es besitzt damit die erweiterte Koeffizientenmatrix A b = R n n Subtrahiert man zunächst Gleichung n von Gleichung n, dann Gleichung n von Gleichung n, usw., dann Gleichung von Gleichung 3 und schließlich Gleichung von Gleichung, so erhält man A b = A b ; multipliziert man nun Gleichung bis Gleichung n mit dem Faktor und addiert diese n Gleichungen zu Gleichung, so ergibt sich A b... = E n e

2 Damit besitzt das gegebene lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, nämlich x = e R n, und die Lösungsmenge ist L = {e }. I.. Im reellen Vektorraum P 3 = {p PolR Gradp 3} = { a 3 X 3 + a X + a X + a a 3, a, a, a R } aller Polynome p PolR mit Gradp 3 ist die Teilmenge zu betrachten. U = {p P 3 p = } a Der Nachweis, daß U ein Untervektorraum von P 3 ist, erfolgt über das Unterraumkriterium: Für das Nullpolynom p P 3 gilt p = ; damit ist p U, also U. Für alle p, q U gilt p, q P 3 mit p = und q = ; damit ist p + q P 3 mit p + q = p + q = + =, also p + q U. Für alle p U und λ R gilt p P 3 mit p = ; damit ist λ p P 3 mit λ p = λ p = λ =, also λ p U. b Für alle p = a 3 X 3 + a X + a X + a P 3 mit a 3, a, a, a R gilt p U p = a a + a 3 + a = a 3 + a + a + a = a = a 3 + a + a p = a 3 X 3 + a X + a X a 3 + a + a p = a X + a X + a 3 X 3 ; damit ist U genau die Menge der Linearkombinationen von X, X und X 3, so daß diese Polynome ein Erzeugendensystem von U bilden. Zum Nachweis ihrer linearen Unabhängigkeit seien λ, λ, λ 3 R mit λ X + λ X + λ 3 X 3 = ; damit gilt λ 3 X 3 + λ X + λ X λ 3 + λ + λ =, und der Koeffizientenvergleich liefert λ 3 = bei X 3, λ = bei X und λ = bei X. Folglich ist X, X, X 3 eine Basis von U.

3 c Der durch die Basis B aus b gegebene Vektorraumisomorphismus ist ϕ B : R 3 U, a a a X + a X + a 3 X 3, a 3 also mit ϕ B a a = a 3 X 3 + a X + a X a 3 + a + a. a 3 I.3. Für n N und λ R ist die Diagonalmatrix D = λ E n R n n zu betrachten. a Wir zeigen für eine Matrix A R n n : A ist zu D ähnlich A = D. Es ist = trivial: jede Matrix A R n n ist mit P = E n GL n R über P AP = En AE n = E n A = A zu sich selbst ähnlich. Für = sei A eine zu D ähnliche Matrix; damit gibt es eine invertierbare Matrix P GL n R mit A = P DP, und wir erhalten A = P λ E n P = λ R λ P E n P = λ P P = λ E n = D. b Wir zeigen für eine obere Dreiecksmatrix A R n n, deren Diagonaleinträge alle gleich λ sind: A ist diagonalisierbar A ist eine Diagonalmatrix. Es ist = trivial: jede Diagonalmatrix A R n n ist zu sich selbst, also zu einer Diagonalmatrix ähnlich, mithin diagonalisierbar. Für = sei die Matrix A R n n diagonalisierbar; damit ist A zur Diagonalmatrix diagλ,..., λ n R n n ähnlich, wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Für alle t R ist A t E n eine obere Dreiecksmatrix, deren Diagonaleinträge alle gleich λ t sind, und es folgt damit ist χ A t = deta t E n = λ t n ; λ =... = λ n = λ und damit diagλ,..., λ n = λ E n, so daß A zur Matrix D ähnlich ist; gemäß a folgt damit A = D. I.4. Die in Abhängigkeit von den Parametern a, b R gegebene Quadrik Q a,b im R mit Variablen x, y R besitzt die Gleichung a + b x + a + b y + b a xy + b a x + b + a y + a + 4b =

4 und damit x x y Aa,b + t a,b y x + c y a,b = mit der symmetrischen Matrix a + b b a A a,b = R b a a + b sowie t a,b = b a R, und c b + a a,b = a + 4b R. Für a = b ist A a,a bereits eine Diagonalmatrix, für a = b = sogar die Nullmatrix, so daß Q, strenggenommen keine Quadrik ist; wegen der unlösbaren Gleichung = ist Q, die leere Menge. Für a = b besitzt Q a,a die Gleichung a x + a y + a x + 6a y + 5a =, nach Division durch a also x + y + x + 3y + 5 = a bzw. x + x + + y + 3y + 9 = 4 4 a und damit x + + y + 3 = a ; mit der Variablentransformation w = z x + y + 3 ergibt sich und damit für a > in w + z = a w a + z a = die euklidische Normalform eines Kreises sowie für a < in w a + z a = die euklidische Normalform der leeren Menge. Für a b besitzt nun die Matrix A a,b wegen χ Aa,b λ = deta a,b λ E = a + b λ b b a a a + b λ = a + b λ b a = a λ b λ für alle λ R die beiden Eigenwerte λ = a und λ = b; wegen b a b a b a A a,b λ E = I b a b a II I b a II

5 ist v = R ein Eigenvektor von A a,b zum Eigenwert λ = a, und wegen a b b a A a,b λ E = b a a b a b I b a II II I ist v = R ein Eigenvektor von A a,b zum Eigenwert λ = b. Mit der orthogonalen Matrix v P = v, v = O v R und der Diagonalmatrix D a,b = diag λ, λ = a R b gilt dann P A a,b P = D a,b. Mit der Variablentransformation sich die Gleichung u u v P A a,b P v + t a,bp also u a u v + 4b a b v 4b + a u + c v a,b =, x = P y u ergibt v u + a + 4b =, v und damit also a u + b v + 4a u + 8b v + a + 4b =, a u + u + + b v + 4 v + = und damit a u + + b v + = ; mit der erneuten mit der Variablentransformation a w + b z =, w = z wodurch die folgende Fallunterscheidung motiviert wird: Im Falle a > ergibt sich für b > in w a + z b = u + v + ergibt sich

6 die euklidische Normalform einer Ellipse, für b = in w a = die euklidische Normalform eines parallelen Geradenpaars und für b < in w a z b = die euklidische Normalform einer Hyperbel. Im Falle a = ergibt sich für b > in z b = die euklidische Normalform eines parallelen Geradenpaars und für b < in z b = die euklidische Normalform der leeren Menge. Im Falle a < ergibt sich für b > in w a + z b = die euklidische Normalform einer Hyperbel, für b = in w a = die euklidische Normalform der leeren Menge und für b < in w a + z b = die euklidische Normalform ebenfalls der leeren Menge. Damit sind die in a und b gestellten Fragen beantwortet. I.5. In der reellen Ebene R sind die beiden Dreiecke mit den Eckpunkten 3 4 A =, B = und C = und mit den Eckpunkten à =, B = 9 gegeben. und C = 7

7 a Für die beiden Dreiecke und ergibt sich die folgende Skizze: C B Ã C A B b Die drei Punkte A, B, C bilden das gemäß a nicht ausgeartete Dreieck, also ein affines Koordinatensystem von R ; damit existiert aber nach dem Prinzip der affinen Fortsetzung genau eine affine Abbildung f : R R mit fa = Ã, fb = B und fc = C. Für die Matrix M R und den Vektor t R mit fx = M x + t für alle x R gilt damit M A + t = Ã, M B + t = B und M C + t = C. Wegen A = ist zunächst t = Ã = R, 9 woraus sich dann M B = B t = M C = C t = = 9 8 = 7 9 und damit M 3 4 = M B, C = M B, M C = 8

8 ergibt; wegen 3 4 GL R mit 3 4 = 3 4 R 3 erhält man schließlich M = = 3 3 = R.

9 II.. Zu betrachten ist der reelle Vektorraum P = {p PolR Gradp } = { a X + a X + a a, a, a R } zusammen mit der Abbildung L : P R, p p ; p p für p = a X + a X + a P mit a, a, a R gilt wegen p = a + a + a = a sowie und also demnach p = a + a + a = a + a + a p = a + a + a = a a + a, p p = a + a + a a a + a = a, p Lp = = p p a R. a a Wir weisen die Linearität der Abbildung L anhand der Definition nach: Für alle p = a X + a X + a P und q = b X + b X + b P gilt mit p + q = a + b X + a + b X + a + b P Lp + q = a + b a b = + = Lp + Lq; a + b a b damit ist die Abbildung L additiv. Für alle p = a X + a X + a P und λ R gilt λ p = λ a X + λ a X + λ a P mit λ a a Lλ q = = λ = λ Lp; λ a a damit ist die Abbildung L homogen. x b Für jedes R y betrachten wir p = a X + a X + a P mit und es gilt a R beliebig, a = y R und a = x R, Lp = a = a x y = x ; y damit ist L surjektiv, es ist also BildL = R. Mit Hilfe der Dimensionsformel für Untervektorräume ergibt sich folglich dim KernL = dim P dim BildL = 3 =.

10 c Für alle p = a X + a X + a P mit a, a, a R gilt p KernL Lp = damit ist a = a a = und a = a = a = p = a X ; KernL = { a X a R } = X, und wegen X ist X eine Basis von KernL. d Wegen L = a =, a =, a = LX = a =, a =, a = LX = a =, a =, a = = + = + = + ergibt sich als darstellende Matrix von L bezüglich der Basis, X, X von P und der Standardbasis e, e von R dann M = R 3. II.. a Sei V, +, ein reeller Vektorraum mit der Vektoraddition + und der Skalarmultiplikation. Dann heißt eine Teilmenge U V ein Untervektorraum von V, wenn U, +, mit den vererbten Verknüpfungen + und selbst ein reeller Vektorraum ist. b Sei A V ein nichtleerer affiner Unterraum von V ; es existiert also ein Untervektorraum U von V sowie ein p V mit A = p + U = {p + u u U}. Für jedes x A gibt es also ein u U mit x = p + u, und wir zeigen A = x + U durch den Nachweis von zwei Inklusionen: Für sei v A, es gibt also ein u U mit v = p + u; damit ist v = p + u u + u = p + u + u u }{{} x + U. }{{} =x U Für sei v x + U, es gibt also ein u U mit v = x + u; damit ist v = p + u +u = p + u + u }{{} p + U = A. }{{} =x U Dabei geht ein, daß für einen Untervektorraum U von V mit u U und u U auch u ± u U gilt.

11 c Für affine Unterräume A und B von V mit A B gilt insbesondere A und B ; es existieren also Untervektorräume U und U von V sowie p V und p V mit A = p + U und B = p + U. Wegen A B existiert ferner ein p A B, also mit p A und p B, und gemäß b ergibt sich damit und für alle v V gilt damit ist A = p + U und B = p + U, v A B v A und v B v p + U und v p + U v p U und v p U v p U U v p + U U ; A B = p + U U. Da mit U und U auch U U ein Untervektorraum von V ist, ist A B wieder ein affiner Unterraum von V. II.3. a Die Aussage ist sogar für beliebiges n N wahr: ist nämlich A O n R orthogonal, so gilt nach Definition A A = E n, mit dem Determinantenmultiplikationssatz also = dete n = deta A = deta deta, woraus wegen deta = deta schon = deta deta = deta und damit deta = oder deta = folgt. b Die Aussage ist sogar für beliebiges n N wahr: ist nämlich A O n R orthogonal, so gilt nach Definition A A = E n ; ist nun λ R ein Eigenwert von A, so gilt A x = λ x für ein x R n, woraus x x = x E n x = x A A x = x A A x = = A x A x = λ x λ x = λ x x, wegen x x > also = λ und damit λ = oder λ = folgt.

12 c Die Aussage ist falsch: die Matrix A = R ist wegen A A = = = E orthogonal, besitzt aber wegen χ A λ = deta λe = λ λ = λ = λ + > für alle λ R keinen reellen Eigenwert. d Die Aussage ist sogar für beliebiges n N wahr: ist nämlich A O n R orthogonal, so gilt nach Definition A A = E n ; damit ist A invertierbar mit A = A. e Die Aussage ist falsch: die Matrix A O R von c ist orthogonal, wegen A = = A aber nicht symmetrisch. II.4. a Zunächst besitzt das homogene lineare Gleichungssystem A x = wegen 3 A = II 4I I III III I 3 I II III II genau die Lösungen x R 3 mit x 3 = λ R beliebig sowie x + x 3 =, also x = x 3 = λ, und x x 3 =, also x = x 3 = λ, folglich also die Lösungsmenge λ L = λ λ R. λ Für eine Matrix B = s, s, s 3 R 3 3 mit den Spalten s, s, s 3 R 3 gilt demnach AB = O A s, s, s 3 =,, As, As, As 3 =,, As = und As = und As 3 = s L und s L und s 3 L α β γ B = α β γ mit α, β, γ R. α β γ

13 b Jede Matrix B R 3 3 mit AB = O besitzt gemäß a die Gestalt α β γ B = α β γ α β γ mit α, β, γ R; damit gilt α β γ 3 BA = α β γ α β γ α + 4 β + γ α + 5 β + γ 3 α + 6 β + γ = α 8 β γ 4 α β γ 6 α β γ α + 4 β + γ α + 5 β + γ 3 α + 6 β + γ α + 4 β + γ α + 5 β + γ 3 α + 6 β + γ = α + 4 β + γ α + 5 β + γ 3 α + 6 β + γ α + 4 β + γ α + 5 β + γ 3 α + 6 β + γ mit BA = O I α + 4 β + γ = II α + 5 β + γ = III 3 α + 6 β + γ = 4 α =, β γ und wegen II I III 3I können wir etwa α β = mit B = γ 3 wählen. I+ 4 3 II III II R 3 3 \ {O} 3 II.5. a Der in Abhängigkeit vom reellen Parameter t R gegebene Kegelschnitt { } x K t = R x + y + t x y = y besitzt die Gleichung x x y At = y mit A t = t R ; t

14 für t = besitzt A = E bereits Diagonalgestalt, und bei dem Kegelschnitt { } x K = R x + y = y handelt es sich um den Einheitskreis. Für t besitzt die Matrix A t wegen χ At λ = deta t λe = λ t t λ = λ t = = λ t = λ tλ + t für alle λ R die beiden verschiedenen Eigenwerte λ = +t und λ = t; wegen t t t t A t λ E = ist v t t II+I = R ein Eigenvektor von A t zum Eigenwert λ = + t, und wegen t t t t A t λ E = ist v t t II I = R ein Eigenvektor von A t zum Eigenwert λ = t. Mit der orthogonalen Matrix v P = v, v = O v R und der Diagonalmatrix D t = diagλ, λ = gilt P A t P = D t ; die Variablentransformation + t R t x = P y w liefert z x x y At = w z w P A y t P = }{{} z =D t + t w w z = + tw + tz =, t z wodurch die folgende Fallunterscheidung motiviert wird: > t + t < t > Hyperbel = t + t = t > paralleles Geradenpaar < t < + t > t > Ellipse < t < + t > t > Ellipse t = + t > t = paralleles Geradenpaar t > + t > t < Hyperbel

15 b Gemäß a ist K t genau dann eine Ellipse, aber kein Kreis, wenn < t < oder < t < gilt; in diesem Fall ergibt sich die euklidische Normalform w + z =, +t t so daß wir die Hauptachsenabschnitte v a = auf der w Achse R + t v = R sowie b = v auf der z Achse R t v = R erhalten. Für < t < ist + t < < t und damit a = + t > > t = b, so daß die w Achse die große Halbachse von K t ist; da es sich hierbei um die. Winkelhalbierende im x y Koordinatensystem handelt, muß die x Achse um dem Winkel α = π in mathematisch positiver Richtung 4 um den Ursprung gedreht werden, um diese zu überdecken. Für < t < ist + t > > t und damit a = + t < < t = b, so daß die z Achse die große Halbachse von K t ist; da es sich hierbei um die. Winkelhalbierende im x y Koordinatensystem handelt, muß die x Achse um dem Winkel α = 3π in mathematisch positiver Richtung 4 um den Ursprung gedreht werden, um diese zu überdecken.

16 III.. Zu betrachten ist ein euklidischer Vektorraum V, ϕ mit dem R Vektorraum V von dimv < und dem Skalarprodukt ϕ : V V R. Für einen Untervektorraum U V wird U = {v V ϕu, v = für alle u U} definiert; es seien U und W beliebige Untervektorräume von V. a Wir zeigen, daß U ist ein Untervektorraum von V ist, anhand des Unterraumkriteriums: Für V V gilt ϕu, V = für alle u U; damit ist V U. Für alle v, v U gilt v, v V mit ϕu, v = und ϕu, v = für alle u U; für v + v V folgt also ϕu, v + v = ϕu, v + ϕu, v = + = für alle u U, und damit ist v + v U. Für alle v U und λ R gilt v V mit für λ v V folgt also ϕu, v = für alle u U; ϕu, λ v = λ ϕu, v = λ = für alle u U, und damit ist λ v U. Dabei geht bei jeweils die Linearität von ϕ im zweiten Argument ein. b Für jedes v V betrachten wir die orthogonale Projektion u U von v in U; damit gilt u v u, also ϕu, v u = für alle u U, und damit ũ = v u U, so daß wegen v = v u + u = u + ũ U + U zunächst U + U = V folgt. Für alle v U U gilt ferner v U und v U, also ϕv, v = ; da ϕ positiv definit ist, folgt schon v = V und damit dann U U = { V }. Mit der Dimensionsformel für Untervektorräume ergibt sich nun dimv = dimu + U = dimu + dimu dimu U = = dimu + dimu dim{ V } = dimu + dimu, also dimu = dimv dimu.

17 c Für jedes u U gilt gemäß der Definition von U insbesondere da ϕ symmetrisch ist, folgt daraus ϕu, v = für alle v U ; ϕv, u = für alle v U, und damit gilt u U. Demnach ist U U, und wegen dimu = V dimu = V V dimu = dimu b für U b für U folgt daraus schon U = U. d Wir zeigen U +W = U W durch den Nachweis von zwei Inklusionen: Für sei v U + W ; damit gilt ϕx, v = für alle x U + W. Daraus folgt zum einen wegen U U + W schon ϕu, v = für alle u U, also v U, und zum anderen wegen W U + W schon ϕw, v = für alle w W, also v W, insgesamt also v U W. Für sei v U W, also v U und v W ; damit gilt zum einen ϕu, v = für alle u U wegen v U und zum anderen ϕw, v = für alle w W wegen v W, wegen der Linearität von ϕ im ersten Argument demnach insgesamt ϕu + w, v = ϕu, v + ϕw, v = + = für alle u + w U + W, also v U + W. III.. Für die Matrix ist die Abbildung zu betrachten. A = 3 R Φ : R 3 R, ΦX = A X, a Wir weisen die Linearität von Φ anhand der Definition nach: Für alle X, Y R 3 gilt ΦX + Y = A X + Y = A X + A Y = ΦX + ΦY ; damit ist Φ additiv.

18 Für alle X R 3 und λ R gilt damit ist Φ homogen. Φλ X = A λ X = λ A X = λ ΦX; b Zum Nachweis der Surjektivität von Φ sei B = b, b R ; dabei bezeichnen b, b R die beiden Spalten der Matrix B. Wegen RangA = ist die lineare Abbildung l A : R 3 R, l A x = A x, surjektiv; damit gibt es aber s, s R 3 mit l A s = b und l A s = b. Für die Matrix X = s, s R 3 gilt damit ΦX = A s, s = A s, A s = l A s, l A s = b, b = B; folglich ist Φ surjektiv. c Für alle Matrizen X = b, b R 3 mit den Spalten b, b R 3 gilt Wegen A e = A X = E A b, b = e, e A b, A b = e, e A b = e und A b = e. 4 II I II 5 4 ist und wegen A e = λ b = 5 λ mit λ R, 4 λ 4 II I II ist µ b = 5 µ mit µ R, 4 4 µ insgesamt also λ µ B = b, b = 5 λ λ µ mit λ, µ R.

19 III.3. Die in Abhängigkeit von den Parametern λ, µ R gegebene Matrix A λ,µ = λ R 3 3 µ besitzt das charakteristische Polynom t χ Aλ,µ t = deta λ,µ t E 3 = λ t µ t Dreiecks = matrix für alle t R mit den Nullstellen t λ t µ t t =, t = λ und t 3 = µ; dadurch wird die folgende Fallunterscheidung motiviert: Für λ = und µ = besitzt A, = den Eigenwert t = der algebraischen Vielfachheit α = 3; wegen A, t E 3 = ist v =, v = eine Basis des Eigenraums EigA,, t =. Damit ergibt sich die geometrische Vielfachheit γ = mit γ < α, so daß die Matrix A, nicht diagonalisierbar ist. Für λ = und µ besitzt A,µ = µ den Eigenwert t = der algebraischen Vielfachheit α = sowie den einfachen Eigenwert t 3 = µ; wegen A,µ t E 3 = µ II III µ ist v = eine Basis des Eigenraums EigA,µ, t =, und wegen µ A,µ t 3 E 3 = µ

20 ist v = eine Basis des Eigenraums EigA,µ, t 3 = µ. Damit ergibt sich für t = die geometrische Vielfachheit γ = mit γ < α, so daß die Matrix A,µ nicht diagonalisierbar ist. Für λ und µ = besitzt A λ, = λ den Eigenwert t = der algebraischen Vielfachheit α = sowie den einfachen Eigenwert t = λ; wegen A λ, t E 3 = λ I λ II ist v =, v = eine Basis des Eigenraums EigA λ,, t =, und wegen λ λ A λ, t E 3 = λ II III λ ist v 3 = λ eine Basis des Eigenraums EigA λ,, t 3 = λ. Damit ist v, v, v 3 eine Basis von R 3 aus Eigenvektoren von A λ,, so daß die Matrix A λ, diagonalisierbar ist; mit S = S λ, = v, v, v 3 = λ GL 3 R besitzt S A λ, S Diagonalgestalt. Für λ und µ bei λ = µ besitzt A λ,λ = λ λ den einfachen Eigenwert t = sowie den Eigenwert t = λ der algebraischen Vielfachheit α = ; wegen A λ,λ t E 3 = λ II λ I λ II III λ

21 ist v = eine Basis des Eigenraums EigA λ,λ, t =, und wegen λ A λ,λ t E 3 = ist v = λ, v 3 = eine Basis des Eigenraums EigA λ,λ, t = λ. Damit ist v, v, v 3 eine Basis von R 3 aus Eigenvektoren von A λ,λ, so daß die Matrix A λ,λ diagonalisierbar ist; mit S = S λ,λ = v, v, v 3 = λ GL 3 R besitzt S A λ,λ S Diagonalgestalt. Für λ und µ bei λ µ besitzt A λ,µ = λ µ den drei einfachen Eigenwerte t =, t = λ und t 3 = µ; wegen A λ,µ t E 3 = λ II λ I µ II III µ ist v = eine Basis des Eigenraums EigA λ,µ, t =, wegen λ A λ,µ t E 3 = µ λ II III λ µ λ ist v = λ eine Basis des Eigenraums EigA λ,µ, t = λ, und wegen µ A λ,µ t 3 E 3 = λ µ ist v 3 = eine Basis des Eigenraums EigA λ,µ, t 3 = µ. Damit ist v, v, v 3 eine Basis von R 3 aus Eigenvektoren von A λ,µ, so daß die Matrix A λ,µ

22 diagonalisierbar ist; mit S = S λ,µ = v, v, v 3 = λ GL 3 R besitzt S A λ,µ S Diagonalgestalt. III.4. a Eine Ebene F R 3 enthält genau dann die drei Punkte a = 3, b = 3 und c = 4 R 3, wenn sie den Trägerpunkt a sowie die Richtungsvektoren u = b a = und u = c a = R 3 besitzt; da u, u linear unabhängig sind, bilden sie die Basis eines zweidimensionalen Richtungsraums, und folglich ist F eindeutig bestimmt. Es ist offensichtlich ũ = R 3 ein Normalenvektor von F, und wir erhalten für die Ebene F die Gleichung x ũ y = ũ a bzw. x =. z b Der Durchschnitt g = E F der beiden Ebenen E und F besteht genau aus denjenigen Punkten von R 3, die sowohl der Gleichung x + y + 3 z = von E als auch der Gleichung x = von F genügen, und stimmt daher mit der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems überein; wegen 3 E : x + y + 3 z = F : x = I II 3 II I 3 ergibt sich die Gerade g = t g + R u g mit t g = und u g = 3 R 3. Der kürzeste Abstand zwischen der Geraden g und der y Achse h = R u h mit u h = R 3 wird von den beiden Lotfußpunkten x g und x h der

23 gemeinsamen Lotgeraden l realisiert, die offensichtlich den Richtungsvektor u l = R 3 besitzt. Damit ergibt sich x h = λ u h mit λ u h + τ u }{{} l = x g = t g + µ u g, }{{} l g also λ + τ = + µ 3 bzw. τ λ = 3µ ; µ damit ist τ = sowie µ = und λ =, und wir erhalten x g = t g + u g = und x h = u h = und folglich den minimalen Abstand distg, h = distx g, x h = x g x h =. III.5. In Abhängigkeit vom Parameter r R ist der Kegelschnitt K r : + r x + r y r x y + y x = zu betrachten und seine affine Normalform zu bestimmen; dabei ist der Koeffizient von x wie von y nicht parameterfrei. Im Sonderfall r = ergibt sich zunächst mit K : x + y x = x x y = so daß sich mit der affinen Variablentransformation x 4 y =, u = v x 4 y die affine

24 Normalform u v = einer Parabel ergibt. Für r ergibt sich nun r y x y + r y + + rx x = r y + y x + y r y + x + r r r x x r + x + + x r r x + + x = r r + + r x x r x + r y x + r 4 r y x + r + x = 4 r + 4 r x =, 4 r x so daß sich zum einen für r > mit der affinen Variablentransformation u r y x + = r v r x die affine Normalform u + v = einer Ellipse und zum anderen für r < mit der affinen Variablentransformation u r y x + = r v r x die affine Normalform u v = einer Hyperbel ergibt. =