Aufgabenpool. Woche 1 Aussagenlogik. Woche 2 Mengen und Funktionen. Lineare Algebra und Geometrie I SS 2015

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1 Lineare Algebra und Geometrie I SS 05 Woche Aussagenlogik Aufgabenpool Aufgabe #.5 Die Aussage A sei 5 > 9, die Aussage B sei Gerhard Schröder ist eine Frau. Vervollständigen Sie die folgende Wahrheitstabelle. A B A B B A A B A B B A B A Aufgabe #.6 Beweisen Sie, dass die folgenden drei Aussagen: A B, B A und (A B B äquivalent sind. Aufgabe #.7 Beweisen Sie die folgenden Tautologien und logischen Äquivalezen mithilfe einer Wahrheitstabelle: a A (A B B, b (A B (B C (A C, c (A B B A, d A (B C (A B (A C. Aufgabe #.8 Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?, {}, {}, {{}}, {} {{}}, {{}}, { } =. Woche Mengen und Funktionen Aufgabe #.5 Es sei A = {x N x teilt 6}. Wieviele Elemente hat A? Geben Sie A explizit an. Bilden Sie P(A und A A. Wieviele Elemente haben diese Mengen? Es sei nun B = {x N 0 x 5}. Bestimmen Sie A B, B A, B \ A, A \ B. Aufgabe #.6 Für alle n N sei A n = { a n a N }. Bestimmen Sie A 3, A n, A n, A n A m. n N n N Aufgabe #.7 Es seien A, B, C Mengen. Welche der Aussagen sind richtig? (Beweisen Sie, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an! Machen Sie zu jedem Teil eine Skizze. (i A \ (B C = (A \ B (A \ C. (ii A (B \ C = (A B \ (A C. Die Aufgaben aus den Übungsblättern haben hier dieselben Nummern S. /

2 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. / Aufgabe #.8 Welche der folgenden Relationen sind Funktionen von A nach B? (Begründen Sie Ihre Antwort! (i A = B = {, 4, 6}, R = {(,, (4, 4, (, 6}. (ii A = B = R, R = { (x, y R x = y }. (iii A = B = R, R = { (x, y R y = x }. Bestimmen Sie Definitionsmenge und Wertemenge der Funktionen. Aufgabe #.9 Es sei f : R R, x x + x. Begründen Sie, warum f eine Funktion ist. Berechnen Sie f(r und f(a, wobei A = {x R x } ist. Berechnen Sie f ({} und f (B, wobei B = {x R 0 x } ist. Ist f injektiv, surjektiv, bijektiv? Aufgabe #.0 Es seien zwei Funktionen gegeben f : R R g : R R x + x x (, x. Bestimmen Sie, welche der Kompositionen existieren, und geben Sie für diese Kompositionen die Funktionsvorschrift explizit an: f g, g f, f f, g g. Aufgabe #. Es seien A, B, C, D die folgenden Teilmengen von R : A = { (x, y R : y x }, B = { (x, y R : x + y }, C = { (x, y R : y 0 }, D = { (x, y R : x }. Zeichnen Sie die Menge (A B (C D. Aufgabe #. Es seien X, Y Mengen und f : X Y eine Funktion. Zeigen Sie, dass für jede A, B X gilt: f(a B = f(a f(b. Zeigen Sie ferner mit einem Gegenbeispiel, dass diese Aussage falsch ist, wenn man durch ersetzt. Aufgabe #.3 Geben Sie Mengen X und Y und eine Abbildung f : X Y, sowie Teilmengen A X und B Y an mit: Woche 3 Beweistypen, Induktion Aufgabe 3. Trigonometrie f ( f(a A und f ( f (B B. b # Leiten Sie aus den Additiontheoremen für Sinus und Cosinus die folgenden Aussagen her: cos α = cos α sin α, sin α + sin β = sin α + β cos α β, tan α tan β tan(α β = + tan α tan β.

3 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 3/ Aufgabe # 3.5 Beweisen Sie die folgenden Identitäten: a b c n k = ( n. k= n m= n k= (m m = n. k k = n + n. Aufgabe # 3.6 Zeigen Sie mit Induktion: a a n + b n (a + b n für alle n N und alle a, b R mit a, b 0. b n 3 + 4n is für alle n N durch 6 teilbar. Aufgabe # 3.7 Ermitteln Sie die Anzahl d n der Diagonalen (Verbindungsstrecken zwischen zwei Ecken, die keine Kanten sind in einem ebenen n-eck für n 4. Beweisen Sie Ihre gefundene Formel. Aufgabe # 3.8 Zeigen Sie mit Induktion: n a ( k = n + n. b k= n ( + a k = an+ für a. a k=0 c Für eine Menge A mit n Elementen gilt: P(A = n. Aufgabe # 3.9 Gegeben sei ein Dreieck mit Ecken A, B, C und gegenüberliegenden Seiten der Länge a, b, c. Es sei γ der Winkel zwischen den Seiten BC und AC. Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras Woche 4 Komplexe Zahlen Aufgabe 4. Polardarstellung c = a + b ab cos γ. c # Es seien z = z (cos φ + i sin φ, w = w (cos ψ + i sin ψ, w 0, zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass Was bedeutet das geometrisch für z =? z w = z ( cos(φ ψ + i sin(φ ψ. w Aufgabe # 4.5 Es seien z = i + i 3 + i 4, z ( + i = 6 + 5i i 3. Stellen Sie die Zahlen z, z, z + z, z + z, z z, z z und z z in der Form a + ib, mit a, b R, dar.

4 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 4/ Aufgabe # 4.6 Zeigen Sie, dass alle komplexe Zahlen vom Betrag und ungleich als + ix ix, x R, geschrieben werden können. Stellen Sie konkret die Zahlen und ±i in dieser form dar! Aufgabe # 4.7 Skizzieren Sie die Mengen A B und A B, wobei a A = {z C : z } und B = {z C : Re(z + Im(z }, b A = {z C : z + i } und B = {z C : Re(z + Im(z }, c A = {z C : z i } und B = { z C : Re(z + Im(z }. Aufgabe # 4.8 Finden Sie alle Lösungen der Gleichung z 3 = 3 + i. Aufgabe # 4.9 Es seien w = + i i, w = i a Bestimmen Sie die Polardarstellung von w bzw. w. b Lösen Sie die beiden Gleichungen z 5 = w bzw. z 5 = w nach z. Aufgabe # 4.0 Quadratische Gleichungen über C. a Beweisen Sie, dass die quadratische Gleichung x + px + q = 0, p, q C, nur dann reelle Lösungen hat, wenn Im p = Im q = 0 ist. b Es seien p, q C mit (Im p, Im q (0, 0. Zeigen Sie, dass die quadratische Gleichung x + px + q = 0, p, q C keine reelle Lösung hat. Woche 5 R : Basis, Determinante, Geraden, linearen Abbildungen Aufgabe 5.3 Kollineare Punkte. a Es seien a, b, c drei Punkte in R. Zeigen Sie: a, b, c liegen genau dann auf einer Geraden, wenn det(c a, b a = 0 ist. d # Prüfen Sie, ob (3,, (6,, (, 3 und (5, 0 auf einer Geraden liegen. Aufgabe # 5.5 Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mithilfe der Cramerschen Regel. { { { { 3x y = 5 x 3y = 4 5x 7y = x cos α y sin α = cos β a x + y = 5, b 4x 5y = 0, c x y = 0, d x sin α + y cos α = sin β. Aufgabe # 5.6 Hat das Gleichungssystem { x y = c x + y = c, für alle c = (c, c R eine eindeutige Lösung?

5 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 5/ Aufgabe # 5.7 Es sei a = (,, b = (,. a Zeigen Sie, dass (a, b eine Basis von R ist. b Berechnen Sie die Koordinaten von (,, (0,, ( 4, 0 und (, 5 bezüglich der Basis (a, b. Aufgabe # 5.8 Gleichung- und Parameterdarstellung der Geraden. a Bestimmen Sie für die folgenden Geraden je eine Gleichung: (, + R(, 0, (, 4 + R(,, (, + R(,. b Bestimmen Sie die Parameterdarstellung für die folgenden Geraden: x + y = 6, x y = 0, 5y = 5. Aufgabe # 5.9 Es seien a, b R. Zeigen Sie, dass a + Rb genau dann eine Gerade durch (0, 0 ist, wenn det(a, b = 0 ist. Aufgabe # 5.0 Es sei A : R R eine nicht injektive lineare Abbildung, die aber keine Nullabbildung ist. Beweisen Sie: a Ker A := {(x, x A(x, x = (0, 0} ist eine Gerade durch (0, 0. b Das Bild A(R ist ebenfalls eine Gerade durch (0, 0. Woche 6 R : Inverse Matrix, Basiswechsel, Länge, Bewegungen Aufgabe # 6.4 Berechnen Sie die Inversen (falls sie existieren! folgender Matrizen. ( ( ( ( a, b, c, d Aufgabe # 6.5 Es seien a = (,, b = (,, B = (a, b und A = a Zeigen Sie, dass B eine Basis von R ist. b Berechnen Sie B A B. ( Aufgabe ( # 6.6 Es seien a = (,, b = (,, c = (, 3, B = (a, b, C = (c, b und A =. 3 6 a Zeigen Sie, dass B und C Basen von R sind. b Berechnen Sie C A B und B A C. Aufgabe # 6.7 Es seien a, b R mit a = b. Zeigen Sie, dass a b a + b. Zeichnen Sie ein Bild hierzu.

6 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 6/ Aufgabe # 6.8 Es seien ABC ein Dreieck mit Seitenlängen C B = a, C A = b, B A = c und l eine Gerade durch A und B. Es sei D der Fußpunkt von C auf l. Es seien ferner p = D B, q = D A und h = D C. Nehmen Sie an, dass C A C B. a Zeigen Sie, dass h = pq. b Beweisen Sie, dass a = pc und b = qc. Bemerkung: Für eine Gerade l und einen Punkt C mit C / l existiert genau ein Punkt D l, sodass C D ein Normalenvektor von l ist. Den Punkt D nennen wir den Fußpunkt von C auf l. Aufgabe # 6.9 Drehungen und Spiegelungen a Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Spiegelungen eine Drehung ist. b Zeigen Sie, dass man jede Drehung R c,s als Produkt zweier Spiegelungen schreiben kann. Woche 7 R 3 : Skalarprodukt, Länge, Winkel, Geraden und Ebenen Aufgabe 7. Parallelogramm. c # Zeigen Sie, dass ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen stets ein Rechteck ist. Aufgabe 7. Es sei ein Dreieck R 3 mit Ecken gegeben. 0 = (0, 0, 0, u = (,, und v = e # Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt von. Aufgabe # 7.5 a Zeigen Sie, dass für alle a, b R 3 der Cosinussatz gilt: ( 3, 3 +, 3 a b = a + b a b cos (a, b. b Zeigen Sie, dass für alle a, b R 3 die Dreiecksungleichung gilt: a + b a + b. Interpretieren Sie diese geometrisch. Wann tritt Gleichheit auf? Aufgabe # 7.6 Gegeben sei ein Dreieck R mit Ecken 0 = (0, 0, u = (, und v = (3, 0. a Bestimmen Sie die Seitenlängen und Eckwinckel des Dreiecks. b Bestimmen Sie den Höhenvektor von v auf die gegenüberliegende Seite. c Berechnen Sie den Abstand zwischen 0 und der Geraden, die die gegenüberliegende Seite enthält.

7 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 7/ Aufgabe ( # 7.7 Für welche Werte des Parameters r R sind die Geraden G durch 00 ( ( 3 ( Punkte und und G durch Punkte und parallel? Schneiden sich die 0 r beiden Geraden für r = 3? Aufgabe # 7.8 Parallele Ebenen. a Es seien im R 3 drei Ebenen gegeben: {( xy } E = R 3 x 3y + z = sowie z ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( ( 3 E = +R + R und E 3 = + R + R Warum sind E, E und E 3 parallele Ebenen? Sind welche davon gleich? b Es seien im R 3 die Ebene E durch die Punkte (,,, (0,, und (0, 3, sowie die Ebene E = {(x, y, z R 3 3x+y +z = } gegeben. Sind diese Ebenen parallel? Aufgabe # 7.9 Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: x x = 5 x x + x 3 = 4 a x + x + x 3 = b x + x + x 3 = 3x + x 3x 3 = 3 x x + x 3 = 3 c x + x x 3 = x + 3x 3x 3 = 4x x + x 3 = 5 Woche 8 R 3 : Determinante, Durchschnitt von zwei Ebenen (von Ebene und Geraden, Abstand, Matrixprodukt Aufgabe # 8.5 Berechnen Sie Determinanten folgender Matrizen in Abhängigkeit von a, b R: 0 a 0 a 0 0 0, b a + b b. b 0 a 0 Aufgabe # 8.6 Es seien im R 3 die Ebene E durch die Punkte (,,, (,, und (,, 0 sowie die Ebene E = (0, 0, + R (, 0, 0 + R (,, 0 gegeben. a Finden Sie eine Parameterdarstellung sowie eine Gleichung der Ebene E. b Sind die Ebenen E und E parallel? Bestimmen Sie den Durchschnitt E E. Aufgabe # 8.7 Es seien vier Punkte in R 3 gegeben: a = (0, 0,, b = (,, 0, c = (,, 0 und d = (, 0, 3. a Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Ecken a, b, c, d (ein Sechstel des Spatvolumens! und die Flächeninhalte seiner vier Seitenflächen! b Es sei G die Gerade durch b und c. Bestimmen Sie den Abstand zwischen a und G bzw. zwischen d und G. c Berechnen Sie den Abstand zwischen jedem der vier Ecken des Tetraeders und der Ebene, die die gegenüberliegenden Seite enthält. (zwischen jeden der vier Punkte und der Ebene durch den restlichen drei Punkten. d Es sei G die Gerade durch a und b, G die Gerade durch c und d. Bestimmen Sie den Abstand zwischen G und G.

8 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 8/ Aufgabe # 8.8 Beweisen Sie: Der Abstand zwischen einem Punkt p R 3 und einer Geraden a + R b, a, b R 3, b 0, ist gleich b (p a b. Aufgabe # 8.9 Es seien a, b, c, d R 3. Beweisen Sie: a, b, c, d liegen genau dann auf einer Ebene, wenn det(b a, c a, d a = 0 ist. Woche 9 R 3 : lineare Abbildungen, inverse Matrix, Bewegungen Aufgabe 9. Es sei A = 0. Berechnen Sie A mittels 3 iii # der Cramerschen Regel: Man findet die Spalte s i, i {,, 3}, von A als Lösung des Gleichungssystems As i = e i (e i sind die Standardbasisvektoren. ( Aufgabe 9. Es seien in R 3 4 ( ( die Vektoren b =, b = 0, und b 3 = gegeben. ( 3 b Es sei v =. c Es sei w R 3 gegeben, sodass (, 0, die Koordinaten von w bezüglich B sind. {( d # 0 ( ( 0 } Es sei C =,, eine weitere Basis von R 3. Es sei u R 3 gegeben, 0 sodass (,, die Koordinaten von u bezüglich C sind. Bestimmen Sie u sowie die Koordinaten von u bezüglich B. Bestimmen Sie außerdem die Koordinaten von v und w aus Teil b bzw. c bezüglich der Basis C. Aufgabe # 9.5 Zeigen Sie für 3 3 Matrizen A, B: Sp(A B = Sp(B A. (Die Spur Sp(A einer Matrix A ist die Summe der Diagonaleinträge. Aufgabe # 9.6 Berechnen Sie t x (t + x 3 (t, wobei x (t und x 3 (t durch das folgende Gleichungssystem definiert sind: x + tx + t x 3 = t 4 t x + x + tx 3 = t 3 tx + t x + x 3 = 0. Aufgabe # 9.7 Es seien in R 3 die folgenden vier Vektoren gegeben: ( ( 0 ( 0 ( v =, v =, v 3 =, v 4 =. 0 a Wählen Sie drei dieser vier Vektoren, die eine Basis von R 3 bilden. 3 b Berechnen Sie die Koordinaten aller vier Vektoren bezüglich Ihrer Basis aus Teil a. Aufgabe # 9.8 Es bezeichne E = (e, e, e 3 die Standardbasis von R 3. Gibt es eine lineare Abbildung A mit ( 0 ( ( 0 A = e, A = e, A = e 3? 3 3 Falls ja, bestimmen Sie die Matrix dieser Abbildung. Aufgabe # 9.9 Beweisen Sie, dass jede orthogonale Abbildung A : R 3 R 3 linear ist. (Zur Erinnerung: A heißt orthogonal, wenn A(v A(w = v w für alle v, w R 3 gilt und zusätzlich A(0 = 0 ist. 0

9 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 9/ Aufgabe # 9.0 Es sei die Matrix A gegeben mit A = a Beweisen Sie, dass die lineare Abbildung A : R 3 R 3 mit Matrix A orthogonal ist. ( b Es sei v =. Bestimmen Sie A(v. Zeigen Sie, dass A eine Drehspiegelung ist.. Bestimmen Sie die Drehachse und Drehwinkel ϕ sowie die Spiegelungsebene. Leiten Sie her, dass A sogar eine Spiegelung ist. c Geben Sie eine Orthonormalbasis B an, sodass 0 0 BA B = Aufgabe # 9. Es sei A : R 3 R 3 eine orthogonale Abbildung. Zeigene Sie: Ist A = A T, so ist A eine Spiegelung an einer Ebene durch den Ursprung, eine Drehung um 80 oder die Kombination von den beiden. Wie kann man in einem konkreten Fall entscheiden, welche von den drei Möglichkeiten vorliegt? Woche 0 R 3 : Orientierung. Vektorräume, Basen, lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme ( 0 ( ( 0 Aufgabe 0. Es seien die Vektoren u =, v = und w = in R 3 gegeben. a # Finden Sie den Punkt p R w mit minimalem Abstand zu v. Finden Sie den Punkt v, der durch Spiegelung von v and der Geraden R w entsteht. Machen Sie hierzu eine Skizze! Aufgabe 0. Es sei V ein K-Vektorraum, v, w, x V, λ K. Leiten Sie die foglende Aussage aus den Vektorraumaxiomen her. e # ( v = v. Aufgabe # 0.5 Es sei V = R als R-Vektorraum. Beweisen Sie: a Jede Gerade durch den Ursprung ist ein Unterraum von V. b Eine Gerade, die nicht den Ursprung enthält, ist kein Unterraum von V. Aufgabe # 0.6 Es bezeichne Abb(A, R die Menge aller Abbildungen f : A R. 0 a Zeigen Sie, dass Abb(A, R mit Addition (f + g(x := f(x + g(x und Skalarmultiplikation (λ f(x := λ f(x für f, g Abb(A, R, λ R, x A ein R-Vektorraum ist. b Es sei V = Abb(R, R. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen Unterräume von V sind: Zeigen Sie ferner: U W = {0}. U = {f V f(x = f( x für alle x R} und W = {g V g(x = g( x für alle x R}.

10 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. 0/ c Es sei V = Abb(N, R. (Die Elemente von Abb(N, R nennt man auch Folgen. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen U Unterräume von V sind. { } (i U = a V lim a = 0. n (ii U = {a V es gibt ein N N mit a(n = 0 für alle n N}. Aufgabe # 0.7 Es seien im R 4 die folgenden Vektoren gegeben: v = (,,,, v = (4, 4, 0, 0, v 3 = (3, 4,,, v 4 = (, 3,, 0, v 5 = (, 0, 0, 0. a Geben Sie jeweils vier von diesen Vektoren an, die linear unabhängig bzw. linear abhängig sind (mit Begründung!. b Zeigen Sie, dass v v kein Unterraum von V ist, aber v, v 4, v 5 v Unterraum von V ist. Aufgabe # 0.8 Warum sind die folgenden Mengen U Unterräume von V? Geben Sie eine Basis von U an und bestimmen Sie dim U. Ergänzen Sie dann die Basis von U zu einer Basis von V. c V = R 3, U = (, 0,, (, 0,, (,,, ( 0,,. b V = R 4, U = {(a, a b, a c, b + c a, b, c R}. Aufgabe # 0.9 Schnitt und Summe der Unterräume. a Zeigen Sie, dass U = { (x, x, x 3, x 4, x 5 R 5 (x, x, x 3, x 4, x 5 = (x 5, x 4, x 3, x, x } ein Unterraum von R 5 ist. b Berechnen Sie den Durchschnitt U V von U und dem Erzeugnis V = (,,, 0, 0, (,,, 0, 0 und geben Sie eine Basis B von U V an. c Bestimmen Sie Basen C von U und D von V, die B enthalten. d Wenn Sie die im Teil c konstruierten Basen zusammenstellen, erhalten Sie eine Basis C D von U + V. Zeigen Sie dies. Aufgabe # 0.0 Es seien V ein Vektorraum (über R und W, W Unterräume von V. Beweisen Sie, dass W W genau dann ein Unterraum von V ist, wenn W W oder W W gilt. Aufgabe # 0. Gegeben seien jeweils zwei Unterräume U, W V nach a, b, c. Berechnen Sie dim(u + W und dim(u W und geben Sie eine Basis von U + W an. Ergänzen Sie die Basis von U zu einer Basis von U + W. a V = R 3, U = (, 0,, W = (,,, (3,,. b V = R 3, U = (,, 0, (, 0,, W = (0,, 0, (0, 0,. c V = R 4, U = (, 3,, 0, (0, 3, 0,, W = (,,, 0, (3,,, 0.

11 Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool S. / Woche Gleichungssysteme, Matrizen, lineare Abbildungen, Rang, Kern und Bild Aufgabe #.4 a Entscheiden Sie, ob das lineare Gleichungssystem Ax = b über R lösbar ist, indem Sie die Matrix (A b in Zeilenstufenform bringen. Geben Sie die Lösungsmenge an x (i A = 5 3 5, x = x x 3, b = 5. x x (ii A = , x = x x 3, b = x b Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b über R in Abhängigkeit von λ R an. λ x A = λ, x = x, b =. λ x 3 Aufgabe #.5 a Gegeben seien die folgenden Matrizen: 3 3 A = 0 3 0, B = 0, C = Berechnen Sie alle möglichen Produkte von je zwei dieser Matrizen. b Welcher Zusammenhang besteht generell für A R n n zwischen (A T m und (A m T? Berechnen Sie für die Matrix A = die Matrizen A 5 und ( A T 5 mit so wenig Rechenaufwand wie möglich! ( Aufgabe #.6 Bestimmen Sie jeweils den Rang von A, A und A 3 sowie von B, B und B 3, wobei 0 0 A = R 3 3, B = 3 R. 0 3 Aufgabe #.7 Berechnen Sie den Rang der folgenden Matrizen, indem Sie diese auf Zeilenstufenform bringen A = 0 0, A 3 = 0 3 0, A 3 = Aufgabe #.8 Bestimmen Sie je eine Basis von Ker A und Bild A, wobei 0 A = 0 R