Höhere Mathematik I. Variante A

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I WiSe / Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern. Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Bewertung: Bitte nutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben die in der Klausur ausgeteilten Blätter! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Lösungsbogen stehen! Zur Bewertung der einzelnen Teile: I: (Aufgabe I.-I. Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.-II.5 Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüberhinaus können Sie im Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.-III. Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( = 6 ( + =. ( Pkt. Antwort ( ( Punkte. W W. W F. F W 4. F F Antwort ( ( Punkte 5. F - 6. W F. - W Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass n a (4k = n + n für alle natürlichen Zahlen n gilt und k= b n für alle natürlichen Zahlen n durch 6 teilbar ist. (7+5 Pkt. Aufgabe I.: (+4+5 Pkt. a Es sei die Menge M gegeben durch M = {z C z z Re( z + 4 Im(z 4}. Bestimmen Sie alle Elemente der Menge und beschreiben Sie Form und Lage in Worten. b Es sei die Menge M gegeben durch M = { z C arg(z + i π 4 und z + z }. Dabei liegt das Argument im Bereich ( π, π], das heißt arg : C ( π, π]. Bestimmen Sie alle Elemente der Menge und beschreiben Sie Form und Lage in Worten. c Es sei die Menge M gegeben durch M = { z C \ {} z }. Bestimmen Sie alle Elemente der Menge und beschreiben Sie Form und Lage in Worten. Hinweis: Multiplizieren Sie die gegebene Ungleichung zunächst mit z. Aufgabe I.: (++ Pkt. a Bestimmen Sie den Grenzwert lim n ( n n 4. n b Berechnen Sie den Grenzwert der rekursiv definierten Folge (a n n N mit a =, a n+ = Sie dürfen annehmen, dass der Grenzwert existiert. ( an +. c Bestimmen Sie den Grenzwert lim n sin(n 4 +. n

3 Teil II Aufgabe II.: (4++ Pkt. a Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A =. b Die Matrix B = hat die Eigenwerte λ =, λ = und λ = (d.h. ist ein -facher Eigenwert. Berechnen Sie Basen der dazugehörigen Eigenräume. c Gegeben sei die Ebene E = y R y = s / 6 / 6 / 6 Bestimmen Sie die Orthogonal-Projektion von + t 4 / / / auf E., s, t R. Aufgabe II.: (++ Pkt. a Entscheiden Sie, welche der folgenden drei Abbildungen linear sind: x ( (i f : R R, y y + 7z, z z ( ( x x (ii g : R R x, y x y, ( ( x x (iii h : R R,. y 5y + 7 b Sei P n der Raum der Polynome vom Grad höchstens n mit Koeffizienten in R. Entscheiden Sie, welche der folgenden drei Abbildungen linear sind: p( (i f : P 4 R, p(x p(, p( (ii g : P P, p(x p(x + xp(x, (iii h : P P, p(x p(x.

4 c Entscheiden Sie, welche der folgenden drei Abbildungen linear sind: x x (i f : R R, y A y, A R, z z ( ( x x (ii g : R R, b +, b R y y, b, ( ( x x (iii h : R R, c y, c R y. Aufgabe II.: (++ Pkt. a Bestimmen Sie die Normalform der Kurve x + x + x x = 6 im R. b Bestimmen Sie den Typ der in Normalform gegebenen Kurve x 5x + 6 = im R. c Bestimmen Sie den Typ der in Normalform gegebenen Kurve x + x 9 = im R. Aufgabe II.4: (4+6 Pkt. a Geben Sie alle Vektoren a R an, die die folgenden Eigenschaften haben: a (e + e. Die Orthogonal-Projektion von a in die x, y-ebene hat die Länge. Die Orthogonal-Projektion von a in die x, y-ebene bildet mit a den Winkel π 4. b Geben Sie alle Vektoren a span gilt. 5, Hinweis: e, e, e sind die Einheitsvektoren der Standardbasis, also e = e =. an, für die a = 5 und (a, e = π 4, e = und

5 Aufgabe II.5: (+ Pkt. a Zeichnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung in den Einheitskreis ein. z 4 = i. b Zeichnen Sie das Produkt z z aus den beiden im Einheitskreis eingezeichneten Zahlen z, z C ebenfalls in den Einheitskreis. Im i z Re z i Hinweis: Bitte zeichnen Sie die Lösungen in die Einheitskreise auf dem Antwortbogen.

6 Teil III Aufgabe III.: Ordnen Sie den folgenden Aussagen Wahrheitswerte zu. Hinweis: Beachten Sie die Faktoren vor den Matrizen. (++4+ Pkt. a Gegeben sei die Drehmatrix M = Für den Drehwinkel α von M gilt:. α = π. α = π 4. α = π 4. α = π 4 5. α = π 6 6. α = π 7. α = π. α = 5π 6 b Gegeben sei die Drehmatrix M = Eine Drehachse von M ist. d = 5. d =. d = 6. d =. d = 7. d = 4. d =. d = c Der Vektor v entsteht aus dem Vektor u = den Uhrzeigersinn dreht. Es gilt. v = 5. v =. v = 6. v =, indem man u um die z-achse um π 4 gegen. v = 7. v = 4. v =. v =

7 d Es sei Dann gilt. M = ( ( π π M = cos sin ( ( π π sin cos ( ( π π. M = cos sin ( ( π π sin cos ( ( ( ( π π π π cos sin. M = cos sin ( ( π π 4. M = ( ( π π sin cos sin cos. Aufgabe III.: Ordnen Sie den folgenden Aussagen Wahrheitswerte zu. Hinweis: E n bezeichnet die Standardbasis im R n. (++5 Pkt. a Sei A = {a, a, a } eine Basis des R. Ferner sei f : R R eine lineare Abbildung definiert durch f(a =, f(a = und f(a =. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. M(E, f, A =. M(E, f, A = 5. M(E, f, A =. M(E, f, A = 4. M(E, f, A = 6. M(E, f, A = 7. M(E, f, A läßt sich aus den angegebenen Daten nicht berechnen.

8 b Sei A = {a, a, a } mit a =, a = und a = sei f : R R eine lineare Abbildung definiert durch f(a = f(a = 4 4. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen. eine Basis des R. Ferner, f(a = und. Dann bildet. Dann bilden. Dann bilden 4. Dann bilden 5. Dann bilden eine Basis des Bildes von f.,,,, eine Basis des Bildes von f. eine Basis des Bildes von f. und und Dann bilden a, a und a eine Basis des Bildes von f. eine Basis des Bildes von f. eine Basis des Bildes von f. 7. Eine Basis des Bildes von f läßt sich aus den angegebenen Daten nicht berechnen. c Seien B = {b, b, b } und A =, R eine lineare Abbildung definiert durch f = b + b, f, Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen. Basen des R. Ferner sei f : R = 7 b und f = b + b.. M(B, f, A =. M(B, f, A = 5. M(B, f, E = 7. M(B, f, E = 7. M(B, f, A = 4. M(B, f, A = 6. M(B, f, E =. M(B, f, E =

9 Aufgabe III.: (+++++ Pkt. Ordnen Sie den folgenden Aussagen Wahrheitswerte zu. Hinweis: P n bezeichnet den Raum der Polynome vom Grad höchstens n. a Es gilt:. Die Vektoren,, bilden eine Basis des R. ( ( (. Die Vektoren,, bilden ein Erzeugendensystem des R. 4. Die Vektoren, 5 6, 6 können zu einer Basis des R4 ergänzt werden b Es gilt: x. bildet eine Basis des Vektorraums y R x + y + z =, x + y + z =. z. Die Vektoren x + x + x, x + x +, x +, x bilden eine Basis des P.. Die Menge der Vektoren {ax + bx + a, b R} bildet ein Erzeugendensystem des P. c Es gilt:. Die Vektoren,, bilden eine Orthonormalbasis des R.. Die Dimension des von,, 4 aufgespannten Raums ist.. Die Vektoren, lassen sich nur durch einen Vektor der Form, c R\{} c zu einer Basis des R ergänzen. d Es seien n beliebige Vektoren im R n gegeben. Dann gilt:. Diese Vektoren sind immer linear unabhängig.. Diese Vektoren sind immer linear abhängig.. Die lineare Abhängigkeit hängt von den gegebenen Vektoren ab. e Die Vektoren a, b, c R seien linear unabhängig. Dann gilt:. Sowohl a, b als auch b, c sind linear unabhängig.. a, b oder b, c oder a, c sind linear abhängig.. a, c sind linear unabhängig. f Es sei der Nullvektor eines Vektorraumes V und v, w V zwei weitere Vektoren. Dann gilt:. Die Vektoren, v, w sind immer linear unabhängig.. Die Vektoren, v, w sind immer linear abhängig.. Die lineare Abhängigkeit hängt von v und w ab.