Höhere Mathematik II. Variante A

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1 Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 6 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte, Bücher, Mobiltelefone, Smartphones, Laptops und insbesondere Taschenrechner sind nicht erlaubt! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I.-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.-II.3) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.-III.3) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W) oder falsch (F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( Pkt.). 3 = 6. + = 3. Antwort.. Punkte Antwort.. Punkte (i) W W (v) F - (ii) W F (vi) W - (iii) F W (vii) - F (iv) F F (viii) - W Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte inklusive algebraischer Vielfachheit von A = (9+6 Pkt.) b) Gegeben sei die Matrix 8 5 B = Bestimmen Sie eine Matrix V mit V BV = 3. 3 Aufgabe I.: (4+6+5 Pkt.) Es sei A = {a, a, a 3, a 4 } eine Basis des R 4 und B = {b, b } eine Basis des R, wobei gegeben sind. a =, a =, a 3 =, a 4 = und b = Sei f : R 4 R eine lineare Abbildung definiert durch ( ), b = ( ) ( ) ( ) ( ) f(a ) =, f(a ) =, f(a 3 ) =, f(a 4 ) =. Hinweis: Alle Vektoren sind bezüglich der Standardbasen E, E 3 und E 4 gegeben. a) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix M(B, f, A). ( ) 3 b) Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) bezüglich der Basis A und stellen Sie diese Basis von Kern(f) in der Standardbasis E 4 dar. c) Weiter sei g : R R 3 eine lineare Abbildung definiert durch g (( )) = und g Berechnen Sie die Darstellungsmatrix M(E 3, g f, A). (( )) =.

3 Aufgabe I.3: Bestimmen Sie den Wert des (uneigentlichen) Integrals (7 Pkt.) ( x) x dx. Teil II Aufgabe II.: a) Gegeben sei die Kurve ϕ im R 3 durch die Parametrisierung cos(t) ϕ : [5, ] R 3, ϕ(t) = sin(t) t 3 3. sin(t) + t 3 3 Bestimmen Sie die Bogenlänge L der Kurve ϕ. (6+(4+3) Pkt.) b) Gegeben sei die Kurve γ im R durch die Parametrisierung ( ) γ : R R 3, γ(t) = t3 t. 3 t3 + t i) Bestimmen Sie die Krümmung κ(t ) der Kurve γ für t =. ii) Geben Sie den Radius r(t ) und den Mittelpunkt M(t ) des Krümmungskreises für t = an. Aufgabe II.: Gegeben seien die Vektoren b = 7 4 und c =. Finden Sie alle Vektoren a R 3, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllen: ( Pkt.) a = 8, a c, Die Orthogonal-Projektion von a in die x, y-ebene bildet mit b den Winkel π 4. 3

4 Aufgabe II.3: (6+4 Pkt.) a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von den Vektoren,, aufgespannten Unterraums des R 4. b) Sei U ein Unterraum des R 4 mit der Orthonormalbasis,, 6 und 3 v = 4 / U. Bestimmen Sie die orthogonale Projektion des Vektors v auf U. Teil III Aufgabe III.: (5+5 Pkt.) Gegeben sei ein lineares, inhomogenes Gleichungssystem Ax = b mit zugehörigem homogenen Gleichungssystem Ax =, wobei A R n n mit Rang(A) = r und b R n \ {} ist. a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. Ax = b hat genau eine Lösung, falls die Hermitesche Normalform von A die Einheitsmatrix I n ist.. Die Lösungsmenge von Ax = b wird durch n r linear unabhängige Vektoren aufgespannt. 3. Die Lösungsmenge von Ax = b ist immer ein affiner Unterraum von R n. 4. Sei x eine Lösung von Ax = b und x, x seien zwei Lösungen von Ax =. Dann ist x + x + x keine Lösung von Ax = b. b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. Falls r = n gilt, dann hat Ax = nur die Lösung x = (,,..., ) R n.. Die Lösungsmenge von Ax = ist kein affiner Unterraum von R n. 3. Die Lösungsmenge von Ax = ist ein linearer Unterraum von R n. 4. Seien x, ȳ zwei Lösungen von Ax = b und x sei eine Lösung von Ax =. Dann ist x ȳ + x keine Lösung von Ax =. 4

5 Aufgabe III.: (4+5+6 Pkt.) Sei V = R 4 4 der Vektorraum aller 4 4-Matrizen. Gegeben seien die Menge d D = d d 33 d, d, d 33, d 44 R der Diagonalmatrizen in V, d 44 a a a 3 a 4 W = a a 3 a 4 a 33 a 34 a ij R, i j 4 der oberen Dreiecksmatrizen in V, a 44 a U = a a a 3 a 3 a 33 a ij R, j i 4 der unteren Dreiecksmatrizen in V und a 4 a 4 a 43 a 44 a a a 3 a 4 S = a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a ij R, i j 4 der symmetrischen Matrizen in V. a 4 a 4 a 34 a 44 a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. D ist ein Unterraum von V.. W ist kein Unterraum von V. 3. D U ist ein Unterraum von V. 4. S D ist kein Unterraum von V. 5. S W ist ein Unterraum von V. 6. W U ist kein Unterraum von V. b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. dim(d) = 6.. dim(w ) =. 3. dim(u) = dim(s) = dim(v ). 5. dim(s U) = dim(w U) = 4. c) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. V = W + U.. V = W U. 3. V = S + U. 4. V = S U. 5. V = W U. 6. S = W + U. Aufgabe III.3: (5 Pkt.) Sei {u,..., u n } eine beliebige Orthonormalbasis (ONB) des R n, U = (u u... u n ) die Matrix mit den Spalten u,..., u n und b R n. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. U ist symmetrisch.. det(u) =. 3. Die Zeilen von U bilden eine ONB des R n. 4. U = U. 5. U hat nur reelle Eigenwerte. 6. x = U b ist die Lösung von Ux = b. 5