Höhere Mathematik III. Variante A

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III SoSe 215 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner sind nicht erlaubt. Bewertung: Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.1-II.4) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung miteinbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.1-III.3) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W) oder falsch (F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.) = = 3. Antwort Punkte Antwort Punkte (i) W W (v) F - (ii) W F 2 (vi) W - (iii) F W (vii) - F (iv) F F (viii) - W Viel Erfolg! 1

2 Teil I Aufgabe I.1: Gegeben sei die Oberfläche (9+6 Pkt.) H = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z }, mit R R, R >. Weiter sei v : R 3 R 3 ein Vektorfeld definiert durch z y v(x, y, z) = x + z. x y a) Berechnen Sie das Oberflächenintegral (den Fluss) rot(v) do, H wobei der Normalenvektor in nicht negative z-richtung zeigt und rot(v) die Rotation von v bezeichnet. Verwenden Sie dabei nicht den Satz von Stokes. b) Bestätigen Sie das Ergebnis aus Teil a), indem Sie den Satz von Stokes anwenden. Aufgabe I.2: (11 Pkt.) Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Funktionswert von f : R 2 R, (x, y) x, auf der Menge M := {(x, y) R 2 x 2 xy + y 2 12}. Aufgabe I.3: Zeigen Sie mit dem Fixpunktsatz von Banach, dass die Gleichung (8 Pkt.) genau eine Lösung im Intervall [1, 2] besitzt e x = x 2

3 Teil II Aufgabe II.1: Gegeben sei die Menge E := {(x, y, z) T R 3 (x 2) 2 4 } + y 2 + z (5+9 Pkt.) a) Parametrisieren Sie die Menge E mit Hilfe angepasster Kugelkoordinaten. b) Bestimmen Sie das Integral E x d(x, y, z). Hinweis: Es gilt cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ det sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ = r 2 cos θ. sin θ r cos θ Aufgabe II.2: (1 Pkt.) Bestimmen Sie eine allgemeine Lösung der linearen, homogenen Differentialgleichung ẋ(t) = Ax(t) mit x(t) R 3 und der Matrix 1 1 A = 1. 1 Aufgabe II.3: Gegeben sei ein kompakter Körper K, der von den zwei disjunkten Oberflächen M und B begrenzt wird, d.h. es gilt K = M B. Der Fluss I(M) = u do durch die Fläche M mit nach außen M orientierten Normalen sei bekannt mit I(M) = 136π, wobei das Vektorfeld u definiert sei als 3x 2 + y 3 z u(x, y, z) = 2xe z + 2xz. 6xz + y 2 Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss von u durch die Fläche B mit nach außen orientierten Normalen. Aufgabe II.4: Gegeben sei die Funktion f : R 2 R, (x, y) x sin(x + y). Berechnen Sie das Taylorpolynom T 2,( π 2, π 2 ) (x, y) zweiten Grades von f bezüglich des Entwicklungspunktes ( π 2, π ). 2 3

4 Teil III Aufgabe III.1: (4+4+4 Pkt.) Gegeben sei die folgende Funktion f : R 3 R 3, f(s, t, u) = (s, t cos u, t sin u) T und die Punkte a = (, 2, π) T, b = (2,, π) T und c = (2, 2, π 2 )T. a) ist für den Punkt a anwendbar mit Df 1 (x) = 1 und x = f(a). 1 2 ist für den Punkt a anwendbar mit Df 1 (x) = 1 mit x = f(a) Der Satz über ist nicht für den Punkt a anwendbar. b) ist für den Punkt b anwendbar mit Df 1 (y) = 1 mit y = f(b). 1 2 ist für den Punkt b anwendbar mit Df 1 (y) = 1 mit y = f(b) Der Satz über ist nicht für den Punkt b anwendbar. c) ist für den Punkt c anwendbar mit Df 1 (z) = 1 mit z = f(c). 1 2 ist für den Punkt c anwendbar mit Df 1 (z) = 1 mit z = f(c) Der Satz über ist nicht für den Punkt c anwendbar. 4

5 Aufgabe III.2: (6+6 Pkt.) a) Gegeben sei die folgende Differentialgleichung dritter Ordnung y 4y + 9y 1y =. 1. {e 2x, e x sin(2x), e x cos(2x)} ist ein Fundamentalsystem. 2. {e 2x, e 2x sin x, e 2x cos x} ist ein Fundamentalsystem. 3. {e x, sin(2x), cos(2x)} ist ein Fundamentalsystem. 4. {e 2x, e x, xe 2x } ist ein Fundamentalsystem. b) Gegeben sei das Anfangswertproblem { y + 7y + 8y 16y =, y() = 1, y () = 4, y () = 2. Ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung y + 7y + 8y 16y = ist { e x, e 4x, xe 4x}. 1. y(x) = e x + 4e 4x + 2xe 4x ist die Lösung des Anfangswertproblems. 2. y(x) = e x + e 4x + xe 4x ist die Lösung des Anfangswertproblems. 3. y(x) = 2e x e 4x 2xe 4x ist die Lösung des Anfangswertproblems. 4. y(x) = 3e x 2e 4x + xe 4x ist die Lösung des Anfangswertproblems. Aufgabe III.3: Sei die folgende Differentialgleichung xy ( 1 y 1 ) 2 x2 y = gegeben. 1. Die Differentialgleichung ist exakt. 2. y 2 ist ein integrierender Faktor. 3. xy ist ein integrierender Faktor. 4. x 2 ist ein integrierender Faktor. 5. x 1 ist ein integrierender Faktor. 5