Höhere Mathematik I. Variante D

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof Dr E Triesch Prof Dr O Sander Höhere Mathematik I WiSe / 4 Variante D Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke) Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner sind nicht erlaubt Bewertung: Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I-I) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte II: (Aufgabe II-II4) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis -Kästchen des Antwortbogens eintragen Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein III: (Aufgabe III-III) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W) oder falsch (F) zuordnen Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen Es gibt keine Minuspunkte Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( Pkt) = 6 + = Antwort Punkte Antwort Punkte (i) W W (v) F - (ii) W F (vi) W - (iii) F W (vii) - F (iv) F F (viii) - W Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I: (5+7 Pkt) a) Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass n + 7 für alle n N durch 8 teilbar ist b) Sei die Matrix A n R n n mit den Einträgen, k = l, k = l a kl =, k = l +, sonst für k, l n gegeben Das bedeutet zb A = (), A = und A n = für n groß genug Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass det(a n ) = n + für alle n N gilt Hinweis: Zeigen Sie den Induktionsanfang für A und A und entwickeln Sie im Induktionsschritt die Matrix nach der ersten Zeile

3 Aufgabe I: ( Pkt) a) Bestimmen Sie die Eigenwerte (inklusive algebraischer Vielfachheit) der Matrix 4 A = b) Gegeben sei die Matrix B = 6 mit dem charakteristischen Polynom p B (x) = (x + )(x )(x 5) Bestimmen Sie je einen Eigenvektor zu jedem Eigenwert von B c) Gegeben sei die Matrix C = mit den Eigenwerten (einfach) und (zweifach) Eine Basis des Eigenraumes von C zum Eigenwert lautet Die Menge, stellt eine Basis des Eigenraumes von C zum Eigenwert dar Bestimmen Sie eine Matrix P R, so dass P CP = gilt d) Bestimmen Sie den Typ und die Normalform der Kurve im R, die durch die folgende Gleichung beschrieben wird: 8x + x 8x x = 4 Aufgabe I: (5+4 Pkt) a) Finden Sie alle Vektoren v R, die die folgenden Bedingungen i), ii) und iii) erfüllen: i) v liegt im Erzeugnis der Menge,, ii) v ist orthogonal zum Vektor p = und iii) v hat die Länge b) Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von E = v R v = α + β auf die Ebene mit α, β R

4 Teil II Aufgabe II: ( Pkt) Gegeben seien die beiden in der Skizze eingezeichneten Zahlen z, z C Tragen Sie das Produkt in die Skizze auf dem Antwortbogen ein Im(z) z z z z Re(z) Aufgabe II: (++5 Pkt) a) Stellen Sie die komplexe Zahl z = + i in Polarkoordinaten dar b) Bestimmen Sie alle Lösungen z C der Gleichung z = 7e i π c) Bestimmen Sie das geometrische Objekt, das durch die Menge { } M := z C \ {} i z + = festgelegt wird und beschreiben Sie dessen Lage im Koordinatensystem Hinweis: Multiplizieren Sie die gegebene Gleichung zunächst mit z

5 Aufgabe II: (+4++ Pkt) Es sei P der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in R und bezeichne P n P den Unterraum der Polynome vom Grad höchstens n (mit n N) Bestimmen Sie die Dimension der Unterräume von P, die von den angegebenen Mengen erzeugt werden a) A = {(x )(x ), (x )(x 4), (x 4)(x 5)} b) B = {p P 4 p() = } c) C = {, x, x, x + x, + x + x + x } d) D = {4x + 4x + 4, 6x + 4x +, x + 4x + 6} Aufgabe II4: (+(+4)+4 Pkt) Hinweis: E n bezeichnet die Standardbasis des R n a) Sei f : R R eine lineare Abbildung definiert durch (( )) (( f = und f )) = Bestimmen Sie M(E, f, E ) b) Sei g : R R eine lineare Abbildung definiert durch die Abbildungsmatrix M(E, g, E ) = Sei weiterhin B =, Bestimmen Sie i) M(E, g, B) ii) M(B, g, E ), eine Basis des R c) Sei h : R R eine lineare Abbildung definiert durch (( )) ( ) (( 4 h = und h Weiterhin sei C = {( ) (, )) = ( 4 ) )} eine Basis des R Bestimmen Sie M(E, h, C)

6 Teil III Aufgabe III: (5+ Pkt) a) Es sei P der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in R Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen f : P P, p(x) p(x) + x ist eine lineare Abbildung p() g : P R, p(x) p() ist eine lineare Abbildung p() h : P P, p(x) p(x) x ist eine lineare Abbildung b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen x x + y + z j : R R, y 4x + 4y + 4z ist eine lineare Abbildung z 6x + 6y + 6z k : R R, l : R R, x y z x y z x y y z x z ist eine lineare Abbildung x + y + z ist eine lineare Abbildung Aufgabe III: a) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von z C, welches durch die Gleichung + 5i + i z = 6i gegeben ist Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen (4+4 Pkt) Im(z) = 8 5 Re(z) = 45 Im(z) = Re(z) = 45 6 Im(z) = Re(z) = 4 Im(z) = 75 8 Re(z) = 6 b) Bestimmen Sie z C aus der Gleichung z + 5iz z + 4i z = + i Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen z = + i z = + i z = 5 i 4 z = 5i 5 z = + i5 6 z = 5 + i 7 z = 5 + i 8 z = i5

7 Aufgabe III: (++ Pkt) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen a) Es sei eine invertierbare Matrix A R n n gegeben Es gibt ein b R n, sodass das lineare Gleichungssystem Ax = b keine Lösung besitzt Der Rang von A ist gleich n Der Kern von A enthält nur den Nullvektor b) Sei P der Raum der Polynome mit Grad höchstens und Koeffizienten in R Die Menge M := {p P p() =, p() =, p() =, p(4) = 4} sei gegeben M enthält mindestens zwei Elemente M enthält genau ein Element M enthält kein Element c) Sei P der Raum der Polynome mit Grad höchstens und Koeffizienten in R Die Menge M := {p P p() =, p() =, p() = } sei gegeben M enthält mindestens zwei Elemente M enthält genau ein Element M enthält kein Element