Höhere Mathematik I. Variante A

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1 Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe 06 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte, Bücher, Mobiltelefone, Smartphones, Laptops und insbesondere Taschenrechner sind nicht erlaubt! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: Aufgabe I.-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: Aufgabe II.-II.4) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: Aufgabe III.-III.4) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr W) oder falsch F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: Pkt.). 3 = 6. + = 3. Antwort.. Punkte Antwort.. Punkte i) W W 0 v) F - 0 ii) W F vi) W - 0 iii) F W 0 vii) - F 0 iv) F F 0 viii) - W 0 Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: a) Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass 6+4 Pkt.) n k= k k = n!) n n)! für alle n N gilt. b) Zeigen Sie, dass für alle n N die Zahl 3 5 n + durch 4 teilbar ist. Aufgabe I.: Gegeben sei die rekursive Folge a n ) n N0 mit Pkt.) a) Zeigen Sie, dass a n > 0 für alle n N 0 gilt. a 0 =, a n+ = a n a n +. b) Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert a = lim n a n. c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe a n x n. n=0 Aufgabe I.3: 6+7 Pkt.) a) Gegeben sei die Funktion f : R R durch e ) x, x < 0, x + ) fx) =, 0 x <, x )x + ) x, x. Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich von f. b) Gegeben sei die Funktion g : R R durch gx) = { x + x 3, x, lnx 3x + 3), x >. Bestimmen Sie alle x R, für die gx) differenzierbar ist. Geben Sie für diese x die Ableitung g x) an.

3 Teil II Aufgabe II.: a) Bestimmen Sie den Betrag der komplexen Zahl ) 3 3 i z =. + i 3++6 Pkt.) b) Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung z 5 = 9 3 e i 7π 6. c) Skizzieren Sie die folgende Teilmenge M C in das Koordinatensystem auf dem Antwortbogen: { M := z C Re [ i) z ]) } Imz z ) 4 = 0. Aufgabe II.: Gegeben sei die Funktion f : R R mit 5 Pkt.) f x) = e sinx) x. Berechnen Sie das Taylorpolynom T, 0 x) zweiten Grades der Funktion f an der Stelle x 0 = 0. Aufgabe II.3: a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion, fx) = e x cosx)) mit x R. 6+5 Pkt.) b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion gx) = ln x x + ln x, mit x e, ). Aufgabe II.4: a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a n ) n N mit a n = n n 4 + 4n + n Pkt.) b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge b n ) n N mit b n = n cosn) + n n 0n c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe k= ) k k. 3

4 Teil III Aufgabe III.: 3+4 Pkt.) a) Sei a n ) n N eine beliebige Folge mit a n 0 und a n a n+ für alle n N. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. a n ) n N ist konvergent.. lim a n = 0. n b) Sei 3. ) n a n ist konvergent. 4. Es gibt ein M R mit a n M für alle n N. n=0 a k eine beliebige konvergente Reihe mit a k > 0 für alle k N 0. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. a k ist konvergent.. lna k ) ist konvergent a k ist konvergent. 4. ist konvergent. a k ) ) k a k+ ist konvergent. Aufgabe III.: 4 Pkt.) Gegeben sei die Funktion F : R R mit F x) := cosx 3 ) x dt + t 4. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. F x) = + cos4 x 3 ). + x. F x) = 3x sinx 3 ) + cos4 x 3 ) x. + x 3. F x) = 3 cosx ) sinx 3 ) + cos4 x 3 ) x + x. 4. F x) = 3x sinx 3 ) + cos4 x 3 ) x. + x 4

5 Aufgabe III.3: 5+5 Pkt.) Gegeben sei F x) := x 0 ft)dt mit x [0, 5]. Dabei ist ft) definiert durch t, 0 t < π, ft) = sint), π t < 4,, 4 t 5. t a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. F x) ist auf [0, π) stetig, aber unstetig auf dem Interval [0, 5].. F x) ist auf π, 4) differenzierbar, aber nicht differenzierbar auf 0, 5). 3. F ) 3 = F π) =. b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. F 7 ) = cos 7 ).. F 4) = π cos4). 3. F 9 ) = cos4) + ln 9 ) ln 4 4. F 5) = ln 5 ln 4. Aufgabe III.4: 4+6 Pkt.) Gegeben sei die Funktion f : [, ] R mit fx) = arcsin ) x + x. a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. f ist auf 0, ) monoton wachsend.. f ist auf 0, ) monoton fallend. 3. f ist auf, 0) monoton wachsend. 4. f ist auf, 0) monoton fallend. b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:. f hat in 0, ) mindestens eine lokale Extremstelle.. f hat in, 0) mindestens eine lokale Extremstelle. 3. f hat in, ) mindestens eine Nullstelle. 4. f hat in, ) mindestens eine Nullstelle. 5