10 Differenzierbare Funktionen

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1 10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h x 0 +h S\{x 0 } f(x) f(x 0 ) = x x0 lim x S\{x 0 x x } 0 existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Grenzwert Ableitung von f im Punkt x 0. x0 (h) := f(x 0 + h) f(x 0 ) h heißt Differenzenquotient von f im Punkt x 0. Ist T S und T H(T ), so heißt f auf T differenzierbar, falls f in jedem Punkt x 0 T differenzierbar ist Beispiele: (i) Die konstante Funktion f : R R, x f(x) = c (c R gegeben) ist auf R differenzierbar und es gilt f (x) = 0 für alle x R. (ii) Für k N ist die Potenzfunktion f : R R, x x k auf R differenzierbar und es gilt f (x) = kx k 1 für alle x R. (iii) Die Exponentialfunktion f : R R +, x exp(x) ist auf R differenzierbar und es gilt f (x) = exp(x) für alle x R. (iv) Die Logarithmusfunktion f : R + R, x log x ist auf R + differenzierbar und es gilt f (x) = 1 x für alle x R Definition: Es sei S R, x 0 H(S) und ϕ, ψ : S\{x 0 } R Funktionen. Man sagt (Landausches o-symbol). ϕ(x) = o(ψ(x)) für x x 0 : lim x x0 ϕ(x) ψ(x) = Satz: (äquivalente Definition der Differenzierbarkeit) Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Die Funktion f : S R ist im Punkt x 0 differenzierbar, genau dann wenn es ein L R gibt, so dass ( ) f(x 0 + h) f(x 0 ) = L h + o(h) für h 0. Im Fall der Differenzierbarkeit ist f (x 0 ) = L. 1

2 10.5 Satz: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Ist f : S R im Punkt x 0 differenzierbar, dann ist f auch stetig im Punkt x Satz: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S und die Funktionen f, g : S R im Punkt x 0 differenzierbar. Dann ist auch jede der folgenden Funktionen im Punkt x 0 differenzierbar: (i) Für α R : α f mit Ableitung (α f) (x 0 ) = αf (x 0 ). (ii) f + g mit Ableitung (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (iii) f g mit Ableitung (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel). (iv) Für g(x 0 ) 0 : ( f g f g mit Ableitung ) (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g 2 (x 0 ) (Quotientenregel) Beispiele: (i) Jedes Polynom f(x) = n a j x j ist auf R differenzierbar und es gilt f (x) = n ja j x j 1. (ii) Jede rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar. (iii) Die Funktion f(x) = e x log x ist auf R + differenzierbar mit Ableitung f (x) = e x ( 1 log x). x 10.8 Satz: (Kettenregel) Seien S, T R, f : T R; g : S R Funktionen mit g(s) T. Ist x 0 S Häufungspunkt von S, y 0 = g(x 0 ) Häufungspunkt von T, f in y 0 und g in x 0 differenzierbar, dann ist auch f g im Punkt x 0 differenzierbar und es gilt (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). 2

3 10.9 Beispiele: (i) Für a > 0 ist die Funktion h : { R R + x a x auf R differenzierbar mit Ableitung h (x) = a x log a. (ii) Für α R\{0} ist die Funktion h : { R + R + x x α auf R + differenzierbar mit Ableitung h (x) = αx α 1. (iii) Die Funktion h : { R + R + x x x ist auf R + differenzierbar mit Ableitung h (x) = x x (1 + log x) Satz: (Ableitung der Umkehrfunktion) Für S, T R sei f : S T eine bijektive Abbildung. Ist x 0 S Häufungspunkt von S, f in x 0 differenzierbar mit f (x 0 ) 0 und die Umkehrabbildung f 1 : T S im Punkt y 0 = f(x 0 ) stetig, dann ist f 1 im Punkt y 0 auch differenzierbar und es gilt: (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )) Bemerkung: Sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f heißt im Punkt x 0 rechtsseitig (bzw. linksseitig) differenzierbar, wenn f +(x 0 ) := f(x) f(x 0 ) ( lim bzw. f f(x) f(x 0 ) ) x x 0 +0 x x (x 0 ) := lim 0 x x 0 0 x x 0 existiert. Ist f im Punkt x 0 differenzierbar, dann existieren auch f +(x 0 ) und f (x 0 ) und sind gleich. 3

4 10.12 Definition: Es sei S. Die Funktion f hat im Punkt x 0 S ein absolutes (oder globales) Maximum (bzw. Minimum), wenn für alle x S gilt: f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )). f hat in dem inneren Punkt x 0 S 0 ein relatives (lokales) Maximum (bzw. Minimum), wenn es ein δ > 0 gibt, so dass für alle x S U δ (x 0 ) gilt: f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )). Spricht man von einem absoluten/relativen Extremum, so meint man entweder ein absolutes/relatives Minimum oder Maximum Satz: Es sei S R; f : S R im Punkt x 0 S 0 differenzierbar. Hat die Funktion f im Punkt x 0 ein relatives Extremum, dann gilt f (x 0 ) = Satz: (Rolle) Die Funktion f : [a, b] R sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b) mit f(a) = f(b) = 0, dann existiert ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = Satz: (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Die Funktion f : [a, b] R sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar, dann existiert ein x (a, b) mit f(b) f(a) b a = f ( x) bzw. f(b) = f(a) + (b a)f ( x) Satz: Es sei f : [a, b] R stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] und differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b) mit f (x) = 0 für alle x (a, b), dann ist f konstant Satz: Es sei I ein Intervall (wie in 9.22 spezifiziert) und die Funktion f : I R differenzierbar auf I. Ist für alle x I : f (x) > 0 (bzw. f (x) < 0), dann ist f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend) auf dem Intervall I. f (x) 0 (bzw. f (x) 0), dann ist f monoton wachsend (bzw. monoton fallend) auf I. 4

5 10.18 Satz: Es sei I ein Intervall (wie in 9.22 spezifiziert), die Funktion f : I R sei differenzierbar auf I und x 0 I 0 mit f (x 0 ) = 0. f hat im Punkt x 0 ein ein relatives Minimum, wenn das Vorzeichen von f bei wachsendem x an der Stelle x 0 von nach + wechselt. ein relatives Maximum, wenn das Vorzeichen von f bei wachsendem x an der Stelle x 0 von + nach wechselt Beispiele: (einige wichtige Ungleichungen) (i) Es seien a, b > 0, 1 < p <, 1 < q < und 1 p + 1 q = 1, dann gilt: ab ap p + bq q. (ii) Es seien a 1,..., a n, b 1,..., b n R, 1 < p <, 1 < q <, p q Höldersche Ungleichung = 1, dann gilt die (H) n ( n ) 1 ( n ) 1 a j b j a j p p b j q q Für p = q = 2 erhält man die Cauchy-Schwarz Ungleichung: n (C) a j b j ( n )( n ). a 2 j b 2 j Definition: (höhere Ableitungen) Es sei S R, S H(S) und f : S R differenzierbar auf S. f heißt im Punkt x 0 S zweimal differenzierbar, wenn f im Punkt x 0 differenzierbar ist. In diesem Fall heißt f (x 0 ) = (f ) (x 0 ) die zweite Ableitung von f in x 0. Man setzt f (1) = f und definiert induktiv für n 1 f (n+1) (x 0 ) = (f (n) ) (x 0 ), falls f (n) auf S existiert und differenzierbar im Punkt x 0 ist. f heißt n-mal differenzierbar auf S, wenn f (n) auf S existiert. Folgende Bezeichnungen sind üblich: C(S) := {f : S R f ist stetig auf S} heißt Menge der auf S stetigen Funktionen, 5

6 C k (S) := {f : S R f k-mal differenzierbar, f (k) C(S)} heißt Menge der auf S k-mal stetig differenzierbaren Funktionen, C (S) := {f : S R f C k (S) k N} heißt Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen Übung: Die Funktion R R { f : e 1/x für x > 0 x f(x) := 0 für x 0 ist unendlich oft differenzierbar, d.h. f C (R) Satz: (Satz von Taylor) Es seien a, b R, a < b und n N0. Die Funktion f : [a, b] R sei n-mal differenzierbar auf dem Intervall [a, b] und f (n) sei auf [a, b] stetig (d.h. f C n ([a, b])). Die (n + 1)-te Ableitung von f existiere auf dem offenen Intervall (a, b). Für x 0 [a, b] heißt das Polynom T n (x, x 0, f) := f(x 0 ) + f (1) (x 0 ) 1! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Taylorpolynom vom Grad n von f um den Punkt x 0. Für das Restglied (in der Approximation von f(x) durch T n (x, x 0, f)) gilt: Es gibt ein ϑ (0, 1) mit R n (x, x 0, f) = f(x) T n (x, x 0, f) R n (x, x 0, f) = (x x 0) n+1 f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (n + 1)! (Lagrange-Restglied) und es gibt ein ϑ (0, 1) mit (Cauchy-Restglied). R n (x, x 0, f) = (x x 0) n+1 (1 n! ϑ) n f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) Beispiele: (i) Für x > 1 gilt: Es gibt ein ϑ (0, 1) mit log(1 + x) = x x2 2 + x3 xn... + ( 1)n 1 3 n + ( 1)n x n+1 n + 1 (1 + xϑ) n+1 6

7 (ii) Für x ( 1, 1] gilt: (d.h. die Reihe konvergiert) (iii) Es sei α R, dann gilt für x > 1 ( ) ( α α (1 + x) α = 1 + x log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x ) x ( ) ( ) α α x n + x n+1 (1 + ϑx) α n 1 n n + 1 (iv) Es sei α R, dann gilt für x ( 1, 1) (1 + x) α = k=0 ( ) α x k. k Satz: (hinreichende Bedingung für Extrema) Die Funktion f : I R sei auf dem Intervall I (wie in 9.22 spezifiziert) n-mal differenzierbar (n 2). Für x 0 I 0 sei Dann gilt: f (x 0 ) = f (2) (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0; f (n) (x 0 ) 0. (i) Ist n ungerade, dann hat f im Punkt x 0 kein relatives Extremum. (ii) Ist n gerade, dann hat f im Punkt x 0 ein relatives Extremum und zwar ein relatives Maximum, falls f (n) (x 0 ) < 0 relatives Minimum, falls f (n) (x 0 ) > Satz: (Regel von de l Hospital) Es sei a < b ; f, g : (a, b) R differenzierbare Funktionen, so dass g (x) 0 auf (a, b) gilt. Ferner treffe eine der folgenden Annahmen zu (1) lim x a f(x) = 0 und lim x a g(x) = 0 (2) lim x a g(x) = oder lim x a g(x) =. Dann ist f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x), falls der rechtsstehende Grenzwert existiert (im Sinn von Definition 9.1 oder 9.9). Ein entsprechender Satz gilt für x b. 7

8 10.26 Beispiele: x 2 1 (i) lim x 1 log x = lim 2x x 1 1 x (ii) lim x 0 e x2 1 log(1 + x 2 ) = lim x 0 = 2 2xe x2 2x = lim 1+x 2 x 0 e x2 (1 + x 2 ) = Definition: Es sei I ein Intervall (wie in 9.22 spezifiziert). Eine Funktion f : I R heißt konvex auf I, wenn für jedes Intervall [a, b] I (a < b) gilt ( ) für alle t [0, 1] ist f(ta + (1 t)b) tf(a) + (1 t)f(b). Gilt ( ) mit < für t (0, 1) so heißt f strikt konvex auf I. f heißt konkav (bzw. strikt konkav), wenn f konvex (bzw. strikt konvex) ist Übung: Es sei f konvex auf I, dann gilt: n (1) Für alle x 1,..., x n I, λ 1,..., λ n > 0, λ j = 1 gilt ( n ) n f λ j x j λ j f(x j ). (2) f ist stetig auf I 0. (3) Ist x 0 I 0, so existiert ein m R, so dass für alle x I gilt f(x) m(x x 0 ) + f(x 0 ) Satz: Eine differenzierbare Funktion f : I R ist auf dem Intervall I (strikt) konvex, wenn ihre Ableitung (streng) auf I 0 monoton wachsend ist. Eine auf I zweimal differenzierbare Funktion ist (strikt) konvex, falls für alle x I 0 gilt f (x) 0 (f (x) > 0) Beispiel: (i) Die Funktion f : R + R; f(x) = log x ist strikt konvex auf R +. (ii) Es seien x 1,..., x n R +, µ 1,..., µ n R +, n x µ j j n µ j = 1, dann gilt n µ j x j. 8

9 IV. Funktionenfolgen und Funktionenreihen 11 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 11.1 Definition: Es sei = S, (f n ) n N, f n : S R eine Folge von Funktionen. (i) Die Folge (f n ) n N heißt auf S punktweise konvergent, wenn es eine Funktion f : S R gibt, so dass für alle x S gilt lim f n(x) = f(x). n Sprechweise: (f n ) n N konvergiert punktweise gegen f. (ii) Die Folge (f n ) n N heißt gleichmäßig konvergent auf S, wenn es eine Funktion f : S R gibt, so dass gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N, so dass für alle n n 0 und für alle x S gilt: (iii) Die Reihe f n f n (x) f(x) < ε. heißt auf S punktweise (bzw. gleichmäßig konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen ( n f j ) n N punktweise (bzw. gleichmäßig) konvergiert Beispiele: (i) Es seien f n, f : [0, 1] R gegeben durch f n (x) = x2 + n 2 x 4 + nx 1 + n 2 x 2 ; f(x) = x 2 (f n ) n N konvergiert auf [0, 1] punktweise, aber nicht gleichmäßig. (ii) Es seien f n : R R gegeben durch f n (x) = nxe nx2. Die Folge (f n ) n N konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig auf R gegen f 0. Beachte: für jedes δ > 0 konvergiert (f n ) n N gleichmäßig auf [δ, ) Satz: (Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz) Es sei S, (f n ) n N, f n : S R Folge von Funktionen. Die Folge (f n ) n N konvergiert auf S gleichmäßig genau dann, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein n 0 N, so dass f n+p (x) f n (x) < ε für alle n n 0, für alle p N und für alle x S ist. 9

10 11.4 Satz: (Weierstraßkriterium für gleichmäßige Konvergenz von Reihen) Es sei S, (f n ) n N, f n : S R Folge von Funktionen. Ist f n (x) γ n für alle x S und ist γ n konvergent, dann ist f n absolut und gleichmäßig konvergent auf S Satz: Es sei = S; f n, f : S R Funktionen und die Folge (f n ) n N konvergiere gleichmäßig gegen f. Ist x 0 H(S) und existiert lim x x0 f n (x) für jedes n N, dann gilt lim f(x) = lim ( lim f n (x)) = lim ( lim f n (x)). x x 0 x x0 n n x x0 (Insbesondere existieren diese Grenzwerte!) 11.6 Satz: Es sei = S und für n N seien die Funktionen f n : S R stetig im Punkt x 0 S (i) Konvergiert (f n ) n N auf S gleichmäßig gegen f, dann ist auch f in x 0 stetig. (ii) Konvergiert f n gleichmäßig auf S gegen ϕ, dann ist auch ϕ stetig in x Satz: Es sei I endliches Intervall, d.h. von der Form (a, b), [a, b), (a, b] oder [a, b]; für alle n N sei f n : I R auf I differenzierbar und es sei (f n (x 0 )) n N konvergent. Ist die Folge (f n) n N auf I gleichmäßig konvergent, dann ist auch (f n ) n N auf I gleichmäßig konvergent und die Grenzfunktion f := lim n f n auf I differenzierbar mit f = ( lim n f n ) = lim n f n Beispiel: I = [0, ), f n : I R sei gegeben durch f n (x) = 1 n e x2 n 2. Dann gilt: f n konvergiert gleichmäßig auf I gegen 0. f n ist nicht punktweise konvergent Satz: (Kriterium von Abel für gleichmäßige Konvergenz) Es sei S und für n N, a n, b n : S R Funktionen, für die die folgenden Aussagen erfüllt sein mögen. (i) a n ist auf S gleichmäßig konvergent. (ii) Für jedes x S ist (b n (x)) n N eine monotone Folge. (iii) Es existiere ein K > 0 mit b n (x) K für alle n N und für alle x S. Dann ist auch die Reihe a n b n gleichmäßig konvergent auf S. 10

11 12 Potenzreihen In diesem Abschnitt möchten wir spezielle Funktionenfolgen (f n ) n N der Form f n (x) = n a j (x x 0 ) j betrachten! 12.1 Definition und Satz: Es sei x 0 R und für j N0 sei a j R. Eine Reihe der Form a j (x x 0 ) j heißt Potenzreihe mit Koeffizienten a j. Die Zahl R = 1 n lim sup an n heißt Konvergenzradius der Potenzreihe (dabei wird 1 = und 1 0 gilt = 0 gesetzt) und es (i) Ist R = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = x 0. (ii) Ist 0 < R < so konvergiert die Potenzreihe für alle x mit x x 0 < R absolut und divergiert für alle x mit x x 0 > R. Das Intervall (x 0 R, x 0 + R) heißt Konvergenzintervall der Potenzreihe. (iii) Ist R =, so ist die Potenzreihe für alle x R konvergent. (iv) Ist [a, b] (x 0 R, x 0 +R), dann konvergiert die Potenzreihe auf dem Intervall [a, b] gleichmäßig Beispiele: (i) Die Potenzreihe x n hat den Konvergenzradius R = 1; die Reihe konvergiert für x ( 1, 1) absolut und divergiert für x 1. 11

12 (ii) Die Potenzreihe ( 1) n 1 n x n (vgl. Beispiel 10.23) hat den Konvergenzradius R = 1; die Reihe konvergiert für x ( 1, 1], für x ( 1, 1) absolut und divergiert für x (, 1] (1, ). Beachte: es gilt für x ( 1, 1]. (iii) Die Potenzreihe log(1 + x) = ( 1) n 1 n 2 n x n hat den Konvergenzradius R = 1 ; die Reihe konvergiert n 2 2 für x [ 1 2, 1 2 ] absolut und divergiert für x > 1 2. (iv) Die Potenzreihe für alle x R absolut. (v) Die Potenzreihe n=2 x n n! = e x hat den Konvergenzradius R = ; die Reihe konvergiert x n n log n x n hat den Konvergenzradius R = 1; die Reihe konvergiert für x [ 1, 1), für x ( 1, 1) absolut und divergiert für x (, 1) [1, ) Satz: Die Potenzreihe a n x n sei im Punkt x = r > 0 konvergent, dann konvergiert die Reihe auf dem Intervall [0, r] gleichmäßig (ein entsprechender Satz gilt für den Fall, dass die Reihe in x = r konvergiert). Beachte: Für r = R liefert Satz 12.1 (iv) nichts, wohl aber dieser Satz Satz: Die Potenzreihe a n x n habe den Konvergenzradius R, 0 < R, dann hat die durch die Potenzreihe definierte Funktion ( R, R) R f : x f(x) := a n x n die folgenden Eigenschaften: (i) f ist differenzierbar auf dem Intervall ( R, R) und es gilt f (x) = na n x n 1. Die durch gliedweise Differentiation entstandene Potenzreihe (mit Koeffizienten na n, n N) hat wieder den Konvergenzradius R. 12

13 (ii) f ist auf dem Intervall ( R, R) beliebig oft differenzierbar und man erhält die höheren Ableitungen jeweils durch gliedweises Differenzieren. (iii) Für alle k N0 ist f (k) (0) = k!a k. (iv) (Abelscher Grenzwertsatz) Ist die Potenzreihe noch für x = R (bzw. konvergent und erweitert man die Definition von f durch f(r) = a n R n (bzw. f( R) = a n ( R) n ) x = R) dann ist f im Punkt x = R (bzw. x = R) linksseitig (bzw. rechtsseitig) stetig Satz: (Identitätssatz) Es seien f(x) = a n x n, g(x) = b n x n Potenzreihen mit Konvergenzradien R a, R b. Falls ein δ existiert mit 0 < δ < min{r a, R b }, so dass für x < δ gilt f(x) = a n x n = b n x n = g(x), dann gilt für alle n N0 : a n = b n Bemerkung: Sei I ein Intervall. Die Funktion f : I R heißt um den Punkt x 0 I 0 in eine Potenzreihe entwickelbar, wenn es eine Potenzreihe a n (x x 0 ) n mit positivem Konvergenzradius R gibt, so dass für alle x (x 0 R, x 0 + R) I gilt f(x) = a n (x x 0 ) n. Nach Satz 12.5 existiert höchstens eine solche Entwicklung um x 0, f muss notwendigerweise unendlich oft differenzierbar sein und für die Koeffizienten muss gelten: a n = f (n) (x 0 ). n! 12.7 Satz: Es sei I ein Intervall, f : I R, f C (I), x 0 I 0. Die Reihe f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! heißt die Taylorreihe von f um den Punkt x 0. Es gilt f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n n! 13

14 genau dann, wenn für das Restglied in der Taylorformel gilt lim R n(x, x 0, f) = 0. n 12.8 Rechenregeln: Sind f(x) = a n x n, g(x) = b n x n Potenzreihen mit den Konvergenzradien R a, R b > 0, dann sind für x < min{r a, R b } und α R die folgenden Funktionen in eine Potenzreihe entwickelbar (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (a n + b n )x n (ii) (α f)(x) = αf(x) = αa n x n n (iii) (f g)(x) = f(x) g(x) = ( a j b n j )x n Beispiel: (Die Komposition von in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen) Die Reihen a n x n, b n x n haben die Konvergenzradien R a > 0 bzw. R b > 0. Für die durch diese Reihen definierten Funktionen ( R a, R a ) R f : x f(x) = a n x n ( R b, R b ) R g : x g(x) = b n x n gelte b 0 = g(0) < R a, dann lässt sich die Funktion f g in eine Potenzreihe c n x n entwickeln, die mindestens für alle diejenigen x ( R b, R b ) konvergiert, für die b j x j < R a gilt. Man erhält die Koeffizienten c n, indem man die Reihe für g in die Reihe für f einsetzt, ausmultipliziert und nach Potenzen von x ordnet. 14

15 12.10 Beispiel: Ist in Beispiel 12.9 b 0 0, dann ist die Funktion 1/g um x 0 = 0 in eine Potenzreihe entwickelbar. Dazu wendet man 12.9 mit f(x) = (1+x) 1 und g(x) = an und erhält 1 g(x) = 1 b 0 f( g(x)). Wegen 12.8 ist dann auch f/g in eine Potenzreihe entwickelbar und man erhält f(x) g(x) = a nx n b nx = d n n x n für x < δ und δ hinreichend klein. Die Koeffizienten d n bestimmt man aus der Gleichung a n x n = b n x n d n x n = Wegen des Identitätssatzes 12.5 gilt nämlich n ( b j d n j )x n. b j b 0 x j a n = n b j d n j n = 0, 1, 2,... und die Koeffizienten d n können nun rekursiv berechnet werden Beispiel: (Hyperbelfunktionen) (i) Wir definieren für x R die Funktionen cosh x := 1 2 (ex + e x ) (Cosinus hyperbolicus) sinh x := 1 2 (ex e x ) tanh x := sinh x cosh x coth x := cosh x (x 0) sinh x (ii) Für alle x R konvergieren die Reihen (Sinus hyperbolicus) (Tangens hyperbolicus) (Cotangens hyperbolicus) cosh x = sinh x = x 2j (2j)! x 2j+1 (2j + 1)! 15

16 (iii) (sinh x) (cosh x) (iv) (cosh x) 2 (sinh x) 2 = 1 für alle x R. = cosh x = sinh x (tanh x) = 1 (tanh x) 2 (coth x) = 1 (coth x) 2 (v) tanh x ist um x 0 = 0 in eine Potenzreihe entwickelbar und es gilt: tanh x = x 1 3 x x x Beispiel: (die trigonometrischen Funktionen) Wir definieren für jedes x R die Funktionen ( 1) j cos x := (2j)! x2j = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... (Cosinus) sin x := ( 1) j (2j + 1)! x2j+1 = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... (Sinus) (man beachte, dass beide Reihen für jedes x R konvergieren.) (i) cos ist eine gerade Funktion, d.h. cos( x) = cos x. sin ist eine ungerade Funktion, d.h. sin( x) = sin x. Beide Funktionen sind für jedes x R differenzierbar und es gilt: (cos x) (ii) Für jedes x R gilt: sin 2 x + cos 2 x = 1. = sin x (sin x) = cos x. (iii) Für alle x, y R gelten die Additionstheoreme cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x (iv) Die Funktion cos besitzt eine kleinste positive Nullstelle, die mit π 2 D.h. es gilt cos π 2 = 0 und cos x > 0 in [0, π 2 ) bezeichnet wird. (beachte cos 0 = 1). Es gilt außerdem sin π 2 = 1. 16

17 (v) cos(x + π ) = sin x; cos(x + π) = cos x; cos(x + 2π) = cos x 2 sin(x + π ) = cos x; sin(x + π) = sin x; sin(x + 2π) = sin x Beispiel: (Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen). (i) Die Funktion x sin x ist auf dem Intervall [ π, π ] streng monoton wachsend und 2 2 bildet dieses Intervall auf [ 1, 1] ab. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit arcsin (Arcussinus) bezeichnet und ist ebenfalls streng monoton wachsend auf [ 1, 1] und auf dem Intervall ( 1, 1) differenzierbar. Es gilt (arcsin x) = 1 1 x 2 für x ( 1, 1), und arcsin x = ( ) 1/2 ( 1) j j 2j + 1 x2j+1 für x [ 1, 1]. (ii) Die Funktion x cos x ist auf dem Intervall [0, π] streng monoton fallend und bildet dieses Intervall bijektiv auf [ 1, 1] ab. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit arccos (Arcuscosinus) bezeichnet und ist ebenfalls streng monoton fallend auf [ 1, 1] und auf dem Intervall ( 1, 1) differenzierbar. Es gilt (arccos x) 1 = 1 x 2 für x ( 1, 1), und arccos x = π 2 ( ) 1/2 ( 1) j j 2j + 1 x2j+1 für x [ 1, 1] (iii) Für alle x [ 1, 1] gilt: arcsin x + arccos x = π Übung: Die Funktionen Tangens und Cotangens werden definiert durch R\{(2k + 1) π k Z} R 2 tan : x tan x := sin x cos x { R\{kπ k Z} R cot : x cot x := cos x, sin x dann gilt (wenn immer die entsprechenden Ausdrücke definiert sind) 17

18 (i) (Periodizität) tan(x + π) = tan x cot(x + π) = cot x (ii) (tan x) = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x (cot x) = (1 + cot 2 x) = 1 sin 2 x (iii) tan(x + y) = cot(x + y) = tan x + tan y 1 tan x tan y cot x cot y 1 cot x + cot y (iv) Die Funktion tan ist auf dem Intervall ( π, π ) streng monoton wachsend und bildet 2 2 dieses Intervall bijektiv auf R ab. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit arctan (Arcustangens) bezeichnet, ist streng monoton wachsend und differenzierbar. Es gilt : (arctan x) = arctan x = x, 2 ( 1) j 2j + 1 x2j+1 für x 1 π 4 = (v) Die Funktion cot ist auf dem Intervall (0, π) streng monoton fallend und bildet dieses Intervall bijektiv auf R ab. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit arccot (Arcuscotangens) bezeichnet, ist streng monoton fallend und differenzierbar. Es gilt für x < 1 : (arccot x) = x 2, arccot x = π 2 ( 1) j 2j + 1 x2j+1 für x 1. 18