Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

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1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1, x 2, A von Elementen aus einer Menge A hat für jeden Index i N ein Folgenglied x i A. Auch: x 1, x 2, x 3,... oder x 7, x 8, x 9,... Schreibweisen: (xn ) n N (x n ) 2 (x n ) n 3 x (0), x (1), x (2),... Definition 5.1 Eine reelle/komplexe Zahlenfolge ist eine Folge, deren Glieder reelle bzw. komplexe Zahlen sind.

2 Konvergenz Definition 5.2 Die reelle Zahlenfolge (x n ) heißt konvergent gegen a R, falls für jedes ε > 0 ein N N existiert mit 3 x n a < ε für alle n N. Schreibweisen: lim n x n = a oder x n a Die Zahl a ist dann der Grenzwert (Limes) von (x n ). Konvergiert (x n ) gegen kein a R, so heißt (x n ) divergent. (x n ) n N konvergiert genau dann, wenn für irgendein k N die Folge (x n ) n k konvergiert. Bemerkungen zur Folgenkonvergenz 4 Bemerkung 5.3 Eine Folge kann nicht gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren. Bemerkung 5.4 Die Folge (x n ) konvergiert genau dann gegen a R, wenn für jedes ε > 0 nur endlich viele Folgenglieder von (x n ) nicht in ] a ε, a + ε [ liegen.

3 Illustration 5 Rechenregeln Sind (x n ) und (y n ) konvergente Zahlenfolgen mit lim x n = a R und lim y n = b R, so gelten: n n lim (x n + y n ) = a + b n lim (x n y n ) = ab n Für c R (oder c C) : lim (cx n ) = ca n Falls y n 0 für alle n und b 0: 6 lim n x n y n = a b Falls x n y n für alle n, so auch a b. Falls x n z n y n für alle n und a = b, so lim z n = a(= b). n

4 Beschränkte / monotone Folgen 7 Definition 5.5 Eine Zahlenfolge (x n ) heißt beschränkt, wenn es B R gibt mit x n B für alle n. Definition 5.6 Eine reelle Zahlenfolge (x n ) heißt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn x n x n+1 bzw. x n < x n+1 für alle n gilt; sie heißt monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn x n x n+1 bzw. x n > x n+1 für alle n gilt. Konvergenz beschränkter monotoner Folgen 8 Satz 5.7 Jede beschränkte reelle Zahlenfolge, die monoton wachsend oder monoton fallend ist, konvergiert gegen irgendein a R.

5 Bestimmte Divergenz 9 Definition 5.8 Eine reelle Zahlenfolge (x n ) heißt bestimmt divergent, wenn es zu jedem B > 0 nur endlich viele Folgenglieder gibt, die kleiner als B sind ( lim n x n = + ) oder wenn es zu jedem B < 0 nur endlich viele Folgenglieder gibt, die größer als B sind ( lim n x n = ). Konvergenz komplexer Folgen 10 Konvergenz komplexer Zahlenfolgen (z n ) n N gegen a C definiert man analog zur Konvergenz reeller Zahlenfolgen: Für alle ε > 0 muss z n a < ε für alle bis auf endlich viele Folgenglieder gelten.

6 Illustration 11 Illustration 12

7 Illustration 13 Illustration 14

8 Eine konvergente Folge k cos(kπ 10 ) 2 + ( 1 k sin(kπ 10 ) + 1) i Konvergenz von Zahlenreihen Definition 5.9 Sei (x k ) k N eine Folge von (reellen oder komplexen) Zahlen. Ihre Partialsummen sind n s n = x k (n N). Konvergiert die Folge (s n ) n N der Partialsummen gegen einen Grenzwert L R bzw. L C (den Wert der Reihe), so schreibt man x k = L ; die Reihe x k ist dann konvergent. Andernfalls heißt die Reihe divergent. 16

9 Geometrische Reihe 17 Definition 5.10 Für q C heißt q k = 1 + q + q 2 + q 3 + q geometrische Reihe (mit x k = q k für alle k N). Satz 5.11 Für alle q C ist { q k = 1 1 q falls q < 1 divergent sonst. Notwendiges Kriterium für Konvergenz von Reihen 18 Satz 5.12 Ist die Reihe x k (mit x k C) konvergent, so muss sein. lim x k = 0 k

10 Harmonische Reihe Die harmonische Reihe k=1 1 k = hat die Partialsummen s n = n mit denn: lim s n =, n s n n dx = ln(n+1) ln(1) = ln(n+1) x Reihen und uneigentliche Integrale Satz 5.13 Sei f : [m, [ R eine monoton fallende Funktion mit f (x) 0 für alle x [m, [. Dann konvergiert die Reihe f (k) k=m genau dann, wenn das uneigentliche Integral m f (x)dx existiert. (Die Werte der Reihe und des uneigentlichen Integrals sind allerdings i.a. verschieden!) 20

11 Absolute Konvergenz Definition 5.14 Eine Reihe x k mit reellen oder komplexen Gliedern x k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe x k konvergent ist. 21 Satz 5.15 Jede absolut konvergente Reihe (mit reellen oder mit komplexen Gliedern) ist konvergent. Rechenregeln für Reihen 22 Für konvergente Reihen x k und y k gilt: x k + y k = (x k + y k ) Für jede (reelle oder komplexe) Zahl λ: λ x k = λx k

12 Das Cauchy-Produkt 23 Sind x k und y k sogar absolut konvergent, so gilt die Produktformel von Cauchy: ( ) ( ) x k y k = z k mit z k = x 0 y k + x 1 y k x k y 0. Majorantenkriterium Satz 5.16 Ist die Reihe y k konvergent und gilt (für reelle oder komplexe Glieder x k ) 24 x k y k für alle k {k 0, k 0 + 1,... } (für ein beliebiges k 0 N), so ist auch die Reihe konvergent x k (sogar: absolut konvergent).

13 Quotientenkriterium Satz 5.17 Die Reihe x k (mit x k C \ {0} für alle k) ist absolut konvergent, falls x k+1 x k < 1, divergent, falls lim k lim k x k+1 x k > 1 ist. (Ist lim k x k+1 /x k = 1 oder existiert der Grenzwert gar nicht, so kann die Reihe konvergent oder divergent sein.) 25 Potenzreihen 26 Satz 5.18 Für jede Koeffizientenfolge a k C (k N) und für jedes z 0 C gibt es ein R R + { }, so dass gilt: Für alle z C mit z z 0 < R ist die Reihe a k (z z 0 ) k (absolut) konvergent.

14 Potenzreihen 27 Satz 5.18 (... ) Für alle z C mit z z 0 > R ist die Reihe a k (z z 0 ) k divergent. Potenzreihen 28 Satz 5.18 (... ) Die durch z a k (z z 0 ) k auf D = {z C z z 0 < R} definierte Funktion a k(z z 0 ) k heißt eine Potenzreihe; ihr Konvergenzradius ist R. Ist R R + \ {0}, so ist D die offene Kreisscheibe (Konvergenzkreis) vom Radius R um den Punkt z 0 in C.

15 Reelle Potenzreihen 29 Bemerkung 5.19 Sind a k R (k N) und z 0 R, so ist die zugehörige Potenzreihe eine reelle Potenzreihe. Ist R > 0 ihr Konvergenzradius, so definiert sie eine Funktion ]x 0 R, x 0 + R[ R, x a k (x x 0 ) k. Konvergenzradius Satz 5.20 Existiert für eine Potenzreihe a k (z z 0 ) k mit Konvergenzradius R 0 der Grenzwert A = lim a k+1 k a k R { }, so ist 1 A falls A {0, } R = falls A = 0. 0 falls A = 30

16 Differenzierbarkeit von Potenzreihen Satz Die relle Potenzreihe a k (x x 0 ) k habe Konvergenzradius R > 0. Dann ist die von ihr definierte Funktion f :]x 0 R, x 0 + R[ R mit f (x) = a k(x x 0 ) k differenzierbar mit f (x) = ka k (x x 0 ) k 1 = (k+1)a k+1 (x x 0 ) k. k=1 Der Konvergenzradius der abgeleiteten Potenzreihe ist ebenfalls R. Grenzwert Funktion R R 32 Definition 5.22 Die Funktion f : R D R hat für x x den Grenzwert y R {, }, wenn für jede Folge (x k ) in D \ {x } mit x k x auch f (x k ) y gilt. Schreibweise: lim x x f (x) = y (x muss nicht in D liegen, aber wenigstens eine Folge x k x muss in D existieren.)

17 Sinus-Funktion (Kein Grenzwert für x.) Einseitige Grenzwerte Definition 5.23 Die Funktion f hat in x den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert y, wenn für jede Folge (x k ) in 34 D {x R x < x } bzw. D {x R x > x } mit x k x auch f (x k ) y gilt (und es auch wenigstens eine solche Folge (x k ) gibt).schreibweisen: lim x x f (x) = lim f (x) = x x lim f (x) = y x x lim f (x) = y x x +

18 35 f (x) = 1 x lim x 0 1 x =, lim x 0 1 x = + f (x) = x 1 x lim x 1 x 1 x 1 = 1, lim x 1 x 1 x 1 = 1

19 f (x) = x lim x 2 = 4 = lim x 2 x 2 x 2 Stetigkeit R R 38 Definition 5.24 Die Funktion f : D R ist stetig in x, wenn x D ist und lim f (x) = f (x ) x x gilt.die Funktion f heißt stetig (auf D), wenn f an jeder Stelle x D stetig ist.

20 Charakterisierung von Stetigkeit 39 Bemerkung 5.25 Die Funktion f : D R ist genau dann stetig in x D, wenn es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass f (x) f (x ) < ε für alle x D mit x x < δ gilt.d.h., für jede noch so kleine Toleranz ε > 0 kann man x innerhalb einer gewissen Toleranz δ > 0 beliebig verändern, und der Funktionswert wird sich um weniger als ε ändern. Stetige Funktion 40

21 In 1 unstetige Funktion 41 Stetigkeit und einseitige Grenzwerte 42 Bemerkung 5.26 Die Funktion f : D R ist genau dann stetig in x D, wenn lim f (x) = f (x ) = lim f (x) x x x x gilt (falls x nicht im Rand von D liegt.)

22 In 0 unstetige Funktion 43 f (x) = { sin 1 x, falls x 0 0, falls x = Stetige Funktion 44 g(x) = { x sin 1 x, falls x 0 0, falls x =

23 Globalere Sicht auf g(x) Rechenregeln 46 Sind f, g : D R stetig, so sind auch die folgenden Funktionen stetig: f + g : D R, x f (x) + g(x) f g : D R, x f (x) g(x) fg : D R, x f (x)g(x) f g : D \ g 1 ({0}) R, x f (x) g(x) Ist h : D D stetig, so ist außerdem auch f h : D R, x f (h(x)) stetig.

24 Stetigkeit der Umkehrabildung 47 Bemerkung 5.27 Ist f : I R stetig und injektiv, und ist I ein Intervall, so ist auch die Umkehrfunktion von f stetig. f 1 : f (I ) I Zwischenwertsatz 48 Satz 5.28 Ist f : I R eine stetige Funktion auf einem Intervall I R und sind a, b I und f (a) y f (b), so gibt es ein x zwischen a und b mit f (x ) = y.

25 Beweis des Zwischenwertsatzes Beweis des Zwischenwertsatzes 50

26 Nullstellen reeller Polynome ungeraden Grads 51 Bemerkung 5.29 Reelle Polynome mit ungeradem Grad haben immer wenigstens eine reelle Nullstelle. (Globale) Maxima und Minima 52 Definition 5.30 Die Funktion f : D R nimmt in x D ihr Maximum bzw. Minimum an, wenn für alle x D gilt. f (x ) f (x) bzw. f (x ) f (x)

27 Die Cosinus-Funktion Maximum in..., 4π, 2π, 0, 2π, 4π,... Minimum in..., 5π, 3π, π, π, 3π, 5π, f (x) = 1 x Maximum in 0, kein Minimum

28 Extrema stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen 55 Satz 5.31 Für eine stetige Funktion f : [a, b] R auf einem kompakten Intervall gibt es immer (wenigstens) ein x [a, b], in dem f ihr Maximum annimmt, und (wenigstens) ein z [a, b], in dem f ihr Minimum annimmt. Kompaktes Intervall, unstetige Funktion f (x) = { ( ) sin 1 2 x x 2 +1, falls x 0 0, sonst

29 Konvergenz von Folgen in R n 57 Definition 5.32 Eine Folge ( x (k)) k N von Vektoren x (k) R n konvergiert gegen a R n, wenn ist. Schreibweisen: lim x (k) = a k x (k) a lim k x (k) a = 0 Charakterisierung von Konvergenz Definition 5.33 Für a R n und r R, r > 0 heißt 58 {x R n x a < r} die offene Kugel um a vom Radius r. Bemerkung 5.34 Die Folge ( x (k)) in R n konvergiert genau dann gegen a R n, wenn außerhalb jeder noch so kleinen offenen Kugel um a nur endlich viele Folgenglieder liegen.

30 Konvergenz der Komponentenfolgen 59 Satz 5.35 Eine Folge ( x (k)) k N in Rn konvergiert genau dann gegen a = (a 1,..., a n ) R n, wenn für jedes j {1,..., n} die j-te Komponentenfolge gegen a j konvergiert. x (0) j, x (1) j, x (2) j, x (3) j,... R Grenzwerte Abbildungen R n R m Definition 5.36 Die Abbildung f : R n D R m hat für x x den Grenzwert y R m, wenn für jede Folge (x (k) ) in D \ {x } mit x (k) x auch gilt. Schreibweise: f (x (k) ) y lim x x f (x) = y 60 (x muss nicht in D liegen, aber wenigstens eine Folge x (k) x muss in D existieren.)

31 f (x) = x2 1 x 2 1 +x lim f (x) = 0 x O Stetigkeit R n R m 62 Definition 5.37 Die Abbildung f : R n D R m ist stetig in x, wenn x D ist und lim x x f (x) = f (x ) gilt. Die Abbildung f heißt stetig (auf D), wenn f stetig in jedem x D ist.

32 f (v) = v w (festes w R 3 ) Unstetigkeit in (0, 0) v(x, y) = { x 1 2 +y 2( y, x), falls (x, y) (0, 0) (0, 0), falls (x, y) = (0, 0)

33 Komponentenfunktionen 65 Satz 5.38 Eine Funktion f = (f 1,..., f m ) : R n D R m mit Komponentenfunktionen f 1,..., f m : D R ist genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen f 1,..., f m stetig sind. Unstetigkeit in (0, 0) f (x, y) = { xy x 2 +y 2, falls (x, y) (0, 0) 0, falls (x, y) = (0, 0)

34 Rechenregeln für Stetigkeit 67 f, g : R n R m stetig, dann auch f + g : R n R m, x f (x) + g(x) stetig f : R n R m stetig, c R, dann auch cf : R n R m, x c f (x) stetig f, g : R n R stetig, dann auch fg : R n R, x f (x)g(x) stetig f, g : R n R stetig, dann auch f g : Rn \ g 1 ({0}) R, x f (x) g(x) stetig f : R n R m, g : R k R n stetig, dann auch f g : R k R m, x f (g(x)) stetig Die Normfunktion ist stetig : R n R, x x 1.0

35 Der Rand einer Teilmenge von R n 69 Definition 5.39 Ein Punkt a R n ist Randpunkt einer Menge A R n, wenn für jede offene Kugel K = {x R n x a < r} (mit noch so kleinem r > 0) gelten. K A und K (R n \ A) Illustration 70

36 Randpunkte außerhalb von A Bemerkung 5.40 Ein Punkt x R n \ A ist genau dann Randpunkt von A, wenn es eine Folge ( x (k)) in A mit x (k) x gibt. 71 Abgeschlossene bzw. offene Mengen 72 Definition 5.41 Eine Menge A R n heißt abgeschlossen, wenn alle Randpunkte von A in A liegen. Sie heißt offen, wenn kein Randpunkt von A in A liegt. Satz 5.42 Ist f : R n R m stetig und B R m, so gilt: Falls B offen ist, so ist auch f 1 (B) offen. Falls B abgeschlossen ist, so ist auch f 1 (B) abgeschlossen.

37 Kompakte Mengen 73 Definition 5.43 Eine Teilmenge A R n heißt beschränkt, wenn es B > 0 gibt mit A {x R n x B}. Definition 5.44 Eine Teilmenge A R n heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Stetige Abbildungen erhalten Kompaktheit 74 Satz 5.45 Ist f : R n D R stetig und ist D kompakt, so ist auch f (D) R kompakt.

38 Extrema von Funktionen R n R 75 Definition 5.46 Die Funktion f : R n D R nimmt in x D ihr Maximum bzw. Minimum an, wenn f (x ) f (x) bzw. f (x ) f (x) für alle x D gilt. Extrema stetiger Funktionen auf kompakten Mengen 76 Satz 5.47 Ist f : R n D R stetig und ist D kompakt, so gibt es (wenigstens) ein x D, in dem f ihr Maximum annimmt, und (wenigstens) ein z D, in dem f ihr Minimum annimmt.

39 Beispiel 77