7 Stetige Funktionen. Grenzwerte

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1 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte 7.1 Stetigkeit Deinition: Eine Funktion : D heißt stetig im Punkt x D, wenn es zu jedem ein gibt derart, daß gilt: x x ür alle x D mit x x.

2 Deinition: : D heißt Lipschitz-s tetig au D, wenn es eine Konstante L gibt so, daß ür alle x, y D g ilt: x y L x y Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig au D Formulierung der Stetigkrit in der Sprache der Umgebungen: : D ist genau dann stetig in x D, wenn es zu jedem eine Umgebung U von x in D gibt, so daß gilt: x x ür alle xu

3 Folgenkriterium ür Stetigkeit: : D ist genau dann stetig in x D, wenn ür jede Folge von Punkten x D mit x x gilt: x x 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen Regel I: n Sind, g : D st etig in x D, dann sind auch g und g steti g in x. n n Ist außerdem g x, so ist / g in einer D- Umgebung von x deiniert und ebenalls stetig in x.

4 Regel II: g In der Situation D E seien stetig in x und g stetig in y x. Dann ist auch g stetig in x. Regel III: streng monoton Sei : a, b und in x a, b stetig. Dann ist die Umkehrunktion g stetig in y x.

5 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen Gegeben sei eine Folge von Funktionen : D. Diese heißt punktweise konvergent, wenn ür jedes x D die Folge x der Funktionswerte konvergiert. Die Grenzunktion : D wird deiniert durch: Deinition: n n x : li x x D m n n Eine Funktion : D heißt beschränkt, wenn es eine Zahl S gibt mit x S ür alle xd. Man setzt D sup x : x D alls beschränkt ist : andernalls heißt Norm von bezügli ch D. D

6 Rechenre geln ür Funktionen mit endli cher Norm: 1. x ür alle xd D 2. c c ür c D D 3. g g (Dreiecksungleichung ) D D D Deinition: Eine Reihe von Fuktionen au D heißt normal konvergent au D, 1 wenn jeder Summand au D beschränkt ist und die Reihe der Normen bezüglich D konvergier t: n n 1 n D

7 Satz: Die Reihe k konvergiere normal au D. 1 Sind alle stetig in x D, so ist auch stetig in x. Folgerung: k Jede Potenzreihe stellt im Konvergenzkreis K eine stetige Funktion dar. 7.4 Stetige reele Funktionen au Intervallen. Der Zwischenwertsatz

8 Zwischenwertsatz(ZWS) a b Eine stetige Funktion :, nimmt jeden Wert zwischen a und b an mindestens einer Stelle c a, b an: = c. Folgerung: n Das Polynom P x x mit hat ür jeden natürlichen Exponenten eine positive Nullstell e. n

9 7.5 Stetige Funktionen au kompakten Mengen. Der Satz vom Mamimum und Minimum Deinition: Eine Teilmenge A von oder heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Punkten ebenalls in A liegt. a n A Lemma 1: Sind,..., stetige reellwertige Funktionen in, 1 s 1 s o ist A: z : z,..., z eine abgeschlossene Menge. s

10 Lemma 2: Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Der Durchschnitt endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Deinition: Eine Menge K heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Lemma 1*: Jede beschränkte Menge der Gestalt 1 K : z : 1 z,..., s wobei,..., z s stetige, reelwertige Funktionen in, sind ist kompakt.

11 Lemma 2*: Die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen ist kompakt. Der Durchschnitt beliebig vieler kompakter Mengen ist kompakt. Lemma 3 (Bolzano-Weierstraß-Eigenschat): Eine Menge K wenn jede Folge in ist genau dann kompakt, K eine Teilolge besitzt, die gegen einen Punkt in K konvergiert. Satz vom Maximum und Minimum (Weierstraß): Jede stetige Funktion : K au einem Kompaktum K nimmt ein Maximum und ein Minimum an, d.h., es gibt und K so, daß ür alle 1 2 x K x 1 2 gilt.

12 Korollar: Jede stetige komplexwertige Funktion au einem Kompaktum ist beschränkt. Deinition: Eine Funktion : D heißt gleichmäßig stetig au D, wenn es zu jedem ein > gibt so, daß x Satz: x < x, x D mit x x. Jede stetige Funktion : K au einem Kompaktum K ist au diesem sogar gleichmäßig stetig.

13 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra Satz: Jedes Polynom eines Grades 1 besitzt in eine Nullstelle. mit komplexen Koeizienten n n 1 Sei P z z a z... a z a Hilssatz 1: n1 1. P nimmt au ein Minimum an. Hilssatz 2: P hat an einer Stelle z m it P z kein Minimu m.

14 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen Deinition: x heißt Häuungspunkt Umgebung von x einer Menge D, wenn jede unendlich viele Punkte aus D enthält. Fortsetzungsproblem: Fall 1: x ist kein Häuungspunkt eines Funktionswertes von D. Dann wird bei jeder Festsetzung F x die Funktion F stetig in x. Fall 2: x ist ein Häuungspunk t von D. Dann gilt der

15 Einzigkeitssatz: Jede Funktion au D \{ x } besitzt höchstens in x stetige Fortsetzung F au D { x }. eine Deinition: Die Funktion : D hat im Häuungspunkt x von den Grenzwert a, wenn die Funktion F: D x mit x ür x D \ x, F x : a ür x x im Punkt x stetig is. t Daür sagt man auch, x konvergiere ür x x gegen a, und schreibt: lim x a oder x a ür x x. xx D

16 Kriterium: : D hat in x den Grenzwert a, D x wenn es zu jedem ein > gibt, so daß gilt: x a x \ mit x x. Deinition: Zwei Funktionen, g : D heißen asymptotisch gleich ür x x ( x ein Häuungspunkt von D), alls x x lim 1; in Zeichen: x g x ür x x. xx g

17 Rechnen mit Grenzwerten: Regel I: x a g x b x x x g x a b, x g x ab, x a, alls b. g x b Gilt und ür, so gilt auch: Regel II: g Gegeben D E. Es gelte x a E ür x x und g sei stetig in a. Dann gilt: g x g F x ür x x. Regel III: g x Seien, Funktionen in D mit Grenzwerten in. Aus lim x xx xx in einer punktierten Umgebung x lim g. g von x in D olgt

18 Konvergenzkriterien Folgenkriterium: Die Funktion : D hat in x genau dann den Grenzwert a, wenn ür jede Folge x in D x mit x x n gilt: lim x x a n Konvergenzkriterium nach Cauchy: Die Funktion : D hat in x genau dann einen Grenzwert, wenn es zu jedem eine punktierte Umgebung U von x in D gibt so, daß gilt: ür a x,x x x lle U

19 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte I. Einseitige Grenzwerte Deinition: x a Sei x Häuungspunkt von D, x bzw. D ( x, ). Man sagt, habe in x linksseitig bzw. rechtsseitig den Grenzwert a, wenn es zu jedem ein gibt, so daß gilt:, g, ig ür x D x x linksseiti bzw. x D x x rechtsseit und schreibt g a lm i x x linksseiti xx ti a lim x x rechtssei g xx Gehört x zu D und ist x x bzw. x x, so heißt linksseitig bzw. rechtsseitig stetig in x.

20 Satz: a b an jeder x a, b einseitige Grenzwerte. Eine beschränkte monotone Funktion :, besitzt II. Grenzwerte bei Unendlich Deinition: Sei : D eine Funktion mit einem nach oben nicht beschränkten Deinitionsbereich D. Dann heißt a Grenzwert von bei, wenn es zu jedem eine Zahl N gibt so, daß ür mit x a x D x N Schreibweise : a lim x oder x a ür x x

21 Reduktionslemma: Setzt man 1 1 : alls D so gilt: besitzt bei einen Grenzwert genau dann, wenn bei einen rechtseitigen Grenzwert besitzt, und dann ist Ana log gilt lim x x lim x x Deinition:, g : D heißen asymtotisch gleich ür x, alls x lim 1 in Zeichen: x g x ür x x g x

22 Satz: Eine beschränkte monotone Funktion : c, besitzt in einen Grenzwert. Konvergenzkriterium von Cauchy: : c, hat in genau dann einen Grenzwert, wenn es zu jedem eine Zahl N gibt so, daß ür alle, gilt. x x x x N III. Uneigentliche Grenzwerte Deinition: : D hat in x den uneigentlichen Grenzwert bzw., wenn es zu jedem gibt so, daß gilt: K eine punktierte Umgebung U von x in D x Man schreibt daür lim x bzw. xx K bzw. x K ür alle xu.

23 Rechenregeln: 1 a) lim und x ür alle x lim x xx xx x b) 1 lim x lim xx xx x x lim c) lim x und g x A ür alle x g x xx xx d) lim x und g x A ür alle x lim x g x xx xx