Stetigkeit, Konvergenz, Topologie

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1 Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Stetigkeit, Konvergenz, Topologie Inhaltsverzeichnis 1 Stetigkeit und Konvergenz I 2 2 Einschub zur Topologie 4 3 Stetigkeit II 6 4 Grenzwerte 7

2 Ferienkurs Seite 2 1 Stetigkeit und Konvergenz I (1) Definition. Stetigkeit. Seien (X, d x ) und (Y, d y ) metrische Räume. Eine Funktion f : X Y heißt stetig an der Stelle x 0 X, wenn gilt: ɛ > 0 δ > 0 x X : d x (x, x 0 ) < δ d y (f(x), f(x 0 )) < ɛ f heißt stetig (auf X), wenn f stetig ist an jeder Stelle x 0 X. (2) Definition. Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion f : X Y heißt Lipschitzstetig, wenn gilt: L > 0 x 0, x 1 X : d y (f(x 0 ), f(x 1 )) L d x (x 0, x 1 ) (3) Rechenregeln. Seien (X, d x ), (Y, d y ) und (M, d m ) metrische Räume und f, h : X M stetig in x X und g : Y M stetig in f(x). Dann gelten: f + h und f h sind stetig. g f : X M, (g f)(x) := g(f(x)) ist stetig in x. f, f : X C, Re f, Im f : X R sind stetig in x. Sei X 0 := {x X h(x) 0}. Dann ist für x 0 X 0 die Funktion f h : X 0 Y stetig. (4) Lemma. Sei f : X Y und x 0 X. Dann sind äquivalent: (i) f ist stetig an der Stelle x 0 (ii) Für jede Folge (x n ) in X gilt: x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) (5) Definition. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume, f n : X Y eine Folge von Abbildungen und f : X Y. (i) Die Folge (f n ) heißt punktweise konvergent gegen f, wenn gilt: x X ɛ > 0 N N n N, n N : d y (f n (x), f(x)) < ɛ d.h. x X : f n (x) f(x)

3 Ferienkurs Seite 3 (ii) Die Folge (f n ) heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn gilt: ɛ > 0 N N n N, n N x X : d y (f n (x), f(x)) < ɛ Bemerkung: Der Unterschied zwischen den beiden Definitionen liegt in der Stellung des x X. Bei der punktweisen Konvergenz reicht es, für jedes x ein eigenes N zu finden. Für gleichmäßige Konvergenz gibt es N, so dass für alle x die Bedingung d y (f n (x), f(x)) < ɛ erfüllt ist. Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz (Umkehrung gilt nicht). (6) Satz. Sei f n : X Y eine Folge an der Stelle x 0 stetiger Abbildungen, welche gleichmäßig gegen die Funktion f : X Y konvergiert. Dann ist auch die Grenzfunktion f stetig an der Stelle x 0. (7) Definition. Norm. Sei V ein R-(C-)Vektorraum. Die Abbildung : V R + 0 heißt Norm, wenn gilt: v = 0 v = 0 für alle v V λv = λ v für alle v V, λ R(C) v + w v + w für alle v, w V (Dreiecksungleichung) Bemerkung: Jede Norm auf V induziert eine Metrik auf V durch d (v, w) := v w. (8) Wichtige Beispiele. (i) Ein wichtiges Beispiel ist die euklidische Norm auf R n (C n ). Sie ist definiert als v := ( v v n 2) 1 2. (ii) Ebenfalls wichtig ist die Supremums-Norm auf F b (x) := {Funktionen f : X C f beschränkt}. Diese ist definiert durch f x := sup f(x). x X (9) Definition. Beschränktheit. f : X C heißt beschränkt : c > 0 : f(x) c x X (10) Definition. Normale Konvergenz. Eine Reihe f n von Funktionen f n : X C heißt normal konvergent, wenn f n beschränkt ist für alle n und wenn die Reihe f n x konvergiert. n=1 n=1

4 Ferienkurs Seite 4 Bemerkung: Eine auf X normal konvergente Reihe konvergiert dort auch gleichmäßig n gegen eine Grenzfunktion f, also f F (x) mit f f k 0 für n. x (11) Satz. Eine Reihe f = k=1 f n sei normal konvergent auf X mit f n : X C n. n=1 Dann gilt: f n : X C stetig in x 0 n N f : X C stetig in x 0. Beispiel: Sei a k z k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Dann ist k=0 f : K R := {z C z < R} C, z f(z) := a k z k stetig. Also ist beispielsweise die Exponentialfunktion auf ganz C stetig. k=0 (12) Zwischenwertsatz. Sei a, b R mit a < b und f : [a, b] R stetig. Sei γ R mit f(a) γ f(b) (bzw. f(a) γ f(b)) c [a, b] : f(c) = γ. Beispiel: Jedes Polynom p : R R ungerader Ordnung besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. (13) Fixpunktsatz. Sei f : [a, b] [a, b] stetig f hat einen Fixpunkt, d.h. x [a, b] : f(x) = x. 2 Einschub zur Topologie Sei (X, d) ein metrischer Raum. Man nennt B r (x) := {y X d(y, x) < r} eine offene Kugel um x. (1) Definition. Offen. U X heißt offen, wenn gilt: x U ɛ > 0 : B ɛ (x) U Man kann also um jeden Punkt der Menge U eine offene Kugel finden, die noch vollstängig in U liegt. Beispiele: Die offene Kugel, die leere Menge und die Menge X selber sind offen.

5 Ferienkurs Seite 5 (2) Definition. Abgeschlossen. A X heißt abgeschlossen, wenn für alle x X gilt: B ɛ (x) A ɛ > 0 x A Im Gegensatz zur offenen Menge gehört der Rand von A zu A dazu. Beachte: nicht abgeschlossen offen Beispiele: Intervalle [a, b] R, die leere Menge und die Menge X sind abgeschlossen. (3) Äquivalenzen zur Abgeschlossenheit. Sei A X. Folgende Aussagen sind äquivalent: A ist abgeschlossen. X\A ist offen. Sei (x n ) eine Folge in A mit lim n x n = x X x A. (4) Äquivalenzen zur Stetigkeit. Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume, f : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent: f ist stetig. U Y ist offen f 1 (U) ist offen in X. A Y ist abgeschlossen f 1 (A) ist abgeschlossen in X. (5) Definition. Kompaktheit. Sei (X, d) ein metrischer Raum. K X heißt kompakt, wenn jede Folge (x n ) in K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder in K liegt. (6) Aussagen über kompakte Mengen. Seien X, Y metrische Röume. Dann gelten: (i) K X kompakt, f : X Y stetig f(k) kompakt. (ii) K X kompakt K abgeschlossen. (iii) K X kompakt, A K abgeschlossen A kompakt.

6 Ferienkurs Seite 6 (7) Satz von Borel. Sei K R n (C n ) mit euklidischer Metrik und euklidischer Norm. Dann gilt: K kompakt K abgeschlossen und beschränkt. 3 Stetigkeit II (1) Stetigkeit der Umkehrfunktion. Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume. Sei X kompakt und f : X Y stetig und bijektiv. Dann ist f 1 : Y X stetig. (2) Satz vom Minimum und Maximum. Seien (X, d) ein metrischer Raum, K X kompakt und f : K R stetig. x 0, x 1 K : f(x 0 ) f(x) f(x 1 ) x K Stetige, reelle Funktionen auf kompakten Mengen nehmen also ihr Minimum und ihr Maximum an. (3) Definition. Gleichmäßige Stetigkeit. Eine Funktion f : X Y heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: ɛ > 0 δ > 0 x, x X : d x (x, x ) < δ d y (f(x), f(x )) < ɛ Für ein gegebenes ɛ gibt es also ein δ, das für alle x gilt. Bemerkung: Es gilt folgender Zusammenhang: Lipschitz-Stetigkeit gleichmäßige Stetigkeit Stetigkeit (4) Satz. Seien X, Y metrische Räume, X sei kompakt und f : X Y stetig. f ist gleichmäßig stetig. Im Folgenden seien (X, d) ein metrischer Raum, D X, f : D C eine Abbildung und x 0 X. (5) Definition. Stetige Fortsetzung. Eine Funktion F : D {x 0 } C heißt stetige Fortsetzung von f im Punkt x 0, wenn f(x) = F (x) x D\ {x 0 } und F stetig an der Stelle x 0 ist. Beispiel: Stetige Fortsetzung von f(x) = 1 x f(x) := { 1 x 1 x x R\{1}. 1 x = 1 1 x : lim f(x) = 1 x 1

7 Ferienkurs Seite 7 4 Grenzwerte (1) Definition. Häufungspunkt. x 0 X heißt Häufungspunkt der Menge D, wenn gilt: ɛ > 0 : (B ɛ (x 0 )\ {x 0 }) D (2) Definition. Grenzwert. Eine Funktion f : D C hat im Häufungspunkt x 0 den Grenzwert { a, wenn die Abbildung F : D {x 0 } C, f(x) x D\{x 0 } F (x) := a x = x 0 in x 0 stetig ist. Man schreibt lim f(x) = a oder f(x) a für x x 0. x x 0 (3) Folgenkriterium. lim x x 0 f(x) = a x 0 ist ein Häufungspunkt von D und für jede Folge (x n ) in D\{x 0 } mit x n x 0 gilt f(x n ) a. (4) Rechenregeln. Sei (X, d) ein metrischer Raum, D X, x 0 X ein Häufungspunkt von D und f, g : D C. Es gelte f(x) a, g(x) b für x x 0. Dann gilt für x x 0 auch: (f + g)(x) a + b (f g) a b Für b 0 ist x 0 Häufungspunkt von D 0 := {x D g(x) 0} und f g : D 0 C hat in x 0 die stetige Fortsetzung a b, d.h. f g (x) a b. f (x) a, (Re f)(x) Re a, (Im f)(x) Im a (5) Grenzwert bei verknüpften Funktionen. Sei x 0 Häufungspunkt von D. f : D E C, g : E C. Es gelte f(x) a E für x x 0 und g sei stetig in a. Dann gilt: g(f(x)) g(a) für x x 0 (6) Definition. Asymptotische Gleichheit. Sei x 0 Häufungspunkt von D. f, g : D C heißen asymptotisch gleich für x x 0, falls für D 0 := {x D g(x) 0} und f g : D 0 C gilt: f g (x) 1 für x x 0. Man schreibt f(x) = g(x) für x x 0.

8 Ferienkurs Seite 8 (7) Definition. Uneigentlicher Grenzwert. Sei D C, f : D R und x 0 ein Häufungspunkt von D. Man sagt f geht gegen ( ) bei x 0, wenn C R δ > 0 x D mit x x 0 < δ : f(x) C (bzw. f(x) C). Man schreibt: lim f(x) = oder f(x) x x 0 x x 0 (bzw. lim x x 0 f(x) = ) (8) Definition. Grenzwerte bei ±. Es seien a > 0 und f : D R mit (a, ) D R. Für p R definiert man f(x) p < ɛ. lim f(x) = p : ɛ > 0 R > a x R : x lim f(x) = : C > 0 R > a x R : f(x) C x lim f(x) = : lim x ( f) (x) = x