Übungen zur Funktionalanalysis Lösungshinweise Blatt 2
|
|
- Krista Ingeborg Knopp
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungen zur Funktionalanalysis Lösungshinweise Blatt 2 Aufgabe 5. Beweisen Sie: Ein kompakter Hausdorffraum, welcher dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist folgenkompakt. Lösung. Es sei X ein kompakter Hausdorffraum, {x n } n N eine Folge in X. Wir müssen zeigen, dass es eine konvergente Teilfolge gibt. Dazu zeigen wir zunächst: x X ist genau dann Grenzwert einer Teilfolge von {x n } n N, wenn in jeder Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder liegen. Die Hinrichtung ist klar. Es sei also x X und in jeder Umgebung von x gebe es unendlich viele Folgenglieder. Es sei {U n } n N eine Umgebungsbasis von x. Wir können annehmen, dass U k+1 U k für alle k N gilt, ansonsten setze U 1 U 1, U k+1 U k U k+1, dann ist das System der U k eine Umgebungsbasis, welches die besagte Eigenschaft besitzt. Nach Annahme gibt es x nk U k für ein geeignetes n k N und jedes k N. Ist nun U eine beliebige Umgebung von x, so ist U nj U für ein geeignetes j N und damit x nk U für k j. In jeder Umgebung von x liegen also fast alle Folgenglieder von {x nk } k N, diese Teilfolge konvergiert also gegen x (beachte, dass diese Schlussweise nur unter Annahme des 1. Abzählbarkeitsaxioms zulässig ist). Es sei nun x X beliebig. Ist x kein Häufungspunkt der Folge {x n } n N, so gibt es nach dem eben Gezeigten eine Umgebung U x von x, welche nur endlich viele Folgenglieder enthält. Hätte die Folge also keine Häufungspunkte, so würden die U x, x X, X überdecken und es reichten endlich viele. In deren Vereinigung lägen aber nur endlich viele Folgenglieder. Widerspruch. Somit ist X folgenkompakt. Aufgabe 6. Es sei I eine beliebige Menge und R I {f : I R}. 1. Für ε > 0, F I endlich, sei U(f, ε, F ) {g : I R f(i) g(i) < ε i F }. Damit sei U f {U(f, ε, F ) ε > 0, F I endlich}. Zeigen Sie, dass U f eine Umgebungsbasis von f einer Topologie τ auf R I ist. (D. h. zeigen Sie, dass endliche Schnitte von Mengen aus U f stets wieder ein Element von U f enthalten. Die Elemente von τ sind dann Vereinigungen von Mengen aus U f für f R I variabel.) 2. Zeigen Sie, dass mit der Topologie der vorherigen Teilaufgabe die Abbildung π i : R I R, f f(i) für jedes i I stetig ist. 3. Es sei σ eine Topologie auf R I, so dass die Abbildungen π i : R I R für jedes i I stetig sind. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung (R I, σ) (R I, τ), f f stetig ist. Lösung. 1. Es seien endlich viele Mengen U(f, ε 1, F 1 ),..., U(f, ε n, F n ) gegeben und es sei ε min{ε 1,..., ε n }, F F 1 F n. Dann gilt U(f, ε, F ) n U(f, ε j, F j ). j1 1
2 U f ist also Basis einer Topologie auf R I. 2. Das Urbild der offenen Menge U R unter π i ist gegeben durch i (U) {g : I R g(i) U}. Ist nun f i (U), so gibt es ε > 0 mit B ε (f(i)) U. Damit gilt für jedes f i U(f, ε, {i}) i (U) (U), somit ist i (U) offen, π i also stetig. 3. Es genügt zu zeigen, dass Urbilder von Basismengen offen sind, also ist zu zeigen, dass Mengen der Form U(f, ε, F ) in σ liegen. Es sei also f : I R, ε > 0 und eine endliche Teilmenge F I gegeben. Da die Projektionen π i stetig sind, ist die Menge i (B ε (f(i))) {g : I R g(i) f(i) < ε} offen bzgl. σ. Also ist auch der endliche Schnitt i (B ε (f(i))) {g : I R g(i) f(i) < ε i F } U(f, ε, F ) i F offen bzgl. σ. Aufgabe 7. Es sei X ein Vektorraum sowie {p n : X R 0 n N} eine Menge von Funktionen mit p n (x + y) p n (x) + p n (y) und p n (λ x) λ p n (x) für n N, x, y X, λ R und zu jedem x X \ {0} gebe es n N mit p n (x) 0. Zeigen Sie, dass 1 d(x, y) 2 n p n (x y) 1 + p n (x y) eine Metrik auf X definiert. Lösung. Die Summanden der Reihe sind nicht-negativ und die Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium, also ist d(x, y) 0. d(x, x) 0 folgt sofort aus p n (0) 0 p n (0) 0. d(x, y) d(y, x) folgt sofort aus p n ( x) p n (x). Es 2
3 bleibt also die Dreiecksungleichung zu untersuchen. Für x, y, z X gilt 1 p n (x z) d(x, z) + p n (x z) p + 1 n(x z) p + 1 n(x y+y z) p + 1 n(x y)+p n(y z) 1 p n (x y) + p n (y z) + p n (x y) + p n (y z) 1 p n (x y) + p n (x y) + p n (y z) + 1 p n (y z) + p n (x y) + p n (y z) 1 p n (x y) + p n (x y) + 1 p n (y z) + p n (y z) d(x, y) + d(y, z) Aufgabe 8. Zeigen Sie, dass es eine Funktion f C([0, 1]; R) gibt, welche nirgends differenzierbar ist, indem Sie zeigen, dass die Mengen { E n f : [0, 1] R [0, x 1 1 ] ( h 0, 1 ] } f(x + h) f(x) : n n n h mit n N abgeschlossen, aber nirgends dicht in C([0, 1]; R) sind. (Hinweis: Weierstraßscher Approximationssatz) Lösung. Wir zeigen, dass das Komplement der E n offen ist. Es sei nämlich f / E n, so gibt es zu jedem x [ 0, 1 n] 1 ein hx ( 0, n] 1 mit f(x + h x ) f(x) h x > n. Aus Stetigkeitsgründen gibt es dann δ x > 0, ε x > 0 mit f(y + h x ) f(y) h x > n + ε x. für y B δx (x). Diese Kugeln überdecken das kompakte Intervall [ 0, 1 1 n], es reichen also endlich viele mit Mittelpunkten x 1,..., x m. Setze ε min{ε x1,..., ε xm } > 0. Dann gilt für y [ 0, 1 1 n] beliebig: f(y + ) f(y) > n + ε, wobei h xj dass so gewählt ist, dass y B δxj (x j ). Es sei nun η > 0 so gewählt, 2η ε 2 3
4 für j 1,..., m ist. Es sei g B η (f). Dann ist für y [ 0, 1 1 n] beliebig, hj wie oben gewählt: Also ist n + ε < f(y + ) f(y) f(y + ) g(y + ) + g(y + ) g(y) + g(y) f(y) 2η + g(y + ) g(y) ε 2 + g(y + ) + g(y). n < g(y + ) + g(y), somit g / E n. Es bleibt zu zeigen, dass E n nirgends dicht ist. Da E n abgeschlossen ist, ist dies gleichbedeutend damit, dass E c n dicht ist. Da nach dem Weierstraßschen Approximationssatz die Menge der Polynome dicht in C([0, 1], R) liegt, genügt es also zu zeigen, dass sich Polynome mit Funktionen aus E c n approximieren lassen. Es sei also p : [0, 1] R ein beliebiges Polynom. Ferner sei f : [0, 1] R eine stückweise lineare Funktion mit sup x [0,1] f(x) < ε und f (x) ±(sup y [0,1] p (y) + 2n) an den Stellen, wo f differenzierbar ist. Dann ist d(p + f, p) < ε. Ferner ist F p + f in jedem x [ 0, 1 1 n] rechtsseitig differenzierbar und es ist F (x + h) F (x) F (x + h) F (x) sup lim h h (0, n] 1 h 0 + h p (x) + lim f (x + h) h 0 + p (x) sup p (x) 2n 2n. x [0,1] Somit ist F E c n und ε-nah an p, p liegt also in E c n, somit sind diese Mengen dicht bzw. die Mengen E n sind nirgends dicht. Nun ist C([0, 1], R) ein vollständiger metrischer Raum, nach dem Baireschen Kategoriensatz muss es also Elemente geben, welche nicht in E n N E n liegen. E sind aber gerade die rechtsseitig differenzierbaren Funktionen. Somit gibt es nirgends differenzierbare, stetige Funktionen und diese bilden sogar eine Menge zweiter Kategorie. Die Aufgaben sollen bis zur Übung am 19. April 2016 bearbeitet werden. 4
5 Raum der Woche Bezeichnung: l p für{ 1 p < } Definition: l p x : N K x n p < i1 ( ) 1 p Norm: x l p x n p Dualraum: l q mit 1 p + 1 q 1 mit 1 < q Dualraum zu: l q mit 1 p + 1 q 1 für p > 1 Reflexiv: ja, falls p > 1 Kriterium für Kompaktheit: Kriterium für schwache Konvergenz: Weitere Aspekte: i1 Σ(shift ± ); separabel; Hilbertraum für p 2. 5
Die Topologie von R, C und R n
Die Topologie von R, C und R n Für R haben wir bereits eine Reihe von Strukturen kennengelernt: eine algebraische Struktur (Körper), eine Ordnungsstruktur und eine metrische Struktur (Absolutbetrag, Abstand).
MehrLösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3
Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen
Mehr8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Beweis. 1. Sei A X abgeschlossen, dann ist X \ A offen und jede offene Überdeckung von A lässt sich durch Hinzunahme von X \ A auf ganz X fortsetzen. Die Kompaktheit von X erlaubt
MehrInhaltsverzeichnis. 6 Topologische Grundlagen. 6.1 Normierte Räume
Inhaltsverzeichnis 6 Topologische Grundlagen 1 6.1 Normierte Räume................................ 1 6.2 Skalarprodukte................................. 2 6.3 Metrische Räume................................
MehrÜbungen zur Funktionalanalysis Lösungshinweise Blatt 4
Übungen zur Funktionalanalysis Lösungshinweise Blatt 4 Aufgabe 13 Wie üblich sei l 1 = {x : N K x n < } mit Norm x l 1 = x n und l = {x : N K sup n N x n < } mit x l = sup n N x n Für die Unterräume d
MehrWiederholung. Wir wiederholen einige Begriffe und Sätze der Analysis, die in der Maßtheorie eine wichtige Rolle spielen.
Wiederholung Wir wiederholen einige Begriffe und Sätze der Analysis, die in der Maßtheorie eine wichtige Rolle spielen. Definition. Sei X eine Menge und d : X X R eine Abbildung mit den Eigenschaften 1.
Mehr(c) (a) X ist abgeschlossen. X = A,wobeiderDurchschnittüberalleabgeschlossenenMengengebildet wird, die X enthalten. (d) (e)
27 15. Metrische Räume Mit Hilfe einer Norm können wir den Abstand x y zweier Punkte x, y messen. Eine Metrik ist eine Verallgemeinerung dieses Konzepts: 15.1. Metriken. Es sei M eine beliebige Menge.
MehrAnalysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
MehrVollständigkeit. Andreas Schmitt. Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13
Vollständigkeit Andreas Schmitt Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13 1 Einleitung Bei der Konvergenz von Folgen im Raum der reellen Zahlen R trifft man schnell auf den Begriff der Cauchy-Folge.
MehrTopologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung
Kapitel 1 Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande J. W. Goethe In diesem Kapitel bringen wir die Begriffe Umgebung, Konvergenz,
Mehr12 Biholomorphe Abbildungen
12 Biholomorphe Abbildungen 2 Funktionenräume Wir erinnern zunächst an den Weierstraßschen Konvergenzsatz : 2.1 Satz. Sei G C ein Gebiet, (f n ) eine Folge holomorpher Funktionen auf G, die auf G kompakt
MehrD-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 11. d(x, y) := n 0. 2 n d n (x n, y n ),
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösung 11 1. a) Da (C n, d n ) kompakt ist, nimmt die stetige Funktion d n : C n C n [0, ), (x, y) d(x, y) ihr Maximum diam C n an. Ersetzen wir d n durch d n =
MehrDefinition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i
3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und
MehrDefinition Eine Metrik d auf der Menge X ist eine Abbildung d : X X IR
0 Inhaltsverzeichnis 1 Metrik 1 1.1 Definition einer Metrik............................. 1 1.2 Abstand eines Punktes von einer Menge................... 1 1.3 Einbettung eines metrischen Raumes in einen
Mehrd(x, z) = z x = y x + z y y x + z y = d(x, y) + d(y, z). d(x, y) = 0, falls x = y.
Metrische Räume K bezeichnet entweder den Körper R oder den Körper C. Genauer bedeutet dies: K wird in denjenigen Situationen verwendet, in denen die Ersetzung von K sowohl durch R als auch durch C einen
Mehrist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch i y i i=1
24 14 Metrische Räume 14.1 R n als euklidischer Vektorraum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der skalaren Multiplikation x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx
Mehr22 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN. Um zu zeigen, dass diese Folge nicht konvergent ist, betrachten wir den punktweisen Limes und erhalten die Funktion
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Um zu zeigen, dass diese Folge nicht konvergent ist, betrachten wir den punktweisen Limes und erhalten die Funktion 1 für 0 x < 1 g 0 (x) = 1 1 für < x 1. Natürlich gibt dies von
Mehr4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92
Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene
MehrÜbungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion
Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Um die hier gestellten Aufgaben zu lösen brauchen wir ein wenig Kentnisse über das Infimum bzw. Supremum einer Menge.
MehrTopologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen
Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen
MehrStetigkeit, Konvergenz, Topologie
Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Stetigkeit, Konvergenz, Topologie 21.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Stetigkeit und Konvergenz
MehrEtwas Topologie. Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann
Etwas Topologie Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann Literatur Abraham, Marsden, Foundations of Mechanics, Addison Wesley 1978, Seiten 3 17 Definition. Ein topologischer
MehrZusammenfassung Analysis 2
Zusammenfassung Analysis 2 1.2 Metrische Räume Die Grundlage metrischer Räume bildet der Begriff des Abstandes (Metrik). Definition 1.1 Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge
MehrUltrametrik. Christian Semrau Metrische Räume
Ultrametrik Christian Semrau 05.11.2002 Inhaltsverzeichnis 1 Metrische Räume 1 1.1 Definition der Metrik.................................. 1 1.2 Offene und abgeschlossene Mengen..........................
MehrEinführung in die Topologie - Sommer Lösungen 4.
Einführung in die Topologie - Sommer 2012 Lösungen 4. (1) Wir brauchen eine Vorbereitung (vgl. Abs. 2 der Angabe): Sei (x n ) eine Folge in X. Sei x ein Punkt, dessen Umgebungen unendlich viele Folgenglieder
MehrCauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das
MehrTopologische Grundbegriffe in metrischen und topologischen
KAPITEL 1 Topologische Grundbegriffe in metrischen und topologischen Räumen Die topologischen Grundbegriffe offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Inneres einer Menge und Abschließung einer Menge, Stetigkeit
Mehr9 Metrische und normierte Räume
9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik
MehrSatz Eine Teilmenge U von M ist genau dann offen, wenn jeder Punkt von U innerer Punkt ist. U x, und U ist als Vereinigung offener Mengen offen.
Ergänzungen zu offenen und abgeschlossenen Mengen Definition Ist L Teilmenge eines topologischen Raums M, so heißt x L innerer Punkt von L, wenn es eine offene Umgebung von x gibt, die ganz in L liegt.
MehrElemente der mengentheoretischen Topologie
Elemente der mengentheoretischen Topologie Es hat sich herausgestellt, dass das Konzept des topologischen Raumes die geeignete Struktur darstellt für die in der Analysis fundamentalen Begriffe wie konvergente
Mehr1 Topologische und metrische Räume
1 Topologische und metrische Räume 1.1 Topologische Räume und stetige Abbildungen Eine Topologie τ auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen von X, die offene Mengen genannt werden, mit: (a) und
MehrÜbungen zu Grundbegriffe der Topologie
Übungen zu Grundbegriffe der Topologie A. Čap Wintersemester 2018 (1) Wiederholen Sie die Definition des Durchschnittes i I A i einer beliebigen Familie {A i : i I} von Mengen und zeigen Sie, dass für
MehrHöhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt
Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt 1 11.10.2016 Aufgabe 1. Berechne die Normen der Operatoren (a) f L [0, 1], M f : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1], (M f g)(x) = f(x)g(x). (b) g C[0, 1], T g : C[0,
MehrKompaktheit und Überdeckungen. 1 Überdeckungskompaktheit
Vortrag zum Proseminar zur Analysis, 17.05.2010 Min Ge, Niklas Fischer In diesem Vortrag werden die Eigenschaften von kompakten, metrischen Räumen vertieft. Unser Ziel ist es Techniken zu erlernen, um
MehrFUNKTIONALANALYSIS. Carsten Schütt WS 2006/7
1. Eine Teilmenge K eines topologischen Raumes heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in K eine Teilfolge enthält, die in K konvergiert. Die Menge K heißt abzählbar kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge
MehrVorlesung Topologie. Dirk Kussin
Vorlesung Topologie (Sommersemester 2008) Dirk Kussin Institut für Mathematik, Universität Paderborn, Germany E-mail address: dirk@math.upb.de Hinweis. Für Druckfehler wird keine Haftung übernommen. Inhaltsverzeichnis
Mehr4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 91
Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : R R systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene
MehrAnalyis I -Metrische Räume - eine Einführung in die Topologie
Analyis I -Metrische Räume - eine Einführung in die Topologie E = E isolierter Punkte x 1 x 2 x 3 E ist abgeschlossen U ɛ (x) x innerer Punkt Ω Häufungspunkte Ω Metrik Metrische Räume Definition Sei X
MehrAnalysis I. Guofang Wang Universität Freiburg
Universität Freiburg 30.11.2016 5. Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,..., x n ) : x i R} = } R. {{.. R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum
MehrWie in der reellen Analysis üblich notiert man Folgen f in der Form
2.1.3 Folgen und Konvergenz Viele aus der Analysisvorlesung bekannte Begriffe lassen sich in den Bereich der metrischen Räume verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung hat sich als sehr nützliches mathematisches
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel IV SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
Mehr1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen
1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09
MehrJ.M. Sullivan, TU Berlin B: Metrische Räume Analysis II, WS 2008/09
B. METRISCHE RÄUME B1. Definition Definition B1.1. Sei X eine Menge. Eine Funktion oder Abbildung d : X X R heißt dann eine Metrik auf X, falls für alle x, y, z X die folgenden (axiomatischen) Bedingungen
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 03
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 03 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik 02. Mai 2014 Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument
Mehr1 Topologie in metrischen Räumen
1 Topologie in metrischen Räumen 1 1.1 Metrische und normierte Räume Das Ziel dieses Abschnitts ist es, die Erkenntnisse über Folgen (und Reihen) reeller Zahlen aus dem vergangenen Semester zu verallgemeinern.
Mehr8.1. DER RAUM R N ALS BANACHRAUM 17
8.1. DER RAUM R N ALS BANACHRAUM 17 Beweis. Natürlich ist d 0 und d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y. Wegen (N2) ist x = x und damit d(x, y) = d(y, x). Die letzte Eigenschaft einer Metrik schließt man
MehrKapitel 8 - Kompakte Räume
Kapitel 8 - Kompakte Räume Ein Vortrag von Philipp Dittrich nach B.v.Querenburg: Mengentheoretische Topologie Inhalt 8.1 Definition Kompaktheit....................... 2 Beispiel - das Intervall (0,1).....................
Mehrmit 0 <b<1 und einer ungeraden natürlichen Zahl a mit ab > π.was die Bairesche Methode aber zeigt, ist, dass solche
I.9 Aufgaben 47 mit 0
MehrLösung zu Kapitel 5 und 6
Lösung zu Kapitel 5 und 6 (1) Sei f eine total differenzierbare Funktion. Welche Aussagen sind richtig? f ist partiell differenzierbar f kann stetig partiell differenzierbar sein f ist dann immer stetig
MehrTopologie. Ernst Albrecht. Vorlesung im Sommersemester 2007 Universität des Saarlandes Saarbrücken Stand: 20. Juli 2007
Topologie Ernst Albrecht e Vorlesung im Sommersemester 2007 Universität des Saarlandes Saarbrücken Stand: 20. Juli 2007 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Topologische Grundbegriffe in metrischen und topologischen
MehrVollständiger Raum, Banachraum
Grundbegriffe beschränkte Menge Cauchyfolge Vollständiger Raum, Banachraum Kriterium für die Vollständigkeit Präkompakte Menge Kompakte Menge Entropiezahl Eigenschaften kompakter und präkompakter Mengen
MehrAufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie
Aufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie Günther Hörmann, Roland Steinbauer Die vorliegende Aufgabensammlung dient als Grundlage für die Übungen zu Grundbegriffe der Topologie, das die gleichnamige
MehrHäufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.
Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge
MehrVergleich und Erzeugung von Topologien und topologischen
KAPITEL 3 Vergleich und Erzeugung von Topologien und topologischen Räumen 3.1. Definition. Auf einer Menge X seien zwei Topologien τ und σ gegeben. Ist jede bezüglich σ offene Menge auch bezüglich τ offen,
MehrKommutativität. De Morgansche Regeln
1. Formale Logik Proposition 1.1. Die logischen Elementarverknüpfungen gehorchen folgenden Äquivalenzen: (1.1) (1.2) p p p p p p Idempotenz (1.3) (1.4) p q q p p q q p Kommutativität (1.5) (1.6) (p q)
MehrTopologie - Übungsblatt 1
1 Topologie - Übungsblatt 1 1. Sei τ die cofinite Topologie auf einer Menge X. Man zeige: i) Ist X abzählbar, dann ist (X, τ) ein A 2 -Raum. ii) Ist X überabzählbar, dann ist (X, τ) kein A 1 -Raum. 2.
MehrKlausur - Analysis I Lösungsskizzen
Klausur - Analysis I Lösungsskizzen Aufgabe 1.: 5 Punkte Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kennzeichnen Sie wahre Aussagen mit und falsche Aussagen mit. Es sind keine Begründungen
MehrErste topologische Eigenschaften: Zusammenhang und Kompaktheit
Abschnitt 2 Erste topologische Eigenschaften: Zusammenhang und Kompaktheit Zusammenhang 2.1 Definition. Ein Raum X heißt zusammenhängend, wenn er außer X und Ø keine Teilmengen hat, die zugleich offen
MehrAnalysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Definition: Sei M R, alsom
MehrSerie 2 Lösungsvorschläge
D-Math Mass und Integral FS 214 Prof. Dr. D. A. Salamon Serie 2 Lösungsvorschläge 1. Seien folgende Mengen gegeben: und für a, b R R := [, ] := R {, }, (a, ] := (a, ) { }, [, b) := (, b) { }. Wir nennen
MehrStetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, D) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. i) f heißt stetig in x 0 (x 0 D(f)), wenn
Stetige Funktionen Eine zentrale Rolle in der Analysis spielen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume). Dabei sind i.a. nicht beliebige
MehrElemente der Topologie
Vorlesungsmanuskript: Wintersemester 2009/10 Elemente der Topologie Wolfgang Arendt i Einleitung Das Wort Topologie setzt sich aus den griechischen Wörtern topos = Ort und logos = Lehre zusammen. In einem
MehrKompaktheit in topologischen Räumen
Kompaktheit in topologischen Räumen Joel Gotsch 21. Januar 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Notation und Allgemeines 2 2 Definitionen 2 2.1 Allgemeine Definitionen..................... 2 2.2 Globale Kompaktheitseigenschaften...............
MehrAnalysis 2. Contents. Torsten Wedhorn. June 12, Notation. Es bezeichne K immer den Körper R der reellen Zahlen oder den Körper C der komplexen
Analysis 2 Torsten Wedhorn June 12, 2012 Notation Es bezeichne K immer den Körper R der reellen Zahlen oder den Körper C der komplexen Zahlen. Contents 12 Metrische Räume 2 (A) Definition metrischer Räume........................
MehrBeschränktheits- und Kompaktheitsbegriffe
Beschränktheits- und Kompaktheitsbegriffe Alexander Marcel Birx E-Mail: alexander_marcel.birx@stud.tu-darmstadt.de Fachbereich Mathematik, Technische Universität Darmstadt Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort
MehrAufgabe 4.1 Beweise: Jede abzählbare, lokalkompakte Gruppe G ist diskret.
4. Übungsettel ur Vorlesung Lokalkompakte Gruppen Lösung WiSe 2017/18 WWU Münster Prof. Dr. Linus Kramer Nils Leder Antoine Beljean Aufgabe 4.1 Beweise: Jede abählbare, lokalkompakte Gruppe G ist diskret.
MehrAngewandte Funktionalanalysis
Springer-Lehrbuch Masterclass Angewandte Funktionalanalysis Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen Bearbeitet von Manfred Dobrowolski 1. Auflage 2005. Taschenbuch. XII,
MehrMerkblatt zur Funktionalanalysis
Merkblatt zur Funktionalanalysis Literatur: Hackbusch, W.: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen. Teubner, 986. Knabner, P., Angermann, L.: Numerik partieller Differentialgleichungen.
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Einleitung Konstruktion der Topologie auf D(Ω) Der Testfunktionenraum D(Ω), T... 8
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung...................................... 2 2 Konstruktion der Topologie auf D(Ω)...................... 3 ( ) 3 Der Testfunktionenraum D(Ω), T....................... 8 1 1 Einleitung
Mehr4 Funktionenfolgen und normierte Räume
$Id: norm.tex,v 1.9 2011/06/01 15:13:45 hk Exp $ $Id: jordan.tex,v 1.3 2011/06/01 15:30:12 hk Exp hk $ 4 Funktionenfolgen und normierte Räume 4.5 Normierte Räume In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff
MehrKonvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff
Abschnitt 4 Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff In metrischen Räumen kann man topologische Begriffe wie Stetigkeit, Abschluss, Kompaktheit auch mit Hilfe von Konvergenz von Folgen charakterisieren.
MehrKlausur - Analysis I Lösungsskizzen
Klausur - Analysis I Lösungsskizzen Aufgabe 1.: 5 Punkte Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kennzeichnen Sie wahre Aussagen mit W und falsche Aussagen mit F. Es sind keine Begründungen
Mehr34 Äquivalenz von Normen; Stetigkeit und Kompaktheit in endlich-dimensionalen
34 Äquivalenz von Normen; Stetigkeit und Kompaktheit in endlich-dimensionalen R-Vektorräumen 34.1 Äquivalenz von Normen 34.3 Stetigkeit und Normen linearer Abbildungen 34.4 Äquivalente Normen sind gegeneinander
MehrAktuelle Themen aus der Stochastik Wintersemester 2017/2018 Abschnitt 5: Endliche Maße und schwache Konvergenz von Maßen in metrischen Räumen
Aktuelle Themen aus der Stochastik Wintersemester 2017/2018 Abschnitt 5: Endliche Maße und schwache Konvergenz von Maßen in metrischen Räumen Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut
MehrKapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
MehrEINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014)
EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) BERNHARD HANKE 7.4.14 1. Metrische Räume und topologische Räume Definition 1.1. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Abbildung
MehrEINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2012)
EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2012) BERNHARD HANKE 16.4.12 1. Metrische Räume und topologische Räume Definition 1.1. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Abbildung
MehrHilfsmittel zur mengentheoretischen Topologie
Hilfsmittel zur mengentheoretischen Topologie Nicolas Ginoux Universität Regensburg - WS 2008/9 11. Oktober 2012 Das Zeichen *** signalisiert eine Feinheit, die beim ersten Lesen übergangen werden kann.
MehrMetrische Räume. Kapitel Begriff des metrischen Raumes
Kapitel 8 Metrische Räume 8.1 Begriff des metrischen Raumes Bemerkung 8.1 Motivation. In diesem Abschnitt wird der Begriff des Abstandes zwischen reellen Zahlen verallgemeinert. Das ist notwendig, um Analysis
MehrKonvergenz. Definition. Sei (X, τ) ein topologischer Raum, (x n ) eine Folge in X und x X.
Konvergenz I. Folgen Definition. Sei (X, τ) ein topologischer Raum, (x n ) eine Folge in X und x X. (i) (x n ) konvergiert gegen x, wenn in jeder Umgebung von x fast alle Folgenglieder liegen, (ii) x ist
MehrAufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie
Aufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie Sommersemester 2015 (Version 21. Juni 2015) Die vorliegende Aufgabensammlung dient als Grundlage für die Übungen zu,,grundbegriffe der Topologie, die die gleichnamige
MehrWir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. x, y, z X (Dreiecksungleichung).
Kapitel 4 Metrische Räume und Stetigkeit 4.1 Metrische und normierte Räume 4.2 Folgen in metrischen Räumen 4.3 Offene und abgeschlossene Mengen 4.4 Stetige Funktionen 4.5 Grenzwerte von Funktionen 4.6
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
MehrAktuelle Themen aus der Stochastik Wintersemester 2017/2018 Abschnitt 3: Metrische und polnische Räume
Aktuelle Themen aus der Stochastik Wintersemester 2017/2018 Abschnitt 3: Metrische und polnische Räume Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober/November 2017
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Auf dem R n gibt es sehr viele verschiedene Normen, allerdings hängen sehr viele wichtige Begriffe wie die Konvergenz
MehrTechnische Universität München. Aufgaben Mittwoch SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 2 für Physiker Aufgaben Mittwoch SS 2012 Aufgabe 1 Äquivalente Aussagen für Stetigkeit( ) Beweisen Sie folgenden Satz: Seien X und Y metrische
MehrMathematik I. Vorlesung 22. Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Karl Weierstraß ( )
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 22 Der Satz von Bolzano-Weierstraß Karl Weierstraß (1815-1897) Satz 22.1. (Bolzano-Weierstraß) Es sei (x n ) n N eine beschränkte Folge
Mehr5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.
MehrFunktionalanalysis. Prof. Dr. W. Timmermann. TU Dresden Fakultät Mathematik Institut Analysis. Francesco Kriegel SS 2008 & WS 2008/2009
Funktionalanalysis Prof. Dr. W. Timmermann Francesco Kriegel TU Dresden Fakultät Mathematik Institut Analysis SS 2008 & WS 2008/2009 15. April 2009 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Grundlagen aus der Topologie
MehrProseminar. Grundbegriffe der Topologie
Proseminar Grundbegriffe der Topologie WS 2004/05 M. Grosser Die folgenden vier Aufgaben dienen der Wiederholung mengentheoretischer Grundlagen. 1) Wie lauten die Definitonen von A i und A i? i I i I 2)
MehrLösungsvorschlag zum 2. Übungsblatt zur Vorlesung Analysis II im Sommersemester Mai 2018
Institut für Analysis Prof. Dr. Michael Plum M.Sc. Jonathan Wunderlich Lösungsvorschlag zum. Übungsblatt zur Vorlesung Analysis II im Sommersemester 08 3. Mai 08 Aufgabe 5 (K: Es seien n N und A R n eine
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2018 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 52 Auf dem R n gibt es sehr viele verschiedene Normen, allerdings hängen sehr viele wichtige Begriffe wie die
MehrSpickzettel Mathe C1
Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine
MehrL 2 -Theorie und Plancherel-Theorem
L -Theorie und Plancherel-Theorem Seminar Grundideen der Harmonischen Analysis bei Porf Dr Michael Struwe HS 007 Vortrag von Manuela Dübendorfer 1 Wiederholung aus der L 1 -Theorie Um die Fourier-Transformation
MehrMusterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
Mehralso ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges
11. Kompakte Operatoren Seien X, Y Banachräume, und sei T : X Y ein linearer Operator. Definition 11.1. T heißt kompakt, enn T (B) eine kompakte Teilmenge von Y ist für alle beschränkten Mengen B X. Wir
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
Mehr