FUNKTIONALANALYSIS. Carsten Schütt WS 2006/7

Transkript

1 1. Eine Teilmenge K eines topologischen Raumes heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in K eine Teilfolge enthält, die in K konvergiert. Die Menge K heißt abzählbar kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge von K einen Häufungspunkt besitzt, der in K liegt. In einem metrischen Raum sind äquivalent: (i) Die Menge K ist kompakt. (ii) Die Menge K ist abzählbar kompakt. (iii) Die Menge K ist folgenkompakt. ist 2. Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Der Durchmesser einer Menge A d(a) = sup{d(x, y) x, y A} Eine Teilmenge heißt total beschränkt, wenn es zu jedem ɛ>0 eine Überdeckung von endlich vielen Mengen gibt, deren Durchmesser kleiner als ɛ ist. Eine kompakte Teilmenge in einem metrischen Raum ist total beschränkt. 3. Es sei (X, T X ) ein kompakter, topologischer Raum, (Y,T Y ) ein topologischer Hausdorff Raum und f : X Y eine bijektive, stetige Abbildung. Dann ist f 1 auch stetig. Abgabe: Montag,

2 4. T sei die Topologie auf R n, die von der Euklidischen Norm erzeugt wird und S sei die Produkttopologie auf dem R n, die von der üblichen Topologie auf R erzeugt wird. Dann sind T und S gleich. 5. Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie vollständig und total beschränkt ist. 6. (siehe Skript) Es sei C die Cantor-Menge, die mit der von R induzierten Topologie ausgestattet ist. Der zweielementige Raum {0, 1} sei mit der diskreten Topologie ausgestattet und n N {0, 1} = {0, 1}N mit der Produkttopologie. Dann sind C und {0, 1} N homöomorph. Insbesondere ist {0, 1} N kompakt. Abgabe: Montag,

3 7. Jede stetige Abbildung eines kompakten metrischen Raumes in einen metrischen Raum ist gleichmäßig stetig. 8. (i) Der R n mit der üblichen Topologie ist ein topologischer Vektorraum über dem Körper R. (ii) Der R n mit der Topologie T = {, R n } ist ein topologischer Vektorraum über dem Körper R. 9. (siehe Skript) Es sei I eine überabzählbare Menge und T =[0, 1] I mit der Produkttopologie. Es sei S = {t T {ι t(ι) 0} ist abzählbar} Die Menge S ist nicht kompakt, aber S ist folgenkompakt. T =[0, 1] I ist nicht metrisierbar, d.h. es gibt keine Metrik, die die Topologie erzeugt. Abgabe: Montag,

4 10. (siehe Skript) (i) [0, 1] [0,1] mit der Produkttopologie ist kompakt, aber nicht folgenkompakt. (ii) {0, 1} [0,1] ist kompakt, aber nicht folgenkompakt. (iii) [0, 1] [0,1] und {0, 1} [0,1] sind nicht metrisierbar, d.h. es gibt keine Metrik, die die Topologie erzeugt. 11. (i) Der Raum der stetigen Funktionen C[a, b] mit der Norm f = max f(x) x [a,b] ist ein Banachraum. (ii) Der Raum der beschränkten Folgen l = {(x i ) i=1 sup x i < } i N mit der Norm x = sup x i i N ist ein Banachraum. (iii) Der Raum aller konvergenten Folgen c = {(x i ) i=1 lim i x i existiert} mit der Norm x = sup x i i N ist ein Banachraum. c ist ein abgeschlossener Teilraum von l. (iv) Der Raum aller gegen 0 konvergenten Folgen c 0 = {(x i ) i=1 lim i x i =0} mit der Norm x = sup x i i N 4

5 ist ein Banachraum. c ist ein abgeschlossener Teilraum von c und l. 12. (Skript) Es sei C[0, 1] der Raum aller stetigen Funktionen f :[0, 1] R mit der Norm f = max x [0,1] f(x). Eine Teilmenge F von C[0, 1] heißt gleichstetig, wenn für alle ɛ>0 ein δ>0 existiert, so dass für alle x, y [0, 1] mit x y <δund für alle f F f(x) f(y) <ɛ gilt. Eine kompakte Teilmenge von C[0, 1] ist abgeschlossen, beschränkt und gleichstetig. Abgabe: Montag,

6 13. Es sei C[0, 1] der Raum aller stetigen Funktionen f :[0, 1] R mit der Norm f = max x [0,1] f(x). (i) Ist die Menge f n, n =0, 1,..., mit f 0 = 0 und f n (x) =x n, n =1, 2,... kompakt? (ii) Ist die Menge g n, n =1, 2,..., mit g n (x) = sin nx kompakt? (iii) Ist die abgeschlossene Einheitskugel {f f 1} kompakt? 14. Es seien a 0, b 0 und 0 <t<1. Es gilt genau dann wenn a = b. a t b 1 t = ta +(1 t)b, 15. Es sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. (i) L ist ein Banachraum. (ii) Falls f und g messbare Funktionen sind, dann gilt fg 1 f 1 g Es gilt genau dann Gleichheit, wenn auf der Menge {x f(x) 0} mit Ausnahme einer Nullmenge g(x) = g gilt. Abgabe: Montag,

7 16. Es sei X ein normierter Raum und Y ein abgeschlossener Teilraum. Dann ist die Quotientenabbildung Q : X X/Y, Q(x) =[x], eine offene Abbildung. 17. Es seien X, Y und Z Banachräume. Dann gilt (i) K(X, Y ) ist ein abgeschlossener Teilraum von L(X, Y ). (ii) Es seien T L(X, Y ) und S L(Y,Z). Falls T oder S kompakt ist, dann ist auch S T kompakt. 18. Es seien X und Y Banachräume und T L(X, Y ). Es sei T n L(X, Y ), so dass für alle n N das Bild von T n endlich-dimensional ist und T n in der Norm gegen T konvergiert. Dann T ist kompakt. Abgabe: Montag,

8 19. Auf jedem reellen, normierten, unendlichdimensionalen Raum gibt es unstetige Funktionale. 20. Berechne die Normen der folgenden Funktionale auf C[ 1, 1] mit der Supremumsnorm. (i) φ(f) = (iii) φ(f) = (v) φ(f) = f(x)dx (ii) φ(f) = 1 f(x)dx f(0) (iv) φ ɛ (f) = ( 1) n f n=1 n 2 ( ) 1 n (vi) φ n (f) = 1 sgn(x)f(x)dx f(ɛ)+f( ɛ) 2f(0) 1 1 ɛ 2 f(x)dx 1 2n +1 n k= n f ( ) k n 21. Es sei P der Teilraum aller Polynome in C[0, 1] mit der Supremumsnorm. Welche der folgenden Funktionale auf P kann zu einem stetigen Funktional auf C[0, 1] fortgesetzt werden? Es sei p(x) = n k=0 a kx k. Es sei N N und c R N. (i) φ(p) =a 0 (ii) φ(p) = (iii) φ(p) = n k=0 n ( 1) k a k (iv) φ(p) = k=0 a k N c k a k k=0 Abgabe: Montag,

9 22. (Skript) Es sei L 2 ([ 1, 1]) der Raum aller quadratintegrierbaren Funktionen bzgl. des Lebesgue Maßes. Für jede Zahl α sei E α die Menge aller stetigen Funktionen f auf [ 1, 1] mit f(0) = α. Zeige, dass E α konvex ist und dicht in L 2 ([ 1, 1]) ist. Zeige weiter, dass E α und E β für α β zwei disjunkte, konvexe Mengen sind, die sich nicht durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen lassen. 23. (Skript) Es seien A = {x l 1 n N m >n: x m = 0 und x n > 0} B = {x l 1 n N m >n: x m = 0 und x n < 0} A und B sind disjunkte, konvexe Mengen, die durch keine abgeschlossene Hyperebene getrennt werden können. 24. (Skript) Es seien a und b zwei nichtnegative, wachsende Folgen mit lim n b n = und a n =2 n b n. Es seien A und B Teilmengen von l 1 mit und A = {x n 2:x(n) =0} B = {x n 2:x(1) a n x(n) b n } A und B sind abgeschlossene, unbeschränkte, konvexe, disjunkte Mengen. Es gibt keine abgeschlossene Hyperebene, die diese beiden Mengen trennt, d.h. es gibt kein stetiges Funktional φ mit φ 0, so dass sup φ(x) inf φ(x). x A x B Abgabe: Montag,

10 25. Es sei P der Vektorraum aller Polynome einer reellen Veränderlichen. Es sei A die Menge aller Polynome, deren Koeffizient der höchsten Potenz strikt größer als 0 ist. B sei die Menge aller Polynome, deren Koeffizient der höchsten Potenz strikt kleiner als 0 ist. Dann sind A und B disjunkte, konvexe Mengen und sie lassen sich durch kein von 0 verschiedenes Funktional trennen. 26. Das Funktional φ : C[0, 1] R sei durch φ(f) = f(t)dt f(t)dt gegeben. (i) Ist φ eine offene Abbildung? (ii) Bildet φ abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab? (iii) Nimmt φ das Supremum über der abgeschlossenen Einheitskugel an? Wenn ja, für welchen Vektor? (iv) Was ist das Bild der abgeschlossenen Einheitskugel unter der Quotientenabbildung q : C[0, 1] C[0, 1]/ Kern φ? (v) Bildet die Quotientenabbildung q : C[0, 1] C[0, 1]/ Kern φ abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab? 27. Zu jedem Banachraum X gibt es eine Menge I, so dass X isometrisch isomorph zu einem Teilraum von { } l (I) = x : I R sup x(i) < i I mit der Norm ist. Abgabe: Montag, x = sup x(i) i I 10

11 28. Der Raum l (I) hat die 1-Fortsetzungseigenschaft. 29. Ein Banachraum X hat genau dann die t-fortsetzungseigenschaft, wenn er die t-projektionseigenschaft besitzt. 30. Es seien X und Y Banachräume und B : X Y R eine bilineare Abbildung. (i) B ist genau dann stetig, wenn B in (0, 0) stetig ist. (ii) B ist genau dann stetig, wenn B = sup B(x, y) < x = y =1 (iii) B ist genau dann stetig, wenn es eine Konstante C gibt, so dass für alle x X und alle y Y B(x, y) C x y gilt. (iv) B sei in x für festes y und in y für festes x stetig. Dann ist B stetig. Abgabe: Montag,

12 31. Es sei X der Vektorraum aller reellen Polynome auf dem Intervall [0, 1] mit der Norm 1 p = p(t) dt B : X X R sei durch B(p, q) = p(t)q(t)dt gegeben. Dann ist B in den einzelnen Variablen stetig, aber nicht stetig. 32. Es seien X ein metrischer Raum und K ein kompakter, metrischer Raum. Die Abbildung f : X K besitze einen abgeschlossenen Graphen. Dann ist f stetig. Gilt die Aussage auch, wenn X kompakt ist, K aber nicht? 33. Ein Banachraum heißt separabel, wenn er eine abzählbare, dichte Teilmenge enthält. Welche der folgenden Banachräume sind separabel: l p, 1 p, L p [0, 1], 1 p, C[0, 1]? Abgabe: Montag,

13 34. Ein Hilbertraum ist genau dann separabel, wenn alle Orthonormalbasen abzählbar sind. 35. l 2 und L 2 [0, 1] sind isometrisch isomorph. 36. (i) Für alle n N ist die Menge E n = {f C[0, 1] x 0 [0, 1] x [0, 1] : f(x) f(x 0 ) n x x 0 } in C[0, 1] nirgends dicht. (ii) Die Menge der stetigen, nirgends differenzierbaren Funktionen sind in C[0, 1] von 2. Kategorie. (Hinweis: Man kann jede stetige Funktion f C[0, 1] gleichmäßig durch stetige Funktionen g approximieren, die stückweise affin sind und deren Ableitung entweder -2n oder 2n ist. Damit gilt für alle h, wobei g h hinreichend klein ist, dass h/ E n.) Abgabe: Montag,

14 36. Der Dualraum von c 0 ist isometrisch isomorph zu l 1 und der Dualraum von l 1 ist isometrisch isomorph zu l. c 0, l 1 und l sind nicht reflexiv. 37. c 0 ist nicht isomorph zu einem Dualraum. (Hinweis: Benutze das Lemma von Dixmier und benutze, dass c 0 nicht in l komplementiert ist.) Abgabe: Montag,

15 Carsten Schütt SS (i) Die abgeschlossene Einheitskugel von c 0 ist nicht schwach kompakt. Zeige dazu, dass die Folge n i=1 e i, n N, kein konvergentes Teilnetz besitzt. (ii) Die abgeschlossene Einheitskugel von l 1 ist nicht schwach kompakt. Zeige dazu, dass die Folge e n, n N, kein konvergentes Teilnetz besitzt. 39. Die abgeschlossene Einheitskugel von l (R) ist schwach* kompakt, aber nicht schwach* folgenkompakt. Insbesondere besitzt jede Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel von l (R) ein konvergentes Teilnetz. 40. Es sei e n, n N, die Einheitsvektoren in l 2 und A = {e m + me n 1 m<n< } Dann liegt 0 im schwachen Abschluss der Menge A, 0 A schw, aber es gibt keine Folge in A, die schwach gegen 0 konvergiert. Abgabe: Montag,

16 Carsten Schütt SS Ein Banachraum ist genau dann in der schwachen Topologie vollständig, wenn er endlich-dimensional ist. 42. Die schwache Topologie eines Banachraumes ist genau dann metrisierbar, wenn der Raum endlich-dimensional ist. 43. Jeder uniform konvexe Raum ist strikt konvex. Abgabe: Montag,

17 Carsten Schütt SS (i) Es sei H ein unendlich dimensionaler Hilbertraum. Das Skalarprodukt <, >: (H, T schw ) (H, T schw ) R ist in den beiden Variablen separat stetig, aber nicht stetig. (ii) Es sei X ein unendlich dimensionaler normierter Raum. Die bilineare Abbildung B :(X, T schw* ) (X, T schw ) R mi B(x,x)=x (x) ist in bei den Variablen separat stetig, aber nicht stetig. 45. Es sei K ein kompakter Hausdorff Raum, f C(K) und f n C(K), n N. Die Folge f n, n N, konvergiert genau dann in der schwachen Topologie gegen f, wenn sup f n < n N x K : lim n f n (x) =f(x) 46. Es sei 1 < p <. Eine Folge von Vektoren x n, n N, inl p konvergiert genau dann gegen einen Vektor x in der schwachen Topologie, wenn die Folge x n, n N, beschränkt ist und wenn für alle k N gilt. lim n x n(k) =x(k) Abgabe: Montag,

18 Carsten Schütt SS Es sei 1 <p< und L p [0, 1] sei mit dem Lebesgue Maß ausgestattet. Eine Folge f n, n N, konvergiert genau dann in L p [0, 1] schwach gegen f, wenn es eine Konstante C gibt, so dass sup n N f n C und wenn für alle x [0, 1] lim n x 0 f n (t)dt = x 0 f n (t)dt Konvergiert die Folge f n (t) = sin(2πnt), n N in der schwachen Topologie? Konvergiert sie in der Norm-Topologie? 48. (i) Jeder Punkt des Randes der abgeschlossenen Einheitskugel B l p von l p,1<p<, ist Extremalpunkt. (ii) Die Extremalpunkte von B l 1 sind {±e n n N} B l 1 ist die abgeschlossene, konvexe Hülle ihrer Extremalpunkte. (iii) B c0 besitzt keine Extremalpunkte. Insbesondere ist c 0 nicht isometrisch isomorph zu einem Dualraum. Man kann sogar zeigen, dass c 0 nicht isomorph zu einem Dualraum ist. (iv) B L 1 [0,1] besitzt keine Extremalpunkte. Insbesondere ist L 1 [0, 1] nicht isometrisch isomorph zu einem Dualraum. Abgabe: Montag,

19 Carsten Schütt SS (i) Es sei K ein kompakter Hausdorff Raum. f ist genau dann ein Extremalpunkt der abgeschlossenen Einheitskugel von C(K), wenn f = 1. Falls K zusammenhängend ist, dann sind 1 und 1 die einzigen Extremalpunkte. Die Extremalpunkte von B C[a,b] sind die konstanten Funktionen 1 und 1. Insbesondere ist C[a, b] nicht isometrisch isomorph zu einem Dualraum. (ii) Die Extremalpunkte von B l sind {(ɛ(n)) n N ɛ(n) =±1} (iii) Es sei K ein kompakter Hausdorff Raum. Dann sind die Punktmaße ±δ x, x K, die Extremalpunkte von der Einheitskugel in C(K). Hinweis: Verwende bei (iii) den Darstellungssatz von Riesz. Abgabe: Montag,

20 Carsten Schütt SS Falls X endlich-dimensional ist, dann ist σ(t ) gleich der Menge der Eigenwerte. 51. Es sei S : l 1 l 1 durch S(x(1),x(2),...) = (x(2),x(3),...) definiert. S wird als Shiftoperator bezeichnet. Es gilt σ p (S) =( 1, 1) σ c (S) ={ 1, 1} σ r (S) = und der Spektralradius von S ist 1. Die adjungierte Abbildung S : l l ist durch S (y(1),y(2),...)= (0,y(1),y(2),...) gegeben. Es gilt σ p (S )= σ c (S )= σ r (S )=[ 1, 1] 52. (i) Es sei T : C[0, 1] C[0, 1] durch gegeben. Dann gilt Tf(s) = s 0 f(t)dt σ p (T )= σ c (T )= σ r (T )={0} (ii) Es sei X der Teilraum von C[0, 1] mit f(0) = 0 und T dieselbe Abbildung wie in (i). Dann gilt σ p (T )= σ c (T )={0} σ r (T )= Abgabe: Montag,

21 Carsten Schütt SS Es sei X der Raum aller beschränkten Funktionen f :[0, 1] R, die in 0 und 1 stetig sind und f(0) = 0 erfüllen. X sei mit der Supremumsnorm ausgestattet. Es sei T : X X durch (Tf)(t) =tx(t) definiert. Dann gilt σ p (T )=(0, 1) σ c (T )={0} σ r (T )={1} 54. (i) Es sei T : C[0, 1] C[0, 1] durch Tf(s) = s 0 f(t)dt gegeben. Dann ist T ein kompakter Operator und es gilt σ p (T )= σ c (T )= σ r (T )={0} (ii) Es sei k L 2 [0, 1] 2 und T k : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1] sei durch T k f(s) = 1 0 k(s, t)f(t)dt gegeben. Dann gilt T k k und T k ist kompakt. (iii) (Volterra) Es sei k C[0, 1] 2 und T k : C[0, 1] C[0, 1] sei durch T k f(s) = s 0 k(s, t)f(t)dt gegeben. Dann ist T k ist kompakt. Der Spektralradius ist 0. Weiter gilt σ(t )={0} Abgabe: Dienstag,

22 Carsten Schütt SS Ist der Shift Operator S : l 2 l 2, S(x(1),x(2),...)=(x(2),x(3),...), ein Fredholm Operator? 56. Es sei H ein Hilbertraum und T : H H ein symmetrischer Operator, d.h. für alle x, y H gilt Dann ist T stetig. 57. Es sei <Tx,y>=< x,ty> 1 z = c n z n n=0 die Potenzreihenentwicklung von 1 z. Dann gilt (i) c 0 =1,c 1 = 1 und für n 2 2 c n = (ii) (iii) c 0 =1,2c 0 c 1 = 1 und (iv) (2n 3) 2 n n! c n < n=0 n c i c n i =0 i=0 c n =0 n=0 Abgabe: Dienstag,

23 Carsten Schütt SS Der Produktsatz von Cauchy gilt auch für Operatoren. 59. Es sei B2 3 der Rand der Euklidischen Einheitskugel im R 3 und σ 2 das normalisierte Oberflächenmaß auf B2. 3 Die Abbildung T : L 2 ( B2,σ 3 2 ) L 2 ( B2,σ 3 2 ) sei durch Tf(η) = e <ξ,η> f(ξ)dσ 2 (ξ) B 3 2 Ist T ein kompakt? Ist T selbstadjungiert? Berechne die Norm von T. Berechne die Hilbert Schmidt Norm von T. Abgabe: Montag,

24 Carsten Schütt SS Es sei H ein separabler Hilbertraum und T : H H ein kompakter Operator. Dann ist <φ n,tφ n > n=1 für alle vollständigen Orthonormalsysteme gleich. Man nennt die Zahl die Spur von T und bezeichnet den Ausdruck mit tr(t ). 61. Es sei λ n, n N, eine Folge komplexer Zahlen mit Die Abbildung M λ : l 2 l 2 sei durch sup λ n < n N M λ (x) =(λ n x(n)) n=1 gegeben. (Eine solche Abbildung heißt Multiplikator-Abbildung.) (i) Berechne die Norm von M λ. (ii) Berechne M λ und zeige, dass M λ genau dann selbstadjungiert ist, wenn die Folge λ reell ist. (iii) M λ ist genau dann positiv, wenn die Folge λ positiv ist. Berechne M λ, in dem Fall, dass M λ positiv ist. (iv) Berechne M λ. Abgabe: Montag,