Berechenbare Funktionalanalysis und kompakte Operatoren

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1 Berechenbare Funktionalanalysis und kompakte Operatoren Volker Bosserhoff Oberseminar der Fakultät für Informatik, 22. Juli 2008

2 Typ-2-Berechenbarkeit Rechnen mit endlichen Objekten Σ := {0, 1}. f : Σ Σ berechenbar : es gibt TM, die auf jedem w dom(f ) hält und f (w) ausgibt. Elemente von N, Q etc. lassen sich codieren: ν Notation von M : ν : Σ M surjektiv

3 Typ-2-Berechenbarkeit Rechnen mit endlichen Objekten g : M 1 M 2 (ν 1, ν 2 )-berechenbar : es gibt berechenbares f : Σ Σ mit g(ν 1 (w)) = ν 2 (f (w)) für jedes w ν 1 1 (dom(g)). M 1 g > M 2 ν 1 ν 2 Σ f > Σ

4 Typ-2-Berechenbarkeit Rechnen mit unendlichen Objekten Es gibt kein surjektives ν : Σ R. Benutze unendliche Codewörter (Elemente von Σ ω ). f : Σ ω Σ ω berechenbar : es gibt TM, die bei Eingabe p dom(f ) in unendlicher Zeit f (p) ausgibt δ Darstellung von M : δ : Σ ω M surjektiv

5 Typ-2-Berechenbarkeit Rechnen mit unendlichen Objekten g : M 1 M 2 ist (δ 1, δ 2 )-berechenbar : es gibt berechenbares f : Σ ω Σ ω mit g(δ 1 (p)) = δ 2 (f (p)) für jedes p δ 1 1 (dom(g)). M 1 g > M 2 δ 1 δ 2 Σ ω f > Σ ω

6 Typ-2-Berechenbarkeit Standarddarstellung von R Cauchy-Darstellung ρ von R: ρ(p) = x : p ist codierte Liste (q 0, q 1,...) rationaler Zahlen mit lim n q n = x und q i q j 2 i für j i. x R berechenbar : x hat berechenbaren ρ-namen.

7 Typ-2-Berechenbarkeit Weitere Darstellungen von R Linksschnitt-Darstellung ρ < von R: ρ < (p) = x : p ist codierte Aufzählung der Menge {q Q : q < x}. Rechtsschnitt-Darstellung ρ > von R: ρ > (p) = x : p ist codierte Aufzählung der Menge {q Q : q > x}.

8 Typ-2-Berechenbarkeit Berechenbare Banachräume Sei (X, ) Banachraum (über R). Sei e : N X Folge, deren Spann dicht in X ist (Fundamentalfolge). D e rationaler Spann von e α e kanonische Notation von D e. (X,, e) berechenbarer Banachraum : eingeschränkt auf D e ist (α e, ρ)-berechenbar.

9 Typ-2-Berechenbarkeit Cauchy-Darstellung Sei (X, X, e) berechenbarer Banachraum. Cauchy-Darstellung δ X von X: Codiert x als Folge in D e, die schnell gegen x konvergiert. Sei (Y, Y, h) weiterer berechenbarer Banachraum. f : X Y (δ X, δ Y )-berechenbar f stetig.

10 Typ-2-Berechenbarkeit Berechenbare Banachräume Beispiele X = R n, e kanon. Aufzählung von Q n. X = C n, e kanon. Aufzählung von (Q[ 1]) n. X = C[0, 1], e kanon. Aufzählung aller Polynome mit Koeffizienten in Q. X = L p [0, 1] (1 p < ), e kanon. Aufzählung aller charakteristischen Funktionen von Intervallen [a, b] [0, 1], a, b Q.

11 Typ-2-Berechenbarkeit Darstellung offener Mengen in Banachräumen B(x, r) := {y X : x y < r} B(a, q) rationale Kugel : a D e, q Q. Darstellung δ O offener Mengen: Codiert offenes O X als Folge rationaler Kugeln, die O ausschöpfen.

12 Typ-2-Berechenbarkeit Darstellung von Maßen auf Banachräumen Darstellung δ M von Wahrscheinlichkeitsmaßen: Name von µ enthält für jedes Tupel (B 1,..., B n ) rationaler Kugeln einen ρ < -Namen der Zahl µ(b 1 B n )

13 Kompakte Operatoren Kompakte Operatoren Definition und Beispiel Seien X, Y Banachräume, F : X Y linear. B X := {x X : x 1}. F kompakt : F(B X ) kompakte Menge. Beobachtung: Kompakte Operatoren sind stetig. Beispiel: X = Y = L 2 [0, 1], k L 2 ([0, 1] [0, 1]), F(f )(x) := k(x, t)f (t) λ(dt). [0,1]

14 Kompakte Operatoren Kompakte Operatoren Eigenschaften Satz (Schauder (1930)): F : X Y kompakt F : Y X kompakt. (F (g)(x) := g(f(x)).) Satz (Grothendieck (1955)): n Operatoren x y i f i (x), y i Y, f i X, i=1 von endlichem Rang sind dicht (bzgl. Operatornorm) in den kompakten Operatoren Y hat die Approximationseigenschaft.

15 Kompakte Operatoren Inverse kompakter Operatoren Sei F : X Y kompakt und injektiv. F 1 : Y X stetig F von endlichem Rang. Problem: Numerische Berechnung von unstetigem F 1. Allgemeines Problem: Numerische Berechnung eines unstetigen linearen Operators. Schlecht gestelltes Problem (Hadamard (1902))

16 Kompakte Operatoren Inverse kompakter Operatoren Beispiel Indirekte Temperaturmessung x = 0 x = a x

17 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Effektive Sätze über kompakte Operatoren Brattka und Dillhage (2007): Effektive Versionen u.a. der Sätze von Schauder und Grothendieck. Allerdings zusätzliche Annahme: Definitions- und Bildraum besitzen jeweils berechenbare Schauder-Basis.

18 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Schauder-Basen Definition und Beispiele Sei (X, ) Banach-Raum. Falls X endl.-dim.: Schauder-Basis = herkömmliche Basis. Sonst: Folge (x i ) i X N Schauder-Basis von X : zu jedem x X existiert eindeutige Folge (α i ) i R N n mit lim n x α i x i = 0. i=0 Beispiel: Orthonormalbasis eines separablen Hilbertraumes.

19 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Schauder-Basen Beispiele Schauder-Basis von C[0, 1]

20 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Schauder-Basen Beispiele Schauder-Basis von L p ([0, 1]), 1 p <

21 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Frage zur Berechenbarkeit von Schauder-Basen Frage: (X,, e) bb. Banachraum mit Schauder-Basis? = (X,, e) hat bb. Schauder-Basis. Antwort für den Spezialfall (X, ) Hilbertraum : Ja. (Brattka und Yoshikawa (2006))

22 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Intuition zur Konstruktion eines Gegenbeispiels Allgemeine Intuition: Objekt A hat Eigenschaft E, aber hat Eigenschaft E nicht effektiv; dann ist A nah dran, Eigenschaft E nicht zu haben. Führt auf Banachs Basis-Problem (1932): Existiert ein (separabler) Banachraum ohne Schauder-Basis? Erstes Beispiel gab Enflo (1973).

23 Berechenbarkeit von Schauder-Basen Konstruktion eines Gegenbeispiels Sei Z Enflos Raum. Y := (Z Z ) c0 (Raum der Nullfolgen in Z ). Z 0 Z 1 gewisse endl.-dim. Teilräume von Z mit cls ( i Z i) = Z. Gegenbeispiel X hat die Form (Z τ(0) Z τ(1) ) c0 Y, τ : N N. Die Z i haben jeweils gutartige Basen (Ausnutzung der lokalen Basisstruktur von Z Pujara (1975), Szarek (1987)) X hat Basis für jede Wahl von τ. τ kann so berechnet werden, dass X keine bb. Basis hat (Diagonalisierung)

24 Ergebnisse aus der IBC Gauß sche Maße Maß γ auf R Gauß sch : γ hat Dichte der Form t 1 ) ( σ 2π exp (t a)2 2σ 2, a, σ R, σ > 0. In diesem Fall: a = x γ(dx), σ 2 = (x a) 2 γ(dx). Maß γ auf Banachraum X Gauß sch : Bildmaß γ f 1 Gauß sch für alle f X. Beispiel: Brown sche Bewegung

25 Ergebnisse aus der IBC Gauß sche Maße und unbeschränkte Operatoren Satz (Werschulz u.a. ( )): Seien X sep. Banachraum, Y sep. Hilbertraum, γ Gauß sches Maß auf X, D X messbarer Untervektorraum mit γ(d) = 1, S : D Y linear und messbar, ε > 0. Dann ex. x 1,..., x n X, f 1,..., f n X mit n S(x) f i (x)s(x i ) 2 γ(dx) < ε. D i=1

26 Ergebnisse aus der IBC Das Real-Number-Modell D S(x) n f i (x)s(x i ) 2 γ(dx) < ε i=1 Liefert diese Formel einen Algorithmus, der S im (quadratischen) Mittel näherungsweise berechnet? Ja, im Real-Number-Modell. (Traub, Wasilkowski, Woźniakowski (1988)) (Blum, Shub, Smale (1989))

27 Ergebnisse aus der IBC Das Real-Number-Modell Im Real-Number-Modell sind Elemente von R, X und Y primitive Objekte.... sind deren algebraische Verknüpfungen atomare Operationen ( Komplexität 1).... können endlich viele Elemente von R, X und Y in einer Maschine fest eingebaut sein ( vorberechnete Konstanten ).... können endlich viele Elemente von X in einer Maschine fest eingebaut sein ( funktionale Orakel ). x n i=1 f i(x)s(x i ) kann von Real-Number-Maschine berechnet werden.

28 Ergebnisse aus der IBC Lösbarkeit im Durchschnitt Real-Number-Algorithmen werden in der Information-Based Complexity akzeptiert. Werschulz Ergebnis in Sprache der IBC: Schlecht gestellte lineare Probleme sind lösbar im Durchschnitt bzgl. Gauß scher Maße. Kritik: Algorithmus weder uniform in S noch in ε. Unklar, wie die vorberechneten Konstanten S(x i ) i.a. berechnet werden sollen.

29 Ergebnisse aus der IBC Berechenbarkeit im Durchschnitt? Traub und Werschulz (1998) fragen: Aber was bedeutet computable on the average?

30 Probabilistische Berechenbarkeitsbegriffe Der punktweise Fehler Seien (X, X, e), (Y, Y, h) bb. Banachräume. Sei g : X Y Funktion. Sei f : dom(δ X ) dom(α h ) Funktion. Definiere für jedes x X den punktweisen Fehler err(x, f ) := sup δ X (p)=x α h (f (p)) g(x) Y. Beobachtung: g (δ X, δ Y )-berechenbar es ex. berechenbare Funktionenfolge (f n ) n mit ( n N)( x X) err(x, f n ) 2 n.

31 Probabilistische Berechenbarkeitsbegriffe Berechenbare Approximation Sei µ Maß auf X. g berechenbar approximierbar bzgl. µ : es ex. berechenbare Funktionenfolge (f n ) n mit ( n N) µ({x X : err(x, f n ) > 2 n }) 2 n. Für X = Y = R eingeführt von Ko (1991), untersucht von Parker (2003,2005,2006). f berechenbar approximierbar f f µ-messbar.

32 Probabilistische Berechenbarkeitsbegriffe Berechenbarkeit im Durchschnitt g berechenbar im Durchschnitt bzgl. µ : es ex. berechenbare Funktionenfolge (f n ) n mit ( n N) err(x, f n ) µ(dx) 2 n. X Beruht auf Idee von Hertling (2005). f berechenbar im Durchschnitt bzgl. µ f lokal integrierbar und berechenbar approximierbar bzgl. µ.

33 Probabilistische Berechenbarkeitsbegriffe Einige Ergebnisse Sei µ δ M -berechenbar und f berechenbar im Durchschnitt bzgl. µ. Dann ist X f µ(dx) Y berechenbar, falls f beschränkt ist, oder f einen berechenbar kompakten Träger hat, oder X f µ(dx) ρ >-berechenbar ist. µ berechenbar, f berechenbar approximierbar µ f 1 berechenbar.

34 Durchschnittsberechenbarkeit unbeschränkter Operatoren Interpretation der Frage von Traub und Werschulz Beschränkung auf S von der Form T 1 mit T berechenbar. (Für die Praxis bei weitem am wichtigsten). Beschränkung auf Hilberträume X, Y. Konkrete Frage: Sei T : X Y berechenbar injektiv, γ berechenbares Gauß sches Maß auf Y mit γ(bild(t )) = 1. Ist T 1 berechenbar im Durchschnitt bzgl. γ? Antwort: Nicht unbedingt! Es ex. Gegenbeispiel mit γ und T von einfacher Struktur.

35 Durchschnittsberechenbarkeit unbeschränkter Operatoren Beweisidee Zuerst Herleitung effektiver Version der Mourier-Prokhorov-Charakterisierung Gauß scher Maße auf separablen Hilberträumen: Darstellung δ M hier äquivalent zu Darstellung, die folgende Informationen über γ codiert: Das Element a X mit x, a = x, ω γ(dω) für alle x X. Den Operator R : X X mit Rx, y = x, ω a y, ω a γ(dω) für alle x, y X. Den Rechtsschnitt der Zahl ω 2 γ(dω).

36 Durchschnittsberechenbarkeit unbeschränkter Operatoren Beweisidee Wenn T 1 bb. im Durchschnitt bzgl. γ, dann ist γ T δ M -berechenbar. Außerdem ist γ T Gauß sch. T 1 2 dγ rechts-berechenbar. Konstruiere berechenbare T und γ, so dass T 1 2 dγ nicht rechts-berechenbar.

37 Durchschnittsberechenbarkeit unbeschränkter Operatoren Eine positive Aussage Aus T, T, γ, dem Rechtsschnitt von T 1 2 dγ und ε lassen sich n N, x 1,..., x n X, y 1,..., y n Y berechnen, T n so dass 1 (y) y i, y x i 2 γ(dy) < ε. i=1 (Dies impliziert insb. Berechenbarkeit im Durchschnitt.)

38 Durchschnittsberechenbarkeit unbeschränkter Operatoren Beweisidee Zuerst Herleitung einer effektiven Version der Tichonow-Regularisierung. Kombiniere dies mit Werschulz Ergebnis.

39 Durchschnittsberechenbarkeit unbeschränkter Operatoren Vielen Dank!