Schwache Konvergenz. Ivan Lecei. 18. Juni Institut für Stochastik

Transkript

1 Institut für Stochastik 18. Juni 2013

2 Inhalt

3 Nach ZGWS konvergiert für n F n (x) = P{ X X n np npq x} gegen F(x) = 1 2π x e 1 2 u2 du, wenn die X i unabhängig und bernoulliverteilt sind (Erfolgswahrscheinlichkeit p=1-q) Analog: P n ((, x]) = F n (x) konvergiert gegen P((, x]) = F(x), wobei P({x}) = 0 Vorteil: Verteilungskonvergenz an euklidischen Raum gebunden, schwache für allgemeine metrische Räume (M, δ) mit σ -Algebra M B δ ausdehnbar

4 Dann konvergiert das Wahrscheinlichkeitsmaß P n schwach gegen P, wenn für alle Borelmengen A M B δ mit P( A) = 0 gilt P n (A) P(A) Aus der schwachen von X n gegen X kann die Verteilungskonvergenz bestimmter Funktionale ψ(x n ) D ψ(x) gefolgert werden

5 Zufälliges Element (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (S, B) ein messbarer Raum mit Ω, S Ø. Zufälliges Element Ein zufälliges Element X : Ω S ist eine A B -messbare Abbildung, das heißt für alle B B gilt X 1 (B) = {ω Ω : X(ω) B} A Die Verteilung von X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß P X auf (S, B), so dass für alle B B gilt P X (B) = P(X 1 (B)) jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf (S, B) kann als Verteilung eines Zufallselementes X betrachtet werden.

6 Stochastischer Prozess (S t, B t ) t T eine Famile von messbaren Räumen. Stochastischer Prozess/Zufällige Funktion Eine Familie X = {X(t), t T } von Zufallselementen X(t) : Ω S t, die auf (Ω, A, P) definiert und für alle t T A B t -messbar sind heißt stochastischer Prozess Jede Famile von Wahrscheinlichkeitsmaßen {P t1,...,t n, n N, {t 1,..., t n } T } auf (R m... R m, B(R m )... B(R m )) die symmetrisch und konsistent ist kann als endlich-dimensionale Verteilung für einen stochastischen Prozess, der auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) definiert ist, betrachtet werden (Kolmogorov)

7 Natürliche Projektion Natürliche Projektion Für beliebige Punkte t 1,..., t k [0, 1] ist die natürliche Projektion von dem Raum D[0,1] der cádlàg-stetigen Funktionen in R k definiert über π t1,...,t k (x) = (x(t 1 ),..., x(t k )), x D[0, 1] Die endlichdimensionalen Verteilungen von X lassen sich dann über Pπ 1 t 1,...,t k angeben, wobei P das von X induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Wenn T 0 1 enthält und dicht in [0, 1] liegt, dann wird P eindeutig über Pπ 1 t 1,...,tk, t 1,..., t k T 0 bestimmt

8 (M, δ) beliebiger metrischer Raum und M B δ diejenige σ -Algebra, die von den offenen Bällen erzeugt wird. Seien X n, n 0 Zufallselemente bezüglich (M, M B δ ) auf (Ω, A, P) und sei P n das von X n induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß X n konvergiert schwach gegen X 0, wenn für n M fdp n = Ef (X n ) Ef (X 0 ) = M fdp 0 für alle reellen, beschränkten, bezüglich der Metrik δ stetigen und M B δ -messbaren Funktionen f auf M. Man schreibt X n X 0 (bzw. P n P 0 ) auf (M, M B δ, δ). X n D X0 X n X 0 für Zufallsvariablen X n, X 0.

9 Straffheit/schwache Kompaktheit Straffheit Eine Folge X n, n 1 von (M, δ) -wertigen Zufallselementen ist straff, wenn auch die zugehörigen induzierten Wahrscheinlichkeitsmaße P n straff sind. Für jedes ε > 0 muss dann eine kompakte Menge K M existieren, sodass für alle n 1 P n (K ) = P(X n K ) > 1 ε. Kompaktheit Eine Familie von Verteilungen P auf (M, M B δ ) nennt man schwach kompakt, wenn jede Folge von Verteilungen von P eine Teilfolge enhält, die schwach gegen eine Verteilung auf (M, M B δ ) konvergiert (aber nicht notwendigerweise in P liegt).

10 Portmanteau Theorem Folgende Aussagen sind äquivalent 1. P n P 0 auf (M, M B δ, δ) 2. lim inf n P n (G) P 0 (G) für alle offenen Mengen G 3. lim sup n P n (F) P 0 (F) für alle abgeschlossenen F 4. lim n P n (B) = P 0 (B) für all diejenigen Borel-messbaren Mengen B, für welche gilt P 0 ( B) = 0 Aus P n P folgt für ψ : (M, M B δ, δ) (M, (M B δ ), δ ), dass ψ(x n ) D ψ(x) (bzw. P n ψ 1 Pψ 1 ) für alle M B δ -messbaren ψ, wenn zusätzlich P(X D ψ) = 0 mit D ψ Menge der Unstetigkeitspunkte von ψ (Abschwächung des Continous Mapping Theorems)

11 1. Kriterium Sei mesh(t m ) = max{t i t i 1 : 1 i k m } für ein beliebiges Gitter T m auf [0,1] (t m,0 = 0, t m,km = 1) Für ein x D nennen wir die Funktion A m (x) D, die auf allen Intervallen der Form [t m,i 1, t m,i ) (0 i k m ) konstant x(t m,i ) entspricht die T m -Approximation von x 1. Kriterium Für stochastische Prozesse X n, n 0 auf (D, D) mit X n (0) = 0, für die für mesh(t m ) 0 (m ) die folgenden Bedingungen erfüllt sind 1. X n f.d. X 0 für n und wobei P(X 0 C) = 1 2. lim sup n P( X n A m (X n ) ε) d ε,m für alle ε > 0 und d ε,m 0 für m gilt X n X 0 auf (D, D, ) für n

12 2. Kriterium (Straffheit) 2.Kriterium Für einen separablen metrischen Raum (M, δ) gelte X n X 0 für n und zusätzlich f.d. X n, n 1 ist straff (sowie die induzierten Wahrscheinlichkeitsmaße P n, n 1 ). Dann gilt X n X 0 auf (M, M B δ, δ) Mit f.d. (=finite dimensional distributions) sei hier die schwache der endlichdimensionalen Verteilungen gemeint, d.h. (X n (t 1 ),..., X n (t k )) T (X 0 (t 1 ),...X n (t k )) T k N, t 1,...t k [0, 1]

13 Beweis 2. Kriterium Zum Beweis: 1. Es gilt P n P, genau dann wenn jede Teilfolge {P n } eine weitere Teilfolge {P n } enthält, für die gilt P n P 2. Prohorovs Theorem: Ist eine Familie P von Wahrscheinlichkeitsmaßen straff, so ist sie schwach kompakt. Ist sie umgekehrt schwach kompakt, muss zusätlich gelten, dass M separabel und vollständig ist, damit P straff ist.

14 Partialsummenprozess Partialsummenprozess Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die jeweils Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die i-te Partialsumme ist dann für i 1 definiert als S i = X X i, S 0 = 0 und für t 0 ist S(t)=S t eine zufällige Funktion auf [0, ). Der n-te Partialsummen Prozess S n auf (D, D) ist dann für 0 t 1 S n (t) = S(nt) n Für alle t, die i n t < i+1 n erfüllen ist der Wert von S n dann konstant S i n

15 Partialsummenprozess t Abbildung : X i N(0,1)-verteilt,i=1,...,n ; n=10

16 des Partialsummenprozesses Donsker Der Partialsummenprozess S n konvergiert schwach gegen einen Wiener Prozess für n Hinreichende Bedingung für die Straffheit: E{ X n (t) X n (t 1 ) γ X n (t 2 ) X n (t) γ } [F(t 2 ) F(t 1 )] 2α für t 1 t t 2 und n 1, wobei γ 0, α > 1 2 und F ist eine nichtfallende, stetige Funktion auf [0,1]

17 Literatur Skript Stochastik II (2010) Prof. Dr. Evgeny Spodarev Convergence of Probability Measures P. Billingsley Wiley (1968) Weak Convergence and Empirical Processes Aad W. Van der Vaart, Jon A. Wellner Springer (1996) Empirical Processes with Applications to Statistics G.R. Shorack, Jon A. Wellner Wiley (1986)