Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

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1 Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Lösungsvorschlag studienbegleitende Klausur Finanzmathematik I Aufgabe (7 Punkte) Vorgelegt sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und darauf ein zweiperiodiger Finanzmarkt bestehend aus einem Bond B mit Startwert B 0 = und einer Verzinsung von r = 0% pro Periode sowie einer Aktie S mit folgender Kursentwicklung: S 0 S (ω) S (ω) a) Ist dieser Markt arbitragefrei? Ist er vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Bewerten Sie die Europäische Option H, H(ω) := S max (ω) S min (ω), S max (ω) := max S 0, S (ω), S (ω)}, S min (ω) := min S 0, S (ω), S (ω)}, ω Ω. a) Modelliert man Ω = up, down}, ω = (ω, ω ) und schreibt den Aktienkurs als S t (ω) = S t (ω)y t (ω), t =,, ω Ω, mit S 0 (ω) S 0 ist die Arbitragefreiheit des Marktes äquivalent zu Y t (ω) ωt=down < + r < Y t (ω) ωt=up t, }, ω Ω. Das ist hier erfüllt, denn + r = 0 und Y (ω) ω =down = 6 0 < 0 < 0 = Y (ω) ω =up, Y (up,... ) ω =down = < < 0 60 = Y (up,... ) ω =up, Y (down,... ) ω =down = 0 60 < < = Y (down,... ) ω =up. Die Vollständigkeit folgt aus der Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes Q. Diese stellen wir im Folgenden fest, indem wir zeigen, dass es nur eine eindeutige Lösung für Q gibt. Berechne für t = 0, die risikoneutralen Ein-Schritt-Wahrscheinlichkeiten q t (ω) = q t (ω,..., ω t ) := Q (ω t+ = up ω,..., ω t ), ω Ω.

2 Es gilt q t (ω) = woraus man direkt die Werte + r Y t+ (ω) ωt=down, t = 0,, ω Ω, Y t+ (ω) ωt=up Y t+ (ω) ωt=down q 0 = q (up) = q (down) = = = = abliest. Q ist Produktmaß und ergibt sich zu b) Werte H pfadweise aus: Q (up, up) = q 0 q (up) =, Q (up, down) = q 0 ( q (up)) = 3 4, Q (down, up) = ( q 0 ) q (down) = 70, Q (down, down) = ( q 0 ) ( q (down)) = 05. H (up, up) = 4 0 = 4, H (up, down) = 0 =, H (down, up) = 0 6 = 4, H (down, down) = 0 0 = 0. Der Markt ist vollständig, also gilt mit der risikoneutralen Bewertungsformel π(h) = E Q [ H ] = ( ) 0 ( ) = ,80. Aufgabe (7 Punkte) Gegeben sei folgender einperiodiger Finanzmarkt mit einem risiko- und zinslosen Bond B und zwei risikobehafteten Anlagen S und S. Die erste Anlage starte mit Wert S0 = x > 0, die zweite mit = 6. Nach einer Periode seien drei Szenarien möglich: S 0 ω Ω S (ω) S (ω) ω 4 0 ω 6 ω 3 8 a) Für welche Werte x ist der Markt arbitragefrei? Bestimmen Sie alle äquivalenten Martingalmaße. b) Sei x = 8. Ist der Markt vollständig?

3 a) Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn ein äquivalentes Martingalmaß Q Q existiert. Hinreichend und notwendig erfüllt ein solches q i (0, ) für q i := Q(ω i }), i =,, 3, die Normiertheit q + q + q 3 = und die Martingaleigenschaft ] Wegen B 0 = B muss hier also E Q [ S d B = Sd 0 B 0, d =,. S d (ω )q + S d (ω )q + S d (ω 3 )q 3 = S d 0, d =,, gelten. Zusammen mit der Normiertheit löst man das lineare Gleichungssystem z.b. mit Gauß: 4 x x x x x x + 5 Wegen der bereits erfüllten Normiertheit genügt es auf q i > 0, i =,, 3, zu prüfen: q = x > 0 x >, q = 8 x + 5 q 3 = 4 x > 0 x < 0, > 0 x >. Damit ist der Markt arbitragefrei genau dann, wenn x (, 0), und die äquivalenten Martingalmaße sind charakterisiert durch } Q = (q, q, q 3 ) T q = x, q = 5 8 x, q 3 = 4 x, x (, 0). b) Für x = 8 ist } Q = (q, q, q 3 ) T q =, q = 4, q 3 =, 4 insbesondere Q =, und daher ist der Markt vollständig. Aufgabe 3 (7 Punkte) Betrachten Sie ein CRR-Modell mit zwei Perioden, Verzinsung r =, 5%, Startpreis S 0 = und Kursfaktoren d = 4 5 sowie u = 5 4. Es werde die Amerikanische Put-Option H t = (K S t ) +, t 0,, }, mit Strike K = 3 gehandelt. 3

4 a) Bestimmen Sie zur Zeit t = 0 einen fairen Preis für diese Option. b) Geben Sie eine optimale Ausübungsstrategie an. a) Der Bond folgt dem deterministischen Verlauf und der Put hat das Auszahlungsprofil B 0 =, B = 4 40, B = ( ) 4 40 H 0 = (K S 0 ) + = 3 =, H (up) = (K S (up)) + = = 7 4, H (down) = (K S (down)) + = = 5, H (up, up) = (K S (up, up)) + = = 3 6, H (up, down) = (K S (up, down)) + = 3 =, H (down, up) = H (up, down), H (down, down) = (K S (down, down)) + = = Die risikoneutrale Einschritt-Wahrscheinlichkeit ist hier q = + r d u d = = q. Das eindeutige äquivalente Martingalmaß Q erhält man als Produktmaß Q(ω}) = 4, ω Ω. Bestimme die Snell-Einhüllende Z = (Z t ) t=0,,. Zum Periodenende gilt Für alle anderen Zeitpunkt erhält man Z (up, up) = H (up, up) = 3 ( ) 40 B 6, 4 Z (up, down) = H ( ) (up, down) 40 =, B 4 Z (down, up) = Z (up, down), Z (down, down) = H (down, down) B = 59 5 Z t = max } Ht, E Q [Z t+ F t ], B t ( )

5 also mit den Ergebnissen von oben 7 Z (up) = max 4 40 ( ) ( ) } 4, } 870 = max 4, = 870 4, Z (down) = max 5 40 ( 4, + 59 ) ( ) } } = max 5 4, = , Z 0 = max, = max, ( } =. Nach Vorlesung ist π A (H) = Z 0 = der faire Preis der Option zur Zeit t = 0. b) Die optimale Stoppzeit ist τ = inf Z t = H } t. t 0,...,T } B t In Teil a) sind die jeweiligen Maximisatoren rot markiert. Man liest τ 0 ab, d.h. optimalerweise übt man die Option sofort aus. )} Aufgabe 4 (6 Punkte) In einem Markt seien genau drei risikobehaftete Anlagen handelbar. Ihre zufälligen Einperioden- Erträge R (T ), R (T ) und R 3 (T ) seien paarweise unkorreliert mit ( ) ( ) ( ) Var R (T ) = Var R (T ) = Var R3 (T ) = [( 0, mt := E R (T ), R (T ), R 3 (T ))] = 0 (,, 3). a) Angenommen, ein Investor darf beliebig Kredit aufnehmen und Leerverkäufe tätigen. Welchen Anteil seines Vermögens investiert er in die verschiedenen Anlagen, um mit minimaler Varianz einen vorgegebenen erwarteten Portfolio-Return m p R zu erreichen? b) Bestimmen Sie die erwartete Rendite und die Varianz des Minimum-Varianz-Portfolios (mvp). Aus den Angaben liest man die Covarianzmatrix Σ = 0 0 0, Σ = 0 0 0, der Einperioden-Erträge ab. Wir möchten das Markowitz-Problem lösen. a) Aus der Vorlesung ist bekannt, wie man zu vorgegebenem erwarteten Ertrag m p das zugehörige 5

6 varianzminimale Portfolio π p bestimmt. Es gilt mit den dortigen Bezeichnungen A := m T Σ = ( ) = 6, B := m T Σ m = ( ) = , C := T Σ = ( ) = 30, D = BC A = = 6, π p = Cm p A D Σ m + B Am p Σ = D 3 4 5m p. 5m p Um m p mit minimaler Varianz zu erreichen, sollte der Investor also stets 3 seines Vermögens in die erste Anlage investieren und abhängig von m p die Anteile 4 3 5m p bzw. 5m p 3 in die zweite, respektive die dritte Anlage. Ohne weitere Einschränkungen an m p liegen die letzten beiden allgemein in R, was ausdrücklich zugelassen wurde. b) Das Minimum-Varianz-Portfolio mvp erfüllt nach Vorlesung und mit obigen Bezeichnungen m mvp = A C = 5, σ mvp = C = 30. Aufgabe 5 (7 Punkte) Vorgelegt sei das Ein-Perioden CRR-Modell mit d = 4 5, u = 5 4 und Zinsrate i > 0. Für gegebenes Startvermögen x > 0 und eine strikt wachsende und strikt konkave Nutzenfunktion U : (0, ) R betrachte das Portfolio-Problem E [U (( + i)(x + ar))] max, (P ) a a R ( + i)(x + ar) > 0 P-f.s.} a) Für welche Zinsraten i besitzt (P ) eine Lösung? b) Sei i so gewählt, dass (P ) lösbar ist, und U(x) = γ xγ mit γ (0, ) der Power-Nutzen. Nehmen Sie weiter an, dass P = Q gilt, das Optimierungsproblem also bereits unter dem risikoneutralen Maß gestellt ist. Bestimmen Sie mit der Martingalmethode das optimale Endvermögen X und die zugehörige optimale Portfoliostrategie. a) Nach Vorlesung ist dieses Portfolio-Problem (P ) genau dann lösbar, wenn der Markt arbitragefrei ist. Das CRR-Modell ist arbitragefrei genau dann, wenn d = 4 5 < + i < 5 4 = u, also ist (P ) genau dann lösbar, wenn der Einperiodenzins i im Intervall (0, 4 ) liegt, denn nach Modellannahme ist i > 0 gefordert. b) Um das optimale Endvermögen mit Hilfe der Martingalmethode zu bestimmen, betrachte das statische Problem [ ] } (S) E [U(X)] max, X X : Ω R + X ist F T -messbar, E Q = x. XBT 6

7 X = ( + i)(x + ar) bezeichnet hier das zufällige Endvermögen bei Investition a. Da wir bereits risikoneutral sind, müssen wir das Maß nicht mehr wechseln, es gilt Z = dq dp. Sei I := (U ) = y y γ die umgekehrte erste Ableitung der Nutzenfunktion. Dann ist nach Vorlesung ( λ X ) ( ) Z λ = I I = ( λ ) γ das optimale Endvermögen. λ muss so gewählt werden, dass die Erreichbarkeitsnebenbedingung erfüllt ist, d.h. so dass [ ] [ ( Z x = E X = E λ ) ] ( ) γ = (λ ) γ + γ richtig ist. Das ist für λ = x γ B γ T X (ω) erfüllt, das zugehörige Endvermögen ist in diesem Fall ( x γ B γ T ) γ = xbt und dieses ist eindeutig. Weil ( St B t ) t=0, nach Voraussetzung bereits unter P ein Martingal ist, erwartet man bei Investition in die Aktie den gleichen Return wie bei Investition in den Bond. Konsequenterweise haben wir ein deterministisches Endvermögen ausgerechnet, das man erreicht, indem man schlicht alles in den Bond und nichts in die Aktie investiert: Mit a := 0 erhält man gerade das Endvermögen ( + i)(x + ar) = ( + i)x = x = X. Aufgabe 6 (6 Punkte) Es seien µ und µ Maße auf R mit endlichem Erwartungswert. a) Zeigen Sie: Sind µ und µ Exponentialverteilungen mit Parametern λ, λ > 0, gilt µ uni µ λ λ. Hinweis: Eine zum Parameter λ > 0 exponentialverteilte Zufallsvariable X besitzt die Dichte f X (x) = λe λx x 0. b) Es sei µ i die Verteilung einer Zufallsvariable X i, i =,. Y sei eine weitere, von X und X unabhängige Zufallsvariable. Mit ν i bezeichne die Verteilung von X i + Y, i =,. Zeigen Sie µ uni µ = ν uni ν. a) Sei X Exp(λ ), X Exp(λ ). = : Wegen µ uni µ gilt also λ λ. λ = E [X ] = = : Wegen λ λ ist für alle x R xµ (dx) xµ (dx) = E [X ] = λ, F X (x) = e λ x e λ x = F X (x). 7

8 Verteilungsfunktionen sind nichtnegativ. Für beliebige c R gilt folglich also µ uni µ. c F X (x)dx c F X (x)dx, b) Sei u : R R, x u(x), eine beliebige Nutzenfunktion. Für feste y R ist dann auch die Verschiebung x u(x + y) eine Nutzenfunktion. Aus µ uni µ können wir also ( ) E [u(x + y)] E [u(x + y)], y R, folgern. Damit gilt dann auch E [u(x + Y )] = ( ) E [u(x + y)] P Y (dy) E [u(x + y)] P Y (dy) und das bedeutet nach Definition ν uni ν. = E [u(x + Y )] 8