Vorlesung. Finanzmathematik I. Steffen Dereich und Marcel Ortgiese. Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14. Version:

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1 Vorlesung Finanzmathematik I Steffen Dereich und Marcel Ortgiese Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14 Version:

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Das Finanzmarktmodell Handelsstrategien Der Numeraire und das diskontierte Marktmodell Arbitragetheorie Das FTAP1 im Ein-Perioden Modell Das FTAP1 im Mehr-Perioden Modell Wechsel des Numeraires Bewertung europäischer Derivate Arbitragefreie Preise und Marktvollständigkeit Bewertungen im Binomialmodell Superhedging Bewertung amerikanischer Derivate Superhedging und die Snell Einhüllende Arbitragefreie Preise Nutzenoptimierung Das Black-Scholes Modell Approximation mittels Binomialmodell Äquivalente Martingalmaße Bewertung eines Calls im Black-Scholes Modell Bewertung einer Barriereoption Der amerikanische Put mit unendlichem Zeithorizont A. Anhang 90 A.1. Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße A.2. Das essentielle Supremum Literaturverzeichnis 93 i

3 Vorwort Der Rote Faden ist eine knappe Zusammenstellung der in der Vorlesung gezeigten Resultate. Er dient der kompakten Darstellung des Stoffes und zur Referenz. Er enthält aber keine über die Vorlesung hinausgehenden Beispiele oder Illustrationen und auch die Beweise sind nicht vollständig. Zur weiteren Vertiefung des Stoffes empfiehlt sich die Lektüre weitergehender Literatur wie zum Beispiel dem Buch Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time von Hans Föllmer und Alexander Schied [FS11] (siehe de Gruyter). Auch findet man im Internet zahlreiche Skripte zu ähnlich strukturierten Vorlesungen. Diese Version des Skripts ist eine Erweiterung des Roten Fadens von Steffen Dereich aus dem Wintersemester 2012/13. Notationen L p (P) = L p (Ω, F, P) Raum der numerischen Zufallsvariablen X : Ω R (p (0, )) mit X p := E[ X p ] 1/p < L (P) = L (Ω, F, P) L 0 (P) = L 0 (Ω, F, P) L = L (Ω, F) Raum der numerischen Zufallsvariablen X : Ω R mit X := inf{c > 0 : P( X > c) = 0} < Raum der numerischen Zufallsvariablen X : Ω R mit P(X R) = 0 Raum der numerischen Zufallsvariablen X : Ω R L p (P) = L p (Ω, F, P) Raum der Äquivalenzklassen in L p (Ω, F, P) (p [0, ] { }) bezüglich der P-fast sicheren Äquivalenz L p +(P) = L p +(Ω, F, P) Familie der Zufallsvariablen W in L p (Ω, F, P) (p [0, ] { }) mit W 0, P-fast sicher Typische Bezeichner (Ω, F, P) S = (S 0, S) X = (1, X) H = (H 0, H) Zugrundeliegender Wahrscheinlichkeitsraum Finanzmarkt mit Numeraire S 0 und d risikobehafteten Assets S 1,..., S d Diskontierter Finanzmarkt Selbstfinanzierende Handelsstrategie V( H), V ( H) Vermögensprozess einer selbstfinanziereden Strategie H (real/diskontiert) G(H) Diskontierter Gewinnprozess einer selbstfinanziereden Strategie H C, C Auszahlungsverpflichtung eines Derivats zur Maturität T (real/diskontiert) M = M(X) Menge der äquivalenten Martingalmaße ii

4 1. Einführung 1.1. Das Finanzmarktmodell In der Vorlesung Finanzmathematik I modellieren wir einen Finanzmarkt als stochastischen Prozess in diskreter Zeit. Im Folgenden bezeichne stets (Ω, F, P) einen Wahrscheinlichkeitsraum versehen mit einer Filtration (F t ) t {0,...,T }, wobei T N für einen festen Zeithorizont (Zahl der Handelsperioden) steht. Zur Vereinfachung treffen wir die Annahme, dass immer gelten. F 0 = {, Ω} und F = F T Definition 1.1. Ein Finanzmarkt mit d + 1 Anlagegütern und Zeithorizont T ist ein (F t )-adaptierter Prozess S = ( S t ) t=0,...,t = (S 0 t,..., S d t ) t=0,...,t mit Werten in [0, ) d+1. Wir nennen die einzelnen Prozesse Preisprozesse. Bemerkung 1.2. (i) Die Zufallsvariable St i beschreibt den Preis (Kurs) einer Anlage i (z.b. Schuldverschreibung, Aktie, Option,...) zur Zeit t zu der man Anteile verkaufen und kaufen kann. Das heißt wir nehmen an, dass zu jeder Zeit t An-/und Verkauf zum gleichen Preis erfolgen (unter Ignorierung des Bid- Ask Spreads), unser eigenes Handeln keinen Einfluss auf den Kurs hat (was für einen großen Investor nicht unbedingt gelten muß). (ii) Wir nennen die Anlagegüter auch kurz Assets und verzichten meist auf die Nennung des Zeithorizonts T. Ferner verwenden wir d + 1 generell als Bezeichner für die Zahl der Assets. Es wird angenommen, dass die Preise der Anlagen nichtnegativ sind und somit der Besitz einer Anlage zu keiner Zahlungsverpflichtung gegenüber einer anderen Partei führen kann. (iii) Die Filtration (F t ) t {0,...,T } beschreibt die Information, die einem Investor zur entsprechenden Zeit zur Verfügung steht. Wir erinnern daran, dass ein stochastischer Prozess (X t ) t {0,...,T } adpatiert heißt, wenn X t messbar ist bezüglich F t. Praktisch bedeutet die Adaptiertheitsannahme also, dass der Wert jeder Anlage zu jeder Handelszeit bekannt ist. Bei börsennotierten Anlagen werden Preise gelistet und sie sind somit für jedermann einsehbar. Hingegen werden manche Anlagen typischerweise ohne Börsennotierung gehandelt. Bei diesem Geschäft ( Over-the-Counter Geschäft ) einigen sich jeweils zwei Parteien unmittelbar und die Preise werden nicht veröffentlicht. Beispiel 1.3 (Binomialmodell). Ein einfaches Modell der Finanzmathematik ist das Binomialmodell. Es beschreibt einen Finanzmarkt mit zwei Anlagen: einer risikolosen Anleihe (Bond) S 0 = B und einer Aktie S 1 = S (Stock). Der Wert der Anleihe ist B t = (1 + r) t, 1

5 wobei r 0 die Zinsrate bezeichne, und der Wert der Aktie wird als Markov-Prozess mit S 0 = 1 und P(S t+1 = (1 + u) S t F t ) = p und P(S t+1 = (1 + d) S t F t ) = 1 p beschrieben, wobei u, d [ 1, ) und p [0, 1] Parameter mit d < u sind. In jedem Schritt macht der Kurs einen Schritt hoch (up) auf den Wert (1+u) S t mit Wahrscheinlichkeit p, beziehungsweise einen Schritt auf den niedrigeren Wert (1 + d) S t (down) mit der verbleibenden Wahrscheinlichkeit 1 p Handelsstrategien Der Handel eines Akteurs in einem Finanzmarkt wird mittels einer Handelsstrategie beschrieben. Definition 1.4. Eine Handelsstrategie in einem Finanzmarktmodell S = (S 0,..., S d ) ist ein previsibler R d+1 -wertiger Prozess H = (H 0, H) = (H 0 t,..., H d t ) t=1,...,t, das heißt, dass für jedes t {1,..., T } die Zufallsvariable H i t bezüglich F t 1 -messbar ist. Bemerkung 1.5. (i) Bei einer Handelsstrategie H steht H i t für die Anzahl der Anteile an der Anlage S i die zwischen den Handelszeitpunkten t 1 und t gehalten werden. Wir nennen H t Portfolio der Handelsperiode t. (ii) Der Wert Ht i kann eine beliebige reelle Zahl und damit insbesondere auch negativ sein. Der Fall Ht i < 0 entspricht einem Leerverkauf (auf engl. einer short position ). Dazu verkauft man Ht i Anteile der i-ten Position zum Preis St 1, i ohne die Anteile selber zu besitzen. Allerdings muss man diese dann zum Anfang der nächsten Handelsposition nachliefern, also insbesondere zum Preis St i kaufen. Damit gibt ein Leerverkauf einem Käufer also die Möglichkeit auf einen sinken Aktienkurs zu setzen. (iii) Die Annahme, dass der Prozess H previsibel ist, entspricht der Einschränkung, dass sich ein Investor zur Zeit t 1 entscheiden muss, wieviele Anteile er bis zur Zeit t halten möchte. Dabei kennt er nur die Preisentwicklung bis zur Zeit t 1, welche der Information in F t 1 entspricht. Angenommen man verfügt in der t-ten Handelsperiode (zwischen den Zeitpunkten t 1 und t) über das Portfolio H t. Dieses hat am Ende der Handelsperiode den Wert H t S t = d HtS i t, i (1) wobei wir mit das übliche Skalarprodukt auf R d+1 bezeichnen. Nun kann man zur Zeit t das Portfolio durch An- und Verkäufe ändern und das neue Portfolio H t+1 hat i=0 2

6 zur Zeit t den Wert H t+1 S t = d Ht+1S i t. i Entnimmt man kein Geld und schießt auch kein Geld zu, so muss dieser Wert gerade dem Wert in (1) entsprechen. Definition Eine Handelsstrategie H heißt selbstfinanzierend, wenn für alle t = 1,..., T 1 gilt. i=0 H t S t = H t+1 S t 2. Der Prozess V( H) = (V t ( H)) t=0,...,t gegeben durch V 0 ( H) = H 1 S 0 und V t ( H) = H t S d t := HtS i t i i=0 für t = 1,..., T heißt Vermögensprozess der Handelsstrategie H. Den Wert V 0 ( H) bezeichnen wir auch als Startkapital Der Numeraire und das diskontierte Marktmodell Gleiche Preise zu verschiedenen Zeiten haben meist unterschiedliche Werte aufgrund der Inflation. Um Preise dennoch zu verschiedenen Zeiten vergleichen zu können, fixieren wir meist eine Anlage (einen sogenannten Numeraire) typischerweise S 0 und interpretieren deren Wert als konstant in der Zeit. Möchte man zwei Geldbeträge zu verschiedenen Zeiten vergleichen, so betrachtet man die Zahl der Anteile des Numeraires, die man sich zu den jeweiligen Zeiten mit dem Geldbetrag kaufen könnte. Definition 1.7. Ein Finanzmarkt S = (S 0, S) = (S 0 t,..., S d t ) t=0,...,t mit einem (0, )-wertigen Preisprozess S 0, heißt Finanzmarkt mit Numeraire S 0 (kurz Finanzmarkt mit Numeraire). Bemerkung 1.8. Als Numeraire wählt man meist den Wert eines Portfolios, das ausschließlich im Geldmarkt investiert ist. (Auf dem Geldmarkt tätigen institutionelle Anlegern, d.h. Banken, Versicherungsgesellschaften und der Staat, kurzfristige risikolose Zinsgeschäfte.) Die Wahl des Numeraires ist letztendlich dem Investor überlassen und von dessen Präferenzen abhängig. So wird ein amerikanischer Investor typischerweise einen anderen Numeraire wählen als ein europäischer. Man kann ein kurzfristig risikolose Anlage modellieren, in dem man S0 0 = 1 setzt und dann für t 0 t St 0 = (1 + r k ), k=1 3

7 definiert. Dann steigt also der Wert eines Betrag x, den man zur Zeit t 1 investiert, auf (1 + r t 1 )x zur Zeit t. Dabei entspricht also r t der Zinsrate. Wenn man annimmt, dass (r t ) t {1,...,T } previsibel ist, dann ist die Entwicklung der Anlage jeweils einen Schritt vorher bekannt, also kurzfristig risikolos. Misst man in einem Marktmodell alle Werte bezüglich des Wertes des Numeraires so erhält man das diskontierte Marktmodell. Definition 1.9. Sei S = (S 0, S) ein Marktmodell mit Numeraire. Das Marktmodell mit X = (X 0, X) = (X 0 t,..., X d t ) t=0,...,t X i t = Si t S 0 t (insbes. X 0 1) heißt S 0 -diskontiertes Marktmodell von S. Wir bemerken, dass die Familie der selbstfinanzierenden Handelsstrategien des Ausgangsmodells und des diskontierten Modells übereinstimmen. Wir werden meist den Vermögensprozess des diskontierten Modells betrachten: Definition Sei H = (H 0, H) eine Handelsstrategie in einem Marktmodell S = (S 0, S) mit Numeraire S Der Prozess V ( H) = (V t ( H)) t=0,...,t gegeben durch V 0 ( H) = H 1 X 0 und V t ( H) = H t X t := d HtX i t i für t = 1,..., T, heißt (diskontierter) Vermögensprozess der Handelsstrategie H. 2. Der Prozess G(H) = (G t (H)) t=0,...,t gegeben durch G t (H) = i=0 t H s (X s X s 1 ) (insbes. G 0 (H) = 0) s=1 heißt (diskontierter) Gewinnprozess der Handelsstrategie H. Wir verzichten häufig auf die Nennung von H bzw. H, wenn die Handelsstrategie sich eindeutig aus dem Kontext ergibt. Bemerkung Der Gewinnprozess ist linear in H. Ferner ist der Vermögensprozess V linear in H bzw. im Paar (H, V 0 ). Im Folgenden bezeichne S = (S 0, S) immer einen Finanzmarkt mit Numeraire und X = (1, X) den zugehörigen diskontierten Finanzmarkt. Lemma (i) Eine Handelsstrategie H ist genau dann selbstfinanzierend, wenn V t ( H) = V 0 ( H) + G t (H) (2) für t = 1,..., T gilt. 4

8 (ii) Zu V 0 R und einem previsiblem R d -wertigen Prozess H = (H 1 t,..., H d t ) t=1,...,t existiert genau eine selbstfinanzierenden Handelsstrategie H = (H 0, H) mit Diese erhält man durch Wahl von V 0 ( H) = V 0. H 0 t = V 0 + G t 1 (H) H t X t 1 = V 0 + G t (H) H t X t. Bemerkung Der erste Teil des Lemma besagt, dass für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie das Vermögen sich als Startvermögen plus Gewinn darstellen lässt. Ist das Startvermögen 0 so gilt insbesondere, dass V t ( H) = G t (H). Der zweite Teil des Lemmas besagt, dass sich jede Anlagestrategie, die sich nur auf Anleihen 1 bis d bezieht, zu einer selbstfinanzierende Strategie erweitern lässt. Dazu werden die jeweiligen Überschüsse auf geeignete Art in den Numeraire investiert. Beweis. (i) Übungsaufgabe. (ii): Sei H = (H 0, H) eine Handelsstrategie und V 0 R. Es gilt H ist s.f. mit Startwert V 0 V t ( H) = V 0 + G t (H) t = 0,..., T V t ( H) = V 0 + G t (H) t = 1,..., T Ht 0 + H t X t = V 0 + G t (H) t = 1,..., T Ht 0 = V 0 + G t 1 (H) H t X t 1 t = 1,..., T Begründung für die Äquivalenzen: 1.) Folgerung aus (i) zusammen mit der Vorgabe, dass das Startkapital V 0 ( H) = V 0 ist. 2.) Aus der Gültigkeit der Gleichung für t = 1 folgt die Gültigkeit für t = 0 wegen 3.) Einsetzen der Definition H 1 X } {{ } 0 + H 1 ( X 1 X 0 ) = V 1 ( H) = V 0 + H 1 ( X 1 X 0 ) =V 0( H) 4.) Nutzung von G t (H) = G t 1 (H) + H t (X t X t 1 ). Da für V 0 R und previsiblen Prozess H der entsprechende Prozess H 0 previsibel ist, kann das Paar also immer eindeutig zu einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie erweitert werden. Bemerkung Generell können Größen in der Standardwährungseinheit oder diskontiert betrachtet werden. Beide Ansätze liefern typischerweise verschiedene Werte, die sich leicht ineinander überführen lassen, ähnlich dem Rechnen mit verschiedenen 5

9 physikalischen Einheiten. Wir werden jeweils undiskontierte Werte mit kalligraphischen Symbolen und die entsprechenden diskontierten Werte mit regulären Symbolen versehen. Eine Ausnahme bilden die Preisprozesse, bei denen wir die undiskontierten Werte mit S 0, S 1,... und die diskontierten Werte mit X 0, X 1,... bezeichnen. Die Unterschiede zwischen den beiden Betrachtungsweisen lassen sich wie folgt zusammenfassen: Undiskontiertes Modell: Üblicherweise wird der Finanzmarkt undiskontiert definiert liegen Marktpreise in undiskontierter Form vor werden Verträge zu Zahlungsverpflichtungen (Bonds, Derivate) in undiskontierter Form abgeschlossen sodass explizite Bewertungen im undiskontierten Modell erfolgen. Diskontiertes Modell: Das diskontierte Modell hat den Vorteil, dass selbstfinanzierende Handelsstrategien und deren Vermögensprozess sehr einfache Darstellungen haben. Deshalb werden wir die theoretischen Aussagen typischerweise im diskontierten Modell beweisen. 6

10 2. Arbitragetheorie Bei der Modellierung von Finanzmärkten gilt es zu vermeiden, dass im Finanzmarktmodell risikolose Gewinne erzielt werden können ( No free lunch -Prinzip). Im Folgenden bezeichne S = (S 0, S) ein Finanzmarktmodell mit Numeraire S 0 und X = (1, X) den zugehörigen diskontierten Finanzmarkt. Definition Eine selbstfinanzierend Handelstrategie H heißt Arbitrage, wenn V 0 ( H) 0 V T ( H), P-fast sicher, und P ( V T ( H) > 0 ) > 0. (3) Man erhält die identische Definition, wenn man den diskontierten Vermögensprozess durch den undiskontierten Prozess V( H) ersetzt. 2. Ein Finanzmarkt heißt arbitragefrei, wenn es keine Arbitragen gibt. Hierfür schreiben wir kurz (NA) für no arbitrage. Lemma 2.2. Ein Finanzmarkt S mit Numeraire ist genau dann arbitragefrei, wenn für jeden previsiblen Prozess (H t ) t=1,...,t in R d gilt. G T (H) 0, fast sicher G T (H) = 0, fast sicher, Beweis. " ": Wir nehmen an, es gibt einen previsiblen Prozess H = (H t ) mit G T (H) 0, fast sicher, und P(G T (H) > 0) > 0. Dann kann H nach Lemma 1.12 zu einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie H = (H 0, H) mit Startkapital V 0 = 0 erweitert werden. Da nun V T ( H) = G T (H) ist dies eine Arbitrage im Widerspruch zur Arbitragefreiheit. " ": Sei H = (H 0, H) eine selbstfinanzierende Handelsstrategie. Nun folgt aus G T (H) = V T ( H) V 0 ( H) 0, dass G T (H) = 0 und somit V T ( H) = V 0 ( H) 0. Hier sind alle Gleichungen im P-fast sicheren Sinn zu verstehen. D.h. keine selbstfinanzierende Handelsstrategie ist eine Arbitrage. Bemerkung 2.3. Bezeichnet man mit L 0 +(P) = L 0 +(Ω, F, P) die Menge der Zufallsvariablen W L 0 (Ω, F, P) mit W 0, P-fast sicher, so besagt das Lemma, dass in einem Finanzmarkt mit Numeraire für die durch selbstfinanzierende Handelsstrategien realisierbaren Gewinne gerade folgende Äquivalenz gilt: K := {G T (H) : (H t ) t=1,...,t previsibel} (NA) K L 0 +(P) = {0} 7

11 Zur Untersuchung von Finanzmärkten auf Arbitragefreiheit werden wir häufig andere Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, F) als P betrachten. Der Grund hierfür ist die folgende Beobachtung. Bemerkung 2.4. Ob eine selbstfinanzierende Strategie arbitragefrei ist hängt nur von den Nullmengen unter dem Maß P ab. Ersetzt man das Maß P durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit den gleichen Nullmengen, so sind im neuen Marktmodell die Arbitragen die gleichen wie im alten. Solch ein Wahrscheinlichkeitsmaß nennt man äquivalent zu P und wir schreiben P Q. Für eine formale Definition und die wichtigsten Resultate verweisen wir auf den Anhang, Sektion A.1. Insbesondere ist die Arbitragefreiheit eine Eigenschaft, die invariant unter einem äquivalenten Maßwechsel bleibt. Es stellt sich nun die Frage, nach besonderen äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaßen unter denen die Arbitragefreiheit leicht ersichtlich ist. Um eine besonders nützliches Maß zu deifnieren, brauchen wir den Begriff des Martingals. Definition 2.5. Es sei (Ω, F, Q) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (F t ) t=0,...,t eine Filtation. Ein (F t ) T t=0 adaptierter stochastischer Prozess (M t ) t=0,...,t heißt Q- Martingal, wenn gilt E Q [ M t ] < für alle t und für alle t {0,..., T 1}. E Q [M t F t 1 ] = M t 1, Bemerkung 2.6. Wir schreiben E Q für den Erwartungswert unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß Q, i.e. für jede integrierbare Zufallsvariable Y gilt E Q [Y ] = Y (ω) dq(ω). Ω Natürlich gilt eine analoge Definition auch für Prozesse mit unendlichem Zeithorizont (abzählbar oder auch überabzählbar). Häufig verzichtet man auf die explizite Nennung von Q und sagt, dass (M t ) t {0,...,T } ein Martingal ist. In diesem Zusammenhang arbeiten wir mit verschieden Wahrscheinlichkeitsmaßen, so dass wir die Abhängigkeit von Q explizit hervorheben. Beispiel 2.7. Gegeben sei eine Zufallsvariable C und ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q, so dass E Q [ C ] <. Dann definiert ein Q-Martingal. M t = E Q [C F t ], für t {0,..., T }, Definition 2.8. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (Ω, F) heißt äquivalentes Martingalmaß, wenn (i) Q P, d.h. die Maße Q und P äquivalent sind, und (ii) für jedes i = 1,..., d, X i = (X i t) t=0,...,t ein Q-Martingal ist. 8

12 Wir bezeichnen mit M = M(X) die Menge aller äquivalenten Martingalmaße. Gilt statt Q P lediglich Q P so heißt Q absolutstetiges Martingalmaß. Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des 1. Fundamentalsatzes der Finanzmathematik (kurz: FTAP 1 für fundamental theorem of asset pricing ) Satz 2.9 (FTAP1). Folgende Aussagen sind für einen Finanzmarkt S = (S 0, S) äquivalent: (i) Der Finanzmarkt S ist arbitragefrei. (ii) Der Markt S besitzt ein äquivalentes Martingalmaß. Kurz: (NA) M. Ist der Markt arbitragefrei, so existiert sogar ein Q M mit dq dp L (P). Zum Beweis der Implikation (ii) (i) nutzen wir den folgenden Satz. Satz 2.10 (Doob s System Theorem). Sei Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F). Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) Q ist ein Martingalmaß, d.h. (X i t) ist für jedes i = 1,..., d ein Q-Martingal. (ii) Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie H = (H 0, H) mit beschränktem H ist der Vermögensprozess V ( H) ein Q-Martingal. (iii) Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie H = (H 0, H) mit ist V ( H) ein Q-Martingal. E Q [(V T ( H)) ] < (iv) Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie H = (H 0, H) mit V T ( H) 0, Q- fast sicher, gilt E Q [V T ( H)] = V 0 ( H). Beweis von Satz 2.9, (ii) (i). Es bezeichne Q ein äquivalentes Martingalmaß. Nach Bemerkung 2.4 ändern wir nichts an der Menge der Arbitragen, wenn wir das zugrundeliegende Maß P durch Q ersetzen. Es genügt zu zeigen, dass es keine Handelsstrategie H gibt, die unter Q eine Arbitrage ist. Sei nun H eine selbstfinanzierende Handelsstrategie mit V 0 ( H) 0 V T ( H), Q-fast sicher. Es folgt aus Satz 2.10 (Eigenschaft (iv)), dass E Q [V T ( H)] = V 0 ( H) 0. Aus der Nichtnegativität von V T ( H) folgt, dass V T ( H) = 0, Q-fast sicher und somit ist H keine Arbitrage. 9

13 2.1. Das FTAP1 im Ein-Perioden Modell Im Folgenden sei T = 1 und F 0 im Gegensatz zur Generalannahme eine beliebige Teil-σ-Algebra von F 1 = F. Diese Annahme ist wichtig, denn später wollen wir den allgemeinen Fall des [FTAP1] aus dem Ein-Perioden Fall herleiten. Dafür müssen wir allerdings mit zufälligen Startbedingungen arbeiten. Zum Beweis des [FTAP1] für T = 1 reicht es folgende Aussage zu beweisen: Arbitragefreiheit Q M mit dq dp L (P). Der Gewinn einer selbstfinanzierende Handelsstrategie H ist nun G 1 (H) = H 1 (X 1 X 0 ) Wir verzichten im Folgenden auf den Subindex 1 und setzen Y := X 1 X 0 sodass G(H) = H Y. Somit ist die Familie der realisierbaren Gewinne gleich K = {H Y : H L 0 (Ω, F 0, P; R d )} L 0 (Ω, F, P) =: L 0. Der Beweis untergliedert sich in die folgenden fünf Schritte: 1.) Wir zeigen, dass (NA) K L 0 + = {0} (K L 0 +) L 0 + = {0}, 2.) Wir zeigen, dass wir annehmen können, dass X 0, X 1 und Y in L 1 liegen, also integrierbar sind. 3.) Konstruktion des äquivalenten Martingalmaß mit einer Dichte Z mit bestimmten Eigenschaften. 4.) Existenz der Dichte Z. 5.) Wir zeigen, dass Z strikt positiv ist. 1. Schritt: Zunächst überlegt man sich, dass K L 0 + = {0} (K L 0 +) L 0 + = {0}. (4) In Worten besagt diese Äquivalenz, dass wenn die einzigen fast sicher positiven Gewinne gleich 0 sind, dann ändert sich diese Aussage nicht durch Abziehen einer positiven Zufallsvariable. Der Beweis ist eine Übungsaufgabe. 2. Schritt: Im 2. Schritt zeigt man, dass man ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen kann, dass X 0, X 1 und damit Y in L 1 (Ω, F, P; R d ) liegen. Dies folgt aus Anwendung der folgenden Proposition. Dabei bezeichnen wir mit L 0 (Ω, F, P, R n ), R n - wertige Zufallsvariablen und mit L 0 (Ω, F, P, R n ) wird der entsprechende L p -Raum definiert. 10

14 Proposition Für W L 0 (Ω, F, P, R n ) existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß P P mit (i) dp dp L (Ω, F, P) (ii) W L 1 (Ω, F, P, R n ). Beweis. Übungsaufgabe. Zur Anwendung setzen wir W = (X 1, X 2 ) und erhalten so ein äquivalentes Maß P unter dem X 0 und X 1 integrierbar sind. Teil (i) ist wichtig für den zweiten Teil des [FTAP1]. Angenommen wir können unter der Zusatzannahme dass X 1, X 2 integrierbar sind (also unter P ) zeigen, dass es ein äquivalentes Martingalmaß Q gibt mit beschränkter Dichte dq dp. In diesem Fall ist auch die Dichte dq dp = dq dp dp dp, beschränkt, wie wir es im zweiten Teil des [FTAP1] behaupten. 3. Schritt: Konstruktion des äquivalenten Martingalmaß Wir formulieren einfachere Bedingungen an eine Zufallsvariable Z dafür, dass wir sie als Dichte für ein äquivalentes Martingalmaß verwenden können. Proposition Es gelte Y L 1. Angenommen es gibt eine Zufallsvariable Z L \ {0}, so dass E[Z W ] 0 für alle W C := (K L 0 +) L 1. (5) Dann gilt Z 0 P-fast sicher und mittels dq dp = Z E[Z] (6) wird ein absolutstetiges Martingalmaß Q definiert. Gilt zusätzlich, dass Z > 0 P-fast sicher, dann definiert Q ein äquivalentes Martingalmaß. Beweis. Schritt (i). Wir zeigen zunächst, dass Z fast sicher positiv ist. Dazu betrachten wir die Menge A := {Z < 0}. Dann gilt 1l A = 0 1l A C (da 0 K) und somit 0 E[( Z)1l A ] E[Z( 1l A )] 0. Daraus folgt aus ( Z)1l A 0, dass ( Z)1l A = 0 fast sicher und da Z 0, muss P(A) = 0. Schritt (ii). Wir zeigen nun, dass E[ZW ] = 0 W K L 1. (7) Dies folgt sofort aus (5), denn wenn W K L 1, dann ist auch W K L 1 und damit gilt 0 E[ZW ] = E[Z( W )] 0. 11

15 Hierbei nutzen wir, dass K L 1 C = (K L 0 +) L 1 (da 0 L 0 +). Daraus folgern wir in Schritt (iii), dass E[ZY i F 0 ] = 0 für alle i = 1,..., d. (8) Dazu, wählen wir i {1,..., d} und betrachten für A F 0, die F 0 -messbare Zufallsvariable H = 1l A e i, wobei e i der i-te Einheitsvektor ist. Dies entspricht einer Investition in die i-te Anleihe, wenn A auftritt. Dann ist der zugehörige Gewinn G(H) = H Y = 1l A Y i K L 1 und somit gilt nach (7), E[ZY i 1l A ] = 0. Da A F 0 beliebig ist, folgt aus der Definition der bedingten Erwartung die Aussage. Da Z 0 fast sicher und Z 0, muss E[Z] > 0 sein und (6) definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches absolut stetig ist bezüglich P. Nach der Formel für bedingte Dichten (siehe Übungsblatt) und (8) folgt, dass für i {1,..., d}, E Q [Y i F 0 ] = E[ZY i F 0 ] E[Z F 0 ] Da nach Definition Y i = X1 i X0, i ist also der Preisprozess (X t ) i t=0,2 ein Martingal unter Q. 4. Schritt: Konstruktion einer positiven Dichte. Im Beweis nutzen wir einen Zusammenhang zwischen der Trennung konvexer Mengen und absolutstetigen Martingalmaßen. Zur Konstruktion der trennenden Zufallsvariable verwenden wir Resultate aus der Funktionalanalysis, die wir an dieser Stelle nicht beweisen werden. Eine Folgerung des Satzes von Hahn-Banach ist folgende Aussage: Satz 2.13 (Trennungssatz). Seien p [1, ) und q (1, ] mit 1 p + 1 q = 1, sowie C und D disjunkte, konvexe Teilmengen von L p (P). Ist C abgeschlossen und D kompakt, so existiert Z L q (P) mit = 0. sup E[ZW 1 ] < inf E[ZW 2]. W 1 C W 2 D Bemerkung Sind C und D konvexe Teilmengen des R n, dann beantwortet der Trennungssatz die folgende Frage: Unter welchen Bedingung an C und D gibt es eine Hyperebene, die die Mengen trennt, so dass C und D sich auf verschiedenen Seiten der Hyperebene befinden. Mathematisch fragt man also nach der Existenz eines Vektors z R n und eines Skalars α, so dass die Hyperebene durch {x : x, z = α} beschrieben wird und zusätzlich gilt: C {x : x, z < α} und D {x : x, z α}. Der Zusammenhang zu der allgmeinen Formulierung wird klar, wenn man E[ZW ] als das Skalarprodukt zwischen den Zufallsvariablen Z L q und X L p interpretiert. Für einen Beweis von Satz 2.13 und eine ausführliche Diskussion verweisen wir auf [Wer00, Kap. III.2]. 12

16 Wir werden den Trennungssatz mit der Menge C := (K L 0 +) L 1 verwenden. Es ist zu überprüfen, dass C abgeschlossen ist. Proposition Gilt (NA), so ist C eine abgeschlossene Teilmenge des L 1. Beweis. Siehe Föllmer, Schied [FS04, Lemma 1.67] bzw. [FS11, Lemma 1.68]. Proposition Es gelte (NA). Dann existiert für jede Menge A F mit P(A) > 0 eine Zufallsvariable Z L \ {0} mit E[1l A Z] > 0 so dass E[ZW ] 0 für alle W C. Insbesondere können wir Z so wählen, dass 0 Z 1 fast sicher. Mit Hilfe von Proposition 2.12 können wir mit Z als Dichte also ein absolut stetiges Martingalmaß konstruieren. Beweis. Sei A F mit P(A) > 0. Dann gilt 1l A L 1 +\{0}. Nach Schritt 1, siehe (4), folgt aus (NA), dass C L 0 + = (K L 0 +) L 1 + = {0}. Damit sind die konvexen Mengen C und D := {1l A } disjunkt. Wir wenden den Trennungssatz mit p = 1 und q = an und erhalten die Existenz einer Zufallsvariable Z L mit s := sup E[ZW ] < E[Z 1l A ]. W C Da W = 0 C, muss s 0 und daraus folgt, dass E[Z1l A ] > 0 und Z L \ {0}. Ist W C und λ > 0, dann ist auch λw C und es folgt, dass λe[zw ] = E[Z(λW )] s < E[Z 1l A ]. Da W beliebig war, können wir also schliessen und so folgt mit λ dass s = 0. s < 1 λ E[Z 1l A], Nach Proposition 2.12 muss insbesondere Z 0 gelten. Da Z L, können wir Z = Z Z definieren und erhalten so eine Zufallsvariable mit den gewünschten Eigenschaften, die zusätzlich fast sicher durch 1 beschränkt ist. 5. Schritt: Existenz einer strikt positiven Dichte. Im letzten Schritt zeigen wir, dass wir mit Hilfe von Proposition 2.16 eine Dichte konstruieren können, die fast sicher strikt positiv ist. Mit Proposition 2.12 folgt dann die Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes Q, da wir bereits in Schritt 2 gesehen haben, dass man ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen kann, dass X 0, X 1, Y L 1. 13

17 Proposition Es gelte (NA), dann existiert eine Zufallsvariable Z L, so dass P(Z > 0) = 1 und E[Z W ] 0 für alle W C. Beweis. Wir betrachten die Menge Z := {Z L : 0 Z 1, E[Z W ] 0 W C} (i) Wir zeigen (Übungsaufgabe), dass die Menge Z abzählbar konvex ist, d.h. für Folgen (Z n ) Z und (λ n ) [0, 1] mit λ n = 1 gilt Z := λ n Z n Z. n=1 (ii) Wir definieren s := sup { P(A) Z Z mit Z > 0 auf A } und zeigen, dass das Supremum angenommen wird, d.h. es existieren Z Z und A F mit Z > 0 auf A und P(A) = s. Seien (Z n ) Z und (A n ) F mit Z n > 0 auf A n und P(A n ) s. Dann ist Z := n=1 2 n Z n in Z, wegen (i), und ferner Z > 0 auf A := n A n mit P(A) lim n P(A n) = s. (iii) Schließlich bleibt noch zu zeigen, dass s = 1. Angenommen s < 1, dann wähle Z und A wie in (ii). Nun gilt P(A c ) > 0 und somit existiert ein Z Z (Proposition 2.16) mit E[1l A c Z ] > 0 und somit hat {Z > 0} A c positives P-Maß. D.h. für Z := 1 2 (Z + Z ) Z gilt P({Z > 0}) P(A) + P({Z > 0} A c ) > s, welches ein Widerspruch zur Definition von s ist Das FTAP1 im Mehr-Perioden Modell Wir wenden uns nun dem Mehr-Perioden Modell zu. Jedes Mehr-Perioden Modell kann als T Ein-Perioden Modelle, die jeweils aus der Periode t 1 t bestehen aufgefasst werden. Eine zentrale Beobachtung ist nun, dass das Mehr-Perioden Modell genau dann arbitragefrei ist, wenn alle T Ein-Perioden Modelle arbitragefrei sind. 14

18 Proposition Ein Marktmodell S = (S 0, S) besitzt Arbitragen genau dann, wenn ein t {1,..., T } und ein K L 0 (Ω, F t 1, P; R d ) existieren mit K (X t X t 1 ) 0, fast sicher, und P(K (X t X t 1 ) > 0) > 0. Es verbleibt der Beweis der Aussage im Mehr-Perioden Modell Arbitragefreiheit Q M mit dq dp L (P). Beweis des FTAP1 für T > 1. Wie im Ein-Perioden Modell können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass X t L 1 (Ω, F, P; R d ) (siehe 2. Schritt). Wir konstruieren ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q M durch iterierte Anwendung des FTAP1 im Ein-Perioden Modell. Nach Proposition 2.18 ist das Ein-Perioden Modell T T 1 abritragefrei, d.h. nach dem Ein-Perioden FTAP1 existiert ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q T mit beschränkter Dichte Z T bezüglich P sodass E Q T [X i T F T 1 ] = X i T 1, i = 1,..., d Ein Maßwechsel von P nach Q T ändert nichts an der Gültigkeit der (NA) Bedingung für das T -Periodenmodell und damit auch nicht für das Modell der Periode T 2 T 1. Damit wählen wir als nächstes ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q T 1, mit Dichte Z T 1 L (Ω, F T 1, P) (wichtig ist hierbei, dass Z T 1 F T 1 -messbar gewählt werden kann!), sodass E Q T 1 [X i T 1 F T 2 ] = X i T 2, i = 1,..., d. Wir fahren entsprechend fort und definieren iterativ äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße Q T,..., Q 1 =: Q. Nun gilt dq dp = dq 1 dq 2... dq T dq 2 dq 3 dp = Z 1... Z T L (Ω, F, P). Somit sind alle Preise X i t Q-integrierbar und es gilt nach Satz A.5 für s < t E Qs [X i t F t 1 ] = EQs+1 [Z s X i t F t 1 ] E Qs+1 [Z s F t 1 ] = E Qs+1 [X i t F t 1 ]. Wenden wir diese Gleichung nacheinander auf s = t 1,..., 1 an, so erhalten wir dass E Q [X i t F t 1 ] =... = E Qt [X i t F t 1 ] = X i t 1, und (X i t) ist ein Martingal unter Q. 15

19 2.3. Wechsel des Numeraires Wir haben bisher jeweils die 0-te Anlage als Numeraire betrachtet. Vorausgesetzt, dass auch der Preisprozess einer anderen Anlage, sagen wir der d-ten Anlage, strikt positiv ist, kann auch dieser zur Diskontierung verwendet werden. Frage: Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Martingalmaßen für verschiedene Diskontierungen? Wir nehmen im Folgenden an, dass S d ein strikt positiver Preisprozess ist. Wir benötigen weitere Notationen. Zusätzlich zu den S 0 diskontierten Preisprozessen (Xt) i betrachten wir die S d -diskontierten Preisprozesse (Yt i ) gegeben durch Wir setzen nun Y i t := Si t St d. Ȳ = (Y, Y d ) = (Y 0 t,... Y d t ) t=0,...,t Wir bezeichnen mit M 0 = M(X) die Menge der äquivalenten Martingalmaße bei Diskontierung mit der 0-ten Anlage und mit M d = M(Y ) die Menge der Martingalmaße bei Diskontierung mit S d, d.h. M d ist die Menge aller W Maße auf (Ω, F) mit (i) Q P (ii) Y 0,..., Y d 1 sind Q-Martingale Proposition Sei Q M 0. Für t = 1,..., T gilt E Q [Y 0 t F t ] Y 0 t 1. Ist X d nicht konstant (d.h. gilt nicht X d 0 =... = X d T, f.s.), so ist Y 0 kein Q-Martingal. Insbesondere gilt in diesem Fall Beweis. Es gilt Yt 0 1,..., T = S0 t S d t = 1 X d t E Q [Y 0 t F t 1 ] = E Q[ 1 X d t M 0 M d =. für t = 0,..., T und somit mittels Jensen für t = F t 1 ] 1 E Q [Xt d F t 1 ] = 1 = Y X t 1. 0 t 1 Zum Beweis, dass Y 0 kein Q-Martingal ist, wenn X d nicht konstant ist, wählen wir ein t {1,..., T } mit P(X d t X d 0 ) > 0. Wir bemerken, dass für x := X d 0 und beliebiges y > 0 1 y 1 x y x x 2 =: ξ(y) 16

20 mit Ungleicheit für y x (Tangente in x an die streng konvex Funktion z 1/z oder 1 direkt mit dem Satz von Taylor). Somit gilt > ξ(x d X0 d 0 ) mit positiver Wahrscheinlichkeit sodass E Q[ 1 ] Xt d > E Q [ξ(xt d )] = 1 X0 d E Q[ Xt d X0 d ] (X0 d = 1 )2 X0 d. Somit ist (Y 0 t ) kein Q-Martingal. Merke: Die Menge der äquivalenten Martingalmaße hängt stark von der Wahl des Numeraires ab. Allerdings sagt der nächste Satz aus, wie man zwischen den verschiedenen Klassen an Martingalmaßen umrechnen kann. Satz Für Q M 0 ist das Maß Q auf (Ω, F) mit dq dq = Xd T X d 0 ein äquivalentes Martingalmaß bei Diskontierung mit S d, d.h. Q M d. Die Abbildung Ψ : M 0 M d, Q Q ist eine Bijektion. 17

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