Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08.

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1 Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 Stand: 4. November 2007

2 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell 8 1

3 Kapitel 1 Motivation und erste Begriffe Optionen: Der Käufer der Option hat das Wahlrecht (nicht die Verpflichtung) ein bestimmtes Finanzgut (z.b. eine Aktie) bis zu einem zukünftigen Zeitpunkt T zu einem vereinbarten Preis K zu kaufen oder zu verkaufen. Das Kauf bzw. Verkaufsrecht wird Call bzw. Put genannt. Man unterscheidet: 1. Europäische Option: Ausübung ist nur zum Zeitpunkt T möglich. 2. Amerikanische Option: Ausübung ist bis zum Zeitpunkt T möglich. Beispiel (Preisbestimmung einer Europäischen Call-Option). t = 0 aktueller Zeitpunkt T > 0 Ausübungszeitpunkt (S t ) tɛ[0,t ] Kursprozess der zugrundeliegenden Aktie (stochastischer Prozess) K Ausübungspreis Auszahlung des Calls zur Zeit T ist geg. durch H = max(s T K, 0) = (S T K) + Es sei: Anfangswert der Aktie: S 0 = 10e Zum Zeitpunkt T kann der Wert S T der Aktie 20e bzw. 7,50e betragen. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse sind p bzw. 1 p, pɛ(0, 1). Sei K = 15e Die Auszahlung ist also { H = (S T K) + 5 mit W keit p = 0 mit W keti 1 p Der Zinssatz auf dem Bankkonto sei r = 0 (sowohl für Soll als auch für Habenpositionen) Wie hoch ist der Preis Π(H) für diese Option? Idee: Repliziere H mit den anderen Finanzinstrumenten (Aktie und Bankkonto). Das Anfangskapital, welches nötig ist um H zu replizieren, ist dann der Preis der Option. Arbitrage (risikoloser Gewinn) darf nicht möglich sein = No arbitrage Prinzip 2

4 KAPITEL 1. MOTIVATION UND ERSTE BEGRIFFE 3 Eine Handelsstrategie (Protfolio) ist ein Tupel (α, β) bestehend aus: β = Anlage auf Bankkonto α = Anlage in Aktie (Stückzahl) Ann.: αɛr. Bei α < 0 spricht man von einem Leerverkauf. Wert eines Portfolios (α, β) zum Zeitpunkt t = 0: V 0 (α, β) = β + α S 0 Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt t = T : Ansatz: d.h. V T (α, β) = β + α S T V T (α, β) = H β + α S T (ω) = H(ω) für ωɛ{ω 1, ω 2 } ergibt Gleichungssystem mit 2 Gleichungen: Lösung des Gls.: β = 3, α = 0, 4 und damit V 0 (α, β) = 1e β α 20 = 5, für ω = ω 1 β α 7, 5 = 0, für ω = ω 2 Die replizierende Strategie für H: Leihe heute 3e und kaufe 0,4 Aktien (Investition: 1e) S T = 20: Verkauf der Aktie liefert 8e. Zahle Kredit zurück (3e). Bleiben 5e. S T = 7, 5: Verkauf der Aktie liefert 3e. Zahle Kredit zurück (3e). Bleiben 0e. Insgesamt ist Π(H) = 1 der faire Preis der Option, denn: Ann.: Π(H) > 1: wir verkaufen eine Option zum Preis Π(H) und replizieren sie wie oben mit Kosten von 1e. Risikoloser Gewinn: Π(H) 1e Π(H) < 1: kaufe eine Option zum Preis Π(H) und verkaufe die replizierende Strategie. Risikoloser Gewinn: 1 Π(H) Beachte: Π(H) ist unabhängig von der subjektiven W keit p.

5 Kapitel 2 Endliche Finanzmärkte In endlichen Finanzmärkten haben wir endlich viele Zustände und endlich viele Handelszeitpunkte. Gegeben sei ein filtrierter W Raum (Ω, F, (F t ) t, P ) mit Ω endlich, F = P(Ω) und P ({ω}) > 0 ωɛω. Handelszeitpunkte seien t = 0, 1, 2,..., T. (I := {0, 1, 2,..., T }) Unser Finanzmarkt besteht aus d + 1 Wertpapieren: eine risikolose Anlage (Bond) mit deterministischem Preisprozess (B t ) tɛi = (B 0, B 1,..., B T ), wobei B 0 = 1 und B t > 0 für tɛi, z.b.: t B t = (1 + r n ), tɛi n=0, wobei r n 0 die Verzinsung im Intervall (t, t + 1) angibt. d risikobehaftete Anlagemöglichkeiten (Stocks) mit Preisprozessen (S k t ) tɛi, k = 1,..., d. Es sei S t = (S 1 t,..., S d t ) und S k t (ω) > 0 t, k, ω. Die Prozesse (S k t ) tɛi seien für k = 1,..., d adaptiert bzgl. der gegebenen Filtration (F t ) tɛi. (Oft: F t = σ(s 0, S 1,..., S t )). Definition. Eine Handelsstrategie (oder Portfolio) ist ein (F t ) adaptierter stochastischer Prozess (α, β) = ((α t ) t, (β t ) t ) mit α = (α 0, α 1,..., α T 1 ) wobei α t = (αt 1,..., αt d )ɛr d und αt k ist die Stückzahl des Wertpapiers k, die während des Zeitraums (t, t + 1] gehalten wird. β = (β 0, β 1,..., β T 1 )ɛr T β t ist die Stückzahl des Bonds während des Zeitraums (t, t + 1]. Der Portfoliowert der Strategie (α, β) vor der Umschichtung zur Zeit t lautet: V t (α, β) = β t 1 B t + d αt 1 k St k = β t 1 B t + αt 1S T t. k=1 4

6 KAPITEL 2. ENDLICHE FINANZMÄRKTE 5 Der Portfolio dieser Strategie nach der Umschichtung zur Zeit t lautet: V t (α, β) = V t+ (α, β) = β t B t + d αt k St k = β t B t + αt T S t. Definition. Eine Handelsstrategie (α, β) heißt selbstfinanzierend, falls gilt: k=1 V t (α, β) = V t+ (α, β), für t = 1,..., T 1. D.h. es findest kein Zu oder Abfluss von Geld statt. Schreibweise: es sei X t := X t X t 1, tɛi. Bei selbstfinanzierenden Handelsstrategien ist die Kenntniss von (α, β) äquivalent zur Kenntniss von (V 0, α). Lemma 2.1. Für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie (α, β) gilt: β t = β 0 α T n S n = V 0 (α, β) n=0 α T n S n für t = 0, 1,..., T 1, mit α k 0 := αk 0, k = 1,..., d. Proof. t = 0 : Da B 0 = 1 folgt: V 0 (α, β) = α T 0 S 0 + β 0 B 0. β 0 = V 0 (α, β) α T 0 S 0 = V 0 (α, β) α T 0 t > 0 : Da (α, β) selbstfinanzierend ist, gilt: α T t S t + β t B t = α T t 1S t + β t 1 B t S n. Weiter: β t = β 0 β t = α T t β n = β 0 S t B t. α T n S n. Lemma 2.2. Für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie (α, β) gilt: für t = 1,..., T mit X k n := Sk n V t (α, β) B t = V 0 (α, β) + αn 1 X T n,, nɛi, der diskontierte Preisprozess.

7 KAPITEL 2. ENDLICHE FINANZMÄRKTE 6 Proof. Für tɛi gilt: V t B t V (t 1) B t 1 s.f. = V t V t 1 = β t 1 + α B t B t 1X T t β t 1 αt 1X T t = t 1 mit: folgt Behauptung. V t B t = = α T t 1 X t ( V n V (n 1) 1 ) + V 0 B 0 Definition. Der (F t ) adaptierte stochastische Prozess (G t (α)) einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie (α, β), der durch G t (α) := n=0 α T n G 0 (α) := 0 definiert ist, heißt Gewinnprozess von (α, β). S n, t = 1,..., T Definition. Ein Zahlungsanspruch (contingent claim) ist eine F messbare Zufallsvariable H : Ω R Bemerkung. Falss F = F T = σ(s 0, S 1,..., S T ), dann ist H = h(s 0, S 1,..., S T ). Beispiel. Zahlungsansprüche 1. Europäische Call Option: H = (S T K) + 2. Europäische Put Option: H = (K S T ) + 3. Termingeschäft (short): H = K S T 4. Digital Option: H = 1 [ST >K] 5. Down and out call: H = (S T K) + 1 [mintɛi S T >K 2 ] 6. Asiatische Call Option: H = (S T 1 T T t=1 S t) + Definition. (a) Ein Zahlungsanspruch H heißt erreichbar, wenn es eine selbstfinanzierende Handelsstrategie (α, β) gibt mit V T (α, β) = H. Dann heißt Π(H) = V 0 (α, β) ein Preis von H und (α, β) heißt eine Hedging-Strategie von H. (b) Ein Markt heißt vollständig, wenn jeder Zahlungsanspruch erreichbar ist. Beispiel. Sei H = a(k S T ), d.h. H ist ein Termingeschäft über a Aktien, a N. Beh.: Preis: Π(H) = a K B T as 0 Hedging-Strategie: β t = a K B T α t = a, 0 t T 1

8 KAPITEL 2. ENDLICHE FINANZMÄRKTE 7 Bew.: (α, β) ist selbstfinanzierend, da buy and hold. und V 0 (α, β) = a K B T as 0 V T B T = B 0 + T α n 1 X n = a K B T as 0 a(x T X 0 ) = a K B T a S T B T = a(k S T ) B T V T (α, β) = H. = H B T Definition. Eine Arbitragemöglichkeit ist gegeben, falls eine selbstrinanzierende Handelsstrategie (α, β) existiert mit V 0 (α, β) = 0, V T (α, β) 0 und ω Ω : V T (α, β) > 0. Bemerkung. Da V t B t = V 0 + G t (α), t = 1,..., T gilt: Arbitragemöglichkeit selbstfinanzierende Handelsstrategie (α, β) mit V 0 (α, β) = 0, G t (α) 0, und G T (α)(ω) > 0 für ein ω Ω. Schreibweise: Wir schreiben (NA) (=no arbitrage), falls keine Arbitragemöglichkeit existiert. Lemma 2.3. Es gelte (NA). Dann ist der Preis Π(H) für erreichbare Zahlungsansprüche eindeutig bestimmt und damit unabhänging von der Wahl einer Hedging Strategie. Proof. Seien (V 0, α), (Ṽ0, α) zwei Hedging Strategien für H, d.h.: H = V T H B T = V T B T H B T = V 0 + G T (α) = Ṽ0 + G T ( α) Ann.: V 0 Ṽ0, o.b.d.a.: V 0 < Ṽ0 V 0 Ṽ0 + G T (α) G T ( α) = 0 V 0 } {{ Ṽ0 + G } T (α α) } {{ } <0 >0 = 0, da G T (α) lineare Funktion. (V 0 = 0, α = α) ist eine Arbitragemöglichkeit, da G T (α α) > 0

9 Kapitel 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Beim Cox Ross Rubinstin Modell (CRR Modell) handelt es sich um ein spezielles Binomialmodell. Wir betrachten zunächst den Fall T = 1 (Ein Perioden Modell) und d = 1 (eine Aktie). Sei Ω = {ω 1, ω 2 }, F = F 1 = P(Ω). Weiter sei B 0 = 1, B 1 = 1 + r, r 0. { u S0, falls ω = ω S 0 und S 1 (ω) = 1 mit u > d > 0. d S 0, falls ω = ω 2 Mit G T (α) = G 1 (α) = α 0 ( S 1 1+r S 0 1 ) gilt: (NA) S 1(ω 1 ) 1 + r S S 1 (ω 2 ) 0 > 0, 1 + r S 0 < 0 u 1 + r > 1, d 1 + r < 1 u > 1 + r > d. Lemma 3.1. Es gelte (NA). Dann ist das Modell vollständig, d.h. zu jedem ZahlungsanspruchH gibt es eine selbstfinanzierende Handelsstrategie (α, β) mit V 1 (α, β) = H, nämlich α 0 = H(ω 1) H(ω 2 ), β 0 = uh(ω 2) dh(ω 1 ) (u d)s 0 (u d)(1 + r) und der eindeutige Preis Π(H) ist gegeben durch Π(H) = α 0 S 0 + β 0 = (1 + r d)h(ω 1) + (u 1 r)h(ω 2 ). (u d)(1 + r) Proof. Ansatz: V 1 (α, β) = α 0 S 1 + β 0 B 1 = H. Mit ω {ω 1, ω 2 } ergibt sich das Gleichungssystem: α 0 u S 0 + β 0 (1 + r) = H(ω 1 ) α 0 d S 0 + β 0 (1 + r) = H(ω 2 ) Lösen des Gleichungssystems ergibt Behauptung. 8

10 KAPITEL 3. DAS COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL 9 Die Formel für Π(H) aus Lem.3.1 kann wie folgt umgeschrieben werden: Π(H) = H(ω 1) 1 + r q + H(ω 2) (1 q) 1 + r mit q = 1+r d u d =: Q(ω 1 ) und 1 q =: Q(ω 2 ). Q ist ein (künstliches) W maß auf (Ω, F). Unter Q gilt: 1. Π(H) = E Q [ H 1+r ] (Erwartungswert bzgl. W maß Q) 2. E Q [X 1 X 0 ] = E Q [X 1 ] d.h. (X n ) ist ein Martingal unter Q. = E Q [ S 1 B 1 ] = q S 1(ω 1 ) 1 + r + (1 q)s 1(ω 2 ) 1 + r = q us r + (1 q) ds r = S 0 ( q u (1 q)d r 1 + r ) = S 0 = X 0 Wir betrachten jetzt das T periodige CRR Modell. Sei B t = (1 + r) t, r 0, t = 1,..., T. Weiterhin sei Ω = E T mit E = {u, d}, d.h. zu jedem Zeitpunkt sind zwei Entwicklungen des Aktienkurses möglich. (Grafik) Ω = {(y 1,..., y T ) y k E, k = 1,..., T } = E T, F = P(Ω) Definiere: { u, falls yt = u Y t (ω) = Y t ((y 1,..., y T )) = d, falls y t = d, t = 1,..., T Es gilt: S t := Y t S t 1 = S 0 t Y k, t = 1,..., T. k=1 Als Filtration wählen wir F t := σ(s 1,..., S t ) = σ(y 1,..., Y t ) Bemerkung. Auch im T periodigen CRR Modell gilt: Satz 3.2. Es gelte (NA) (NA) u > 1 + r > d (a) Das CRR Modell ist vollstänidg, d.h. zu jedem Zahlungsanspruch H gibt es genau eine selbstfinanzierende Hedging Strategie (α, β) mit V T (α, β) = H und mit q y = Π(H) = α 0 S 0 + β 0 B 0 = { q, falls y = u 1 q, falls y = d ω=(y 1,...,y T ) Ω q y1, q yt H(ω) B T, ist der (eindeutige) Preis von H.

11 KAPITEL 3. DAS COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL 10 (b) Definiert man Q(ω) = Q(y 1,..., y T ) := q y1,, q yt, W maß auf (Ω, P(Ω)) und es gilt: ω Ω, so ist Q ein Π(H) = E Q [ H B T ] Proof. (b) Klar, da 0 < q < 1 und Q ein Produktmaß ist. (a) Man kann die eindeutige, selbstfinanzierende Hedging Strategie durch Rekursion im Binomialbaum ermitteln. Da (α, β) selbstfinanzierend ist, gilt für t = 1,..., T : (i) α t 1 S t + β t 1 B t = V t (ii) α t 1 S t 1 + β t 1 B t 1 = V t 1 Setze t = T und V T = H. Bestimme aus (i) α t 1, β t 1 in Abhängigkeit von y 1,..., y T 1. Da Y T zwei mögliche Werte annehmen kann, wird aus (i) ein System von zwei Gleichungen: α T 1 (y 1,..., y T 1 ) S T 1 u + β T 1 (y 1,..., y T 1 ) B T = H(y 1,..., y T 1, u) α T 1 (y 1,..., y T 1 ) S T 1 d + β T 1 (y 1,..., y T 1 ) B T = H(y 1,..., y T 1, d) Löse nach (α T 1 (... ), β T 1 (... )) auf. Aus (ii) bestimme V T 1 (α, β) in Abhängigkeit von (y 1,..., y T 1 ). Für T = 1 folgt die Darstellung von Π(H) wie in Lemma 3.1. Für T > 1: Induktion. Bemerkung. Sei H ein Zahlungsanspruch und Π t (H) sein der Preis von H zum Zeitpunkt t (in Abhängigkeit von (y 1,..., y T )). Ist (α, β) eine selbstfinanzierende Handelsstrategie für H, so gilt Π t (H) = V t (α, β), insbesondere Π 0 (H) = V 0 (α, β).

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