Musterlösung Übung 3

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1 Musterlösung Übung Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den folgenden Werten: Typ europ. Strike Preis 40 Preis des Underlyings 40 Laufzeit 90 Tage Volatilität 70 % Zinssatz 0 Bestimmen Sie Delta, Gamma, Vega und Theta! Wie verändern sich Delta, Gamma, Vega und Theta in Funktion des Underlyingpreises? Wie verändert sich der Optionspreis in Funktion der Volatilität und der Restlaufzeit?

2 Delta: Gamma: Vega: Theta: Optionspreis in Funktion der Volatilität: Optionspreis in Funktion der Restlaufzeit:

3 b) Bewerten Sie die folgende Call-Option Typ europ. Strike Preis 100 Preis des Underlyings 40 Laufzeit 90 Tage Volatilität 30 % Zinssatz 0 Welchen Wert hat die Option bei einer Laufzeit von 1 Jahr 10 Jahren? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Option beim Verfall in-the-money ist für jede der drei Laufzeiten? 1 Jahr Laufzeit:

4 3 Jahre Laufzeit: 90 Tage: 0.0 % 1 Jahr: 0.1 % 3 Jahre: 2.5 %

5 c) Bewerten Sie die folgende Put-Option Typ europ. Strike Preis 40 Preis des Underlyings 41 Laufzeit 90 Tage Volatilität 70 % Zinssatz 0 Bestimmen Sie Delta, Gamma, Vega und Theta! Wie verändern sich Delta, Gamma, Vega und Theta in Funktion des Underlyingpreises? Wie verändert sich der Optionspreis in Funktion der Volatilität und der Restlaufzeit?

6 Delta: Gamma: Vega: Theta: Optionspreis in Funktion der Volatilität: Optionspreis in Funktion der Restlaufzeit:

7 2. Binomial trees a) Bewerten Sie die Option von Aufgabe 1a) mit dem binomial Modell. Verwenden Sie 6 diskrete Zeitabschnitte. b) Wie verändert sich der Optionspreis mit zunehmender Anzahl von Zeitabschnitten: 15, 30, 45, 90 c) Vergleichen Sie mit dem Wert, den die Black-Scholes Formel liefert! Binomial Modell: 6 Zeitabschnitte: Zeitabschnitte: Zeitabschnitte: Zeitabschnitte: Zeitabschnitte: Vergleich Black-Scholes Binomial Modell

8 3. Kombinationen von Derivaten a) Lösung 1: Lösung 2: - short put (X = 28) plus bull spread (X1, X2), bestehend aus - long call (X1 = 30) und short call (X2 = 32) oder - long put (X1 = 30) und short put (X2 = 32) - long fence (X1, X2) plus short call (X=32) - long fence besteht aus short put (X1 = 28) und long call (X2 = 30) b) Markterwartung: steigende Preise; Band der Preiserwartung 28-32; abgesichert sind Preise von 30 bis auf 28 herunter, darunter keine Preisabsicherung mehr, d. h. es wird eine eher abnehmende Volatilität erwartet (keine extremen Preisausschläge nach unten) 4. Replizierendes Portfolio Es werden (fast) die gleichen Parameter verwendet wie im Skript (Kapitel 6.2). Current price of the underlying: Strike Price: Volatility (annualized): σ = 35 % Interest rate: r = 7 % Time to expiration: T = 4 months (= 0.33 year) Time interval: Δt = 1 month (= year) Zuerst soll ein Binominal-Baum aufgebaut werden mittels der Formeln aus dem Skript: Für die gegebenen Aufgaben-Parameter folgt: u = d =

9 Per Hand (bzw. per Matlab-Code) oder mit dem Hoadlay-Tool kann der folgende Binominal-Baum erstellt werden.

10 Mit der in der Vorlesung vorgestellten Methode kann der intrinsische Wert der Option C 0 für jede Position im Binominal-Baum bestimmt werden. Der komplette Binominal-Baum für den Optionswert C kann dann mit der Formel aus Punkt 4 errechnet werden: Der Parameter-Wert für p ergibt sich folgendermassen aus den gegebenen Anfangswerten für C, C u und C d : 1 C % a r t a p = e = e C 3.03 u Das Verhältnis von risikoloser Anleihe und Underlying im Portfolio ergibt sich aus den gegebenen Pay-Back Werten pro Zeiteinheit. Das Verhältnis ist 16.5 Einheiten risikolose Anleihen : 1 Einheit Underlying.

11 5. Bonusfrage a) - Underlying plus zusätzlich - long call mit strike bei 30-2 short calls mit strike bei 35 b) Der Verkäufer zahlt für den long call eine Prämie, erhält aber für die 2 short calls je eine Prämie. Vermutlich ist die short call Prämie kleiner als die long call Prämie, aber nicht nur 50% davon. Der Verkäufer macht bei fallenden Preisen also einen Gewinn=2 short call Prämien - 1 long call Prämie. Ansonsten geht er von steigenden Preisen aus. Der Käufer erwartet schwach steigende Preise, in keinem Fall aber sinkende Preise.

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